Heat, Work done and Internal Energy from Graph Questions in Gujarati

(C) $P-V$ આલેખમાં થયેલ કાર્ય એ વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રક્રિયા $AB$ માટે: વાયુ $P = P_0$ અચળ દબાણે $V = 2V_0$ થી $V = V_0$ સુધી જાય છે. કાર્ય $W_{AB} = P_0(V_0 - 2V_0) = -P_0V_0$.
પ્રક્રિયા $BC$ માટે: વાયુ અચળ કદ પર $V = V_0$ થી $V = V_0$ સુધી જાય છે. કાર્ય $W_{BC} = 0$.
પ્રક્રિયા $CD$ માટે: વાયુ $P = 2P_0$ અચળ દબાણે $V = V_0$ થી $V = 3V_0$ સુધી જાય છે. કાર્ય $W_{CD} = 2P_0(3V_0 - V_0) = 2P_0(2V_0) = 4P_0V_0$.
કુલ કાર્ય $W_{ABCD} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CD} = -P_0V_0 + 0 + 4P_0V_0 = 3P_0V_0$.

(B) $P-V$ આલેખમાં થયેલ કાર્ય વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આપેલ અર્ધવર્તુળ માટે,વ્યાસ દબાણ અક્ષ પર $P = 1 \text{ atm}$ થી $P = 3 \text{ atm}$ સુધી છે.
તેથી,વ્યાસ $d = 3 - 1 = 2 \text{ atm}$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 1 \text{ atm}$ થાય.
કદ $V = 2 \text{ L}$ થી $V = 1 \text{ L}$ અને પાછું $V = 2 \text{ L}$ સુધી બદલાય છે.
પ્રક્રિયા $V = 2 \text{ L}$ થી $V = 1 \text{ L}$ (સંકોચન) અને પછી $V = 1 \text{ L}$ થી $V = 2 \text{ L}$ (વિસ્તરણ) તરફ જાય છે,તેથી વિસ્તરણ ભાગ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ સંકોચન ભાગ હેઠળના ક્ષેત્રફળ કરતા વધારે છે.
કુલ થયેલ કાર્ય અર્ધવર્તુળના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે.
અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times \pi \times (1 \text{ atm})^2 \times (1 \text{ L}) = \frac{\pi}{2} \text{ atm-L}$.
ચક્ર ઘડિયાળની દિશામાં હોવાથી,થયેલ કાર્ય ધન છે.

(A) $(V, 2P)$ અને $(2V, P)$ માંથી પસાર થતી સીધી રેખા $AB$ નું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\frac{P' - 2P}{V' - V} = \frac{P - 2P}{2V - V} = \frac{-P}{V}$
$P' - 2P = -\frac{P}{V}(V' - V)$
$P' = -\frac{P}{V}V' + 3P$
આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = nRT$,તેથી $T \propto PV$.
ધારો કે $f(V') = P'V' = V'(-\frac{P}{V}V' + 3P) = -\frac{P}{V}(V')^2 + 3PV'$.
આ $V'$ ની સાપેક્ષમાં નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય છે. મહત્તમ મૂલ્ય $V' = -\frac{b}{2a} = -\frac{3P}{2(-P/V)} = 1.5V$ પર મળે છે.
જેમ કદ $V'$ એ $V$ થી $2V$ સુધી વધે છે,તેમ $PV$ નો ગુણાકાર (અને તેથી તાપમાન $T$) પહેલા $V' = 1.5V$ સુધી વધે છે અને પછી જેમ $V'$ એ $2V$ ની નજીક પહોંચે છે તેમ ઘટે છે.

(A) વાયુ દ્વારા પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $P-V$ આલેખની નીચેના ક્ષેત્રફળ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $T-V$ આલેખમાં,જો આપણે આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ ધ્યાનમાં લઈએ,તો કાર્ય એ આલેખની નીચેના ક્ષેત્રફળના પ્રમાણમાં હોય છે,જે સૂચવે છે કે $P = nRT/V$. તેથી,$W = \int P \, dV = \int (nRT/V) \, dV$.
$V_A$ થી $V_B$ સુધીના આપેલ વિસ્તરણ માટે,જો સમગ્ર પ્રક્રિયા દરમિયાન તાપમાન $T$ વધારે હોય તો થયેલ કાર્ય વધારે હોય છે.
$T-V$ આલેખ જોતા:
માર્ગ $1$ માં અચળ કદ પર તાપમાનમાં વધારો અને ત્યારબાદ અચળ તાપમાને (અથવા ઉચ્ચ સરેરાશ તાપમાને) વિસ્તરણનો સમાવેશ થાય છે.
માર્ગ $2$ એ $A$ થી $B$ સુધીની સીધી રેખા છે.
માર્ગ $3$ માં અચળ તાપમાને (અથવા નીચા સરેરાશ તાપમાને) વિસ્તરણ અને ત્યારબાદ અચળ કદ પર તાપમાનમાં વધારાનો સમાવેશ થાય છે.
$P-V$ સમતલમાં વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળની સરખામણી કરતા (જે $V$ ની સાપેક્ષમાં $T/V$ ના સંકલનને અનુરૂપ છે),આપણે જોઈએ છીએ કે જે માર્ગ મોટા કદ માટે ઊંચા તાપમાન પર રહે છે તે વધુ કાર્ય આપે છે.
તેથી,થયેલ કાર્યનો ક્રમ $W_1 > W_2 > W_3$ છે.

(C) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલું કાર્ય $P-V$ આકૃતિ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આપેલ ચક્ર $ABCA$ માં,આકાર એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેના શિરોબિંદુઓ $A(V_0, 2P_0)$,$B(2V_0, 3P_0)$ અને $C(2V_0, 2P_0)$ છે.
ત્રિકોણનો પાયો $AC$ વિભાગ છે,જેની લંબાઈ $(2V_0 - V_0) = V_0$ છે.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ $BC$ વિભાગ છે,જેની લંબાઈ $(3P_0 - 2P_0) = P_0$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = (1/2) \times \text{base} \times \text{height} = (1/2) \times V_0 \times P_0 = (1/2) P_0V_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચક્ર ઘડિયાળની દિશામાં હોવાથી,થયેલું કાર્ય ધન છે.
તેથી,સંપૂર્ણ ચક્ર $ABCA$ માં થયેલું કાર્ય $(1/2 P_0V_0)$ છે.

(C) આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U$ એ માત્ર તાપમાન $T$ નું વિધેય છે $(U = f(T))$.
$1$. પ્રક્રિયા $AB$ માં,તાપમાન $T$ અચળ છે. તાપમાન અચળ હોવાથી,આંતરિક ઉર્જામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
$2$. પ્રક્રિયા $BC$ માં,તાપમાન $T$ વધે છે. આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા માત્ર તાપમાન પર આધારિત હોવાથી,$T$ માં વધારો થવાથી આંતરિક ઉર્જામાં વધારો થાય છે.
$3$. પ્રક્રિયા $CD$ માં,તાપમાન $T$ અચળ છે,તેથી આંતરિક ઉર્જામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
તેથી,વિધાન 'પ્રક્રિયા $BC$ દરમિયાન,વાયુની આંતરિક ઉર્જા વધી રહી છે' સાચું છે.

(A) આંતરિક ઉર્જા $(\Delta U)$ એ અવસ્થા વિધેય હોવાથી,બંને પ્રક્રિયાઓ $AOC$ અને $ABC$ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર સમાન હોય છે,એટલે કે $\Delta U_{AOC} = \Delta U_{ABC}$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$,જ્યાં $W$ એ થયેલું કાર્ય છે.
થયેલું કાર્ય $W$ એ $P-V$ વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આકૃતિ પરથી,વક્ર $AOC$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ એ માર્ગ $ABC$ ની નીચેના ક્ષેત્રફળ કરતા વધારે છે. તેથી,$W_{AOC} > W_{ABC}$.
આમ,$\Delta U_{AOC} = \Delta U_{ABC}$ અને $W_{AOC} > W_{ABC}$ હોવાથી,$\Delta Q_{AOC} > \Delta Q_{ABC}$ થાય છે.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક અવસ્થા $1$ છે જેનું તાપમાન $T_1$ છે. બિંદુઓ $2$ અને $3$ એક જ સમતાપી વક્ર પર આવેલા છે,તેથી $T_2 = T_3 = T_f$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = \Delta U + W$.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U$ માત્ર તાપમાનના ફેરફાર પર આધાર રાખે છે,તેથી $\Delta U_1 = nC_v(T_f - T_1)$ અને $\Delta U_2 = nC_v(T_f - T_1)$. આમ,$\Delta U_1 = \Delta U_2$.
કરેલું કાર્ય $W$ એ $P-V$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે. આકૃતિ પરથી,માર્ગ $1-3$ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ એ માર્ગ $1-2$ હેઠળના ક્ષેત્રફળ કરતા વધારે છે,તેથી $W_2 > W_1$.
કારણ કે $Q = \Delta U + W$ અને $\Delta U_1 = \Delta U_2$ છે,જે પ્રક્રિયામાં કાર્ય વધારે હશે તેમાં ઉષ્માનું સ્થાનાંતરણ પણ વધારે હશે.
તેથી,$Q_2 > Q_1$ અથવા $Q_1 < Q_2$.

(A) આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે,જેને $P = nRT(1/V)$ તરીકે લખી શકાય છે.
$AB$ પર,દબાણ $P$ અચળ છે,અને $(1/V)$ નું મૂલ્ય વધે છે. કારણ કે $P = nRT(1/V)$,જો $P$ અચળ હોય અને $(1/V)$ વધે,તો તાપમાન $T$ ઘટવું જોઈએ.
$BC$ પર,$(1/V)$ નું મૂલ્ય અચળ છે,અને દબાણ $P$ વધે છે. કારણ કે $P = nRT(1/V)$,જો $(1/V)$ અચળ હોય અને $P$ વધે,તો તાપમાન $T$ વધવું જોઈએ.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે $AB$ પર તાપમાન ઘટે છે જ્યારે $BC$ પર તાપમાન વધે છે.

(D) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = \Delta U + W$. $\Delta U = 0$ હોવાથી,કુલ શોષાયેલી ઉષ્મા $Q = W$ થાય,જ્યાં $W$ એ ચક્રમાં થયેલું કુલ કાર્ય છે.
સમતાપી પ્રક્રિયામાં થયેલું કાર્ય $W = nRT \ln(V_f / V_i)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રક્રિયા $ab$ એ $T_1 = 500 \text{ K}$ તાપમાને સમતાપી છે,જેમાં કદ $V_0$ થી $2V_0$ થાય છે:
$W_{ab} = nRT_1 \ln(2V_0 / V_0) = nRT_1 \ln 2$
પ્રક્રિયા $bc$ એ સમકદ ($V$ અચળ) છે,તેથી $W_{bc} = 0$.
પ્રક્રિયા $cd$ એ $T_2 = 300 \text{ K}$ તાપમાને સમતાપી છે,જેમાં કદ $2V_0$ થી $V_0$ થાય છે:
$W_{cd} = nRT_2 \ln(V_0 / 2V_0) = nRT_2 \ln(1/2) = -nRT_2 \ln 2$
પ્રક્રિયા $da$ એ સમકદ ($V$ અચળ) છે,તેથી $W_{da} = 0$.
કુલ કાર્ય $W = W_{ab} + W_{bc} + W_{cd} + W_{da} = nR(T_1 - T_2) \ln 2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા ($n = 2.0 \text{ mol}$,$R = 8.3 \text{ J/mol-K}$,$T_1 = 500 \text{ K}$,$T_2 = 300 \text{ K}$,$\ln 2 = 0.69$):
$Q = 2.0 \times 8.3 \times (500 - 300) \times 0.69$
$Q = 2.0 \times 8.3 \times 200 \times 0.69$
$Q = 3320 \times 0.69 = 2290.8 \text{ J} \approx 2291 \text{ J}$.

(A) $P-V$ આકૃતિમાં,વક્ર હેઠળનો વિસ્તાર વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય દર્શાવે છે.
પાથ $-I$ દ્વારા $A \rightarrow B$ માટે,વાયુનું વિસ્તરણ થાય છે (કદ વધે છે),તેથી વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય ધન છે $(W_I > 0)$.
પાથ $-II$ દ્વારા $B \rightarrow A$ માટે,વાયુનું સંકોચન થાય છે (કદ ઘટે છે),તેથી વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય ઋણ છે $(W_{II} < 0)$.
આકૃતિમાં જોયા મુજબ પાથ $-II$ હેઠળનો વિસ્તાર પાથ $-I$ હેઠળના વિસ્તાર કરતા મોટો હોવાથી,સંકોચન દરમિયાન થયેલ કાર્યનું મૂલ્ય વિસ્તરણ દરમિયાન થયેલ કાર્ય કરતા વધારે છે.
તેથી,ચક્રમાં થયેલ કુલ કાર્ય $(W_{net} = W_I + W_{II})$ ઋણ છે.
વાયુ દ્વારા થયેલ ઋણ કુલ કાર્યનો અર્થ એ છે કે વાયુ પર ધન કાર્ય થાય છે.

(C) આદર્શ વાયુ માટે,$PV = nRT$,તેથી $V = (nR/P)T$.
થયેલ કાર્ય $W = \int P dV$.
$PV = nRT$ પરથી,$P dV + V dP = nR dT$.
$AB$ અને $CD$ પ્રક્રિયાઓ માટે,$T$ અચળ છે,તેથી $dT = 0$,જે સૂચવે છે કે $P dV = -V dP$.
આમ,$W = \int_{P_i}^{P_f} P dV = -\int_{P_i}^{P_f} V dP = -\int_{P_i}^{P_f} (nRT/P) dP = -nRT \ln(P_f/P_i) = nRT \ln(P_i/P_f)$.
ધારો કે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓ $T = m_1 P$ અને $T = m_2 P$ છે.
$AB$ પ્રક્રિયા માટે,$T = T_1$,$P_A = T_1/m_1$,$P_B = T_1/m_2$.
$W_{AB} = nRT_1 \ln(P_A/P_B) = nRT_1 \ln((T_1/m_1) / (T_1/m_2)) = nRT_1 \ln(m_2/m_1)$.
તે જ રીતે,$CD$ પ્રક્રિયા માટે,$W_{CD} = nRT_2 \ln(m_2/m_1)$.
આપેલ છે કે $W_{AB} = 2 W_{CD}$,તેથી $nRT_1 \ln(m_2/m_1) = 2 nRT_2 \ln(m_2/m_1)$.
તેથી,$T_1 = 2 T_2$,જે $T_1/T_2 = 2$ આપે છે.

(C) આદર્શ વાયુ માટે,તાપમાન $T$ એ $PV$ ના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં હોય છે ($PV = nRT$ પરથી).
$1$. પ્રક્રિયા $A$ (સમદાબી વિસ્તરણ): $P$ અચળ છે અને $V$ વધે છે,તેથી $PV$ વધે છે,જેનો અર્થ છે કે તાપમાન $T$ વધે છે.
$2$. પ્રક્રિયા $B$ (સમતાપી વિસ્તરણ): વ્યાખ્યા મુજબ $T$ અચળ રહે છે.
$3$. પ્રક્રિયા $C$ (સમોષ્મી વિસ્તરણ): $P$ અને $V$ બંને એવી રીતે બદલાય છે કે $PV^{\gamma}$ અચળ રહે. જેમ $V$ વધે છે,$P$ નોંધપાત્ર રીતે ઘટવું જોઈએ. સમોષ્મી વિસ્તરણ માટે,$T$ ઘટે છે.
$4$. પ્રક્રિયા $D$ (સમકદ સંકોચન): $V$ અચળ છે અને $P$ ઘટે છે,તેથી $PV$ ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે તાપમાન $T$ ઘટે છે.
આમ,પ્રક્રિયા $C$ અને $D$ બંનેમાં તાપમાન ઘટે છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો જવાબ છે.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,$T \propto PV$ મળે છે.
બિંદુ $A$ પર,$P_A = P_0$ અને $V_A = V_0$,તેથી $T_A \propto P_0 V_0$.
બિંદુ $B$ પર,$P_B = 2P_0$. ધારો કે $B$ પર કદ $V_B$ છે. તેથી $T_B \propto (2P_0) V_B$.
આમ,$\frac{T_A}{T_B} = \frac{P_0 V_0}{2P_0 V_B} = \frac{V_0}{2V_B}$.
$PV$ આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,રેખા $AB$ નો ઢાળ $\tan 60^{\circ} = \frac{2P_0 - P_0}{V_B - V_0} = \frac{P_0}{V_B - V_0}$ છે.
તેથી,$V_B - V_0 = \frac{P_0}{\tan 60^{\circ}} = \frac{P_0}{\sqrt{3}}$.
રેખા $BC$ નો ઢાળ $-\tan 30^{\circ} = \frac{P_0 - 2P_0}{4V_0 - V_B} = \frac{-P_0}{4V_0 - V_B}$ છે.
તેથી,$4V_0 - V_B = \frac{P_0}{\tan 30^{\circ}} = P_0 \sqrt{3}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{V_B - V_0}{4V_0 - V_B} = \frac{1/\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$.
$3V_B - 3V_0 = 4V_0 - V_B \implies 4V_B = 7V_0 \implies V_B = \frac{7}{4}V_0$.
$V_B$ ની કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{T_A}{T_B} = \frac{V_0}{2(7/4)V_0} = \frac{V_0}{(7/2)V_0} = \frac{2}{7}$.

(C) $P-V$ આલેખમાં, આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U$ માત્ર તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે $(U = nC_vT)$. આઈસોથર્મ્સ એ અચળ તાપમાનના વક્રો છે. આદર્શ વાયુ માટે, $PV = nRT$, તેથી $T = PV/nR$.
$1$. એડિબેટિક વક્ર $AB$ ધ્યાનમાં લો. તે એડિબેટિક વિસ્તરણ હોવાથી, $A$ પરનું તાપમાન $(T_A)$ એ $B$ પરના તાપમાન $(T_B)$ કરતા વધારે છે।
$2$. પ્રક્રિયા $AC$ માટે: માર્ગ $A$ થી $C$ તરફ જાય છે. $C$ એ એડિબેટિક વક્ર $AB$ ની ઉપર હોવાથી, સમાન કદ પર $C$ નું તાપમાન $(T_C)$ એ એડિબેટિક વક્ર $AB$ પરના કોઈપણ બિંદુ કરતા વધારે છે. ખાસ કરીને, $T_C > T_A$. તાપમાન વધતું હોવાથી, આંતરિક ઉર્જા વધે છે $(\Delta U > 0)$. વાયુ $A$ થી $C$ સુધી વિસ્તરે છે, તેથી વાયુ દ્વારા કાર્ય થાય છે $(W > 0)$. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $Q = \Delta U + W$. $\Delta U$ અને $W$ બંને ધન હોવાથી, $Q > 0$, એટલે કે પ્રક્રિયા ઉષ્માશોષક છે।
$3$. પ્રક્રિયા $BC$ માટે: માર્ગ $B$ થી $C$ તરફ જાય છે. $C$ એ $B$ કરતા ઊંચા તાપમાને હોવાથી $(T_C > T_B)$, આંતરિક ઉર્જા વધે છે $(\Delta U > 0)$. જોકે, માર્ગ $BC$ એ સંકોચન છે (કદ ઘટે છે), તેથી વાયુ પર કાર્ય થાય છે $(W < 0)$. આ વિશિષ્ટ ભૂમિતિમાં, ઉષ્મા $Q$ ઋણ છે કારણ કે તાપમાન વધારવા માટે જરૂરી ઉર્જા એ સંકોચન દ્વારા મુક્ત થતી ઉર્જા કરતા ઓછી છે. આમ, $BC$ ઉષ્માક્ષેપક છે.

(A) આંતરિક ઉર્જા એ અવસ્થા વિધેય (state function) છે,જેનો અર્થ છે કે તે માત્ર તંત્રની પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ પર આધાર રાખે છે અને લીધેલા માર્ગથી સ્વતંત્ર છે.
બંને પ્રક્રિયાઓ $I$ અને $II$ અવસ્થા $A$ થી શરૂ થાય છે અને અવસ્થા $B$ પર સમાપ્ત થાય છે,તેથી બંને પ્રક્રિયાઓ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર સમાન છે.
તેથી,$\Delta U_1 = \Delta U_2$.

(C) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ $\Delta U = Q - W = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $Q = W$.
શોષાયેલી ઉષ્મા $(Q > 0)$ એ વાયુ દ્વારા થયેલા ધન કાર્ય $(W > 0)$ ને અનુરૂપ છે.
$P-V$ આલેખમાં,કાર્ય ઘડિયાળની દિશામાં (clockwise) ચક્ર માટે ધન અને ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં (anticlockwise) ચક્ર માટે ઋણ હોય છે.
આકૃતિ $A$ એ $V-P$ આલેખ છે (અક્ષો નોંધો). $V-P$ આલેખમાં ઘડિયાળની દિશાનું ચક્ર એ $W < 0$ કાર્ય સૂચવે છે.
આકૃતિ $B$ એ $P-V$ આલેખ છે જેમાં ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશાનું ચક્ર છે,તેથી $W < 0$.
આકૃતિ $C$ એ $P-V$ આલેખ છે જેમાં ઘડિયાળની દિશાનું ચક્ર છે,તેથી $W > 0$.
આકૃતિ $D$ એ $V-P$ આલેખ છે જેમાં ઘડિયાળની દિશાનું ચક્ર છે,તેથી $W < 0$.
તેથી,માત્ર આકૃતિ $C$ માં જ ચોખ્ખું કાર્ય ધન છે,જેનો અર્થ છે કે વાયુ દ્વારા ઉષ્માનું શોષણ થાય છે.

(C) આપેલ $P-V$ આલેખમાં:
$1$. $AB$ એ સમતાપી પ્રક્રિયા છે $(T = \text{અચળ})$. $A$ થી $B$ તરફ જતાં $V$ વધે છે, તેથી $P$ ઘટવો જોઈએ $(P \propto 1/V)$.
$2$. $BC$ એ સમદાબી પ્રક્રિયા છે $(P = \text{અચળ})$. $B$ થી $C$ તરફ જતાં $V$ ઘટે છે, તેથી $T$ ઘટવો જોઈએ $(V \propto T)$.
$3$. $CA$ એ સમકદ પ્રક્રિયા છે $(V = \text{અચળ})$. $C$ થી $A$ તરફ જતાં $P$ વધે છે, તેથી $T$ વધવો જોઈએ $(P \propto T)$.
આને $P-T$ આલેખ પર દર્શાવતા:
- $AB$: $T$ અચળ છે, તેથી આલેખ શિરોલંબ રેખા છે। $P$ ઘટતો હોવાથી, દિશા નીચે તરફ છે.
- $BC$: $P$ અચળ છે, તેથી આલેખ આડી રેખા છે। $T$ ઘટતો હોવાથી, દિશા ડાબી તરફ છે.
- $CA$: $V$ અચળ છે, તેથી $P \propto T$. આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે। $T$ વધતો હોવાથી, દિશા ઉગમબિંદુથી દૂર છે.
આ લાક્ષણિકતાઓને સરખાવતા, સાચો $P-T$ આલેખ વિકલ્પ $C$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યો છે.

(D) $P-V$ આલેખમાં,વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,કુલ કાર્ય ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
જો ચક્ર ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં (clockwise) પૂર્ણ કરવામાં આવે,તો વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય ધન હોય છે.
જો ચક્ર ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં (counter-clockwise) પૂર્ણ કરવામાં આવે,તો વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય ઋણ હોય છે.
આપેલ $P-V$ આલેખને જોતા,$ABCDA$ ચક્ર ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં પૂર્ણ થાય છે.
તેથી,$ABCDA$ ચક્રમાં વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય ધન છે.

(C) $p-V$ આલેખ પર ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલું કાર્ય ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ચક્ર $12341$ ઘડિયાળની દિશામાં હોવાથી,થયેલું કાર્ય ધન છે.
ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ એ શિરોબિંદુઓ $1, 2, 3, 4$ દ્વારા બનતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ છે.
શિરોબિંદુઓ છે: $1(2V_0, 5P_0)$,$2(5V_0, 5P_0)$,$3(6V_0, 3P_0)$,અને $4(3V_0, 3P_0)$.
આ આકાર એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેનો પાયો $b = (5V_0 - 2V_0) = 3V_0$ અને ઊંચાઈ $h = (5P_0 - 3P_0) = 2P_0$ છે.
થયેલું કાર્ય $W = \text{ક્ષેત્રફળ} = \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = (3V_0) \times (2P_0) = 6P_0V_0$.

(B) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ વાયુને આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ છે.
પ્રથમ,પ્રક્રિયા $A \to B$ દરમિયાન થયેલ કાર્ય $\Delta W$ શોધો,જે $P-V$ આલેખની નીચેનું ક્ષેત્રફળ છે:
$\Delta W = \text{સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (P_A + P_B) \times (V_B - V_A)$
$\Delta W = \frac{1}{2} \times (P_0 + 2P_0) \times (2V_0 - V_0) = \frac{1}{2} \times 3P_0 \times V_0 = 1.5 P_0 V_0$.
ત્યારબાદ,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ શોધો. હિલિયમ જેવા એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે,$C_v = \frac{3}{2}R$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$nRT_A = P_0 V_0$ અને $nRT_B = (2P_0)(2V_0) = 4P_0 V_0$.
તેથી,$nR \Delta T = nR(T_B - T_A) = 4P_0 V_0 - P_0 V_0 = 3P_0 V_0$.
આમ,$\Delta U = \frac{3}{2} (nR \Delta T) = \frac{3}{2} (3P_0 V_0) = 4.5 P_0 V_0$.
અંતે,આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = \Delta U + \Delta W = 4.5 P_0 V_0 + 1.5 P_0 V_0 = 6 P_0 V_0$ થાય.

(C) આપેલ $(\rho - V)$ આલેખ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે પ્રક્રિયાઓ $AB$ અને $CD$ માટે,કદ $V$ અચળ છે. તેથી,$AB$ અને $CD$ એ સમકદ (isochoric) પ્રક્રિયાઓ છે.
સમકદ પ્રક્રિયામાં,દબાણ $P$ એ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(P \propto T)$,જેનો અર્થ છે કે $P$ વિરુદ્ધ $T$ નો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા હોવો જોઈએ.
પ્રક્રિયાઓ $BC$ અને $AD$ માટે,ઘનતા $\rho$ અચળ છે. $\rho = \frac{m}{V}$ હોવાથી,અચળ ઘનતાનો અર્થ અચળ કદ થાય છે,જે આલેખ સાથે વિરોધાભાસી છે. જોકે,આપેલા વિકલ્પોને જોતા,વિકલ્પ $C$ માં $AB$ અને $CD$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાઓ તરીકે દર્શાવેલ છે,જે સમકદ પ્રક્રિયાઓ માટે સાચું નિરૂપણ છે.

(C) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય એ $P-V$ આલેખ પર ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ચક્ર ઘડિયાળની દિશામાં હોવાથી, કરવામાં આવેલ કાર્ય ધન છે।
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$W = \Delta P \times \Delta V$
$W = (P_{max} - P_{min}) \times (V_{max} - V_{min})$
આલેખ પરથી, $P_{max} = 5\, \text{atm}$, $P_{min} = 2\, \text{atm}$, $V_{max} = 12\, \text{litre}$, અને $V_{min} = 4\, \text{litre}$ છે।
$W = (5 - 2) \times (12 - 4)$
$W = 3 \times 8 = 24\, \text{litre-atm}$.

(C) $P-T$ આલેખમાં, ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓ સમકદ પ્રક્રિયાઓ (અચળ કદ, $V = \text{constant}$) દર્શાવે છે.
આકૃતિ પરથી, પ્રક્રિયાઓ $A \rightarrow B$ અને $C \rightarrow D$ સમકદ છે કારણ કે તે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓ પર છે.
સમકદ પ્રક્રિયાઓ માટે, થયેલ કાર્ય $W = \int P \, dV = 0$ થાય છે.
તેથી, $W_{AB} = 0$ અને $W_{CD} = 0$.
પ્રક્રિયાઓ $B \rightarrow C$ અને $D \rightarrow A$ સમદાબી (અચળ દબાણ, $P = \text{constant}$) છે.
સમદાબી પ્રક્રિયા માટે, થયેલ કાર્ય $W = P \Delta V = \mu R \Delta T$ છે.
પ્રતિ ચક્ર થયેલ કુલ કાર્ય $W = W_{AB} + W_{BC} + W_{CD} + W_{DA}$ છે.
$W = 0 + \mu R(T_C - T_B) + 0 + \mu R(T_A - T_D)$.
$W = \mu R(T_C - T_B + T_A - T_D)$.
અહીં $\mu = 6 \, \text{moles}$ અને $R = \frac{25}{3} \, J/(mol \cdot K)$ આપેલ છે.
$W = 6 \times \frac{25}{3} \times (2200 - 800 + 600 - 1200)$.
$W = 2 \times 25 \times (1400 - 600) = 50 \times 800 = 40000 \, J = 40 \, kJ$.

(D) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U = \frac{f}{2} nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે. એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,$f=3$,તેથી $U \propto T$.
આલેખ પરથી:
અવસ્થા $A$: $T_A = T$
અવસ્થા $B$: $T_B = 2T$
અવસ્થા $C$: $T_C = 2T$
અવસ્થા $D$: $T_D = T$
આંતરિક ઉર્જાની સરખામણી:
$U_A = U_D$ (કારણ કે $T_A = T_D$),તેથી $U_A - U_D = 0$. (સાચું)
$U_B = U_C$ (કારણ કે $T_B = T_C$),તેથી $U_B - U_C = 0$. (સાચું)
$U_C > U_D$ (કારણ કે $T_C > T_D$),તેથી $U_C - U_D > 0$. (સાચું)
$U_B > U_A$ (કારણ કે $T_B > T_A$),તેથી $U_B - U_A > 0$. તેથી,$U_B - U_A < 0$ એ ખોટું છે.

(A) આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U$ એ અવસ્થા વિધેય છે,જેનો અર્થ છે કે તે માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ પર આધાર રાખે છે,લીધેલા પથ પર નહીં.
પથ $ABC$ અને $ADC$ માટે,પ્રારંભિક અવસ્થા $A$ છે અને અંતિમ અવસ્થા $C$ છે. તેથી,$\Delta U_{ABC} = \Delta U_{ADC}$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta U = \Delta Q - W$.
પથ $ABC$ માટે: $\Delta U_{ABC} = \Delta Q_{ABC} - W_{ABC} = 90\,J - 30\,J = 60\,J$.
કારણ કે $\Delta U_{ADC} = \Delta U_{ABC} = 60\,J$,તેથી પથ $ADC$ માટે:
$\Delta Q_{ADC} - W_{ADC} = 60\,J$
$\Delta Q_{ADC} - 20\,J = 60\,J$
$\Delta Q_{ADC} = 60\,J + 20\,J = 80\,J$.

(A) પ્રક્રિયા $ABC$ માં આપવામાં આવેલી કુલ ઉષ્મા $Q_{ABC} = Q_{AB} + Q_{BC} = 600 \, J + 200 \, J = 800 \, J$ છે.
પ્રક્રિયા $ABC$ માં થયેલું કાર્ય એ $AB$ અને $BC$ માં થયેલા કાર્યનો સરવાળો છે. $AB$ એ સમકદ પ્રક્રિયા $(V_A = V_B)$ હોવાથી,$W_{AB} = 0$ થાય.
પ્રક્રિયા $BC$ માં,દબાણ $P_B = 8 \times 10^4 \, Pa$ અચળ રહે છે. કદ $V_B = V_A = 2 \times 10^{-3} \, m^3$ થી બદલાઈને $V_C = V_D = 5 \times 10^{-3} \, m^3$ થાય છે.
પ્રક્રિયા $BC$ માં થયેલું કાર્ય $W_{BC} = P_B(V_C - V_B) = 8 \times 10^4 \times (5 - 2) \times 10^{-3} = 8 \times 10^4 \times 3 \times 10^{-3} = 240 \, J$ છે.
કુલ કાર્ય $W_{ABC} = W_{AB} + W_{BC} = 0 + 240 = 240 \, J$.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$,તેથી $\Delta U_{AC} = Q_{ABC} - W_{ABC}$.
$\Delta U_{AC} = 800 \, J - 240 \, J = 560 \, J$.

(A) $P-T$ આલેખમાં,થયેલ કાર્ય $W$ એ પ્રક્રિયા વક્ર હેઠળના ક્ષેત્રફળ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આદર્શ વાયુ માટે,$PV = nRT$,તેથી $V = \frac{nRT}{P}$.
પ્રક્રિયા $1-2$ અને $3-4$ સમકદ (અચળ કદ) છે કારણ કે તે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓ પર છે $(P \propto T)$,તેથી $W_{12} = 0$ અને $W_{34} = 0$.
પ્રક્રિયા $2-3$ અને $4-1$ સમદાબી (અચળ દબાણ) છે,તેથી $W = P\Delta V = nR\Delta T$.
કુલ કાર્ય $W = W_{12} + W_{23} + W_{34} + W_{41} = 0 + nR(T_3 - T_2) + 0 + nR(T_1 - T_4)$.
$W = nR(T_3 - T_2 + T_1 - T_4) = 3 \times 8.31 \times (2400 - 800 + 400 - 1200) \, J$.
$W = 3 \times 8.31 \times (800) \, J = 19944 \, J = 19.944 \, kJ$.

(B) ક્વોસી-સ્ટેટિક પ્રક્રિયામાં વાયુ દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય $W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P = \alpha V^2$ અને $\alpha = 5 \text{ atm}/m^6$. $1 \text{ atm} = 1.01325 \times 10^5 \text{ Pa}$ હોવાથી,આપણે $\alpha = 5 \times 1.01325 \times 10^5 \text{ Pa}/m^6 \approx 5.066 \times 10^5 \text{ Pa}/m^6$ લઈશું.
શરૂઆતનું કદ $V_1 = 1 \text{ m}^3$,અંતિમ કદ $V_2 = 2 \text{ m}^3$.
$W = \int_{1}^{2} (\alpha V^2) \, dV = \alpha \left[ \frac{V^3}{3} \right]_1^2 = \frac{\alpha}{3} (2^3 - 1^3) = \frac{7\alpha}{3}$.
$\alpha = 5.066 \times 10^5 \text{ Pa}/m^6$ મૂકતા:
$W = \frac{7 \times 5.066 \times 10^5}{3} \approx 11.82 \times 10^5 \text{ J} = 1.182 \text{ MJ}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આંતરિક ઉર્જા $(U)$ એ અવસ્થા વિધેય (state function) છે,જેનો અર્થ છે કે તેનું મૂલ્ય માત્ર તંત્રની પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ પર આધાર રાખે છે,તે કયા માર્ગે પ્રક્રિયા થઈ તેના પર નહીં.
ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,તંત્ર ચક્ર પૂર્ણ કર્યા પછી તેની પ્રારંભિક અવસ્થામાં પાછું આવે છે.
પ્રારંભિક અવસ્થા અને અંતિમ અવસ્થા સમાન હોવાથી,કોઈપણ ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $(\Delta U)$ હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
ત્રણેય આકૃતિઓ $(a)$,$(b)$ અને $(c)$ ચક્રીય પ્રક્રિયાઓ દર્શાવે છે કારણ કે માર્ગ એક જ બિંદુએ શરૂ થાય છે અને સમાપ્ત થાય છે.
તેથી,ત્રણેય કિસ્સાઓ માટે $\Delta U = 0$ થાય છે.

(C) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta W_{net}$.
આપેલ છે કે $\Delta Q = 5\,J$,તેથી ચક્રમાં થયેલ કુલ કાર્ય $\Delta W_{net} = 5\,J$ છે.
કુલ કાર્ય એ દરેક પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્યનો સરવાળો છે: $\Delta W_{net} = \Delta W_{AB} + \Delta W_{BC} + \Delta W_{CA}$.
પ્રક્રિયા $A \to B$: આ સમકદ પ્રક્રિયા છે (કદ $V = 1\,m^3$ અચળ છે),તેથી $\Delta W_{AB} = 0$.
પ્રક્રિયા $B \to C$: આ $p = 10\,N/m^2$ પર થતી સમદાબી પ્રક્રિયા છે. કદ $V_B = 2\,m^3$ થી બદલાઈને $V_C = 1\,m^3$ થાય છે. તેથી,$\Delta W_{BC} = p(V_C - V_B) = 10(1 - 2) = -10\,J$.
હવે,$\Delta W_{net} = \Delta W_{AB} + \Delta W_{BC} + \Delta W_{CA} \implies 5 = 0 + (-10) + \Delta W_{CA}$.
$\Delta W_{CA}$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\Delta W_{CA} = 5 + 10 = 15\,J$ મળે છે.

(B) આપેલ આલેખ $V-P$ આલેખ છે. $P-V$ આકૃતિમાં,થયેલ કાર્ય એ વક્ર હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે. $V-P$ આલેખ માટે,થયેલ કાર્ય એ લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છે,પરંતુ $P-V$ આકૃતિ કરતા વિરુદ્ધ સંજ્ઞા પ્રણાલી સાથે.
$P-V$ આકૃતિમાં,ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં (clockwise) લૂપ ધન કાર્ય દર્શાવે છે,અને ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં (anticlockwise) લૂપ ઋણ કાર્ય દર્શાવે છે.
આ $V-P$ આલેખમાં,નાની લૂપ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં છે (જે $V-P$ યામમાં ધન કાર્યને અનુરૂપ છે) અને મોટી લૂપ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં છે (જે $V-P$ યામમાં ઋણ કાર્યને અનુરૂપ છે).
મોટી લૂપનું ક્ષેત્રફળ નાની લૂપના ક્ષેત્રફળ કરતા વધારે હોવાથી,કુલ થયેલ કાર્ય ઋણ હશે.

(A) $BC$ પથ એ $(V_0, 3P_0)$ અને $(2V_0, P_0)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે.
$BC$ રેખાનો ઢાળ $m = \frac{P_0 - 3P_0}{2V_0 - V_0} = \frac{-2P_0}{V_0}$ છે.
$BC$ રેખાનું સમીકરણ $P - 3P_0 = \frac{-2P_0}{V_0}(V - V_0)$ છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $P = 3P_0 - \frac{2P_0}{V_0}(V - V_0) = P_0(5 - \frac{2V}{V_0})$ મળે છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ માં $n = 1$ લેતા,$T = \frac{PV}{R} = \frac{P_0}{R}(5V - \frac{2V^2}{V_0})$ મળે.
મહત્તમ તાપમાન શોધવા માટે,આપણે $\frac{dT}{dV} = 0$ લઈએ છીએ:
$\frac{dT}{dV} = \frac{P_0}{R}(5 - \frac{4V}{V_0}) = 0 \implies V = \frac{5}{4}V_0$.
$V = \frac{5}{4}V_0$ ને $T$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$T_{max} = \frac{P_0}{R}(5(\frac{5}{4}V_0) - \frac{2}{V_0}(\frac{25}{16}V_0^2)) = \frac{P_0}{R}(\frac{25}{4}V_0 - \frac{25}{8}V_0) = \frac{25}{8} \frac{P_0 V_0}{R}$.

(B) વિસ્તરણ દરમિયાન વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય $PV$ આલેખ અને કદ અક્ષ વચ્ચે ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ દ્વારા આપવામાં આવે છે,એટલે કે $W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV$.
આપેલ $PV$ આલેખ પરથી,$V_1$ થી $V_2$ સુધીના સમાન કદના ફેરફાર માટે,સમતાપી અને એડિબેટિક પ્રક્રિયાઓની તુલનામાં સમદાબી પ્રક્રિયા માટે દબાણ $P$ સૌથી વધુ રહે છે.
આલેખની નીચેનું ક્ષેત્રફળ સમદાબી પ્રક્રિયા માટે સૌથી વધુ હોવાથી,સમદાબી પ્રક્રિયા માટે થયેલું કાર્ય પણ સૌથી વધુ હોય છે.

(D) આપેલ આલેખ માટે,$(V_0, 2P_0)$ અને $(2V_0, P_0)$ માંથી પસાર થતી $P-V$ રેખાનું સમીકરણ:
$P - 2P_0 = \frac{P_0 - 2P_0}{2V_0 - V_0} (V - V_0)$
$P - 2P_0 = -\frac{P_0}{V_0} (V - V_0)$
$P = 3P_0 - \frac{P_0}{V_0} V$
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$T = \frac{PV}{nR}$ મળે.
$P$ ની કિંમત $V$ ના સ્વરૂપમાં મૂકતા:
$T = \frac{1}{nR} (3P_0 - \frac{P_0}{V_0} V) V = \frac{1}{nR} (3P_0 V - \frac{P_0}{V_0} V^2)$
મહત્તમ તાપમાન માટે,$\frac{dT}{dV} = 0$:
$\frac{d}{dV} (3P_0 V - \frac{P_0}{V_0} V^2) = 0$
$3P_0 - \frac{2P_0}{V_0} V = 0$
$V = \frac{3}{2} V_0$
$V = \frac{3}{2} V_0$ ની કિંમત દબાણના સમીકરણમાં મૂકતા:
$P = 3P_0 - \frac{P_0}{V_0} (\frac{3}{2} V_0) = 3P_0 - \frac{3}{2} P_0 = \frac{3}{2} P_0$
હવે,મહત્તમ તાપમાનની ગણતરી કરતા:
$T_{max} = \frac{P V}{nR} = \frac{(\frac{3}{2} P_0) (\frac{3}{2} V_0)}{nR} = \frac{9 P_0 V_0}{4nR}$

(A) આપેલ દબાણ-કદ સંબંધ: $P = \alpha V$.
વિસ્તરણ દરમિયાન વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W$,પ્રારંભિક કદ $V_i = V$ થી અંતિમ કદ $V_f = mV$ સુધી,નીચે મુજબ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$W = \int_{V_i}^{V_f} P \, dV$
$P = \alpha V$ મૂકતા:
$W = \int_{V}^{mV} \alpha V \, dV$
$V$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા:
$W = \alpha \left[ \frac{V^2}{2} \right]_{V}^{mV}$
$W = \frac{\alpha}{2} [(mV)^2 - V^2]$
$W = \frac{\alpha V^2}{2} (m^2 - 1)$

(B) $P-V$ આલેખ પર ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ત્રિકોણ $CAB$ માટે:
$V$-અક્ષ પર ત્રિકોણનો પાયો $\Delta V = 5 - 1 = 4 \, m^3$ છે.
$P$-અક્ષ પર ત્રિકોણની ઊંચાઈ $\Delta P = 6 - 1 = 5 \, Pa$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 = 10 \, J$.
ચક્ર $CAB$ વિષમઘડી દિશામાં હોવાથી,થયેલ કાર્ય ઋણ છે. જોકે,મૂલ્યની દ્રષ્ટિએ,થયેલ કાર્ય $10 \, J$ છે.

(D) $P-V$ આલેખમાં:
$1$. સમદાબી પ્રક્રિયા આડી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જ્યાં દબાણ અચળ રહે છે. તેથી,સમદાબી $\rightarrow$ પ્રક્રિયા $a$.
$2$. સમકદ પ્રક્રિયા ઉભી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જ્યાં કદ અચળ રહે છે. તેથી,સમકદ $\rightarrow$ પ્રક્રિયા $d$.
$3$. સમતાપી અને સમોષ્મી પ્રક્રિયાઓ માટે,સમોષ્મી વક્રનો ઢાળ એ સમતાપી વક્રના ઢાળ કરતા $\gamma$ ગણો હોય છે,જ્યાં $\gamma > 1$. તેથી,સમોષ્મી વક્ર એ સમતાપી વક્ર કરતા વધુ તીવ્ર (steep) હોય છે.
$4$. વક્ર $b$ અને $c$ ની સરખામણી કરતા,વક્ર $c$ એ વક્ર $b$ કરતા વધુ તીવ્ર છે. તેથી,સમતાપી $\rightarrow$ પ્રક્રિયા $b$ અને સમોષ્મી $\rightarrow$ પ્રક્રિયા $c$.
$5$. સાચો ક્રમ છે: સમકદ $(d)$,સમદાબી $(a)$,સમતાપી $(b)$,સમોષ્મી $(c)$.
$6$. તેથી,સાચો ક્રમ $d, a, b, c$ છે.

(B) બંને પ્રક્રિયાઓ $A$ અને $B$ માટે પ્રારંભિક અવસ્થા $i$ અને અંતિમ અવસ્થા $f$ સમાન છે.
આંતરિક ઉર્જા એ અવસ્થા વિધેય હોવાથી,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,$\Delta U_A = \Delta U_B$.
$P-V$ આલેખમાં થયેલું કાર્ય $W$ એ વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
વક્ર $A$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ વક્ર $B$ ની નીચેના ક્ષેત્રફળ કરતા વધારે હોવાથી,પ્રક્રિયા $A$ માં થયેલું કાર્ય પ્રક્રિયા $B$ માં થયેલા કાર્ય કરતા વધારે છે $(W_A > W_B)$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$.
કારણ કે $\Delta U_A = \Delta U_B$ અને $W_A > W_B$,તેથી $\Delta Q_A > \Delta Q_B$ મળે છે.

(D) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં થતો કુલ ફેરફાર શૂન્ય હોય છે: $\Delta U_{ab} + \Delta U_{bc} + \Delta U_{ca} = 0$.
આપેલ છે કે $\Delta U_{ca} = -180\, J$,તેથી $\Delta U_{ab} + \Delta U_{bc} = 180\, J$.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
માર્ગ $bc$ માટે,પ્રક્રિયા સમકદ (isochoric) છે ($P-V$ આલેખમાં ઉભી રેખા),તેથી $\Delta W_{bc} = 0$. આમ,$\Delta U_{bc} = \Delta Q_{bc} = 60\, J$.
આ કિંમતને ચક્રીય સમીકરણમાં મૂકતા: $\Delta U_{ab} + 60 = 180 \implies \Delta U_{ab} = 120\, J$.
હવે,માર્ગ $ab$ માટે,$\Delta W_{ab} = \Delta Q_{ab} - \Delta U_{ab} = 250 - 120 = 130\, J$.
માર્ગ $abc$ પર થયેલ કુલ કાર્ય $\Delta W_{abc} = \Delta W_{ab} + \Delta W_{bc} = 130 + 0 = 130\, J$.

(C) $P-V$ આલેખમાં થયેલ કાર્ય એ વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રક્રિયા $AB$ માટે ($P_0$ દબાણે $2V_0$ થી $V_0$ સુધીનું સમદાબી સંકોચન):
$W_{AB} = P_0(V_0 - 2V_0) = -P_0V_0$
પ્રક્રિયા $BC$ માટે ($V_0$ કદ પર $P_0$ થી $2P_0$ સુધીનું સમકદ ગરમ થવું):
$W_{BC} = 0$
પ્રક્રિયા $CD$ માટે ($2P_0$ દબાણે $V_0$ થી $3V_0$ સુધીનું સમદાબી વિસ્તરણ):
$W_{CD} = 2P_0(3V_0 - V_0) = 2P_0(2V_0) = 4P_0V_0$
$ABCD$ પ્રક્રિયામાં થયેલ કુલ કાર્ય:
$W_{net} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CD}$
$W_{net} = -P_0V_0 + 0 + 4P_0V_0 = 3P_0V_0$

(B) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં, શોષાયેલી કુલ ઉષ્મા એ સિસ્ટમ દ્વારા થયેલા કુલ કાર્ય જેટલી હોય છે, જે $P-V$ આલેખમાં ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આકૃતિ પરથી, પ્રક્રિયા $P-V$ સમતલમાં એક વર્તુળ છે.
દબાણ અક્ષ પર વર્તુળનો વ્યાસ $\Delta P = 30 \, \text{kPa} - 10 \, \text{kPa} = 20 \, \text{kPa} = 20 \times 10^3 \, \text{Pa}$ છે.
તેથી, ત્રિજ્યા $r_P = 10 \times 10^3 \, \text{Pa}$ છે.
કદ અક્ષ પર વર્તુળનો વ્યાસ $\Delta V = 30 \, \text{litres} - 10 \, \text{litres} = 20 \, \text{litres} = 20 \times 10^{-3} \, \text{m}^3$ છે.
તેથી, ત્રિજ્યા $r_V = 10 \times 10^{-3} \, \text{m}^3$ છે.
$P-V$ આલેખમાં લંબગોળ (અથવા વર્તુળ) નું ક્ષેત્રફળ $A = \pi \times r_P \times r_V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A = \pi \times (10 \times 10^3 \, \text{Pa}) \times (10 \times 10^{-3} \, \text{m}^3) = 100\pi \, \text{J} = 10^2\pi \, \text{J}$.
ચક્ર ઘડિયાળની દિશામાં હોવાથી, કાર્ય ધન છે, જેનો અર્થ છે કે ઉષ્મા શોષાય છે.

(B) કરેલું કાર્ય $W$ એ $P-V$ આલેખની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
$W = \text{સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (P_A + P_B) \times (V_B - V_A)$
$W = \frac{1}{2} \times (P_0 + 2P_0) \times (2V_0 - V_0) = \frac{1}{2} \times (3P_0) \times (V_0) = \frac{3}{2} P_0V_0$
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = \mu RT$ નો ઉપયોગ કરતા:
બિંદુ $A$ પર: $P_0V_0 = \mu RT_A$
બિંદુ $B$ પર: $(2P_0)(2V_0) = 4P_0V_0 = \mu RT_B$
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = \mu C_v \Delta T = \mu \left( \frac{3}{2}R \right) (T_B - T_A) = \frac{3}{2} (\mu RT_B - \mu RT_A)$
કિંમતો મૂકતા: $\Delta U = \frac{3}{2} (4P_0V_0 - P_0V_0) = \frac{3}{2} (3P_0V_0) = \frac{9}{2} P_0V_0$
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = W + \Delta U$
$Q = \frac{3}{2} P_0V_0 + \frac{9}{2} P_0V_0 = \frac{12}{2} P_0V_0 = 6 P_0V_0$

(D) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલ કુલ કાર્ય $P-V$ આકૃતિ પર ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં (clockwise) ચક્ર માટે,કાર્ય ધન હોય છે,અને ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં (counter-clockwise) ચક્ર માટે,કાર્ય ઋણ હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,ચક્ર $P \rightarrow Q \rightarrow R \rightarrow S \rightarrow P$ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
લંબચોરસ $PQRS$ નું ક્ષેત્રફળ $= \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ} = (V_R - V_Q) \times (P_P - P_Q)$.
આપેલ છે: $V_Q = 100 \text{ cc} = 100 \times 10^{-6} \text{ m}^3$,$V_R = 300 \text{ cc} = 300 \times 10^{-6} \text{ m}^3$.
$P_P = 300 \text{ kPa} = 300 \times 10^3 \text{ Pa}$,$P_Q = 100 \text{ kPa} = 100 \times 10^3 \text{ Pa}$.
ક્ષેત્રફળ $= (300 - 100) \times 10^{-6} \text{ m}^3 \times (300 - 100) \times 10^3 \text{ Pa} = 200 \times 10^{-6} \times 200 \times 10^3 = 40000 \times 10^{-3} = 40 \text{ J}$.
ચક્ર ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,થયેલ કુલ કાર્ય $-40 \text{ J}$ છે.

(A) $1$. આંતરિક ઉર્જા $(U)$ એ અવસ્થા વિધેય છે. કોઈપણ સંપૂર્ણ થર્મોડાયનેમિક ચક્ર માટે,પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ સમાન હોય છે,તેથી આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર શૂન્ય છે: $(\Delta U)_{\text{cycle}} = 0$.
$2$. $P-V$ આલેખમાં થયેલ કાર્ય $(W)$ એ ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે. જો ચક્ર ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં (anticlockwise) હોય,તો ગેસ દ્વારા થયેલું ચોખ્ખું કાર્ય ઋણ હોય છે $(W < 0)$.
$3$. થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = \Delta U + W$.
$4$. કિંમતો મૂકતા,$Q = 0 + W$. કારણ કે $W < 0$,તેથી $Q < 0$ મળે છે.
$5$. તેથી,સાચી શરત $\Delta U = 0$ અને $Q < 0$ છે.

(B) $P-T$ આલેખમાં, ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓ સમકદ પ્રક્રિયાઓ (અચળ કદ) દર્શાવે છે કારણ કે $P \propto T$ નો અર્થ છે $V = \text{અચળ}$.
આમ, પ્રક્રિયાઓ $1-2$ અને $3-4$ સમકદ છે, અને આ વિભાગો દરમિયાન કોઈ કાર્ય થતું નથી ($W_{1-2} = 0$, $W_{3-4} = 0$).
પ્રક્રિયાઓ $2-3$ અને $4-1$ સમદાબી (અચળ દબાણ) છે કારણ કે તે $P-T$ આલેખમાં આડી રેખાઓ છે.
સમદાબી પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W = P\Delta V = nR\Delta T$ છે.
ચક્ર માટે, કુલ કાર્ય $W_{\text{total}} = W_{2-3} + W_{4-1}$ છે.
$W_{2-3} = nR(T_3 - T_2) = 3 \times R \times (2400 - 800) = 3R(1600) = 4800R$.
$W_{4-1} = nR(T_1 - T_4) = 3 \times R \times (400 - 1200) = 3R(-800) = -2400R$.
$W_{\text{total}} = 4800R - 2400R = 2400R$.
$R \approx 8.314\, J/(mol \cdot K)$ લેતા:
$W_{\text{total}} = 2400 \times 8.314 \approx 19953.6\, J \approx 20\, kJ$.

(D) મોનોએટોમિક વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U = \frac{3}{2}PV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = U_B - U_A = \frac{3}{2}(P_B V_B - P_A V_A)$ છે.
આલેખ પરથી:
બિંદુ $A$ પર: $P_A = 200\,\text{kPa} = 200 \times 10^3\,\text{Pa}$,$V_A = 250\,\text{cc} = 250 \times 10^{-6}\,\text{m}^3$.
બિંદુ $B$ પર: $P_B = 500\,\text{kPa} = 500 \times 10^3\,\text{Pa}$,$V_B = 100\,\text{cc} = 100 \times 10^{-6}\,\text{m}^3$.
$P_A V_A = (200 \times 10^3) \times (250 \times 10^{-6}) = 50\,\text{J}$ ગણો.
$P_B V_B = (500 \times 10^3) \times (100 \times 10^{-6}) = 50\,\text{J}$ ગણો.
તેથી,$\Delta U = \frac{3}{2}(50 - 50) = 0\,\text{J}$.
સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર શૂન્ય હોય છે,તેથી કુલ આપેલી ઉષ્મા એ કુલ કાર્ય જેટલી હોય છે: $dQ = dW$.
કાર્ય $dW$ એ $V-P$ આલેખમાં $ABCA$ ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
પાયો $= (200 \, kPa - 100 \, kPa) = 100 \times 10^3 \, Pa$
વેધ $= (700 \, cc - 500 \, cc) = 200 \, cm^3 = 200 \times 10^{-6} \, m^3$
$dW = \frac{1}{2} \times (100 \times 10^3 \, Pa) \times (200 \times 10^{-6} \, m^3) = 10 \, J$.
આપેલી ઉષ્મા $dQ = 2.4 \, cal$.
$dW = J \times dQ$ હોવાથી,$J = \frac{dW}{dQ} = \frac{10 \, J}{2.4 \, cal} = 4.166... \approx 4.17 \, J/cal$.

(C) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta Q = \Delta W$.
ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $\Delta W$ એ $P-V$ લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આ લૂપ એક વર્તુળ છે જેનો $P$-અક્ષ પરનો વ્યાસ $(300 - 100) \text{ kPa} = 200 \text{ kPa} = 2 \times 10^5 \text{ Pa}$ છે.
તેથી ત્રિજ્યા $r_P = 100 \text{ kPa} = 10^5 \text{ Pa}$ છે.
$V$-અક્ષ પરનો વ્યાસ $(300 - 100) \text{ cc} = 200 \text{ cc} = 200 \times 10^{-6} \text{ m}^3 = 2 \times 10^{-4} \text{ m}^3$ છે.
તેથી ત્રિજ્યા $r_V = 100 \text{ cc} = 10^{-4} \text{ m}^3$ છે.
લંબગોળ (અથવા આ સ્કેલ પર વર્તુળ) નું ક્ષેત્રફળ $\pi \times r_P \times r_V$ છે.
$\Delta W = \pi \times (10^5 \text{ Pa}) \times (10^{-4} \text{ m}^3) = \pi \times 10 \text{ J} = 3.14 \times 10 \text{ J} = 31.4 \text{ J}$.
પ્રક્રિયા ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં હોવાથી,થયેલ કાર્ય ધન છે,તેથી $\Delta Q = 31.4 \text{ J}$.