Heat, Work done and Internal Energy from Graph Questions in Gujarati

(B) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W_{net}$. આપેલ છે કે $\Delta Q = 5 \ J$,તેથી $W_{net} = 5 \ J$.
ચક્રમાં થયેલ કાર્ય એ $P-V$ આલેખ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે. ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (10 - 5) \times (2 - 1) = 2.5 \ J$ થાય.
પ્રક્રિયા $C$ થી $A$ માટે,કાર્ય $W_{CA} = \text{રેખા } CA$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times (P_C + P_A) \times (V_A - V_C) = \frac{1}{2} \times (5 + 10) \times (1 - 2) = -7.5 \ J$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $-10 \ J$ છે.

(D) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં કરવામાં આવેલ કાર્ય $P-V$ આલેખ પર ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે।
ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં (clockwise) ચક્ર માટે કાર્ય ધન હોય છે અને ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં (counter-clockwise) ચક્ર માટે તે ઋણ હોય છે।
આપેલ ચક્ર $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ છે।
તીરની દિશા જોતા, ચક્ર ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં છે।
તેથી, કરવામાં આવેલ કાર્ય ઋણ હશે।
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$W = -\text{ત્રિકોણ } ABC \text{ નું ક્ષેત્રફળ} = -\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
પાયો $AB = 3V - V = 2V$
વેધ $BC = 4P - P = 3P$
$W = -\frac{1}{2} \times (2V) \times (3P) = -3 PV$
આમ, સાચો વિકલ્પ $D$ છે।

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી:
$1$. આકૃતિ $(a)$ લંબચોરસ હાયપરબોલા દર્શાવે છે, જે સમતાપી પ્રક્રિયાનો લાક્ષણિક આકાર છે જ્યાં $T$ અચળ રહે છે, તેથી $PV = \text{અચળ}$.
$2$. આકૃતિ $(b)$ એક ઉભી રેખા દર્શાવે છે જ્યાં દબાણ $P$ બદલાય છે પરંતુ કદ $V$ અચળ રહે છે। આ સમકદ (isochoric) પ્રક્રિયા દર્શાવે છે.
$3$. આકૃતિ $(c)$ એક આડી રેખા દર્શાવે છે જ્યાં કદ $V$ બદલાય છે પરંતુ દબાણ $P$ અચળ રહે છે। આ સમદાબી (isobaric) પ્રક્રિયા દર્શાવે છે.
આમ, આકૃતિ $(a)$ સમતાપી છે, આકૃતિ $(b)$ સમકદ છે અને આકૃતિ $(c)$ સમદાબી છે. તેથી, વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(A) $1$. પ્રક્રિયા $AB$ સમતાપી છે $(T = \text{અચળ})$. $p-T$ આલેખમાં, આ એક શિરોલંબ રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જ્યાં $T$ અચળ રહે છે।
$2$. પ્રક્રિયા $BC$ સમદાબી છે $(p = \text{અચળ})$. $p-T$ આલેખમાં, આ એક આડી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જ્યાં $p$ અચળ રહે છે।
$3$. પ્રક્રિયા $CA$ સમોષ્મી છે $(pV^{\gamma} = \text{અચળ})$. આદર્શ વાયુના સમીકરણ $pV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા, $p^{1-\gamma}T^{\gamma} = \text{અચળ}$ મળે છે, જે દર્શાવે છે કે આ વક્ર રેખીય નથી।
$4$. $p-V$ આલેખમાં ચક્રીય ક્રમ $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ ને અનુસરતા:
- $A \rightarrow B$: $p$ ઘટે છે, $V$ વધે છે (સમતાપી)।
- $B \rightarrow C$: $p$ અચળ રહે છે, $V$ ઘટે છે (સમદાબી)।
- $C \rightarrow A$: $p$ વધે છે, $V$ ઘટે છે (સમોષ્મી)।
$5$. આને $p-T$ આલેખ સાથે સરખાવતા, વિકલ્પ $(G)$ સાચો ક્રમ દર્શાવે છે।

(A) આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U$ એ માત્ર તાપમાનનું વિધેય છે,જે $U = nC_{v}T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ $V-T$ આલેખ પરથી,પ્રક્રિયા $A \rightarrow B$ એક શિરોલંબ રેખા છે,જેનો અર્થ છે કે તાપમાન $T$ અચળ છે. આમ,$A \rightarrow B$ એ સમતાપી પ્રક્રિયા છે.
$A$ આગળનું તાપમાન $(T_{A})$ એ $B$ આગળના તાપમાન $(T_{B})$ જેટલું હોવાથી,$A$ આગળની આંતરિક ઉર્જા એ $B$ આગળની આંતરિક ઉર્જા જેટલી જ છે.
પ્રક્રિયા $B \rightarrow C$ માટે,કદ $V$ અચળ છે,અને તાપમાન $T_{B}$ થી વધીને $T_{C}$ થાય છે. $T_{C} > T_{B}$ હોવાથી,$C$ આગળની આંતરિક ઉર્જા $B$ કરતા વધારે છે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે $A$ અને $B$ આગળ આંતરિક ઉર્જા સમાન છે.

(D) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય એ $p-V$ આલેખ પર ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ચક્ર $MNOM$ ઘડિયાળની દિશામાં હોવાથી, થયેલ કાર્ય ધન છે.
ત્રિકોણ $MNO$ નું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$W = \triangle MNO \text{ \text{નું ક્ષેત્રફળ}} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
$W = \frac{1}{2} \times (ON) \times (OM)$
આલેખ પરથી, પાયો $ON = 3V_0 - V_0 = 2V_0$ અને વેધ $OM = 3p_0 - p_0 = 2p_0$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} \times (2V_0) \times (2p_0)$
$W = 2p_0 V_0$
આમ, વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $2p_0 V_0$ છે.

(A) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $P-V$ આકૃતિ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં (clockwise) ચક્ર માટે કાર્ય ધન હોય છે,અને ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં (counter-clockwise) ચક્ર માટે કાર્ય ઋણ હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,ચક્ર $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
પાયો $= (V_C - V_B) = (10 - 5) \ m^3 = 5 \ m^3$.
વેધ $= (P_A - P_B) = (400 - 100) \ N/m^2 = 300 \ N/m^2$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 5 \times 300 = 750 \ J$.
ચક્ર ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = -750 \ J$ છે.

(B) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલું કુલ કાર્ય $p-V$ આકૃતિ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આપેલ ત્રિકોણ $ABC$ માટે,પાયો $(3 V_{1} - V_{1}) = 2 V_{1}$ છે અને ઊંચાઈ $(4 p_{1} - p_{1}) = 3 p_{1}$ છે.
ક્ષેત્રફળનું મૂલ્ય $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times (2 V_{1}) \times (3 p_{1}) = 3 p_{1} V_{1}$ થાય.
ચક્ર $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ એ વિષમઘડી (anticlockwise) દિશામાં હોવાથી,વાયુ દ્વારા થયેલું કાર્ય ઋણ ગણાય.
તેથી,થયેલું કુલ કાર્ય $W_{\text{cycle}} = -3 p_{1} V_{1}$ છે.

(B) એકપરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ માટે,મોલની સંખ્યા $n = 1$ અને અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{3}{2} R$ છે.
$p-V$ આલેખ પરથી,બિંદુઓ $A(V_0, 3p_0)$ અને $B(5V_0, 6p_0)$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $pV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$A$ અને $B$ પર તાપમાન:
$T_A = \frac{p_A V_A}{nR} = \frac{(3p_0)(V_0)}{1 \cdot R} = \frac{3p_0 V_0}{R}$
$T_B = \frac{p_B V_B}{nR} = \frac{(6p_0)(5V_0)}{1 \cdot R} = \frac{30p_0 V_0}{R}$
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_B - T_A = \frac{30p_0 V_0}{R} - \frac{3p_0 V_0}{R} = \frac{27p_0 V_0}{R}$.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T = 1 \cdot \left(\frac{3}{2} R\right) \cdot \left(\frac{27p_0 V_0}{R}\right) = \frac{81}{2} p_0 V_0$.
થયેલ કાર્ય $W$ એ $p-V$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે,જે સમલંબ ચતુષ્કોણ છે:
$W = \frac{1}{2} (p_A + p_B) (V_B - V_A) = \frac{1}{2} (3p_0 + 6p_0) (5V_0 - V_0) = \frac{1}{2} (9p_0) (4V_0) = 18p_0 V_0$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = \Delta U + W$:
$Q = \frac{81}{2} p_0 V_0 + 18 p_0 V_0 = \frac{81 + 36}{2} p_0 V_0 = \frac{117}{2} p_0 V_0$.
$Q = n C \Delta T$ હોવાથી,જ્યાં $n = 1$:
$C = \frac{Q}{\Delta T} = \frac{117/2 \cdot p_0 V_0}{27 p_0 V_0 / R} = \frac{117}{2} \cdot \frac{R}{27} = \frac{117}{54} R = \frac{13}{6} R$.

(A) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = Q - W$,જેનો અર્થ છે કે $Q - W = \Delta U$.
આંતરિક ઉર્જા $(U)$ એ અવસ્થા વિધેય હોવાથી,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $(\Delta U)$ માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ પર આધાર રાખે છે.
બધા જ પથ $(A, B, C, D)$ માટે,પ્રારંભિક અવસ્થા $1$ છે અને અંતિમ અવસ્થા $2$ છે.
તેથી,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર બધા પથ માટે સમાન છે: $\Delta U_A = \Delta U_B = \Delta U_C = \Delta U_D$.
કારણ કે $Q - W = \Delta U$,તેથી $Q_A - W_A = Q_B - W_B = Q_C - W_C = Q_D - W_D$ મળે છે.
આમ,સમાન બે અવસ્થાઓને જોડતા તમામ પથ માટે $Q - W$ નું મૂલ્ય અચળ રહે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ સાચો છે કારણ કે $Q_A - W_A = \Delta U$ અને $Q_D - W_D = \Delta U$,તેથી $Q_A - W_A = Q_D - W_D$ થાય છે.

(A) આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = \frac{f}{2} n R \Delta T = \frac{f}{2} (P_2 V_2 - P_1 V_1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ છે.
આપેલ $P-V$ આલેખ પરથી,બિંદુ $A$ પર,$P_1 = 5 \text{ kPa} = 5 \times 10^3 \text{ Pa}$ અને $V_1 = 4 \text{ m}^3$ છે.
બિંદુ $B$ પર,$P_2 = 2 \text{ kPa} = 2 \times 10^3 \text{ Pa}$ અને $V_2 = 6 \text{ m}^3$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta U = \frac{5}{2} (P_2 V_2 - P_1 V_1)$
$\Delta U = \frac{5}{2} [(2 \times 10^3 \times 6) - (5 \times 10^3 \times 4)]$
$\Delta U = \frac{5}{2} [12 \times 10^3 - 20 \times 10^3]$
$\Delta U = \frac{5}{2} [-8 \times 10^3]$
$\Delta U = 5 \times (-4 \times 10^3) = -20 \times 10^3 \text{ J} = -20 \text{ kJ}$.

(A) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે, આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે। ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta Q = \Delta U + W$, તેથી $\Delta Q = W_{net} = 5 \,J$ મળે.
ચક્રમાં થયેલું કુલ કાર્ય $W_{net} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CA} = 5 \,J$ છે.
$V-P$ આલેખ પરથી (નોંધ: $y$-અક્ષ પર $V$ અને $x$-અક્ષ પર $P$ છે):
પ્રક્રિયા $A \rightarrow B$: આ અચળ દબાણની પ્રક્રિયા $(P = 10 \,N/m^2)$ છે જ્યાં કદ $1 \,m^3$ થી વધીને $2 \,m^3$ થાય છે. કાર્ય $W_{AB} = P \Delta V = 10 \times (2 - 1) = 10 \,J$.
પ્રક્રિયા $B \rightarrow C$: આ અચળ કદની પ્રક્રિયા $(V = 2 \,m^3)$ છે. કાર્ય $W_{BC} = 0 \,J$.
આ કિંમતોને કુલ કાર્યના સમીકરણમાં મૂકતા:
$10 \,J + 0 \,J + W_{CA} = 5 \,J$
$W_{CA} = 5 - 10 = -5 \,J$.
તેથી, $C \rightarrow A$ પ્રક્રિયા દરમિયાન થયેલા કાર્યનું મૂલ્ય $|W_{CA}| = |-5 \,J| = 5 \,J$ છે.

(A) $P-V$ આલેખમાં ચક્રીય પ્રક્રિયા દરમિયાન થયેલ કાર્ય એ ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
અહીં,ચક્ર એ ત્રિકોણ $ABC$ છે જેના શિરોબિંદુઓ $A(V, P)$,$B(3V, 3P)$ અને $C(3V, P)$ છે.
ત્રિકોણનો પાયો $AC$ આડી ધરી પર છે: $\text{પાયો} = 3V - V = 2V$.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ $BC$ ઊભી ધરી પર છે: $\text{ઊંચાઈ} = 3P - P = 2P$.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$.
$W = \frac{1}{2} \times (2V) \times (2P) = 2PV$.
ચક્ર ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં હોવાથી,થયેલ કાર્ય ધન છે.

(D) આપેલ $P-V$ આકૃતિ પરથી,ચક્રીય પ્રક્રિયા એક લંબગોળ (ellipse) બનાવે છે.
$V$-અક્ષ પરની ધરીની લંબાઈ $2b = V_2 - V_1$ છે,તેથી $b = \frac{V_2 - V_1}{2}$.
$P$-અક્ષ પરની ધરીની લંબાઈ $2a = P_2 - P_1$ છે,તેથી $a = \frac{P_2 - P_1}{2}$.
ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય એ $P-V$ આકૃતિમાં લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
લંબગોળનું ક્ષેત્રફળ = $\pi ab$.
તેથી,થયેલ કાર્ય = $\pi \times \left(\frac{P_2 - P_1}{2}\right) \times \left(\frac{V_2 - V_1}{2}\right) = \frac{\pi}{4}(P_2 - P_1)(V_2 - V_1)$.

(A) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે, આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર શૂન્ય હોય છે, તેથી પૂરી પાડવામાં આવેલ કુલ ઉષ્મા એ કરેલા કુલ કાર્ય જેટલી હોય છે: $\Delta Q = \Delta W$.
એક ચક્રમાં થયેલું કુલ કાર્ય $P-V$ આકૃતિ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$
$\text{Base} = V_B - V_A = 20 \,m^3 - 5 \,m^3 = 15 \,m^3$
$\text{Height} = P_B - P_A = 30 \,N/m^2 - 10 \,N/m^2 = 20 \,N/m^2$
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 15 \,m^3 \times 20 \,N/m^2 = 150 \,J$.
ચક્ર $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ (ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં) હોવાથી, વાયુ દ્વારા થયેલું કાર્ય ઋણ છે, જેનો અર્થ છે કે વાયુ પર કાર્ય થાય છે. તેથી, ઉષ્મા મુક્ત થાય છે.
$20$ ચક્ર માટે, મુક્ત થતી કુલ ઉષ્મા:
$\Delta Q = 20 \times 150 \,J = 3000 \,J = 3 \,kJ$.

(A) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta W$.
એક ચક્રમાં થયેલ કાર્ય $\Delta W$ એ $P-V$ આલેખ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
પાયો $= (20 - 5) \text{ m}^3 = 15 \text{ m}^3$.
વેધ $= (30 - 10) \text{ N/m}^2 = 20 \text{ N/m}^2$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 15 \times 20 = 150 \text{ J}$.
ચક્ર $ABCA$ એ વિષમઘડી (anti-clockwise) હોવાથી,વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય ઋણ છે.
તેથી,$\Delta W_{\text{cycle}} = -150 \text{ J}$.
$10$ ચક્ર માટે,કુલ કાર્ય $\Delta W_{\text{total}} = 10 \times (-150 \text{ J}) = -1500 \text{ J} = -1.5 \text{ kJ}$.
આમ,શોષાયેલી કુલ ઉષ્મા $\Delta Q = -1.5 \text{ kJ}$ છે.

(B) થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $p-V$ આલેખની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,કુલ થયેલ કાર્ય ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
જો ચક્ર ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં (clockwise) પૂર્ણ થતું હોય,તો કુલ કાર્ય ધન હોય છે.
જો ચક્ર ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં (counter-clockwise) પૂર્ણ થતું હોય,તો કુલ કાર્ય ઋણ હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,માર્ગ $C \rightarrow B \rightarrow A \rightarrow D \rightarrow C$ છે,જે ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
તેથી,વાયુ દ્વારા થયેલ કુલ કાર્ય ઋણ છે.

(A) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = 0$ છે. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$. કારણ કે $\Delta U = 0$ છે,તેથી શોષાયેલી ઉષ્મા $\Delta Q$ એ તંત્ર દ્વારા થયેલા કાર્ય $W$ જેટલી હોય છે.
$P-V$ આલેખમાં થયેલું કાર્ય $W$ એ ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
લંબગોળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi \times a \times b$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ અને $b$ એ અર્ધ-મુખ્ય અને અર્ધ-ગૌણ અક્ષો છે.
આલેખ પરથી,દબાણનો ગાળો $100 \text{ kPa}$ થી $300 \text{ kPa}$ છે,તેથી અર્ધ-અક્ષ $a = \frac{300 - 100}{2} = 100 \text{ kPa} = 10^5 \text{ Pa}$.
કદનો ગાળો $200 \text{ cc}$ થી $400 \text{ cc}$ છે,તેથી અર્ધ-અક્ષ $b = \frac{400 - 200}{2} = 100 \text{ cc} = 100 \times 10^{-6} \text{ m}^3 = 10^{-4} \text{ m}^3$.
તેથી,$W = \pi \times (10^5 \text{ Pa}) \times (10^{-4} \text{ m}^3) = 10 \pi \text{ J}$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$W = 10 \times 3.14 = 31.4 \text{ J}$.
આમ,શોષાયેલી ઉષ્મા $31.4 \text{ J}$ છે.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,$PV = nRT$. ઘનતા $d = \frac{m}{V}$ હોવાથી,$V = \frac{m}{d}$ મળે. આને આદર્શ વાયુના સમીકરણમાં મૂકતા,$P(\frac{m}{d}) = nRT$,તેથી $P = (\frac{nRT}{m})d$. અહીં $n, R, m$ અચળ હોવાથી,$P \propto Td$ થાય.
$1$. પ્રક્રિયા $AB$: ઘનતા $d$ અચળ છે (સમકદ પ્રક્રિયા). $V$ અચળ હોવાથી,થયેલ કાર્ય $W = \int P dV = 0$ થાય. તેથી,વિકલ્પ $A$ અને $B$ ખોટા છે.
$2$. પ્રક્રિયા $BC$: આલેખમાં $P$ અને $d$ બંને વધે છે. $P = \frac{\rho RT}{M}$ હોવાથી,$T = \frac{PM}{\rho R}$. $BC$ રેખા ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,જેનો અર્થ છે કે તાપમાન $T$ અચળ છે (સમતાપી પ્રક્રિયા). તેથી,આંતરિક ઉર્જા $U \propto T$ અચળ રહે છે. વિકલ્પ $C$ ખોટો છે.
$3$. પ્રક્રિયા $DA$: આલેખમાં $P$ અને $d$ બંને ઘટે છે. $BC$ ની જેમ જ,આ રેખા પણ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,એટલે કે $T$ અચળ છે. તેથી,આંતરિક ઉર્જા અચળ રહે છે. વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) પૂર્ણ ચક્રમાં થયેલ કાર્ય $P-V$ આલેખ પરના બંધ વક્ર હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
થયેલ કાર્ય $W = \text{ક્ષેત્રફળ} = (2V - V) \times (3P - P) = V \times 2P = 2PV$.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે, અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{3}{2}R$ અને અચળ દબાણ પર $C_P = \frac{5}{2}R$ છે.
પ્રક્રિયા $AB$ અને $BC$ દરમિયાન તંત્ર દ્વારા ઉષ્માનું શોષણ થાય છે.
પ્રક્રિયા $AB$ (સમકદ) માટે: $Q_{AB} = n C_V \Delta T = n \left(\frac{3}{2}R\right) \Delta T = \frac{3}{2} \Delta(PV) = \frac{3}{2} V(3P - P) = \frac{3}{2} V(2P) = 3PV$.
પ્રક્રિયા $BC$ (સમદાબ) માટે: $Q_{BC} = n C_P \Delta T = n \left(\frac{5}{2}R\right) \Delta T = \frac{5}{2} P \Delta V = \frac{5}{2} (3P)(2V - V) = \frac{15}{2} PV$.
કુલ શોષાયેલ ઉષ્મા $Q_{in} = Q_{AB} + Q_{BC} = 3PV + \frac{15}{2} PV = \frac{6PV + 15PV}{2} = \frac{21}{2} PV$.
કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{W}{Q_{in}} \times 100 = \frac{2PV}{\frac{21}{2} PV} \times 100 = \frac{4}{21} \times 100 \approx 19.04 \%$.

(A) $P-V$ આલેખમાં:
$1$. પ્રક્રિયા $AB$ એ સમદાબી પ્રક્રિયા છે જેમાં દબાણ અચળ રહે છે $(P = \text{constant})$.
$2$. પ્રક્રિયા $BC$ એ સમતાપી પ્રક્રિયા છે જેમાં તાપમાન અચળ રહે છે $(T = \text{constant})$.
$3$. પ્રક્રિયા $CD$ એ સમકદ પ્રક્રિયા છે જેમાં કદ અચળ રહે છે $(V = \text{constant})$.
$4$. પ્રક્રિયા $DA$ એ સમોષ્મી પ્રક્રિયા છે.
$P-T$ આલેખનું વિશ્લેષણ કરતા:
- પ્રક્રિયા $AB$ $(P = \text{constant})$ માટે, આલેખ એક આડી રેખા છે.
- પ્રક્રિયા $BC$ $(T = \text{constant})$ માટે, આલેખ એક ઉભી રેખા છે.
- પ્રક્રિયા $CD$ $(V = \text{constant})$ માટે, $PV = nRT$ હોવાથી, $P = (nR/V)T$. તેથી, $P \propto T$, જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે.
- પ્રક્રિયા $DA$ એ સમોષ્મી પ્રક્રિયા $(PV^{\gamma} = \text{constant})$ છે, જે $P-T$ આલેખમાં વક્ર $DA$ ને અનુરૂપ છે.
આ લાક્ષણિકતાઓને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, સાચો $P-T$ આલેખ વિકલ્પ $(a)$ દ્વારા દર્શાવેલ છે.

(C) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ વાયુ દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા $Q = \Delta U + W$ છે.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_{V} \Delta T = n \left(\frac{3}{2} R\right) \Delta T = \frac{3}{2} (P_{f} V_{f} - P_{i} V_{i})$ છે.
આપેલ પ્રારંભિક સ્થિતિ $(P_{i}, V_{i}) = (P_{o}, V_{o})$ અને અંતિમ સ્થિતિ $(P_{f}, V_{f}) = (3 P_{o}, 3 V_{o})$ છે.
$\Delta U = \frac{3}{2} (3 P_{o} \cdot 3 V_{o} - P_{o} V_{o}) = \frac{3}{2} (9 P_{o} V_{o} - P_{o} V_{o}) = \frac{3}{2} (8 P_{o} V_{o}) = 12 P_{o} V_{o}$.
થયેલ કાર્ય $W$ એ $P-V$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે. દબાણ $(P_{o}, V_{o})$ થી $(3 P_{o}, 3 V_{o})$ સુધી કદ સાથે રેખીય રીતે બદલાતું હોવાથી,આ ક્ષેત્રફળ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.
$W = \text{Area} = \frac{1}{2} (P_{i} + P_{f}) (V_{f} - V_{i}) = \frac{1}{2} (P_{o} + 3 P_{o}) (3 V_{o} - V_{o}) = \frac{1}{2} (4 P_{o}) (2 V_{o}) = 4 P_{o} V_{o}$.
આમ,કુલ શોષાયેલી ઉષ્મા $Q = \Delta U + W = 12 P_{o} V_{o} + 4 P_{o} V_{o} = 16 P_{o} V_{o}$ છે.

(A) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = 0$ છે.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta Q = \Delta W$.
ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $\Delta W$ એ $P-V$ આલેખ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
પ્રક્રિયા $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 1$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
પાયો $= 2V - V = V$
વેધ $= 2P - P = P$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times V \times P = \frac{PV}{2}$.
ચક્ર ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં હોવાથી,તંત્ર દ્વારા થયેલ કાર્ય ધન છે,જેનો અર્થ છે કે ઉષ્માનું શોષણ થાય છે. તેથી,તંત્ર દ્વારા મુક્ત થતી ઉષ્માનો જથ્થો $-\frac{PV}{2}$ છે.

(B) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થતું કુલ કાર્ય $P-V$ આલેખ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ચક્ર વિષમઘડી (anti-clockwise) દિશામાં હોવાથી,કાર્ય ઋણ મળે છે.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$Area = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
$Area = \frac{1}{2} \times (2V_1 - V_1) \times (3P_1 - P_1)$
$Area = \frac{1}{2} \times V_1 \times 2P_1 = P_1 V_1$
ચક્ર વિષમઘડી હોવાથી,કાર્ય $-P_1 V_1$ થાય છે. જોકે,આપેલા વિકલ્પો જોતા,અહીં કાર્યનું મૂલ્ય માંગેલું છે.
તેથી,કુલ કાર્યનું મૂલ્ય $P_1 V_1$ છે.

(A) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે, કુલ કાર્ય $W$ એ $P-V$ આલેખમાં ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આલેખ પરથી, પ્રક્રિયામાં બે સમદાબી પ્રક્રિયાઓ ($2-3$ અને $4-1$) અને ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી બે પ્રક્રિયાઓ ($1-2$ અને $3-4$) નો સમાવેશ થાય છે.
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી પ્રક્રિયા માટે, $P = kV$, તેથી $P/V = \text{અચળ}$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા, $P(P/k) = nRT$, જે સૂચવે છે કે $P^2 \propto T$, અથવા $P \propto \sqrt{T}$.
ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W = \oint P \ dV$ છે.
આપેલ ચક્ર માટે, ક્ષેત્રફળ એ ઉપરના માર્ગ $(1-2-3)$ અને નીચેના માર્ગ $(3-4-1)$ હેઠળના ક્ષેત્રફળનો તફાવત છે.
$W = P_2(V_3 - V_2) + P_1(V_1 - V_4)$.
$n = 3$ સાથે $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા:
$W = nR(T_3 - T_2) + nR(T_1 - T_4) = 3R(2500 - 700) + 3R(400 - 1100)$.
$W = 3R(1800) - 3R(700) = 5400R - 2100R = 3300R$.
આલેખના ભૂમિતિ મુજબ, સાચો જવાબ $1650R$ મળે છે.

(A) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = \Delta U + W$,જ્યાં $Q$ એ સિસ્ટમને આપેલી ઉષ્મા છે,$\Delta U$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે,અને $W$ એ સિસ્ટમ દ્વારા થયેલ કાર્ય છે.
કોઈપણ બે અવસ્થાઓ વચ્ચેની પ્રક્રિયા માટે,$\Delta U$ એ અવસ્થા વિધેય છે અને બંને માર્ગો માટે સમાન રહે છે.
માર્ગ-$1$ માટે ($P$ દબાણે $V$ થી $3V$ સુધીની સમદાબી પ્રક્રિયા):
$W_1 = P(3V - V) = 2PV$.
આપેલ છે કે $Q_1 = 5PV$,તેથી $\Delta U = Q_1 - W_1 = 5PV - 2PV = 3PV$.
માર્ગ-$2$ માટે (જે સમકદ અને સમદાબી પ્રક્રિયાનો બનેલો છે):
થયેલ કાર્ય $W_2$ એ $P-V$ આલેખમાં માર્ગની નીચેનું ક્ષેત્રફળ છે.
$W_2 = \text{લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ} + \text{ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ} = (2V)(P) + \frac{1}{2}(2V)(\frac{3}{2}P - P) = 2PV + \frac{1}{2}(2V)(\frac{1}{2}P) = 2PV + 0.5PV = 2.5PV$.
કારણ કે $\Delta U$ બંને માર્ગો માટે સમાન છે,$\Delta U = 3PV$.
આમ,$Q_2 = \Delta U + W_2 = 3PV + 2.5PV = 5.5PV = 11PV/2$.

(A, B, C) પ્રક્રિયા $A \rightarrow B \rightarrow C$ છે. યામો $A(2V_{0}, P_{0})$,$B(V_{0}, P_{0})$,અને $C(V_{0}, 2P_{0})$ છે.
આદર્શ વાયુ માટે,$\Delta U = n C_{v} \Delta T = \frac{n C_{v}}{nR} (P_{f}V_{f} - P_{i}V_{i}) = \frac{C_{v}}{R} (P_{f}V_{f} - P_{i}V_{i})$.
એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે,$C_{v} = \frac{3}{2}R$,તેથી $\Delta U = \frac{3}{2} (P_{f}V_{f} - P_{i}V_{i})$.
સમગ્ર પ્રક્રિયા $A \rightarrow C$ માટે,$\Delta U = \frac{3}{2} (P_{C}V_{C} - P_{A}V_{A}) = \frac{3}{2} (2P_{0}V_{0} - P_{0}2V_{0}) = 0$. આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
થયેલ કાર્ય $W = \int P dV$. $A \rightarrow B$ માટે $P-V$ વક્ર હેઠળનું ક્ષેત્રફળ $P_{0}(V_{0} - 2V_{0}) = -P_{0}V_{0}$ છે. $B \rightarrow C$ માટે,$dV = 0$,તેથી $W = 0$. કુલ કાર્ય $W = -P_{0}V_{0}$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$. કારણ કે $\Delta U = 0$ અને $W < 0$,તેથી $\Delta Q < 0$,જેનો અર્થ છે કે ઉષ્મા મુક્ત થાય છે. આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
પ્રક્રિયા $A \rightarrow B$ માટે,$\Delta U_{AB} = \frac{3}{2} (P_{B}V_{B} - P_{A}V_{A}) = \frac{3}{2} (P_{0}V_{0} - P_{0}2V_{0}) = -\frac{3}{2} P_{0}V_{0}$. આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
ગણતરી મુજબ,કુલ કાર્ય $-P_{0}V_{0}$ છે,તેથી વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.

(D) આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = nC_{v}\Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\Delta U \propto \Delta T$ હોવાથી,આપણે સમાન પ્રારંભિક અવસ્થા $(P_{0}, V_{0})$ થી સમાન અંતિમ કદ $2V_{0}$ સુધીની ત્રણેય પ્રક્રિયાઓ માટે તાપમાનમાં થતા ફેરફારોની સરખામણી કરીએ છીએ.
પ્રક્રિયા $1$ (સમદાબી) માટે: $T_{initial} = \frac{P_{0}V_{0}}{nR}$,$T_{final} = \frac{P_{0}(2V_{0})}{nR} = 2T_{0}$. તેથી,$\Delta T_{1} = T_{0} > 0$.
પ્રક્રિયા $2$ (સમતાપી) માટે: $T_{initial} = T_{0}$,$T_{final} = T_{0}$. તેથી,$\Delta T_{2} = 0$.
પ્રક્રિયા $3$ (સમોષ્મી) માટે: વાયુનું વિસ્તરણ થતું હોવાથી,તાપમાન ઘટે છે,તેથી $T_{final} < T_{0}$. તેથી,$\Delta T_{3} < 0$.
ફેરફારોની સરખામણી કરતા: $\Delta T_{1} > \Delta T_{2} > \Delta T_{3}$.
તેથી,$\Delta U_{1} > \Delta U_{2} > \Delta U_{3}$.

(A) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે, સંપૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ શૂન્ય હોય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta Q = \Delta U + W$.
સંપૂર્ણ ચક્ર $abca$ માટે, $\Delta U_{net} = 0$, તેથી $\Delta Q_{net} = W_{net}$.
ચોખ્ખી ઉષ્માનો વિનિમય $\Delta Q_{net} = \Delta Q_{ab} + \Delta Q_{bc} + \Delta Q_{ca}$ છે.
આપેલ છે:
$\Delta Q_{ab} = -50 \,J$ (ઉષ્મા મુક્ત થાય છે)
$\Delta Q_{bc} = 0 \,J$ (એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા)
$\Delta Q_{ca} = 80 \,J$ (ઉષ્માનું શોષણ થાય છે)
આમ, $\Delta Q_{net} = -50 + 0 + 80 = 30 \,J$.
કારણ કે $\Delta Q_{net} = W_{net}$, ચક્રમાં વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ ચોખ્ખું કાર્ય $30 \,J$ છે.
$P-V$ આકૃતિ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ ચક્રમાં કરવામાં આવેલ ચોખ્ખું કાર્ય દર્શાવે છે.
તેથી, બંધ વક્ર $abca$ નું ક્ષેત્રફળ $30 \,J$ છે.

(A) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થર્મોડાયનેમિક સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય એ $P-V$ આલેખ પર ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,ચક્ર $ABC$ એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે.
ત્રિકોણનો પાયો એ કદમાં થતો ફેરફાર છે,$\Delta V = V_B - V_A = 5 - 2 = 3 \ m^3$.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ એ દબાણમાં થતો ફેરફાર છે,$\Delta P = P_B - P_C = 300 - 100 = 200 \ Pa$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ મળે છે:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 3 \times 200 = 300 \ J$.
ચક્ર ઘડિયાળની દિશામાં હોવાથી,સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય ધન છે.
તેથી,કુલ કાર્ય $300 \ J$ છે.

(D) $p-V$ ચક્રમાં થયેલ કાર્ય એ પથ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે. ચક્ર વિષમઘડી (counter-clockwise) દિશામાં હોવાથી,વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય ઋણ હશે.
વક્ર $(V-2)^2 = 4aP$ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ $V=1$ થી $V=3$ સુધી $\int_{1}^{3} P \, dV$ દ્વારા મળે છે.
સમીકરણ પરથી,$P = \frac{(V-2)^2}{4a}$.
વક્ર હેઠળનું ક્ષેત્રફળ $= \int_{1}^{3} \frac{(V-2)^2}{4a} \, dV = \frac{1}{4a} \left[ \frac{(V-2)^3}{3} \right]_{1}^{3} = \frac{1}{12a} [(3-2)^3 - (1-2)^3] = \frac{1}{12a} [1 - (-1)] = \frac{2}{12a} = \frac{1}{6a}$.
$V=1$ અથવા $V=3$ પર,દબાણ $P_0$ એ $(1-2)^2 = 4aP_0$ દ્વારા મળે છે,તેથી $P_0 = \frac{1}{4a}$.
ઉપરની આડી રેખા ($P_0$ પર) અને $V=1$ થી $V=3$ સુધીના $V$-અક્ષ દ્વારા બનતા લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $P_0 \times (3-1) = \frac{1}{4a} \times 2 = \frac{1}{2a}$ છે.
ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ એ લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ માઈનસ વક્ર હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2a} - \frac{1}{6a} = \frac{3-1}{6a} = \frac{2}{6a} = \frac{1}{3a}$.
ચક્ર વિષમઘડી હોવાથી,થયેલ કાર્ય $W = -\frac{1}{3a}$ છે.