Heat, Work done and Internal Energy from Graph Questions in Gujarati

(C) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,તંત્ર દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રણેય પ્રક્રિયાઓ માટે પ્રારંભિક અવસ્થા $I$ અને અંતિમ અવસ્થા $F$ સમાન હોવાથી,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ ત્રણેય માર્ગો માટે સમાન રહેશે.
તેથી,શોષાયેલી ઉષ્મા $\Delta Q$ માત્ર વાયુ દ્વારા થયેલા કાર્ય $\Delta W$ પર આધાર રાખે છે,જે $P-V$ વક્ર હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
$1$. માર્ગ $(i) IAF$ માટે,વક્ર હેઠળનું ક્ષેત્રફળ ધન અને મોટું છે.
$2$. માર્ગ $(ii) IBF$ માટે,વક્ર હેઠળનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય છે કારણ કે તે એક ઉભી રેખા છે (સમકદ પ્રક્રિયા).
$3$. માર્ગ $(iii) ICF$ માટે,વક્ર હેઠળનું ક્ષેત્રફળ ઋણ છે (કારણ કે કદ $I$ થી $C$ સુધી ઘટે છે અને પછી $C$ થી $F$ સુધી વધે છે,પરંતુ ચોખ્ખું ક્ષેત્રફળ માર્ગ $IAF$ કરતા ઓછું છે).
થયેલા કાર્યની સરખામણી કરતા: $\Delta W_{IAF} > \Delta W_{IBF} > \Delta W_{ICF}$.
$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ હોવાથી,$\Delta Q_{IAF} > \Delta Q_{IBF} > \Delta Q_{ICF}$ મળે છે.
આમ,શોષાયેલી ઉષ્મા $(ii)$ કરતા $(i)$ માં વધારે છે.

(C) $P-V$ આલેખમાં ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય એ ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
અહીં આપેલ ચક્ર એક લંબચોરસમાં અંતર્ગત લંબગોળ છે,જેની બાજુઓ $(P_2 - P_1)$ અને $(V_2 - V_1)$ છે,તેથી લંબગોળની અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a$ અને અર્ધ-ગૌણ અક્ષ $b$ નીચે મુજબ છે:
$a = \frac{V_2 - V_1}{2}$
$b = \frac{P_2 - P_1}{2}$
લંબગોળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi ab$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,થયેલ કાર્ય $W = \pi \left( \frac{P_2 - P_1}{2} \right) \left( \frac{V_2 - V_1}{2} \right) = \frac{\pi}{4} (P_2 - P_1) (V_2 - V_1)$.

(A) આપેલ $P-V$ આલેખમાં:
$1$. $AB$ એ સમદાબી પ્રક્રિયા છે (અચળ દબાણ, $P = \text{અચળ}$).
$2$. $BC$ એ સમતાપી પ્રક્રિયા છે (અચળ તાપમાન, $T = \text{અચળ}$), કારણ કે તે $PV = \text{અચળ}$ વક્રને અનુસરે છે.
$3$. $CD$ એ સમકદ પ્રક્રિયા છે (અચળ કદ, $V = \text{અચળ}$).
$4$. $DA$ એ સમતાપી પ્રક્રિયા છે (અચળ તાપમાન, $T = \text{અચળ}$).
હવે, $P-T$ આલેખમાં આનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. $AB$ માટે $(P = \text{અચળ})$: $P-T$ આલેખમાં, આ એક શિરોલંબ રેખા છે.
$2$. $BC$ માટે $(T = \text{અચળ})$: $P-T$ આલેખમાં, આ એક સમક્ષિતિજ રેખા છે.
$3$. $CD$ માટે $(V = \text{અચળ})$: કારણ કે $P/T = nR/V$, તેથી $P \propto T$. આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા છે.
$4$. $DA$ માટે $(T = \text{અચળ})$: $P-T$ આલેખમાં, આ એક સમક્ષિતિજ રેખા છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, જે આલેખ આ લાક્ષણિકતાઓ સાથે મેળ ખાય છે તે પ્રથમ વિકલ્પ છે.

(A) આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = \frac{f}{2} \mu R \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = \mu RT$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ $\Delta U = \frac{f}{2} (P_B V_B - P_A V_A)$.
અહીં,વાયુ દ્વિપરમાણ્વીય છે,તેથી મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ છે.
મોલની સંખ્યા $\mu = 1$ છે.
આલેખ પરથી,બિંદુ $A$ પર: $P_A = 8 \times 10^3 \ Pa$ અને $V_A = 2 \ m^3$.
બિંદુ $B$ પર: $P_B = 4 \times 10^3 \ Pa$ અને $V_B = 5 \ m^3$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta U = \frac{5}{2} (P_B V_B - P_A V_A)$
$\Delta U = \frac{5}{2} [(4 \times 10^3 \times 5) - (8 \times 10^3 \times 2)]$
$\Delta U = \frac{5}{2} [20 \times 10^3 - 16 \times 10^3]$
$\Delta U = \frac{5}{2} [4 \times 10^3]$
$\Delta U = 5 \times 2 \times 10^3 \ J = 10 \times 10^3 \ J = 10 \ kJ$.

(A) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા એ અવસ્થા વિધેય છે,જે માત્ર તંત્રના તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
કોઈપણ ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,તંત્ર તેની પ્રારંભિક અવસ્થામાં પાછું ફરે છે,જેનો અર્થ છે કે અંતિમ તાપમાન એ પ્રારંભિક તાપમાન જેટલું જ હોય છે $(T_f = T_i)$.
આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ એ $\Delta U = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,અને સંપૂર્ણ ચક્ર માટે $\Delta T = 0$ હોવાથી,સમગ્ર ચક્ર $A \to B \to C \to A$ માટે $\Delta U = 0$ થાય છે.

(D) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં વાયુ દ્વારા થયેલ કુલ કાર્ય એ $P-V$ આલેખ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,દરેક વિભાગ માટે કાર્યની ગણતરી કરીએ:
$W_{BC} = P \Delta V = 4 \times (2-1) = 4 \ J$
$W_{CD} = 0$ (સમકદ પ્રક્રિયા)
$W_{DE} = P \Delta V = 1 \times (3-2) = 1 \ J$
$W_{EA} = EA$ રેખા નીચેનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (P_E + P_A) \times (V_A - V_E) = \frac{1}{2} \times (1+4) \times (1-3) = -5 \ J$
$W_{AB} = 0$ (સમકદ પ્રક્રિયા)
કુલ કાર્ય $W = 4 + 0 + 1 - 5 + 0 = 0 \ J$.

(D) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,તંત્રને આપેલી ઉષ્મા ઉર્જા $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આંતરિક ઉર્જા $U$ એ અવસ્થા વિધેય હોવાથી,અવસ્થા $A$ થી $B$ સુધીના તમામ માર્ગો માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ સમાન રહેશે.
તેથી,જ્યારે તંત્ર દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $\Delta W$ ન્યૂનતમ હોય ત્યારે ઉષ્મા ઉર્જા $\Delta Q$ ન્યૂનતમ હોય છે.
$P-V$ આલેખમાં કરવામાં આવેલ કાર્ય $\Delta W$ એ વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
માર્ગ $ACB$,$ADB$,$AEB$ અને $AFB$ હેઠળના ક્ષેત્રફળની સરખામણી કરતા,માર્ગ $AFB$ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ સૌથી ઓછું છે.
આમ,માર્ગ $AFB$ માટે કાર્ય ન્યૂનતમ છે અને પરિણામે,તંત્રને આપેલી ઉર્જા માર્ગ $AFB$ માં ન્યૂનતમ છે.

(B) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલ કુલ કાર્ય $P-V$ આકૃતિ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ચક્ર $P \rightarrow Q \rightarrow R \rightarrow S \rightarrow P$ એ વિષમઘડી (anti-clockwise) દિશામાં હોવાથી,થયેલ કુલ કાર્ય ઋણ હશે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = (300 - 100) \text{ cc} \times (200 - 100) \text{ kp}$.
એકમોને $SI$ માં ફેરવતા: $\Delta V = 200 \text{ cc} = 200 \times 10^{-6} \text{ m}^3$ અને $\Delta P = 100 \text{ kp} = 100 \times 10^3 \text{ Pa}$.
થયેલ કાર્ય $W = -(\Delta P \times \Delta V) = -(100 \times 10^3 \text{ Pa}) \times (200 \times 10^{-6} \text{ m}^3)$.
$W = -(10^5) \times (2 \times 10^{-4}) \text{ J} = -20 \text{ J}$.

(B) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = \Delta U + W$,જ્યાં $Q$ એ આપેલી ઉષ્મા છે,$\Delta U$ એ આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર છે,અને $W$ એ વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય છે.
આંતરિક ઉર્જા $U$ એ અવસ્થા વિધેય હોવાથી,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = U_2 - U_1$ માત્ર પ્રારંભિક અવસ્થા $1$ અને અંતિમ અવસ્થા $2$ પર આધાર રાખે છે. તેથી,ત્રણેય માર્ગો $A, B,$ અને $C$ માટે $\Delta U$ સમાન રહેશે.
$P-V$ આલેખમાં,વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W$ એ વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે. આપેલ આકૃતિ પરથી,વક્ર $A$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ સૌથી વધુ છે,ત્યારબાદ વક્ર $B$ અને પછી વક્ર $C$ આવે છે. આમ,$W_A > W_B > W_C$.
તમામ માર્ગો માટે $\Delta U$ અચળ હોવાથી,આપેલી ઉષ્મા $Q = \Delta U + W$ પણ કાર્યના ક્રમ મુજબ જ રહેશે: $Q_A > Q_B > Q_C$.
વળી,કોઈપણ માર્ગ માટે,$Q - W = \Delta U$. કારણ કે $\Delta U$ તમામ માર્ગો માટે સમાન છે,તેથી $Q_A - W_A = Q_B - W_B = Q_C - W_C = \Delta U$. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચું વિધાન છે.

(B) આદર્શ વાયુ માટે, અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે, જેને $P = (nR/V)T$ તરીકે લખી શકાય છે.
$1$. પ્રક્રિયા $A$: રેખા શિરોલંબ છે, જેનો અર્થ છે કે $T$ અચળ છે. આ એક સમતાપી પ્રક્રિયા છે.
$2$. પ્રક્રિયા $B$: રેખા આડી છે, જેનો અર્થ છે કે $P$ અચળ છે. આ એક સમદાબ પ્રક્રિયા છે.
$3$. પ્રક્રિયા $C$: રેખા ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે, તેથી $P \propto T$. $P = (nR/V)T$ હોવાથી, આ સૂચવે છે કે $V$ અચળ છે. આ એક સમકદ પ્રક્રિયા છે.
$4$. પ્રક્રિયા $D$: $P-T$ આલેખનો ઢાળ $dP/dT$ છે. એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, $PV^{\gamma} = \text{અચળ}$. $V = nRT/P$ મૂકતા, આપણને $P(T/P)^{\gamma} = \text{અચળ}$ મળે છે, જેનું સાદું રૂપ $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{અચળ}$ થાય છે. આનું વિકલન કરતા, આપણે જાણી શકીએ છીએ કે $P-T$ આલેખમાં એડિબેટિક પ્રક્રિયાનો ઢાળ સમકદ પ્રક્રિયા કરતા વધારે હોય છે.
વિકલ્પોની સરખામણી કરતા, $B$ એ સમદાબ પ્રક્રિયા દર્શાવે છે.

(B) આંતરિક ઉર્જા $(U)$ એ અવસ્થા વિધેય (state function) છે.
આનો અર્થ એ છે કે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $(\Delta U)$ માત્ર સિસ્ટમની પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ પર આધાર રાખે છે,તે પ્રારંભિક અવસ્થામાંથી અંતિમ અવસ્થા સુધી પહોંચવા માટે અપનાવેલા માર્ગ પર આધાર રાખતું નથી.
આ પ્રશ્નમાં,બંને પ્રક્રિયાઓ $I$ અને $II$ અવસ્થા $A$ થી શરૂ થાય છે અને અવસ્થા $B$ પર સમાપ્ત થાય છે.
તેથી,બંને પ્રક્રિયાઓ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર સમાન હોવો જોઈએ.
આમ,$\Delta U_1 = \Delta U_2$.

(D) આપેલ $V-T$ આલેખમાં:
$1$. પ્રક્રિયા $x \rightarrow y$: રેખા ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $V \propto T$. $PV = nRT$ હોવાથી,આ સૂચવે છે કે $P$ અચળ છે. આમ,$x \rightarrow y$ એ સમદાબી (isobaric) પ્રક્રિયા છે.
$2$. પ્રક્રિયા $y \rightarrow z$: રેખા આડી છે,જેનો અર્થ છે કે $V$ અચળ છે. આમ,$y \rightarrow z$ એ સમકદ (isochoric) પ્રક્રિયા છે.
$3$. પ્રક્રિયા $z \rightarrow x$: રેખા ઉભી છે,જેનો અર્થ છે કે $T$ અચળ છે. આમ,$z \rightarrow x$ એ સમતાપી (isothermal) પ્રક્રિયા છે.
આને $P-V$ આલેખ સાથે સરખાવતા:
- $x \rightarrow y$ એ આડી રેખા હોવી જોઈએ (અચળ $P$).
- $y \rightarrow z$ એ ઉભી રેખા હોવી જોઈએ (અચળ $V$).
- $z \rightarrow x$ એ હાયપરબોલિક વક્ર હોવો જોઈએ (સમતાપી,$P \propto 1/V$).
વિકલ્પો જોતા,વિકલ્પ $D$ એ સમદાબી પ્રક્રિયા $(x \rightarrow y)$,સમકદ પ્રક્રિયા $(y \rightarrow z)$ અને સમતાપી પ્રક્રિયા $(z \rightarrow x)$ ને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(A) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય $P-V$ આકૃતિ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
$D \rightarrow E \rightarrow F$ પ્રક્રિયા માટે,કરવામાં આવેલ કાર્ય એ વક્ર $DE$ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ ઓછા વક્ર $EF$ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે (કારણ કે $E$ થી $F$ સુધી કદ ઘટે છે).
આ ત્રિકોણ $DEF$ ના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે.
ત્રિકોણ $DEF$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
પાયો $EF = V_E - V_F = 5.0 \, m^3 - 2.0 \, m^3 = 3.0 \, m^3$.
વેધ $DF = P_D - P_F = 600 \, N/m^2 - 300 \, N/m^2 = 300 \, N/m^2$.
કરેલ કાર્ય $= \text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times 3.0 \, m^3 \times 300 \, N/m^2 = 450 \, J$.
તેથી,વાયુ દ્વારા $D$ થી $E$ થી $F$ સુધી કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય $450 \, J$ છે.

(A) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,જ્યાં $\Delta Q$ એ આપેલી ઉષ્મા છે,$\Delta U$ એ આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર છે,અને $\Delta W$ એ તંત્ર દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય છે.
કારણ કે પ્રારંભિક અવસ્થા $P$ અને અંતિમ અવસ્થા $Q$ બંને માર્ગો માટે સમાન છે,તેથી આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U$ બંને માર્ગો માટે સમાન રહેશે.
માર્ગ $1$ માટે: $\Delta Q_1 = \Delta U + \Delta W_1 = 1000 \ J$.
માર્ગ $2$ માટે: $\Delta Q_2 = \Delta U + \Delta W_2$.
આપેલ છે કે $\Delta W_1 = \Delta W_2 + 100 \ J$,તેથી આપણે લખી શકીએ કે $\Delta W_2 = \Delta W_1 - 100 \ J$.
આ કિંમતને માર્ગ $2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $\Delta Q_2 = \Delta U + (\Delta W_1 - 100 \ J) = (\Delta U + \Delta W_1) - 100 \ J$.
કારણ કે $\Delta U + \Delta W_1 = 1000 \ J$,તેથી $\Delta Q_2 = 1000 \ J - 100 \ J = 900 \ J$.

(N/A) ચક્રીય પ્રક્રિયા એ એક એવી થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયા છે જેમાં તંત્ર શ્રેણીબદ્ધ ફેરફારોમાંથી પસાર થઈને અંતે પોતાની પ્રારંભિક અવસ્થામાં પાછું આવે છે.
ચક્રીય પ્રક્રિયામાં તંત્રની પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ સમાન હોય છે. આંતરિક ઉર્જા એ અવસ્થા વિધેય હોવાથી,સંપૂર્ણ ચક્ર માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર શૂન્ય હોય છે.
$\therefore \Delta U = 0$
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ:
$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$
$\Delta U = 0$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\Delta Q = \Delta W$
આનો અર્થ એ છે કે ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,તંત્ર દ્વારા શોષાયેલી કુલ ઉષ્મા એ તંત્ર દ્વારા થયેલા કુલ કાર્ય જેટલી હોય છે. જો તંત્ર કુલ ઉષ્માનું શોષણ કરે,તો તંત્ર દ્વારા કાર્ય થાય છે,અને જો તંત્ર કુલ ઉષ્માનો ત્યાગ કરે,તો તંત્ર પર કાર્ય થાય છે.

(B) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં,તંત્ર તેની પ્રારંભિક અવસ્થામાં પાછું ફરે છે,જેનો અર્થ છે કે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ શૂન્ય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
કારણ કે $\Delta U = 0$,તેથી થયેલું કુલ કાર્ય $\Delta W$ એ ચોખ્ખી ઉષ્માના વિનિમય જેટલું હોય છે.
આલેખની દ્રષ્ટિએ,$P-V$ આકૃતિ પર,ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલું કુલ કાર્ય ચક્રને દર્શાવતા બંધ વક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.

(N/A) માર્ગ $1$ માટે: આપેલી ઉષ્મા $Q_1 = 1000 \, J$,થયેલું કાર્ય $= W_1$.
માર્ગ $2$ માટે: થયેલું કાર્ય $W_2 = W_1 - 100 \, J$.
બે અવસ્થાઓ વચ્ચે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ એ અવસ્થા વિધેય હોવાથી,તે બંને માર્ગો માટે સમાન રહે છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = Q - W$.
તેથી,$\Delta U = Q_1 - W_1 = Q_2 - W_2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $1000 - W_1 = Q_2 - (W_1 - 100)$.
$1000 - W_1 = Q_2 - W_1 + 100$.
$Q_2 = 1000 - 100 = 900 \, J$.
આમ,માર્ગ $2$ માં તંત્ર દ્વારા વિનિમય પામેલી ઉષ્મા $900 \, J$ છે.

(C) $1$. આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે: $\Delta U = nC_v \Delta T$. બધી પ્રક્રિયાઓ બિંદુ $A$ (તાપમાન $T_2$) થી શરૂ થાય છે અને અલગ-અલગ બિંદુઓ $B, C, D$ પર સમાપ્ત થાય છે જે અલગ-અલગ આઈસોથર્મ પર છે. બિંદુ $B$ એ $T_1$ આઈસોથર્મ પર છે. બિંદુઓ $C$ અને $D$ એ $T_1$ કરતા ઊંચા આઈસોથર્મ પર છે. તેથી,અંતિમ તાપમાન $T_B = T_1$ અને $T_C = T_D > T_1$ છે. આમ,$\Delta U_{AB} < \Delta U_{AC} = \Delta U_{AD}$.
$2$. થયેલ કાર્ય $W$ એ $P-V$ વક્રની નીચેનો વિસ્તાર છે. $A \rightarrow B$ માટે,કદ વધે છે,તેથી $W_{AB} > 0$. $A \rightarrow C$ માટે,તે આઈસોકોરિક પ્રક્રિયા (ઊભી રેખા) છે,તેથી $W_{AC} = 0$. $A \rightarrow D$ માટે,કદ ઘટે છે,તેથી $W_{AD} < 0$.
$3$. આ સરખામણી કરતા,આપણને $E_{AB} < E_{AC} = E_{AD}$ અને $W_{AB} > 0, W_{AC} = 0, W_{AD} < 0$ મળે છે.

(A) ચક્ર દીઠ થયેલ કાર્ય એ $P-V$ આકૃતિ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છે:
$W = \text{Area} = (2V_0 - V_0) \times (3P_0 - P_0) = V_0 \times 2P_0 = 2P_0V_0$.
પ્રક્રિયા $AB$ અને $BC$ દરમિયાન ઉષ્માનું શોષણ થાય છે:
પ્રક્રિયા $AB$ (સમકદ) માટે: $Q_{AB} = nC_V \Delta T = n \left( \frac{3R}{2} \right) \left( \frac{P_B V_A}{nR} - \frac{P_A V_A}{nR} \right) = \frac{3}{2} V_A (P_B - P_A) = \frac{3}{2} V_0 (3P_0 - P_0) = 3P_0V_0$.
પ્રક્રિયા $BC$ (સમદાબ) માટે: $Q_{BC} = nC_P \Delta T = n \left( \frac{5R}{2} \right) \left( \frac{P_B V_C}{nR} - \frac{P_B V_B}{nR} \right) = \frac{5}{2} P_B (V_C - V_B) = \frac{5}{2} (3P_0) (2V_0 - V_0) = \frac{15}{2} P_0V_0$.
કુલ શોષાયેલી ઉષ્મા $Q_{\text{in}} = Q_{AB} + Q_{BC} = 3P_0V_0 + 7.5P_0V_0 = 10.5P_0V_0 = \frac{21}{2} P_0V_0$.
કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{W}{Q_{\text{in}}} \times 100 = \frac{2P_0V_0}{(21/2)P_0V_0} \times 100 = \frac{4}{21} \times 100 \approx 19.04\%$.
આમ,કાર્યક્ષમતા $19\%$ ની નજીક છે.

(A) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
ત્રણેય પ્રક્રિયાઓ માટે પ્રારંભિક અવસ્થા $A$ અને અંતિમ અવસ્થા $B$ સમાન હોવાથી,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ ત્રણેય માર્ગો માટે સમાન રહેશે.
તેથી,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ પરથી કહી શકાય કે શોષાયેલી ઉષ્મા $\Delta Q$ એ કાર્ય $\Delta W$ ના સમપ્રમાણમાં છે (કારણ કે $\Delta U$ અચળ છે).
$p-V$ આલેખમાં થયેલું કાર્ય $\Delta W$ એ વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આકૃતિ પરથી,માર્ગ $1$ નીચેનું ક્ષેત્રફળ સૌથી ઓછું છે,માર્ગ $2$ નીચેનું ક્ષેત્રફળ મધ્યમ છે અને માર્ગ $3$ નીચેનું ક્ષેત્રફળ સૌથી વધુ છે.
આમ,$(\text{Area})_{1} < (\text{Area})_{2} < (\text{Area})_{3}$.
પરિણામે,$Q_{1} < Q_{2} < Q_{3}$.

(B) સમતાપી (isothermal) પ્રક્રિયામાં તાપમાન $T$ અચળ રહે છે. એડિબેટિક (adiabatic) પ્રક્રિયામાં,ચલો વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{constant}$,$TV^{\gamma-1} = \text{constant}$,અને $T^{\gamma}P^{1-\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
$(a)$ $P-V$ આલેખમાં,સમતાપી પ્રક્રિયા એ $PV = \text{constant}$ વક્ર છે,અને એડિબેટિક પ્રક્રિયા એ વધુ ઢાળવાળો વક્ર $PV^{\gamma} = \text{constant}$ છે. આલેખ એડિબેટિક માટે ઉભી રેખા દર્શાવે છે,જે ખોટું છે.
$(b)$ $P-T$ આલેખમાં,સમતાપી પ્રક્રિયા એ ઉભી રેખા $(T = \text{constant})$ છે. આલેખ આડી રેખા દર્શાવે છે,જે ખોટું છે.
$(c)$ $V-T$ આલેખમાં,સમતાપી પ્રક્રિયા એ ઉભી રેખા $(T = \text{constant})$ છે. એડિબેટિક પ્રક્રિયા $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ ને અનુસરે છે,જે એક વક્ર છે. આ આલેખ સાચો છે.
$(d)$ $P-T$ આલેખમાં,સમતાપી પ્રક્રિયા એ ઉભી રેખા $(T = \text{constant})$ છે. એડિબેટિક પ્રક્રિયા $T^{\gamma}P^{1-\gamma} = \text{constant}$ ને અનુસરે છે,જે એક વક્ર છે. આ આલેખ સાચો છે.
આમ,આલેખ $(c)$ અને $(d)$ સાચા છે.

(C) પૂર્ણ ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = 0$ છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$.
કારણ કે $\Delta U = 0$,શોષાયેલી ઉષ્મા $\Delta Q$ એ તંત્ર દ્વારા થયેલા કાર્ય $W$ જેટલી છે.
ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલું કાર્ય $W$ એ $P-V$ આલેખ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi \cdot r_P \cdot r_V$ છે,જ્યાં $r_P$ એ દબાણ અક્ષ પરની ત્રિજ્યા છે અને $r_V$ એ કદ અક્ષ પરની ત્રિજ્યા છે.
આકૃતિ પરથી,દબાણ અક્ષ પરનો વ્યાસ $40 \text{ kPa} - 20 \text{ kPa} = 20 \text{ kPa}$ છે,તેથી $r_P = 10 \text{ kPa} = 10 \times 10^3 \text{ Pa}$.
કદ અક્ષ પરનો વ્યાસ $40 \text{ L} - 20 \text{ L} = 20 \text{ L}$ છે,તેથી $r_V = 10 \text{ L} = 10 \times 10^{-3} \text{ m}^3$.
તેથી,$\Delta Q = W = \pi \times (10 \times 10^3 \text{ Pa}) \times (10 \times 10^{-3} \text{ m}^3) = 100 \pi \text{ J}$.
આમ,જવાબ $100$ છે.

(B) $P-V$ આલેખમાં કરવામાં આવેલ કાર્ય વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
$D \rightarrow E$ પ્રક્રિયા માટે,કરવામાં આવેલ કાર્ય $W_{DE}$ એ રેખા $DE$ ની નીચેના સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ છે:
$W_{DE} = \text{સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (P_D + P_E) \times (V_E - V_D)$
$W_{DE} = \frac{1}{2} \times (600 + 300) \times (5.0 - 2.0) = \frac{1}{2} \times 900 \times 3 = 1350 \, J$
$E \rightarrow F$ પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $300 \, N/m^2$ પર અચળ છે (સમદાબી પ્રક્રિયા),અને કદ $5.0 \, m^3$ થી ઘટીને $2.0 \, m^3$ થાય છે:
$W_{EF} = P \times \Delta V = 300 \times (2.0 - 5.0) = 300 \times (-3.0) = -900 \, J$
કુલ કાર્ય $W_{DEF} = W_{DE} + W_{EF} = 1350 - 900 = 450 \, J$.

(A,C) સાચા વિકલ્પો $(a)$ અને $(c)$ છે.
$1$. આંતરિક ઉર્જા એ અવસ્થા વિધેય છે,જેનો અર્થ છે કે તે ફક્ત પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ પર આધાર રાખે છે. બંને માર્ગો $1$ અને $2$ અવસ્થા $I$ થી શરૂ થાય છે અને અવસ્થા $F$ પર સમાપ્ત થાય છે,તેથી આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U$ બંને માર્ગો માટે સમાન છે.
$2$. બંને પ્રક્રિયાઓમાં કદમાં વધારો (વિસ્તરણ) થાય છે,જેનો અર્થ છે કે વાયુ આસપાસના વાતાવરણ પર કાર્ય કરે છે. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$. વાયુનું વિસ્તરણ થતું હોવાથી,$\Delta W > 0$. બંને માર્ગોમાં ઉષ્માનું શોષણ થાય છે,તેથી વિકલ્પ $(b)$ ખોટો છે.
$3$. $p-V$ આલેખ પર સમતાપી રેખાઓ $(pV = nRT)$ દોરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે માર્ગ $2$ અંતિમ અવસ્થા પર પાછા ફરતા પહેલા ઉચ્ચ તાપમાનની સમતાપી રેખાઓને ઓળંગે છે. આમ,માર્ગ $2$ પર તાપમાન પહેલા વધે છે અને પછી ઘટે છે. વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.
$4$. વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય એ $p-V$ વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે. માર્ગ $2$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ માર્ગ $1$ ની નીચેના ક્ષેત્રફળ કરતા સ્પષ્ટપણે મોટું છે. તેથી,માર્ગ $2$ માં થયેલ કાર્ય વધારે છે,જે વિકલ્પ $(d)$ ને ખોટો સાબિત કરે છે.

(A) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં,તંત્ર તેની પ્રારંભિક સ્થિતિમાં પાછું આવે છે,તેથી આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર શૂન્ય છે,એટલે કે $\Delta U = 0$ થાય.
$P-V$ આલેખમાં થયેલ કાર્ય $\Delta W$ એ ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે. ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં (clockwise) ચક્ર માટે,થયેલ કાર્ય ધન હોય છે,અને ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં (counter-clockwise) ચક્ર માટે,થયેલ કાર્ય ઋણ હોય છે.
આપેલ આકૃતિ જોતા,ચક્ર $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ એ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં છે. તેથી,વાયુ દ્વારા થયેલ કુલ કાર્ય ઋણ છે,એટલે કે $\Delta W < 0$ થાય.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ થાય. કારણ કે $\Delta U = 0$ અને $\Delta W < 0$ છે,તેથી $\Delta Q = 0 + \Delta W < 0$ મળે. આમ,વાયુને આપેલી ઉષ્મા પણ ઋણ છે,એટલે કે $Q < 0$ થાય.
તેથી,ચિહ્નો $\Delta W < 0$,$\Delta U = 0$,અને $Q < 0$ છે. સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ ચક્રીય પ્રક્રિયા પરથી,વર્તુળનું સમીકરણ છે:
$(p-4)^2 + (V-4)^2 = 2^2 = 4 \quad \dots(i)$
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $pV = nRT$ પરથી,$n=1 \, mol$ માટે,$T = \frac{pV}{R}$.
મહત્તમ તાપમાન શોધવા માટે,આપણે ગુણાકાર $pV$ ને મહત્તમ બનાવવો પડશે.
ધારો કે $y = pV$. સમીકરણ $(i)$ પરથી,$p = 4 \pm \sqrt{4 - (V-4)^2}$.
આને $y = pV$ માં મૂકતા,આપણને $y = V(4 \pm \sqrt{4 - (V-4)^2})$ મળે છે.
$y$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $\frac{dy}{dV} = 0$ લઈએ છીએ. વૈકલ્પિક રીતે,વર્તુળના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$pV$ નું મહત્તમ મૂલ્ય વર્તુળ પરના તે બિંદુએ મળે છે જ્યાં સ્પર્શક ઉગમબિંદુ $(0,0)$ ને બિંદુ $(p,V)$ સાથે જોડતી રેખાને લંબ હોય.
ઉગમબિંદુથી કેન્દ્ર $(4,4)$ સુધીની રેખાનો ઢાળ $1$ છે. મહત્તમ $pV$ બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ $-1$ હોવો જોઈએ.
વર્તુળ $(p-4)^2 + (V-4)^2 = 2^2$ પરના બિંદુના યામ,જ્યાં સ્પર્શકનો ઢાળ $-1$ હોય,તે નીચે મુજબ છે:
$p = 4 + \sqrt{2}$
$V = 4 + \sqrt{2}$
આમ,$(pV)_{\max} = (4+\sqrt{2})(4+\sqrt{2}) = 16 + 2 + 8\sqrt{2} = 18 + 8(1.414) = 18 + 11.312 = 29.312$.
તેથી,$T_{\max} = \frac{(pV)_{\max}}{R} \approx \frac{29.3}{R} \approx \frac{30}{R}$.

(C) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય એ $p-V$ આલેખ પર ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે. ચક્ર $ABCA$ છે.
$1$. પ્રક્રિયા $AB$ (સમદાબી પ્રસરણ) માં થયેલ કાર્ય:
$W_{AB} = p_A(V_B - V_A) = 200 \times (V_B - 2)$.
$BC$ સમતાપી હોવાથી,$p_B V_B = p_C V_C$.
$200 \times V_B = 500 \times 2 \Rightarrow V_B = 5 \, m^3$.
$W_{AB} = 200 \times (5 - 2) = 600 \, kJ$.
$2$. પ્રક્રિયા $BC$ (સમતાપી સંકોચન) માં થયેલ કાર્ય:
$W_{BC} = \int_{V_B}^{V_C} p \, dV = \int_{5}^{2} \frac{p_B V_B}{V} \, dV = 1000 \ln(2/5) = 1000 \times (-0.916) \approx -916 \, kJ$.
$3$. પ્રક્રિયા $CA$ (સમકદ સંકોચન) માં થયેલ કાર્ય:
$W_{CA} = 0$ (કારણ કે કદ અચળ છે).
કુલ કાર્ય $W = W_{AB} + W_{BC} + W_{CA} = 600 - 916 + 0 = -316 \, kJ$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,થયેલ કાર્ય આશરે $-300 \, kJ$ છે.

(B) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ શૂન્ય હોય છે કારણ કે આંતરિક ઉર્જા એ અવસ્થા વિધેય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$.
$\Delta U = 0$ હોવાથી,એક ચક્રમાં વાયુ દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા એ વાયુ દ્વારા થયેલા કાર્ય જેટલી હોય છે,$\Delta Q = W$.
ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W$ એ $p-V$ આલેખમાં ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
દબાણની મર્યાદા $p_1$ અને $p_2$ તથા કદની મર્યાદા $V_1$ અને $V_2$ ધરાવતા લંબચોરસ ચક્ર માટે,ક્ષેત્રફળ એ દબાણમાં થતા ફેરફાર અને કદમાં થતા ફેરફારના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
$W = (p_1 - p_2) \times (V_2 - V_1)$.
તેથી,શોષાયેલી ઉષ્મા $\Delta Q = (p_1 - p_2)(V_2 - V_1)$ છે.

(B) સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.
ઇન્ડિકેટર ડાયાગ્રામ એ એક આલેખ છે જે થર્મોડાયનેમિક સિસ્ટમ માટે દબાણ $(P)$ અને કદ $(V)$ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે,જેમ કે રેસીપ્રોકેટિંગ એન્જિનના સિલિન્ડરની અંદરની ગેસ.
આ આલેખમાં દબાણને ઊભી ધરી (y-axis) પર અને કદને આડી ધરી (x-axis) પર લેવામાં આવે છે,તેથી તેને $P-V$ આલેખ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(D) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U$ એ અવસ્થા વિધેય છે,જે માત્ર વાયુના તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
ચક્રીય પ્રક્રિયામાં,તંત્ર તેની પ્રારંભિક અવસ્થામાં પાછું ફરે છે,જેનો અર્થ છે કે અંતિમ અવસ્થા એ પ્રારંભિક અવસ્થા જેવી જ છે.
અંતિમ અવસ્થાનું તાપમાન પ્રારંભિક અવસ્થાના તાપમાન જેટલું હોવાથી,કોઈપણ ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
આપેલ તમામ આકૃતિઓ $(a)$,$(b)$,$(c)$ અને $(d)$ માં,માર્ગ $A B C D A$ એક બંધ લૂપ દર્શાવે છે,જે એક ચક્રીય પ્રક્રિયા છે.
તેથી,ચારેય કિસ્સાઓમાં આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ શૂન્ય છે.

(C) આપેલ $P-V$ આલેખ એક વર્તુળ દર્શાવે છે.
ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,થયેલું કાર્ય $P-V$ વક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
પ્રક્રિયા વિષમઘડી (anticlockwise) હોવાથી,થયેલું કાર્ય ઋણ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R_1 R_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_1$ અને $R_2$ એ અર્ધ-અક્ષો છે.
આલેખ પરથી,દબાણ અક્ષ પરનો વ્યાસ $3 P_0 - P_0 = 2 P_0$ છે,તેથી અર્ધ-અક્ષ $R_1 = \frac{2 P_0}{2} = P_0$ છે.
કદ અક્ષ પરનો વ્યાસ $3 V_0 - V_0 = 2 V_0$ છે,તેથી અર્ધ-અક્ષ $R_2 = \frac{2 V_0}{2} = V_0$ છે.
તેથી,થયેલું કાર્ય $W = -(\text{વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ}) = -\pi R_1 R_2$.
$W = -\pi (P_0) (V_0) = -\frac{22}{7} P_0 V_0$.

(A) આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,આપણને મળે છે $T = \frac{PV}{nR}$.
$1$. પ્રક્રિયા $A \rightarrow B$ માં,દબાણ $P$ અચળ છે અને કદ $V$ વધે છે. અચળ દબાણે $T \propto V$ હોવાથી,તાપમાન વધે છે.
$2$. પ્રક્રિયા $B \rightarrow C$ માં,કદ $V$ અચળ છે અને દબાણ $P$ ઘટે છે. અચળ કદે $T \propto P$ હોવાથી,તાપમાન ઘટે છે.
$3$. પ્રક્રિયા $C \rightarrow D$ માં,દબાણ $P$ અચળ છે અને કદ $V$ ઘટે છે. અચળ દબાણે $T \propto V$ હોવાથી,તાપમાન ઘટે છે.
$4$. પ્રક્રિયા $D \rightarrow A$ માં,કદ $V$ અચળ છે અને દબાણ $P$ વધે છે. અચળ કદે $T \propto P$ હોવાથી,તાપમાન વધે છે.
વિકલ્પોની સરખામણી કરતા,જ્યારે વાયુ $A$ થી $B$ તરફ જાય છે ત્યારે તાપમાન વધે છે.

(D) સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી $P-V$ આલેખ રેખા માટે,$P \propto V$,જેનો અર્થ છે કે $P = kV$ જ્યાં $k > 0$ અચળાંક છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ માં $P = kV$ મૂકતા,આપણને $kV^2 = nRT$ મળે છે,અથવા $T = \frac{k}{nR} V^2$.
જેમ જેમ તીરની દિશામાં કદ $V$ વધે છે,તેમ તાપમાન $T$ પણ વધે છે,તેથી $\Delta T > 0$. આમ,$\Delta T \neq 0$.
કદ વધતું હોવાથી,વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય ધન છે,$W = \int P dV > 0$.
તાપમાન વધતું હોવાથી,આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા વધે છે,$\Delta U = nC_v \Delta T > 0$.
તેથી,$\Delta U > 0$ એ સાચું વિધાન છે.

(D) $P-V$ આલેખમાં થયેલ કાર્ય એ $V$-અક્ષની સાપેક્ષમાં વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં, $V$-અક્ષની સાપેક્ષમાં રેખા $AB$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે।
યામ $A(10 \, \text{kPa}, 10 \, \text{cc})$ અને $B(30 \, \text{kPa}, 25 \, \text{cc})$ છે.
ક્ષેત્રફળ $V$-અક્ષની સાપેક્ષમાં લેવામાં આવતું હોવાથી, સમાંતર બાજુઓ દબાણના મૂલ્યો $P_A = 10 \times 10^3 \, \text{Pa}$ અને $P_B = 30 \times 10^3 \, \text{Pa}$ છે, અને ઊંચાઈ એ કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = (25 - 10) \, \text{cc} = 15 \times 10^{-6} \, \text{m}^3$ છે.
થયેલ કાર્ય $W = \text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (P_A + P_B) \times \Delta V$
$W = \frac{1}{2} \times (10 \times 10^3 + 30 \times 10^3) \times (25 - 10) \times 10^{-6}$
$W = \frac{1}{2} \times (40 \times 10^3) \times (15 \times 10^{-6})$
$W = 20 \times 10^3 \times 15 \times 10^{-6} = 300 \times 10^{-3} = 0.3 \, J$.

(B) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $Q = \Delta U + W$.
માર્ગ $ABC$ માટે, કાર્ય $W_{ABC}$ એ માર્ગ $AB$ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ અને $BC$ હેઠળના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે। $BC$ એ શિરોલંબ રેખા હોવાથી, $BC$ માં થયેલું કાર્ય $0$ છે। તેથી, $W_{ABC} = \text{લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ } (A \text{ થી } B) = P_A \times (V_B - V_A) = 10 \, \text{kPa} \times (400 - 200) \, \text{cc} = 10 \times 10^3 \, \text{Pa} \times 200 \times 10^{-6} \, \text{m}^3 = 2 \, J$.
આપેલ છે કે $Q_{ABC} = 8 \, J$, તેથી $\Delta U = Q_{ABC} - W_{ABC} = 8 - 2 = 6 \, J$.
આંતરિક ઉર્જા $\Delta U$ એ અવસ્થા વિધેય હોવાથી, સીધા માર્ગ $AC$ માટે તે $6 \, J$ જ રહેશે.
સીધા માર્ગ $AC$ માટે, કાર્ય $W_{AC}$ એ રેખા $AC$ હેઠળના સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ છે, જે $W_{AC} = \text{લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ } (A \text{ થી } B) + \text{ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ } (ABC) = 2 \, J + \frac{1}{2} \times (400 - 200) \times 10^{-6} \, \text{m}^3 \times (20 - 10) \times 10^3 \, \text{Pa} = 2 \, J + 1 \, J = 3 \, J$.
તેથી, સીધા માર્ગ માટે શોષાયેલી ઉષ્મા $Q_{AC} = \Delta U + W_{AC} = 6 \, J + 3 \, J = 9 \, J$ છે.

(B) આદર્શ વાયુનું તાપમાન $PV = nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $T \propto PV$.
બિંદુ $C$ પર,$P_C = 3p_0$ અને $V_C = v_0$,તેથી $T_C \propto (3p_0)(v_0) = 3p_0v_0$.
બિંદુ $D$ પર,$P_D = p_0$ અને $V_D = 3v_0$,તેથી $T_D \propto (p_0)(3v_0) = 3p_0v_0$.
$T_C = T_D$ હોવાથી,શરૂઆતના અને અંતિમ બિંદુએ તાપમાન સમાન છે.
રેખીય પ્રક્રિયા $P = mV + c$ માટે,ગુણાકાર $PV = V(mV + c) = mV^2 + cV$ એ $V$ નું દ્વિઘાત વિધેય છે.
આ ગુણાકારનું મહત્તમ મૂલ્ય પ્રક્રિયાના મધ્યબિંદુએ મળે છે.
આમ,જ્યારે તંત્ર $C$ થી $D$ તરફ ગતિ કરે છે ત્યારે તાપમાન પહેલા વધે છે અને પછી ઘટે છે.

(C) સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.
$P-T$ આલેખમાં, ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા સમકદ (isochoric) પ્રક્રિયા દર્શાવે છે કારણ કે $P \propto T$ નો અર્થ છે કે $V = \text{constant}$.
જો આપણે પ્રક્રિયા $BC$ ને સમકદ પ્રક્રિયા ગણીએ, તો $P/T = \text{constant}$.
આંતરિક ઉર્જા $U = n C_v T$ સૂત્ર મુજબ, આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જા માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
પ્રક્રિયા $BC$ માં, તાપમાન $T$ વધે છે, તેથી આંતરિક ઉર્જા $\Delta U$ વધે છે.

(D) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$. કારણ કે કોઈ ઉષ્મા આપવામાં આવતી નથી કે લેવામાં આવતી નથી,$\Delta Q = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta U = -W$.
થયેલું કાર્ય $W$ એ $P-V$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે. આ ક્ષેત્રફળ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેની સમાંતર બાજુઓ $P_A = 10 \times 10^3 \, Pa$ અને $P_B = 50 \times 10^3 \, Pa$ છે,અને ઊંચાઈ $\Delta V = (200 - 50) \, cc = 150 \times 10^{-6} \, m^3$ છે.
$W = \frac{1}{2} \times (P_A + P_B) \times (V_A - V_B)$
$W = \frac{1}{2} \times (10 + 50) \times 10^3 \times (200 - 50) \times 10^{-6}$
$W = \frac{1}{2} \times 60 \times 10^3 \times 150 \times 10^{-6} = 30 \times 150 \times 10^{-3} = 4.5 \, J$.
પ્રક્રિયા $A$ થી $B$ (સંકોચન) તરફ હોવાથી,વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય ઋણ છે $(W = -4.5 \, J)$.
તેથી,$\Delta U = -W = -(-4.5 \, J) = 4.5 \, J$.

(B) $P-V$ આલેખમાં,ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય એ ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ચક્ર ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં હોવાથી,થયેલ કાર્ય ધન છે.
ત્રિકોણ $CDE$ નું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ મળે છે:
$W = \text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
પાયો $= (V_E - V_C) = (4 - 2) = 2\,m^3$
વેધ $= (P_D - P_C) = (400 - 100) = 300\,Pa$
$W = \frac{1}{2} \times 2 \times 300 = 300\,J$

(C) $P-V$ આલેખમાં થયેલ કાર્ય એ વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
પ્રક્રિયા $A \rightarrow B$ માટે,થયેલ કાર્ય એ રેખા $AB$ ની નીચેના સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ છે:
$W_{AB} = \text{સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (P_A + P_B) \times (V_B - V_A)$
$W_{AB} = \frac{1}{2} \times (8000 + 4000) \text{ dyne/cm}^2 \times (7 - 3) \text{ m}^3 = 6000 \text{ dyne/cm}^2 \times 4 \text{ m}^3 = 24000 \text{ dyne} \cdot \text{m}^3/\text{cm}^2$.
એકમ રૂપાંતર: $1 \text{ dyne/cm}^2 = 0.1 \text{ N/m}^2$. તેથી,$W_{AB} = 24000 \times 0.1 \text{ J} = 2400 \text{ J}$.
પ્રક્રિયા $B \rightarrow C$ માટે,થયેલ કાર્ય એ રેખા $BC$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ છે (સમદાબી સંકોચન):
$W_{BC} = P_B \times (V_C - V_B) = 4000 \text{ dyne/cm}^2 \times (3 - 7) \text{ m}^3 = 4000 \times (-4) \text{ dyne} \cdot \text{m}^3/\text{cm}^2 = -16000 \text{ dyne} \cdot \text{m}^3/\text{cm}^2$.
એકમ રૂપાંતર: $W_{BC} = -16000 \times 0.1 \text{ J} = -1600 \text{ J}$.
કુલ કાર્ય $W = W_{AB} + W_{BC} = 2400 \text{ J} - 1600 \text{ J} = 800 \text{ J}$.

(A) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે, આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$ છે.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta Q = \Delta U + W$. કારણ કે $\Delta U = 0$, શોષાયેલી ઉષ્મા $\Delta Q$ એ કરેલા કાર્ય $W$ જેટલી છે, જે $P-V$ વક્ર દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છે.
$P-V$ વક્ર એ એક વર્તુળ છે જેનો દબાણ અક્ષ પરનો વ્યાસ $d_P = (340 - 60) \,kPa = 280 \,kPa = 280 \times 10^3 \,Pa$ અને કદ અક્ષ પરનો વ્યાસ $d_V = (340 - 60) \,cc = 280 \,cm^3 = 280 \times 10^{-6} \,m^3$ છે.
ત્રિજ્યાઓ $r_P = 140 \times 10^3 \,Pa$ અને $r_V = 140 \times 10^{-6} \,m^3$ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi \times r_P \times r_V$ છે.
$W = \pi \times (140 \times 10^3 \,Pa) \times (140 \times 10^{-6} \,m^3) = \pi \times 140 \times 140 \times 10^{-3} \,J = \pi \times 19.6 \,J \approx 3.14159 \times 19.6 \,J \approx 61.575 \,J \approx 61.6 \,J$.

(A) $V-T$ આલેખ પરથી:
$1$. પ્રક્રિયા $AB$ એ સમતાપી પ્રક્રિયા છે (કારણ કે $T$ અચળ $T_0$ છે). $T_A = T_B = T_0$ હોવાથી,આંતરિક ઉર્જા $U = nC_vT$ $A$ અને $B$ પર સમાન છે. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
$2$. પ્રક્રિયા $AB$ માં,તાપમાન $T_0$ અચળ રહે છે અને કદ $V_0$ થી $4V_0$ થાય છે. કાર્ય $W = nRT_0 \ln(V_f/V_i) = P_0 V_0 \ln(4V_0/V_0) = P_0 V_0 \ln 4$. તેથી,$(B)$ સાચું છે.
$3$. પ્રક્રિયા $BC$ એ $V-T$ આલેખમાં ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા છે,તેથી $V \propto T$,જે સમદાબી પ્રક્રિયા છે. $P_B = RT_0/4V_0 = P_0/4$. $BC$ સમદાબી હોવાથી,$P_C = P_B = P_0/4$. તેથી,$(C)$ સાચું છે.
$4$. પ્રક્રિયા $CA$ માં $V$ અચળ $V_0$ છે. $P_C = P_0/4$ અને $V_C = V_0$. $PV=nRT$ પરથી,$(P_0/4) V_0 = RT_C$. $P_0 V_0 = RT_0$ હોવાથી,$T_C = T_0/4$. તેથી,$(D)$ સાચું છે.

(C) $P-V$ આલેખમાં થયેલ કાર્ય એ વક્રની નીચેનું ક્ષેત્રફળ છે.
તૂટક માર્ગ $(w_d)$ માટે: આ માર્ગ ત્રણ લંબચોરસ પગલાંઓનો બનેલો છે.
પગલું $1$: $P = 4 \text{ atm}$,$\Delta V = (2.0 - 0.5) \text{ L} = 1.5 \text{ L}$. કાર્ય = $4 \times 1.5 = 6 \text{ L-atm}$.
પગલું $2$: $P = 1 \text{ atm}$,$\Delta V = (3.0 - 2.0) \text{ L} = 1.0 \text{ L}$. કાર્ય = $1 \times 1.0 = 1 \text{ L-atm}$.
પગલું $3$: $P = 0.6 \text{ atm}$ (આશરે),$\Delta V = (5.5 - 3.0) \text{ L} = 2.5 \text{ L}$. કાર્ય = $0.6 \times 2.5 = 1.5 \text{ L-atm}$.
કુલ $w_d = 6 + 1 + 1.5 = 8.5 \text{ L-atm}$.
ઘન માર્ગ $(w_s)$ માટે: આ માર્ગ સમતાપી પ્રક્રિયા છે. સમીકરણ $PV = k$ છે. બિંદુ $a$ પર,$P=4, V=0.5$,તેથી $k = 2 \text{ L-atm}$.
$w_s = \int_{V_a}^{V_b} P \, dV = \int_{0.5}^{5.5} \frac{k}{V} \, dV = k \ln\left(\frac{V_b}{V_a}\right) = 2 \times 2.303 \log_{10}\left(\frac{5.5}{0.5}\right) = 4.606 \log_{10}(11) \approx 4.606 \times 1.0414 \approx 4.797 \text{ L-atm}$.
ગુણોત્તર $w_d / w_s = 8.5 / 4.797 \approx 1.77$.
$1.77$ ની સૌથી નજીકનો પૂર્ણાંક $2$ છે.

(C) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$.
તબક્કો $1$: સમદાબી વિસ્તરણ ($P = \text{અચળ}$,$V$ વધે છે). $V$ વધતું હોવાથી,$W > 0$. અચળ $P$ પર $T \propto V$ હોવાથી,$T$ વધે છે,તેથી $\Delta U > 0$. આમ,$\Delta Q = \Delta U + W > 0$ (ઉષ્માનું શોષણ થાય છે).
તબક્કો $2$: સમકદ સંકોચન ($V = \text{અચળ}$,$P$ ઘટે છે). $V$ અચળ હોવાથી,$W = 0$. અચળ $V$ પર $P \propto T$ હોવાથી,$P$ ઘટતા $T$ ઘટે છે,તેથી $\Delta U < 0$. આમ,$\Delta Q = \Delta U < 0$ (ઉષ્મા મુક્ત થાય છે).
તબક્કો $3$: સમદાબી સંકોચન ($P = \text{અચળ}$,$V$ ઘટે છે). $V$ ઘટતું હોવાથી,$W < 0$. અચળ $P$ પર $T \propto V$ હોવાથી,$T$ ઘટે છે,તેથી $\Delta U < 0$. આમ,$\Delta Q = \Delta U + W < 0$ (ઉષ્મા મુક્ત થાય છે).
તબક્કો $4$: સમકદ વિસ્તરણ ($V = \text{અચળ}$,$P$ વધે છે). $V$ અચળ હોવાથી,$W = 0$. અચળ $V$ પર $P \propto T$ હોવાથી,$P$ વધતા $T$ વધે છે,તેથી $\Delta U > 0$. આમ,$\Delta Q = \Delta U > 0$ (ઉષ્માનું શોષણ થાય છે).
તેથી,તબક્કા $1$ અને $4$ માં ઉષ્માનું શોષણ થાય છે.

(D) $P-V$ આલેખમાં થયેલ કાર્ય એ વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે. માર્ગ $\text{ABCD}$ છે।
માર્ગ $\text{AB}$ (સમદાબી વિસ્તરણ) માટે: $\text{W}_{\text{AB}} = \text{P}_0(3\text{V}_0 - 2\text{V}_0) = \text{P}_0\text{V}_0$.
માર્ગ $\text{BC}$ (સમકદ પ્રક્રિયા) માટે: $\text{W}_{\text{BC}} = 0$ (કારણ કે $\Delta\text{V} = 0$).
માર્ગ $\text{CD}$ (સમદાબી સંકોચન) માટે: $\text{W}_{\text{CD}} = 2\text{P}_0(\text{V}_0 - 3\text{V}_0) = 2\text{P}_0(-2\text{V}_0) = -4\text{P}_0\text{V}_0$.
કુલ કાર્ય $\text{W}_{\text{ABCD}} = \text{W}_{\text{AB}} + \text{W}_{\text{BC}} + \text{W}_{\text{CD}} = \text{P}_0\text{V}_0 + 0 - 4\text{P}_0\text{V}_0 = -3\text{P}_0\text{V}_0$.

(B) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = \Delta U + W$,તેથી $Q = W$ થાય. કાર્ય $W$ એ $PV$ આલેખમાં $ABCA$ ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
પ્રક્રિયા $ABCA$ એ $r$ ત્રિજ્યાના અર્ધવર્તુળ અને એક સીધી રેખા $CA$ ની બનેલી છે.
$P$-અક્ષ પર અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ $400 \text{ kPa} - 200 \text{ kPa} = 200 \text{ kPa}$ છે. તેથી,ત્રિજ્યા $r_P = 100 \text{ kPa} = 10^5 \text{ Pa}$ છે.
$V$-અક્ષ પર અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ $400 \text{ cc} - 200 \text{ cc} = 200 \text{ cc} = 200 \times 10^{-6} \text{ m}^3$ છે. તેથી,ત્રિજ્યા $r_V = 100 \text{ cc} = 10^{-4} \text{ m}^3$ છે.
અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \pi r_P r_V = \frac{1}{2} \times \pi \times (10^5 \text{ Pa}) \times (10^{-4} \text{ m}^3) = \frac{1}{2} \times \pi \times 10 = 5 \pi \text{ J}$ થાય.
ચક્ર વિષમઘડી (counter-clockwise) દિશામાં હોવાથી,કાર્ય ઋણ છે,પરંતુ વિનિમય પામતી ઉષ્માનું મૂલ્ય $5 \pi \text{ J}$ છે.

(A) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $P-V$ આલેખ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આપેલ આલેખ એક વર્તુળ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $W = \pi \times r_P \times r_V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r_P$ અને $r_V$ અનુક્રમે દબાણ અને કદની અક્ષો પરની ત્રિજ્યા છે.
દબાણની અક્ષ પરનો વ્યાસ $d_P = (500 - 300) \text{ kPa} = 200 \times 10^3 \text{ Pa}$ છે. તેથી,$r_P = 100 \times 10^3 \text{ Pa}$.
કદની અક્ષ પરનો વ્યાસ $d_V = (350 - 150) \text{ cm}^3 = 200 \times 10^{-6} \text{ m}^3$ છે. તેથી,$r_V = 100 \times 10^{-6} \text{ m}^3$.
થયેલ કાર્ય $W = \pi \times r_P \times r_V = 3.14 \times (100 \times 10^3) \times (100 \times 10^{-6}) \text{ J}$ છે.
$W = 3.14 \times 10^4 \times 10^{-6} \times 100 \text{ J} = 3.14 \times 10^0 \text{ J} = 3.14 \text{ J}$.
આને $\times 10^{-1} \text{ J}$ તરીકે દર્શાવવા માટે,આપણે $W = 31.4 \times 10^{-1} \text{ J}$ લખીએ છીએ.
આમ,મૂલ્ય $31.4$ છે.

(B) આપેલ $P-T$ આલેખમાં, પ્રક્રિયા $AB$ એ સમતાપી પ્રક્રિયા છે કારણ કે તાપમાન $T$ અચળ છે.
આદર્શ વાયુ માટે, $PV = nRT$. તાપમાન $T$ અચળ હોવાથી, $PV = \text{અચળ}$, જેનો અર્થ છે કે $P \propto 1/V$.
પ્રક્રિયા $AB$ માં, દબાણ $P$ વધે છે, તેથી કદ $V$ ઘટવું જોઈએ.
તંત્ર દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = \int P \, dV$. $dV < 0$ હોવાથી, તંત્ર દ્વારા થયેલ કાર્ય ઋણ છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
આદર્શ વાયુ માટે, આંતરિક ઉર્જા $U$ માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે. પ્રક્રિયા $AB$ માં $T$ અચળ હોવાથી, $\Delta U = 0$.
તેથી, $\Delta Q = \Delta W$. $\Delta W < 0$ હોવાથી, $\Delta Q < 0$, જેનો અર્થ છે કે તંત્રમાંથી ઉષ્મા બહાર ફેંકાય છે.
આમ, વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) ચક્રીય પ્રક્રિયા $ABCA$ માટે, આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta Q = \Delta W$.
અહીં ઉષ્મા મુક્ત થાય છે, તેથી $\Delta Q = -1200 \text{ J}$.
આમ, $\Delta W_{AB} + \Delta W_{BC} + \Delta W_{CA} = -1200 \text{ J}$.
પ્રક્રિયા $AB$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે, તેથી $T \propto V$, જેનો અર્થ છે કે તે સમદાબી પ્રક્રિયા છે. $T-V$ આલેખમાં ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા માટે કાર્ય $W = nR\Delta T$ થાય છે.
પ્રક્રિયા $AB$ માટે: $W_{AB} = nR(T_B - T_A) = 2 \times 8.314 \times (600 - 300) = 2 \times 8.314 \times 300 = 4988.4 \text{ J}$.
પ્રક્રિયા $CA$ એ શિરોલંબ રેખા છે, તેથી તે સમકદ પ્રક્રિયા છે, એટલે કે $\Delta W_{CA} = 0$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $4988.4 + \Delta W_{BC} + 0 = -1200$.
$\Delta W_{BC} = -1200 - 4988.4 = -6188.4 \text{ J}$.
નજીકના વિકલ્પને ધ્યાનમાં લેતા, આપણને $-6200 \text{ J}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: $n = 2 \text{ મોલ}$,$T_3 = 2400 \text{ K}$,$2 T_4 = 2400 \implies T_4 = 1200 \text{ K}$,$3 T_2 = 2400 \implies T_2 = 800 \text{ K}$,$6 T_1 = 2400 \implies T_1 = 400 \text{ K}$.
આલેખ પરથી,પ્રક્રિયા $1 \to 2$ સમકદ $(P = \text{અચળ})$,$2 \to 3$ સમદાબી $(P \propto T)$,$3 \to 4$ સમકદ,અને $4 \to 1$ સમદાબી છે.
ચક્રમાં થયેલ કાર્ય $W = \oint P \, dV$. સમદાબી પ્રક્રિયાઓ માટે $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$W = \oint nR \, dT$.
$W_{12} = 0$ (સમકદ).
$W_{23} = nR(T_3 - T_2) = 2R(2400 - 800) = 3200R$.
$W_{34} = 0$ (સમકદ).
$W_{41} = nR(T_1 - T_4) = 2R(400 - 1200) = -1600R$.
કુલ કાર્ય $W = W_{12} + W_{23} + W_{34} + W_{41} = 0 + 3200R + 0 - 1600R = 1600R$.