Doppler’s Effect Questions in Hindi

(D) डॉप्लर प्रभाव के कारण देखी गई आभासी आवृत्ति $f'$ का सूत्र $f' = f \left( \frac{v \pm v_o}{v \mp v_s} \right)$ है,जहाँ $f$ स्रोत की आवृत्ति है,$v$ ध्वनि की गति है,$v_o$ प्रेक्षक का वेग है,और $v_s$ स्रोत का वेग है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि डॉप्लर विस्थापन स्रोत की आवृत्ति,स्रोत के वेग और प्रेक्षक के वेग पर निर्भर करता है।
हालाँकि,इस सूत्र में स्रोत और प्रेक्षक के बीच की दूरी का कोई पद नहीं है।
इसलिए,डॉप्लर विस्थापन स्रोत और श्रोता के बीच की दूरी पर निर्भर नहीं करता है।

(B) जब स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक की ओर बढ़ रहा होता है,तो प्रेक्षक द्वारा सुनी जाने वाली आभासी आवृत्ति $n'$ डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$n' = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
जहाँ:
$n = 450 \text{ cycles/sec}$ (स्रोत की आवृत्ति)
$v = 340 \text{ m/sec}$ (ध्वनि की गति)
$v_s = 34 \text{ m/sec}$ (स्रोत की गति)
मान रखने पर:
$n' = 450 \left( \frac{340}{340 - 34} \right)$
$n' = 450 \left( \frac{340}{306} \right)$
$n' = 450 \times 1.111... = 500 \text{ cycles/sec}$.
अतः,आभासी आवृत्ति $500 \text{ cycles/sec}$ है।

(A) स्थिर स्रोत द्वारा उत्सर्जित ध्वनि तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda = v/n$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है और $n$ आवृत्ति है।
जब स्रोत $v_s$ वेग के साथ स्थिर प्रेक्षक की ओर गति करता है,तो प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आवृत्ति $n' = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ होती है।
प्रेक्षक द्वारा प्रेक्षित तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{v}{n'} = \frac{v}{n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)} = \lambda \left( \frac{v - v_s}{v} \right)$ है।
दिया गया है $\lambda = 120 \, cm$,$v = 330 \, m/s$,और $v_s = 60 \, m/s$:
$\lambda' = 120 \left( \frac{330 - 60}{330} \right) = 120 \left( \frac{270}{330} \right) = 120 \left( \frac{9}{11} \right) \approx 98.18 \, cm$.
विकल्पों में दिए गए निकटतम पूर्णांक के अनुसार,उत्तर $98 \, cm$ है।

(B) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक की ओर बढ़ता है,तो आभासी आवृत्ति $n'$ का सूत्र इस प्रकार है:
$n' = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
जहाँ:
$n = 600 \, Hz$ (वास्तविक आवृत्ति)
$v = 330 \, m/s$ (ध्वनि का वेग)
$v_s = 30 \, m/s$ (स्रोत का वेग)
मान रखने पर:
$n' = 600 \left( \frac{330}{330 - 30} \right)$
$n' = 600 \left( \frac{330}{300} \right)$
$n' = 600 \times 1.1 = 660 \, Hz$
अतः,आभासी आवृत्ति $660 \, Hz$ है।

(C) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,स्थिर स्रोत से दूर जा रहे प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आवृत्ति $f'$ का सूत्र $f' = f \left( \frac{V - v_o}{V} \right)$ है,जहाँ $V$ ध्वनि की गति है और $v_o$ प्रेक्षक की गति है।
चूंकि दोनों प्रेक्षक समान गति $v_o = 0.2V$ से स्रोत से दूर जा रहे हैं,इसलिए दोनों प्रेक्षकों द्वारा सुनी गई आवृत्ति $f' = f \left( \frac{V - 0.2V}{V} \right) = f \left( \frac{0.8V}{V} \right) = 0.8f$ होगी।
अतः,दोनों प्रेक्षकों द्वारा सुनी गई आवृत्तियों का अनुपात $0.8f : 0.8f = 1:1$ होगा।

(B) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,आभासी आवृत्ति $n'$ का सूत्र इस प्रकार है:
$n' = n \left( \frac{v - v_o}{v - v_s} \right)$
यहाँ,$v$ ध्वनि का वेग है,$v_o$ प्रेक्षक का वेग है और $v_s$ स्रोत का वेग है।
चूंकि स्रोत और प्रेक्षक दोनों ध्वनि तरंगों के संचरण की दिशा में गति कर रहे हैं,इसलिए ध्वनि की दिशा के सापेक्ष उनके वेग धनात्मक लिए जाते हैं।
इन मानों को सामान्य डॉप्लर सूत्र में रखने पर,हमें $n' = n \frac{(v - v_o)}{(v - v_s)}$ प्राप्त होता है।

(C) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब एक प्रेक्षक स्थिर स्रोत की ओर गति करता है,तो आभासी आवृत्ति $n'$ का सूत्र इस प्रकार है:
$n' = n \left( \frac{v + v_O}{v} \right)$
जहाँ $v$ ध्वनि का वेग है और $v_O$ प्रेक्षक का वेग है।
दिया गया है कि $n' = 2n$ और $v = 332 \, m/s$,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$2n = n \left( \frac{332 + v_O}{332} \right)$
दोनों पक्षों को $n$ से विभाजित करने पर:
$2 = \frac{332 + v_O}{332}$
$664 = 332 + v_O$
$v_O = 664 - 332 = 332 \, m/s$.
अतः,प्रेक्षक का वेग $332 \, m/s$ है।

(B) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब एक प्रेक्षक स्थिर स्रोत की ओर गति करता है,तो आभासी आवृत्ति $n'$ का सूत्र इस प्रकार है:
$n' = n \left( \frac{v + v_O}{v} \right)$
जहाँ $n$ वास्तविक आवृत्ति है,$v$ ध्वनि की गति है,और $v_O$ प्रेक्षक का वेग है।
चूंकि प्रेक्षक स्रोत की ओर गति कर रहा है,इसलिए $v_O > 0$ है।
अतः,गुणांक $\frac{v + v_O}{v} > 1$ होगा।
इसका अर्थ है कि $n' > n$,यानी आभासी आवृत्ति वास्तविक आवृत्ति से अधिक होगी।

(A) प्रेक्षक द्वारा प्रति सेकंड प्राप्त तरंगों की संख्या आभासी आवृत्ति $f'$ है।
दिया गया है कि स्रोत की आवृत्ति $f = 256 \text{ Hz}$ है।
स्रोत का वेग $v_s = \frac{v}{3}$ है,जहाँ $v$ ध्वनि का वेग है।
डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब स्रोत स्थिर प्रेक्षक की ओर आता है,तो आभासी आवृत्ति इस प्रकार दी जाती है:
$f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
मान रखने पर:
$f' = 256 \left( \frac{v}{v - v/3} \right)$
$f' = 256 \left( \frac{v}{2v/3} \right)$
$f' = 256 \times \frac{3}{2}$
$f' = 128 \times 3 = 384 \text{ तरंगें प्रति सेकंड}$.

(A) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक की ओर बढ़ता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $n'$ का सूत्र $n' = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ होता है,जहाँ $v$ ध्वनि की चाल है और $v_s$ स्रोत की चाल है।
चूंकि आवृत्ति में अंतर $2.5\%$ है,इसलिए $\frac{n' - n}{n} = 0.025$,जिसका अर्थ है $\frac{n'}{n} = 1.025$.
इस मान को डॉप्लर सूत्र में रखने पर: $1.025 = \frac{v}{v - v_s}$.
यहाँ $v = 320\, m/s$ दिया गया है,इसलिए $1.025 = \frac{320}{320 - v_s}$.
$320 - v_s = \frac{320}{1.025} \approx 312.195$.
$v_s = 320 - 312.195 = 7.805\, m/s$.
निकटतम पूर्णांक में,कार का वेग लगभग $8\, m/s$ है।

(B) दिया गया है: दोनों ट्रेनों की गति $v_s = v_o = 108\, km/h = 108 \times \frac{5}{18} = 30\, m/s$.
स्रोत की आवृत्ति $n = 750\, Hz$.
ध्वनि की गति $v = 330\, m/s$.
ट्रेनों के एक-दूसरे को पार करने के बाद,स्रोत और प्रेक्षक एक-दूसरे से दूर जा रहे हैं।
इस स्थिति के लिए डॉप्लर प्रभाव के सूत्र का उपयोग करने पर:
$n' = n \left( \frac{v - v_o}{v + v_s} \right)$
मान रखने पर:
$n' = 750 \left( \frac{330 - 30}{330 + 30} \right)$
$n' = 750 \left( \frac{300}{360} \right)$
$n' = 750 \times \frac{5}{6} = 125 \times 5 = 625\, Hz$.

(A) डॉप्लर प्रभाव के लिए सामान्य सूत्र $n' = n \left( \frac{v + v_O}{v - v_S} \right)$ है,जहाँ $n'$ प्रेक्षित आवृत्ति है,$n$ स्रोत की आवृत्ति है,$v$ ध्वनि की गति है,$v_O$ प्रेक्षक का वेग है और $v_S$ स्रोत का वेग है।
चूँकि स्रोत स्थिर है,इसलिए $v_S = 0$ है।
हम चाहते हैं कि प्रेक्षित आवृत्ति स्रोत की आवृत्ति की दोगुनी हो,इसलिए $n' = 2n$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $2n = n \left( \frac{v + v_O}{v - 0} \right)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $n$ से विभाजित करने पर: $2 = \frac{v + v_O}{v}$ प्राप्त होता है।
$v$ से गुणा करने पर: $2v = v + v_O$ प्राप्त होता है।
$v_O$ के लिए हल करने पर: $v_O = v$ प्राप्त होता है।
चूँकि प्रेक्षक उच्च आवृत्ति सुनने के लिए स्रोत की ओर गति कर रहा है,इसलिए प्रेक्षक का वेग स्रोत की ओर ध्वनि के वेग के बराबर है।

(D) आभासी आवृत्ति $f'$ के लिए डॉप्लर प्रभाव का सूत्र $f' = f \left( \frac{v_s \pm v_o}{v_s \mp v_s} \right)$ है,जहाँ $v_s$ ध्वनि का वेग है,$v_o$ प्रेक्षक का वेग है और $v_s$ स्रोत का वेग है।
यहाँ दिया गया है कि स्रोत $v = v_s$ वेग से प्रेक्षक की ओर गति करता है और प्रेक्षक $v = v_s$ वेग से स्रोत से दूर गति करता है।
चिह्न परिपाटी का उपयोग करने पर: $f' = f \left( \frac{v_s - v}{v_s - v} \right)$.
चूँकि $v = v_s$,इसलिए व्यंजक $f' = f \left( \frac{v_s - v_s}{v_s - v_s} \right)$ हो जाता है।
हालाँकि,जब स्रोत और प्रेक्षक दोनों एक ही दिशा में समान वेग से गति करते हैं,तो उनके बीच कोई सापेक्ष गति नहीं होती है।
इसलिए,सापेक्ष वेग शून्य है और प्रेक्षक द्वारा सुनी जाने वाली आभासी आवृत्ति मूल आवृत्ति के बराबर ही रहती है।
अतः,$f' = 200 Hz$।

(C) डॉप्लर प्रभाव एक ऐसे प्रेक्षक के लिए तरंग की आवृत्ति में परिवर्तन का वर्णन करता है जो तरंग स्रोत के सापेक्ष गति कर रहा है। जब ध्वनि स्रोत का वेग $(v_s)$ माध्यम में ध्वनि के वेग $(v)$ से अधिक हो जाता है,तो स्रोत अपने द्वारा उत्पन्न तरंगों की तुलना में अधिक तेजी से आगे बढ़ता है। इसके परिणामस्वरूप एक शॉक वेव (सोनिक बूम) का निर्माण होता है,और मानक डॉप्लर प्रभाव के सूत्र अब लागू नहीं होते हैं क्योंकि तरंग के अग्रभाग इस तरह से ओवरलैप हो जाते हैं कि प्रेक्षक को अपेक्षित क्रम में तरंगें प्राप्त नहीं हो पाती हैं।

(A) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब ध्वनि का स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक की ओर गति करता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $n'$ का सूत्र इस प्रकार है:
$n' = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
जहाँ $n$ मूल आवृत्ति है,$v$ ध्वनि का वेग है,और $v_s$ स्रोत का वेग है।
यह दिया गया है कि प्रेक्षित आवृत्ति मूल आवृत्ति की तीन गुना है,इसलिए $n' = 3n$।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$3n = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
$3 = \frac{v}{v - v_s}$
$3(v - v_s) = v$
$3v - 3v_s = v$
$2v = 3v_s$
$v_s = \frac{2}{3}v$
अतः,स्रोत की गति $\frac{2}{3}v$ है।

(C) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब ध्वनि का स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक की ओर बढ़ता है,तो आभासी आवृत्ति $n'$ का सूत्र इस प्रकार है:
$n' = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
जहाँ:
$n = 1200 \, cps$ (वास्तविक आवृत्ति)
$v = 350 \, m/s$ (ध्वनि की गति)
$v_s = 50 \, m/s$ (स्रोत की गति)
मान रखने पर:
$n' = 1200 \times \left( \frac{350}{350 - 50} \right)$
$n' = 1200 \times \left( \frac{350}{300} \right)$
$n' = 1200 \times \frac{7}{6} = 200 \times 7 = 1400 \, cps$
अतः,प्रेक्षक द्वारा सुनी जाने वाली आभासी आवृत्ति $1400 \, cps$ है।

(D) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब ध्वनि का स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक की ओर बढ़ता है,तो आभासी आवृत्ति $n'$ का सूत्र इस प्रकार है:
$n' = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
जहाँ:
$n = 1200 \ Hz$ (स्रोत की आवृत्ति)
$v = 400 \ m/s$ (ध्वनि की गति)
$v_s = 100 \ m/s$ (स्रोत की गति)
सूत्र में मान रखने पर:
$n' = 1200 \left( \frac{400}{400 - 100} \right)$
$n' = 1200 \left( \frac{400}{300} \right)$
$n' = 1200 \times \frac{4}{3}$
$n' = 400 \times 4 = 1600 \ Hz$
अतः,प्रेक्षक द्वारा सुनी जाने वाली आभासी आवृत्ति $1600 \ Hz$ है।

(A) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब कोई स्रोत स्थिर प्रेक्षक की ओर गति करता है,तो आभासी आवृत्ति $n'$ का सूत्र इस प्रकार है:
$n' = n \times \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
दिया गया है:
स्रोत की आवृत्ति $n = 150 \, Hz$
ध्वनि का वेग $v = 330 \, m/s$
स्रोत का वेग $v_s = 110 \, m/s$
मान रखने पर:
$n' = 150 \times \left( \frac{330}{330 - 110} \right)$
$n' = 150 \times \left( \frac{330}{220} \right)$
$n' = 150 \times 1.5 = 225 \, Hz$
अतः,व्यक्ति द्वारा सुनी गई आवृत्ति $225 \, Hz$ है।

(A) जब स्रोत स्थिर प्रेक्षक के पास आ रहा होता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $n_a$ डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$n_a = \left( \frac{v}{v - v_s} \right) n$
मान $v = 340\, m/s$,$v_s = 20\, m/s$,और $n = 1000\, Hz$ रखने पर:
$n_a = \left( \frac{340}{340 - 20} \right) \times 1000 = \frac{340}{320} \times 1000 = \frac{17}{16} \times 1000 = 1062.5\, Hz$
जब स्रोत प्रेक्षक से दूर जा रहा होता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $n_r$ होती है:
$n_r = \left( \frac{v}{v + v_s} \right) n$
$n_r = \left( \frac{340}{340 + 20} \right) \times 1000 = \frac{340}{360} \times 1000 = \frac{17}{18} \times 1000 = 944.4\, Hz$
आवृत्तियों का अनुपात है:
$\frac{n_a}{n_r} = \frac{\frac{v}{v - v_s} n}{\frac{v}{v + v_s} n} = \frac{v + v_s}{v - v_s}$
$\frac{n_a}{n_r} = \frac{340 + 20}{340 - 20} = \frac{360}{320} = \frac{9}{8}$
अतः,अनुपात $9:8$ है।

(A) जब स्रोत $v_s$ वेग से गति कर रहा हो,तो स्थिर प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति डॉपलर प्रभाव के सूत्र $n' = n \left( \frac{v}{v \mp v_s} \right)$ द्वारा दी जाती है।
जब स्रोत प्रेक्षक के पास आ रहा हो,तो आभासी आवृत्ति $n_a = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right) = 1000 \ Hz$ होती है।
जब स्रोत प्रेक्षक से दूर जा रहा हो,तो आभासी आवृत्ति $n_r = n \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ होती है।
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर: $\frac{n_a}{n_r} = \frac{v + v_s}{v - v_s}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{1000}{n_r} = \frac{350 + 50}{350 - 50} = \frac{400}{300} = \frac{4}{3}$.
अतः,$n_r = 1000 \times \frac{3}{4} = 750 \ Hz$.

(B) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब स्रोत और श्रोता दोनों एक-दूसरे की ओर बढ़ रहे होते हैं,तो श्रोता द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $f'$ का सूत्र है:
$f' = f \left( \frac{v + v_O}{v - v_S} \right)$
यहाँ,$v_O$ प्रेक्षक (श्रोता) का वेग है और $v_S$ स्रोत का वेग है।
दिया गया है कि $v_O = v/10$ और $v_S = v/10$,इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$f' = f \left( \frac{v + v/10}{v - v/10} \right)$
$f' = f \left( \frac{1.1v}{0.9v} \right)$
$f' = f \left( \frac{11}{9} \right)$
$f' \approx 1.22 f$
अतः,श्रोता द्वारा सुनी गई आवृत्ति लगभग $1.22 f$ है।

(C) स्रोत एक वृत्ताकार पथ में गति कर रहा है। स्रोत की रैखिक गति $v_S = r\omega$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $r = 70 \text{ cm} = 0.70 \text{ m}$ और घूर्णन की आवृत्ति $f_{rev} = 5 \text{ rev/s}$ है।
कोणीय वेग $\omega = 2\pi f_{rev} = 2 \times \pi \times 5 = 10\pi \text{ rad/s}$.
अतः,$v_S = 0.70 \times 10\pi = 7\pi \approx 7 \times 3.1416 = 21.99 \approx 22 \text{ m/s}$.
न्यूनतम आवृत्ति तब सुनी जाती है जब स्रोत श्रोता से सीधे दूर जा रहा होता है।
डॉप्लर प्रभाव के सूत्र का उपयोग करते हुए: $n_{\min} = n \left( \frac{v}{v + v_S} \right)$.
मान रखने पर: $n_{\min} = 1000 \times \left( \frac{352}{352 + 22} \right) = 1000 \times \left( \frac{352}{374} \right) \approx 941.17 \text{ Hz}$.
निकटतम पूर्णांक में,न्यूनतम आवृत्ति $941 \text{ Hz}$ है।

(B) प्रेक्षक दो ध्वनियाँ सुनता है: एक सीधे स्रोत से और दूसरी दीवार से परावर्तित होकर (गूँज)।
$1$. सीधी ध्वनि के लिए,स्रोत स्थिर प्रेक्षक से दूर जा रहा है। डॉप्लर प्रभाव के सूत्र के अनुसार सुनी गई आवृत्ति $(n_1)$:
$n_1 = n \left( \frac{v}{v + v_s} \right) = 500 \left( \frac{332}{332 + 2} \right) = 500 \left( \frac{332}{334} \right) \ Hz$
$2$. परावर्तित ध्वनि (गूँज) के लिए,दीवार एक स्थिर स्रोत के रूप में कार्य करती है जो ध्वनि को परावर्तित करती है। प्रभावी रूप से,स्रोत की छवि $v_s = 2 \ m/s$ की गति से प्रेक्षक की ओर बढ़ रही है। सुनी गई आवृत्ति $(n_2)$:
$n_2 = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right) = 500 \left( \frac{332}{332 - 2} \right) = 500 \left( \frac{332}{330} \right) \ Hz$
$3$. विस्पंद आवृत्ति इन दो आवृत्तियों के बीच का अंतर है:
$\text{विस्पंद आवृत्ति} = n_2 - n_1 = 500 \times 332 \left( \frac{1}{330} - \frac{1}{334} \right)$
$= 500 \times 332 \left( \frac{334 - 330}{330 \times 334} \right) = 500 \times 332 \left( \frac{4}{110220} \right) \approx 6.02 \ Hz$
अतः,प्रति सेकंड विस्पंदों की संख्या लगभग $6$ है।

(C) ड्राइवर द्वारा सुनी गई परावर्तित ध्वनि की आवृत्ति गतिमान स्रोत और गतिमान प्रेक्षक के लिए डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,कार स्रोत और प्रेक्षक दोनों के रूप में कार्य करती है।
कार का वेग $v_s = v_o = 72\,km/hr = 72 \times \frac{5}{18} = 20\,m/s$.
ध्वनि का वेग $v = 330\,m/s$.
हॉर्न की आवृत्ति $n = 124\,vib/sec$.
परावर्तित आवृत्ति $n'$ के लिए सूत्र:
$n' = n \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$
मान रखने पर:
$n' = 124 \left( \frac{330 + 20}{330 - 20} \right)$
$n' = 124 \left( \frac{350}{310} \right)$
$n' = 124 \times \frac{35}{31} = 4 \times 35 = 140\,vib/sec$.

(D) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब ध्वनि का स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक की ओर गति करता है,तो आभासी आवृत्ति $n_1$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$n_1 = n \left( \frac{V}{V - S} \right)$
जहाँ $n$ वास्तविक आवृत्ति है,$V$ हवा में ध्वनि की चाल है,और $S$ स्रोत की चाल है।
दोनों पक्षों को $n$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{n_1}{n} = \frac{V}{V - S}$

(B) डॉप्लर प्रभाव तब होता है जब स्रोत और प्रेक्षक के बीच उन्हें जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश सापेक्ष वेग होता है।
इस प्रश्न में,वाहन प्रेक्षक और वाहन को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत दिशा में चल रहा है।
इसलिए,प्रेक्षक और स्रोत को जोड़ने वाली रेखा पर स्रोत के वेग का घटक $v_s \cos(90^{\circ}) = 0$ है।
चूंकि दृष्टि रेखा के अनुदिश कोई सापेक्ष गति नहीं है,इसलिए प्रेक्षक द्वारा अनुभव की गई आवृत्ति स्रोत की आवृत्ति के समान ही रहती है।
अतः,प्रेक्षित आवृत्ति $n' = n$ है।
यह दिया गया है कि प्रेक्षित आवृत्ति $n + n_1$ है,इसलिए $n + n_1 = n$,जिसका अर्थ है कि $n_1 = 0$।

(D) प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $n'$ डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है,जब स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक की ओर गति कर रहा हो:
$n' = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
दिया गया है:
स्रोत की आवृत्ति $n = 450 Hz$
ध्वनि की गति $v = 330 m/s$
स्रोत की गति $v_s = 33 m/s$
मान रखने पर:
$n' = 450 \times \left( \frac{330}{330 - 33} \right)$
$n' = 450 \times \left( \frac{330}{297} \right)$
$n' = 450 \times \frac{10}{9}$
$n' = 50 \times 10 = 500 Hz$
अतः,प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आवृत्ति $500 Hz$ है।

(A) स्थिर स्रोत से दूर जा रहे प्रेक्षक के लिए डॉप्लर प्रभाव का सूत्र इस प्रकार है:
$n' = n \left( \frac{v - v_O}{v} \right)$
जहाँ:
$n = 100 \, Hz$ (स्रोत की आवृत्ति)
$v = 330 \, m/s$ (ध्वनि की चाल)
$v_O = 33 \, m/s$ (दूर जा रहे प्रेक्षक की चाल)
मान रखने पर:
$n' = 100 \left( \frac{330 - 33}{330} \right)$
$n' = 100 \left( \frac{297}{330} \right)$
$n' = 100 \times 0.9 = 90 \, Hz$
अतः,प्रेक्षित आवृत्ति $90 \, Hz$ है।

(C) जब ट्रेन पास आ रही होती है,तो प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आवृत्ति डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है: $n_a = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$.
मान रखने पर: $219 = n \left( \frac{340}{340 - v_s} \right)$ ... $(i)$.
जब ट्रेन दूर जा रही होती है,तो प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आवृत्ति: $n_r = n \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$.
मान रखने पर: $184 = n \left( \frac{340}{340 + v_s} \right)$ ... $(ii)$.
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{219}{184} = \frac{340 + v_s}{340 - v_s}$.
$219(340 - v_s) = 184(340 + v_s)$.
$74460 - 219v_s = 62560 + 184v_s$.
$11900 = 403v_s$.
$v_s \approx 29.53 \, m/s \approx 29.5 \, m/s$.
$v_s$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$219 = n \left( \frac{340}{340 - 29.5} \right) = n \left( \frac{340}{310.5} \right)$.
$n = \frac{219 \times 310.5}{340} \approx 200 \, Hz$.

(D) प्रेक्षक दो ध्वनियाँ सुनता है: एक सीधे स्रोत से और दूसरी दीवार से परावर्तित होकर।
माना $v = 340\, m/s$ ध्वनि की गति है और $v_s = 1\, m/s$ स्रोत (लड़के) की गति है।
$1$. स्रोत से सीधे सुनी जाने वाली आवृत्ति $(n_1)$: चूंकि स्रोत प्रेक्षक की ओर बढ़ रहा है,आवृत्ति $n_1 = n_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right) = 680 \left( \frac{340}{340 - 1} \right) = 680 \left( \frac{340}{339} \right) \approx 682\, Hz$ होगी।
$2$. दीवार से परावर्तित होकर सुनी जाने वाली आवृत्ति $(n_2)$: दीवार एक स्थिर स्रोत के रूप में कार्य करती है जो प्रेक्षक से दूर जा रही है। दीवार द्वारा परावर्तित आवृत्ति $n' = n_0 \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ है। अतः,$n_2 = 680 \left( \frac{340}{340 + 1} \right) = 680 \left( \frac{340}{341} \right) \approx 678\, Hz$ होगी।
$3$. प्रति सेकंड विस्पंदों की संख्या दोनों आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $n_1 - n_2 = 680 \left( \frac{340}{339} - \frac{340}{341} \right) = 680 \times 340 \left( \frac{341 - 339}{339 \times 341} \right) = 680 \times 340 \left( \frac{2}{115600 - 1} \right) \approx 4\, Hz$।

(A) यह प्रश्न गतिमान स्रोत और गतिमान प्रेक्षक (ड्राइवर) के साथ डॉप्लर प्रभाव का उपयोग करता है।
$1$. सबसे पहले,हॉर्न से ध्वनि पहाड़ी तक पहुँचती है। पहाड़ी एक स्थिर प्रेक्षक के रूप में कार्य करती है जो $v_s = 30 \ m/s$ की गति से उसकी ओर आ रहे स्रोत (कार) से ध्वनि प्राप्त करती है। पहाड़ी द्वारा प्राप्त आवृत्ति $n_1$ है:
$n_1 = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right) = 600 \left( \frac{330}{330 - 30} \right) = 600 \left( \frac{330}{300} \right) = 660 \ Hz$.
$2$. पहाड़ी इस ध्वनि को परावर्तित करती है,जो $n_1 = 660 \ Hz$ आवृत्ति के स्थिर स्रोत के रूप में कार्य करती है। ड्राइवर (प्रेक्षक) $v_o = 30 \ m/s$ की गति से पहाड़ी की ओर बढ़ रहा है। ड्राइवर द्वारा सुनी गई आवृत्ति $n'$ है:
$n' = n_1 \left( \frac{v + v_o}{v} \right) = 660 \left( \frac{330 + 30}{330} \right) = 660 \left( \frac{360}{330} \right) = 2 \times 360 = 720 \ Hz$.
वैकल्पिक रूप से,स्थिर परावर्तक की ओर गतिमान प्रेक्षक और स्रोत के लिए संयुक्त सूत्र का उपयोग करते हुए:
$n' = n \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right) = 600 \left( \frac{330 + 30}{330 - 30} \right) = 600 \left( \frac{360}{300} \right) = 720 \ Hz$.

(B) प्रेक्षक सायरन $1$ से दूर और सायरन $2$ की ओर गति कर रहा है।
स्थिर स्रोत से दूर जा रहे प्रेक्षक के लिए डॉप्लर प्रभाव के सूत्र के अनुसार सायरन $1$ से सुनी जाने वाली ध्वनि की आवृत्ति:
$n_1 = n \left( \frac{v - v_0}{v} \right) = 330 \left( \frac{330 - 2}{330} \right) = 328 \ Hz$
स्थिर स्रोत की ओर गति कर रहे प्रेक्षक के लिए डॉप्लर प्रभाव के सूत्र के अनुसार सायरन $2$ से सुनी जाने वाली ध्वनि की आवृत्ति:
$n_2 = n \left( \frac{v + v_0}{v} \right) = 330 \left( \frac{330 + 2}{330} \right) = 332 \ Hz$
विस्पंद आवृत्ति दोनों प्रेक्षित आवृत्तियों के बीच का अंतर है:
$\text{विस्पंद आवृत्ति} = n_2 - n_1 = 332 - 328 = 4 \ Hz$.

(D) जब स्रोत और श्रोता एक-दूसरे की ओर आ रहे हों,तो आभासी आवृत्ति $(n')$ का सूत्र इस प्रकार है:
$n' = n \left( \frac{v + v_O}{v - v_S} \right)$
जहाँ:
$n'$ = आभासी आवृत्ति = $400 \, cps$
$n$ = वास्तविक आवृत्ति
$v$ = ध्वनि का वेग = $360 \, m/s$
$v_O$ = श्रोता का वेग = $40 \, m/s$
$v_S$ = स्रोत का वेग = $40 \, m/s$
सूत्र में मान रखने पर:
$400 = n \left( \frac{360 + 40}{360 - 40} \right)$
$400 = n \left( \frac{400}{320} \right)$
$400 = n \left( \frac{5}{4} \right)$
$n = 400 \times \frac{4}{5} = 320 \, cps$
अतः,वास्तविक आवृत्ति $320 \, cps$ है।

(A) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक से दूर जा रहा होता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $f'$ का सूत्र इस प्रकार है:
$f' = f \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$
जहाँ:
$f = 500 \; Hz$ (स्रोत की आवृत्ति)
$v = 330 \; m/s$ (ध्वनि की गति)
$v_s = 50 \; m/s$ (स्रोत की गति)
मान रखने पर:
$f' = 500 \times \left( \frac{330}{330 + 50} \right)$
$f' = 500 \times \left( \frac{330}{380} \right)$
$f' = 500 \times 0.8684$
$f' \approx 434.2 \; Hz$

(C) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,एक प्रेक्षक द्वारा सुनी जाने वाली आभासी आवृत्ति ध्वनि के स्रोत और प्रेक्षक के बीच की सापेक्ष गति पर निर्भर करती है।
इस स्थिति में,व्यक्ति (प्रेक्षक) और इंजन (स्रोत) दोनों एक ही चलती ट्रेन का हिस्सा हैं।
चूंकि वे समान वेग से एक साथ गति कर रहे हैं,इसलिए स्रोत और प्रेक्षक के बीच कोई सापेक्ष गति नहीं है।
अतः,व्यक्ति द्वारा सुनी गई आवृत्ति सीटी की वास्तविक आवृत्ति के बराबर रहती है,जो $600 \ Hz$ है।

(A) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब कोई स्रोत स्थिर प्रेक्षक की ओर गति करता है,तो आभासी आवृत्ति $n'$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$n' = n \left( \frac{v}{v - v_S} \right)$
जहाँ:
$n = 500 Hz$ (स्रोत की आवृत्ति)
$v = 330 m/s$ (ध्वनि की गति)
$v_S = 30 m/s$ (स्रोत का वेग)
मान रखने पर:
$n' = 500 \left( \frac{330}{330 - 30} \right)$
$n' = 500 \left( \frac{330}{300} \right)$
$n' = 500 \times 1.1 = 550 Hz$
अतः,प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आवृत्ति $550 Hz$ है।

(C) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब ध्वनि का स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक की ओर आता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $n'$ का सूत्र है:
$n' = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
जहाँ:
$n = 90 \text{ vibrations/sec}$ (स्रोत की आवृत्ति)
$v = \text{ध्वनि की चाल}$
$v_s = \frac{v}{10}$ (स्रोत की चाल)
मान रखने पर:
$n' = 90 \left( \frac{v}{v - \frac{v}{10}} \right)$
$n' = 90 \left( \frac{v}{\frac{9v}{10}} \right)$
$n' = 90 \times \frac{10}{9} = 100 \text{ vibrations/sec}$.

(A) सीटी का रैखिक वेग $v_S = r\omega$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $r = 1.2 \, m$ और कोणीय वेग $\omega = 2\pi \times \frac{400}{60} \, rad/s$ है।
$v_S = 1.2 \times 2\pi \times \frac{400}{60} = 1.2 \times 2\pi \times \frac{20}{3} = 16\pi \approx 50.26 \, m/s$। मानक सन्निकटन के अनुसार $v_S \approx 50 \, m/s$ लेने पर।
जब सीटी श्रोता के पास आती है,तो सुनी गई आवृत्ति अधिकतम होती है: $n_{max} = n \left( \frac{v}{v - v_S} \right) = 500 \left( \frac{340}{340 - 50} \right) = 500 \left( \frac{340}{290} \right) \approx 586 \, Hz$।
जब सीटी श्रोता से दूर जाती है,तो सुनी गई आवृत्ति न्यूनतम होती है: $n_{min} = n \left( \frac{v}{v + v_S} \right) = 500 \left( \frac{340}{340 + 50} \right) = 500 \left( \frac{340}{390} \right) \approx 436 \, Hz$।
अतः,श्रोता द्वारा सुनी जाने वाली आवृत्तियों की सीमा $436 \, Hz$ से $586 \, Hz$ है।

(D) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब कोई स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक की ओर बढ़ता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $f'$ का सूत्र $f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ होता है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है और $v_s$ स्रोत की गति है।
प्रथम स्थिति के लिए,$v_s = 34 \ m/s$:
$f_1 = f \left( \frac{340}{340 - 34} \right) = f \left( \frac{340}{306} \right)$
दूसरी स्थिति के लिए,$v_s = 17 \ m/s$:
$f_2 = f \left( \frac{340}{340 - 17} \right) = f \left( \frac{340}{323} \right)$
अब,अनुपात $f_1/f_2$ की गणना करने पर:
$\frac{f_1}{f_2} = \frac{f \left( \frac{340}{306} \right)}{f \left( \frac{340}{323} \right)} = \frac{323}{306}$
अंश और हर दोनों को $17$ से विभाजित करने पर:
$\frac{323 \div 17}{306 \div 17} = \frac{19}{18}$
अतः,अनुपात $f_1/f_2$ का मान $19/18$ है।

(D) प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आवृत्ति डॉप्लर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है: $f' = f \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है,$v_o$ प्रेक्षक का वेग है और $v_s$ स्रोत का वेग है।
चूंकि स्रोत और प्रेक्षक दोनों स्थिर हैं,इसलिए $v_o = 0$ और $v_s = 0$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,हमें $f' = f \left( \frac{v + 0}{v - 0} \right) = f \left( \frac{v}{v} \right) = f$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रेक्षित आवृत्ति $f'$,स्रोत की आवृत्ति $f$ के बराबर रहती है,चाहे ध्वनि की गति $v$ कुछ भी हो।
इस प्रकार,प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आवृत्ति में कोई परिवर्तन नहीं होगा।

(B) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब स्रोत और प्रेक्षक एक-दूसरे से दूर जाते हैं,तो प्रेक्षित आवृत्ति $n'$ का सूत्र इस प्रकार है:
$n' = n \left( \frac{v - v_O}{v + v_S} \right)$
यहाँ,$v = 340\; m/s$ ध्वनि की गति है,$v_O = 10\; m/s$ प्रेक्षक का वेग है,और $v_S = 10\; m/s$ स्रोत का वेग है।
दिया गया है $n' = 1950\; Hz$,मान रखने पर:
$1950 = n \left( \frac{340 - 10}{340 + 10} \right)$
$1950 = n \left( \frac{330}{350} \right)$
$1950 = n \left( \frac{33}{35} \right)$
$n = 1950 \times \frac{35}{33} \approx 2068.18\; Hz$
निकटतम पूर्णांक में,वास्तविक आवृत्ति $2068\; Hz$ है।

(B) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,आभासी आवृत्ति $n'$ का सूत्र है:
$n' = n \left( \frac{v + v_O}{v - v_S} \right)$
जहाँ:
$n = 240 \ Hz$ (स्रोत की आवृत्ति)
$v = 340 \ m/s$ (ध्वनि का वेग)
$v_O = 20 \ m/s$ (प्रेक्षक का स्रोत की ओर वेग)
$v_S = 20 \ m/s$ (स्रोत का प्रेक्षक की ओर वेग)
मान रखने पर:
$n' = 240 \left( \frac{340 + 20}{340 - 20} \right)$
$n' = 240 \left( \frac{360}{320} \right)$
$n' = 240 \times 1.125 = 270 \ Hz$.

(B) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब कोई प्रेक्षक स्थिर स्रोत की ओर गति करता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $n'$ इस प्रकार दी जाती है:
$n' = n \left( \frac{v + v_0}{v} \right)$
जहाँ $n$ स्रोत की आवृत्ति है,$v$ ध्वनि की गति है,और $v_0$ प्रेक्षक की गति है।
ट्रेन $A$ के लिए:
$5.5 = 5 \left( \frac{v + v_A}{v} \right) \implies 1.1 = 1 + \frac{v_A}{v} \implies \frac{v_A}{v} = 0.1$ ... $(i)$
ट्रेन $B$ के लिए:
$6.0 = 5 \left( \frac{v + v_B}{v} \right) \implies 1.2 = 1 + \frac{v_B}{v} \implies \frac{v_B}{v} = 0.2$ ... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{v_B / v}{v_A / v} = \frac{0.2}{0.1} = 2$
अतः,ट्रेन $B$ के वेग का ट्रेन $A$ के वेग से अनुपात $2$ है।

(B) सीटी की रैखिक गति $v_s = r\omega$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $r = 50 \; cm = 0.5 \; m$ और $\omega = 20 \; rad/s$ दिया गया है।
अतः,$v_s = 0.5 \times 20 = 10 \; m/s.$
न्यूनतम आवृत्ति तब सुनी जाती है जब स्रोत प्रेक्षक से सीधे दूर जा रहा होता है।
प्रेक्षित आवृत्ति के लिए सूत्र $n_{\min} = n \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ है।
मान रखने पर: $n_{\min} = 385 \left( \frac{340}{340 + 10} \right) = 385 \left( \frac{340}{350} \right) = 385 \times \frac{34}{35} = 11 \times 34 = 374 \; Hz.$

(A) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक से दूर जा रहा होता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $n'$ का सूत्र इस प्रकार है:
$n' = n \left( \frac{v}{v + v_S} \right)$
जहाँ:
$n = 800 \; Hz$ (स्रोत की आवृत्ति)
$v = 330 \; m/s$ (ध्वनि का वेग)
$v_S = 30 \; m/s$ (स्रोत का वेग)
मान रखने पर:
$n' = 800 \left( \frac{330}{330 + 30} \right)$
$n' = 800 \left( \frac{330}{360} \right)$
$n' = 800 \left( \frac{11}{12} \right)$
$n' = \frac{8800}{12} \approx 733.33 \; Hz$.

(A) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब स्रोत $v_c$ गति से चलता है तो स्थिर प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आवृत्ति $n' = n \left( \frac{v}{v \mp v_c} \right)$ द्वारा दी जाती है।
गुजरने से पहले,स्रोत प्रेक्षक के करीब आता है: $n_{Before} = n \left( \frac{v}{v - v_c} \right)$.
गुजरने के बाद,स्रोत प्रेक्षक से दूर जाता है: $n_{After} = n \left( \frac{v}{v + v_c} \right)$.
आवृत्तियों का अनुपात $\frac{n_{Before}}{n_{After}} = \frac{11}{9}$ दिया गया है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{n \left( \frac{v}{v - v_c} \right)}{n \left( \frac{v}{v + v_c} \right)} = \frac{v + v_c}{v - v_c} = \frac{11}{9}$.
तिर्यक गुणा करने पर:
$9(v + v_c) = 11(v - v_c)$
$9v + 9v_c = 11v - 11v_c$
$20v_c = 2v$
$v_c = \frac{2v}{20} = \frac{1}{10}v$.

(C) जब ध्वनि स्रोत $v_S$ वेग से एक स्थिर प्रेक्षक की ओर गति करता है,तो प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $n'$ का सूत्र है:
$n' = n \left( \frac{v}{v - v_S} \right)$
दिया गया है कि आभासी आवृत्ति वास्तविक आवृत्ति की दोगुनी है,अर्थात $n' = 2n$.
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$2n = n \left( \frac{v}{v - v_S} \right)$
$2 = \frac{v}{v - v_S}$
$2(v - v_S) = v$
$2v - 2v_S = v$
$v = 2v_S$
$v_S = \frac{v}{2}$
अतः,स्रोत का वेग $\frac{v}{2}$ होना चाहिए।

(D) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब स्रोत और प्रेक्षक एक-दूसरे की ओर गति कर रहे हों,तो प्रेक्षित आवृत्ति $n'$ इस प्रकार दी जाती है:
$n' = n \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$
यहाँ,$n = 600 \, Hz$ स्रोत की आवृत्ति है,$v = 340 \, m/s$ ध्वनि की गति है,$v_s = 20 \, m/s$ स्रोत (पहली ट्रेन) की गति है,और $v_o = 15 \, m/s$ प्रेक्षक (दूसरी ट्रेन) की गति है।
मान रखने पर:
$n' = 600 \left( \frac{340 + 15}{340 - 20} \right)$
$n' = 600 \left( \frac{355}{320} \right)$
$n' = 600 \times 1.109375 = 665.625 \, Hz \approx 666 \, Hz$.

(A) जब स्रोत और प्रेक्षक एक-दूसरे की ओर आते हैं,तो आभासी आवृत्ति $n'$ का सूत्र इस प्रकार है:
$n' = n \left[ \frac{v + v_O}{v - v_S} \right]$
दिया गया है:
आभासी आवृत्ति $n' = 435 \, s^{-1}$
ध्वनि की चाल $v = 332 \, m/s$
प्रेक्षक का वेग $v_O = 50 \, m/s$
स्रोत का वेग $v_S = 50 \, m/s$
सूत्र में मान रखने पर:
$435 = n \left[ \frac{332 + 50}{332 - 50} \right]$
$435 = n \left[ \frac{382}{282} \right]$
$435 = n \times 1.3546$
$n = \frac{435}{1.3546} \approx 321.12 \, s^{-1}$
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान लेने पर,वास्तविक आवृत्ति $320 \, s^{-1}$ है।