Centre of Mass of Composite Bodies and Cavity Problen of Centre of mass Questions in Hindi

(C) माना कि $\sigma$ डिस्क का एकसमान पृष्ठीय द्रव्यमान घनत्व है।
माना $M_1$ त्रिज्या $a$ की पूर्ण डिस्क का द्रव्यमान है और $M_2$ त्रिज्या $\frac{a}{2}$ के हटाए गए वृत्ताकार छेद का द्रव्यमान है।
$M_1 = \sigma \pi a^2$,जिसका द्रव्यमान केंद्र $x_1 = a$ पर है।
$M_2 = \sigma \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\sigma \pi a^2}{4}$,जिसका द्रव्यमान केंद्र $x_2 = \frac{3a}{2}$ पर है।
शेष भाग का द्रव्यमान केंद्र इस प्रकार दिया गया है:
$x_{COM} = \frac{M_1 x_1 - M_2 x_2}{M_1 - M_2}$
$x_{COM} = \frac{(\sigma \pi a^2)(a) - (\frac{\sigma \pi a^2}{4})(\frac{3a}{2})}{\sigma \pi a^2 - \frac{\sigma \pi a^2}{4}}$
$x_{COM} = \frac{a - \frac{3a}{8}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\frac{5a}{8}}{\frac{3}{4}} = \frac{5a}{8} \times \frac{4}{3} = \frac{5a}{6}$

(A) हम मूल बिंदु को $P$ पर चुनते हैं। छोटे घन के शीर्ष $O$ के निर्देशांक $(b, b, b)$ हैं।
मान लीजिए घन का द्रव्यमान घनत्व $\rho$ है।
बड़े घन का द्रव्यमान $M_1 = \rho a^3$ है और इसका द्रव्यमान केंद्र $(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$ पर है।
हटाए गए छोटे घन का द्रव्यमान $M_2 = \rho b^3$ है और इसका द्रव्यमान केंद्र $(\frac{b}{2}, \frac{b}{2}, \frac{b}{2})$ पर है।
शेष ठोस के द्रव्यमान केंद्र के लिए ऋणात्मक द्रव्यमान के सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$x_{CM} = \frac{M_1 x_1 - M_2 x_2}{M_1 - M_2} = b$
$\Rightarrow \frac{\rho a^3 (a/2) - \rho b^3 (b/2)}{\rho a^3 - \rho b^3} = b$
$\Rightarrow \frac{a^4 - b^4}{2(a^3 - b^3)} = b$
$\Rightarrow a^4 - b^4 = 2b(a^3 - b^3)$
$b^4$ से विभाजित करने पर और $X = a/b$ प्रतिस्थापित करने पर:
$X^4 - 1 = 2(X^3 - 1)$
$X^4 - 2X^3 + 1 = 0$
चूंकि $X \neq 1$,हम $(X-1)$ से विभाजित करते हैं:
$(X-1)(X^3 - X^2 - X - 1) = 0$
अतः,$X^3 - X^2 - X - 1 = 0$.

(A) त्रिज्या $R$ और कुल कोणीय आकार $\theta$ के एक समान ठोस वृत्ताकार सेक्टर पर विचार करें। मान लें कि सेक्टर $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
सेक्टर के एक सूक्ष्म त्रिभुजाकार तत्व पर विचार करें जिसकी कोणीय चौड़ाई $d\alpha$ है और जो $y$-अक्ष से $\alpha$ कोण पर है।
इस सूक्ष्म त्रिभुज का क्षेत्रफल $dA = \frac{1}{2} R^2 d\alpha$ है।
त्रिभुज का द्रव्यमान केंद्र शीर्ष $O$ से $\frac{2}{3} R$ की दूरी पर होता है। इस तत्व के लिए,इसके द्रव्यमान केंद्र की $x$-अक्ष से दूरी $y = \frac{2}{3} R \cos \alpha$ है।
पूरे सेक्टर के द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक इस प्रकार दिया गया है:
$\bar{y} = \frac{\int y dA}{\int dA} = \frac{\int_{-\theta/2}^{\theta/2} (\frac{2}{3} R \cos \alpha) (\frac{1}{2} R^2 d\alpha)}{\int_{-\theta/2}^{\theta/2} \frac{1}{2} R^2 d\alpha}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$\bar{y} = \frac{\frac{1}{3} R^3 \int_{-\theta/2}^{\theta/2} \cos \alpha d\alpha}{\frac{1}{2} R^2 [\alpha]_{-\theta/2}^{\theta/2}} = \frac{\frac{1}{3} R^3 [\sin \alpha]_{-\theta/2}^{\theta/2}}{\frac{1}{2} R^2 \theta} = \frac{\frac{1}{3} R^3 (2 \sin(\theta/2))}{\frac{1}{2} R^2 \theta}$
$\bar{y} = \frac{2}{3} R \frac{2 \sin(\theta/2)}{\theta} = \frac{4}{3} R \frac{\sin(\theta/2)}{\theta}$

(D) मान लीजिए कि $R$ त्रिज्या वाले ठोस गोले का केंद्र मूल बिंदु $(0,0,0)$ पर है।
मान लीजिए कि $\rho$ गोले का एकसमान घनत्व है।
ठोस गोले का द्रव्यमान $M = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ है।
हटाए गए $r$ त्रिज्या वाले गोलाकार गुहा का द्रव्यमान $m = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ है।
गुहा का द्रव्यमान केंद्र मूल बिंदु से $x$-अक्ष पर $R-r$ की दूरी पर है।
शेष पिंड का द्रव्यमान केंद्र निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$x_{CM} = \frac{M(0) - m(R-r)}{M - m}$
मान रखने पर:
$x_{CM} = \frac{0 - (\frac{4}{3} \pi r^3 \rho)(R-r)}{\frac{4}{3} \pi R^3 \rho - \frac{4}{3} \pi r^3 \rho}$
$x_{CM} = -\frac{r^3(R-r)}{R^3 - r^3}$
बीजगणितीय सर्वसमिका $R^3 - r^3 = (R-r)(R^2 + Rr + r^2)$ का उपयोग करने पर:
$x_{CM} = -\frac{r^3(R-r)}{(R-r)(R^2 + Rr + r^2)} = -\frac{r^3}{R^2 + Rr + r^2}$
ऋणात्मक चिह्न इंगित करता है कि द्रव्यमान केंद्र गुहा की विपरीत दिशा में स्थानांतरित हो जाता है।
मूल ठोस गोले के केंद्र से द्रव्यमान केंद्र की दूरी $d$,$x_{CM}$ का परिमाण है:
$d = \frac{r^3}{R^2 + Rr + r^2}$

(C) मान लीजिए कि छड़ों का रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\lambda$ है।
क्षैतिज छड़ (लंबाई $L$) का द्रव्यमान $m_1 = \lambda L$ है और इसका द्रव्यमान केंद्र $(x_1, y_1) = (L/2, 0)$ पर है।
ऊर्ध्वाधर छड़ (लंबाई $2L$) का द्रव्यमान $m_2 = \lambda(2L) = 2m$ है (जहाँ $m = \lambda L$) और इसका द्रव्यमान केंद्र $(x_2, y_2) = (0, L)$ पर है।
द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक $x_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} = \frac{m(L/2) + 2m(0)}{m + 2m} = \frac{mL/2}{3m} = \frac{L}{6}$ है।
द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक $y_{cm} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2} = \frac{m(0) + 2m(L)}{m + 2m} = \frac{2mL}{3m} = \frac{2L}{3}$ है।
अतः,द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक $\left(\frac{L}{6}, \frac{2L}{3}\right)$ हैं।

(B) माना कि संपर्क बिंदु मूल बिंदु $(0,0)$ है।
वृत्ताकार प्लेट का क्षेत्रफल $A_1 = \pi (a/2)^2 = \frac{\pi a^2}{4}$ है। इसका द्रव्यमान केंद्र $x_1 = -a/2$ पर है।
वर्गाकार प्लेट का क्षेत्रफल $A_2 = a^2$ है। इसका द्रव्यमान केंद्र $x_2 = a/2$ पर है।
x-अक्ष पर संयुक्त निकाय का द्रव्यमान केंद्र इस प्रकार है:
$x_{cm} = \frac{A_1 x_1 + A_2 x_2}{A_1 + A_2}$
$x_{cm} = \frac{(\frac{\pi a^2}{4})(-a/2) + (a^2)(a/2)}{\frac{\pi a^2}{4} + a^2}$
$x_{cm} = \frac{-\frac{\pi a^3}{8} + \frac{a^3}{2}}{\frac{\pi a^2}{4} + a^2} = \frac{a^3(\frac{1}{2} - \frac{\pi}{8})}{a^2(1 + \frac{\pi}{4})} = \frac{a(4 - \pi)}{8} \cdot \frac{4}{4 + \pi} = \frac{a(4 - \pi)}{2(4 + \pi)}$
चूंकि $\pi \approx 3.14$,इसलिए $4 - \pi > 0$,अतः $x_{cm} > 0$ है।
चूंकि धनात्मक x-अक्ष वर्गाकार प्लेट के भीतर स्थित है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र वर्गाकार प्लेट के अंदर स्थित है।

(B) किसी पिंड का द्रव्यमान केंद्र हमेशा उसकी सममिति अक्ष पर स्थित होता है।
दिए गए चित्र में,वर्गाकार प्लेट से एक भाग इस प्रकार हटाया गया है कि शेष $L$-आकार का पिंड विकर्ण $OA$ के परितः सममित है।
इसलिए,शेष भाग का द्रव्यमान केंद्र रेखा $OA$ पर स्थित होना चाहिए।

(A) माना कि पृष्ठीय द्रव्यमान घनत्व $\sigma$ है। प्लेट का कुल क्षेत्रफल $A = (3 \times 2) - (1 \times 1) = 5 \text{ units}^2$ है। दिया गया द्रव्यमान $M = 10 \ kg$ है,इसलिए $\sigma = \frac{10}{5} = 2 \ kg/\text{unit}^2$ है।
हम प्लेट को $3 \times 2$ के एक बड़े आयत (द्रव्यमान $M_{total} = 3 \times 2 \times 2 = 12 \ kg$) में से $1 \times 1$ के एक छोटे वर्ग (द्रव्यमान $m_{cut} = 1 \times 1 \times 2 = 2 \ kg$) को घटाकर मान सकते हैं।
बड़े आयत का द्रव्यमान केंद्र $(1.5, 1.0)$ पर है।
काटे गए वर्ग का द्रव्यमान केंद्र $(1.5, 1.5)$ पर है।
माना कि शेष प्लेट का द्रव्यमान केंद्र $(x, y)$ है। आघूर्ण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$M_{total} X_{CM} = M_{plate} x + m_{cut} x_{cut} \Rightarrow 12(1.5) = 10(x) + 2(1.5)$
$18 = 10x + 3 \Rightarrow 10x = 15 \Rightarrow x = 1.5$.
$M_{total} Y_{CM} = M_{plate} y + m_{cut} y_{cut} \Rightarrow 12(1.0) = 10(y) + 2(1.5)$
$12 = 10y + 3 \Rightarrow 10y = 9 \Rightarrow y = 0.9$.
अनुपात $\frac{x}{y} = \frac{1.5}{0.9} = \frac{15}{9}$ है।
$\frac{n}{9}$ से तुलना करने पर,हमें $n = 15$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए मूल डिस्क की त्रिज्या $R = 20 \ cm$ है और छेद की त्रिज्या $r = 5 \ cm$ है।
मूल डिस्क का द्रव्यमान $M = \sigma \pi R^2$ है,जहाँ $\sigma$ सतह द्रव्यमान घनत्व है।
काटे गए भाग का द्रव्यमान $m = \sigma \pi r^2$ है।
चूंकि $r = R/4$,इसलिए द्रव्यमान $m = \sigma \pi (R/4)^2 = M/16$ होगा।
मूल डिस्क का द्रव्यमान केंद्र मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है।
छेद का केंद्र मूल बिंदु से $d = R - r = 20 - 5 = 15 \ cm$ की दूरी पर है।
शेष भाग के द्रव्यमान केंद्र को $X_{\text{com}}$ मानें। गुहा (cavity) वाले निकाय के द्रव्यमान केंद्र के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$X_{\text{com}} = \frac{M(0) - m(d)}{M - m}$
$X_{\text{com}} = \frac{0 - (M/16)(15)}{M - M/16} = \frac{-(15/16)M}{(15/16)M} = -1 \ cm$.
दूरी का परिमाण $|X_{\text{com}}| = 1 \ cm$ है।

(A) हम $L$-आकार की प्लेट को दो आयताकार भागों में विभाजित कर सकते हैं:
भाग $1$: $x=0$ से $x=1$ और $y=0$ से $y=2$ तक का आयत। इसका क्षेत्रफल $A_1 = 1 \times 2 = 2 \ m^2$ है। इसका द्रव्यमान केंद्र $(x_1, y_1) = (0.5, 1)$ पर है।
भाग $2$: $x=1$ से $x=2$ और $y=0$ से $y=1$ तक का आयत। इसका क्षेत्रफल $A_2 = 1 \times 1 = 1 \ m^2$ है। इसका द्रव्यमान केंद्र $(x_2, y_2) = (1.5, 0.5)$ पर है।
चूंकि प्लेट एक समान है,द्रव्यमान क्षेत्रफल के समानुपाती होता है। कुल क्षेत्रफल $A = A_1 + A_2 = 3 \ m^2$.
द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक $X_{cm} = \frac{A_1 x_1 + A_2 x_2}{A_1 + A_2} = \frac{2(0.5) + 1(1.5)}{3} = \frac{1 + 1.5}{3} = \frac{2.5}{3} = \frac{5}{6} \ m$.
द्रव्यमान केंद्र का $y$-निर्देशांक $Y_{cm} = \frac{A_1 y_1 + A_2 y_2}{A_1 + A_2} = \frac{2(1) + 1(0.5)}{3} = \frac{2 + 0.5}{3} = \frac{2.5}{3} = \frac{5}{6} \ m$.
अतः,द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक $\left(\frac{5}{6} \ m, \frac{5}{6} \ m\right)$ हैं।

(B) माना प्लेट का पृष्ठीय द्रव्यमान घनत्व $\sigma$ है। $R = 2r$ त्रिज्या वाली मूल प्लेट $B$ का द्रव्यमान $M_B = \sigma \pi (2r)^2 = 4 \sigma \pi r^2$ है।
$r_A = 1.5r$ त्रिज्या वाली हटाई गई प्लेट $A$ का द्रव्यमान $M_A = \sigma \pi (1.5r)^2 = 2.25 \sigma \pi r^2$ है।
मूल प्लेट $B$ का द्रव्यमान केंद्र उसके केंद्र (मूल बिंदु,$x_B = 0$) पर है।
हटाई गई प्लेट $A$ का केंद्र,प्लेट $B$ के केंद्र से $d = R - r_A = 2r - 1.5r = 0.5r$ की दूरी पर है।
शेष भाग के द्रव्यमान केंद्र $X_{cm}$ का सूत्र:
$X_{cm} = \frac{M_B x_B - M_A x_A}{M_B - M_A}$
$X_{cm} = \frac{(4 \sigma \pi r^2)(0) - (2.25 \sigma \pi r^2)(0.5r)}{4 \sigma \pi r^2 - 2.25 \sigma \pi r^2}$
$X_{cm} = \frac{-1.125 \sigma \pi r^3}{1.75 \sigma \pi r^2} = -\frac{1.125}{1.75} r = -\frac{1125}{1750} r = -\frac{9}{14} r$.
दूरी का परिमाण $\frac{9r}{14}$ है।

(A) मान लीजिए कि मूल डिस्क की त्रिज्या $R_1$ है और द्रव्यमान $M_1 = \sigma \pi R_1^2$ है,जहाँ $\sigma$ पृष्ठीय द्रव्यमान घनत्व है। इसका द्रव्यमान केंद्र मूल बिंदु $(0,0)$ पर है।
मान लीजिए कि हटाए गए वृत्ताकार भाग की त्रिज्या $R_2$ है और द्रव्यमान $M_2 = \sigma \pi R_2^2$ है। चित्र में दिखाए अनुसार इसका केंद्र $(R_1 - R_2, 0)$ पर है।
शेष भाग का द्रव्यमान केंद्र इस प्रकार दिया गया है:
$x_{CM} = \frac{M_1 x_1 - M_2 x_2}{M_1 - M_2}$
मान रखने पर:
$x_{CM} = \frac{(\sigma \pi R_1^2)(0) - (\sigma \pi R_2^2)(R_1 - R_2)}{\sigma \pi R_1^2 - \sigma \pi R_2^2}$
$x_{CM} = \frac{-R_2^2(R_1 - R_2)}{R_1^2 - R_2^2}$
$x_{CM} = \frac{-R_2^2(R_1 - R_2)}{(R_1 - R_2)(R_1 + R_2)}$
$x_{CM} = -\frac{R_2^2}{R_1 + R_2}$

(A) माना वृत्ताकार डिस्क का द्रव्यमान $M$ है और इसकी त्रिज्या $r$ है। डिस्क का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
माना मूल बिंदु $(0,0)$ डिस्क का केंद्र है।
इसमें से $d = r$ विकर्ण वाला एक वर्ग काटा जाता है। वर्ग की भुजा $a = d / \sqrt{2} = r / \sqrt{2}$ होगी।
वर्ग का क्षेत्रफल $A_s = a^2 = r^2 / 2$ है।
वर्गाकार भाग का द्रव्यमान $m = M \times (A_s / A) = M \times (r^2 / 2) / (\pi r^2) = M / (2 \pi)$ है।
वर्ग का द्रव्यमान केंद्र डिस्क के केंद्र से $d_s = r/2$ की दूरी पर है।
शेष भाग के द्रव्यमान केंद्र के लिए सूत्र: $X_{cm} = (M_1 X_1 - M_2 X_2) / (M_1 - M_2)$.
यहाँ,$M_1 = M$,$X_1 = 0$,$M_2 = m = M / (2 \pi)$,और $X_2 = r/2$.
$X_{cm} = (M \times 0 - (M / 2 \pi) \times (r / 2)) / (M - M / 2 \pi)$.
$X_{cm} = (-Mr / 4 \pi) / (M(1 - 1 / 2 \pi)) = (-r / 4 \pi) / ((2 \pi - 1) / 2 \pi) = -r / (2(2 \pi - 1)) = r / (2 - 4 \pi)$.

(B) माना कि पूरी डिस्क का द्रव्यमान $M$ है।
प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान $\sigma = \frac{M}{\pi(2R)^2} = \frac{M}{4\pi R^2}$ है।
$R$ त्रिज्या वाली हटाई गई वृत्ताकार डिस्क का द्रव्यमान $M_1 = \sigma \cdot \pi R^2 = \frac{M}{4\pi R^2} \cdot \pi R^2 = \frac{M}{4}$ है।
शेष डिस्क का द्रव्यमान $M_2 = M - M_1 = M - \frac{M}{4} = \frac{3M}{4}$ है।
माना कि बड़ी डिस्क का केंद्र मूल बिंदु $(0,0)$ पर है। हटाई गई डिस्क का द्रव्यमान केंद्र $x_1 = R$ पर है और शेष डिस्क का द्रव्यमान केंद्र $x_2 = -\alpha R$ पर है।
चूंकि मूल डिस्क का द्रव्यमान केंद्र मूल बिंदु पर था,इसलिए हम लिख सकते हैं:
$M_1 x_1 + M_2 x_2 = 0$
$\frac{M}{4} \cdot R + \frac{3M}{4} \cdot (-\alpha R) = 0$
$\frac{M}{4} \cdot R = \frac{3M}{4} \cdot \alpha R$
$\alpha = \frac{1}{3}$.

(A) माना मूल वर्गाकार प्लेट का द्रव्यमान $M$ है और इसकी भुजा की लंबाई $2R$ है। क्षेत्रफल $A = (2R)^2 = 4R^2$ है। द्रव्यमान केंद्र मूल बिंदु $(0,0)$ पर है।
जब $r = R/2$ त्रिज्या का एक वृत्ताकार टुकड़ा एक चतुर्थांश से हटाया जाता है,तो इसका क्षेत्रफल $A' = \pi r^2 = \pi (R/2)^2 = \pi R^2 / 4$ होता है।
हटाए गए वृत्ताकार टुकड़े का द्रव्यमान $m = M \times (A'/A) = M \times (\pi R^2 / 4) / (4R^2) = M \pi / 16$ है।
हटाए गए वृत्ताकार टुकड़े का द्रव्यमान केंद्र वर्ग के केंद्र के सापेक्ष $(R/2, R/2)$ पर है।
द्रव्यमान केंद्र में विस्थापन $\Delta x = \frac{m \cdot d}{M - m}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d$ वृत्त के केंद्र की वर्ग के केंद्र से दूरी है। दूरी $d = \sqrt{(R/2)^2 + (R/2)^2} = \frac{R}{\sqrt{2}}$ है।
मान रखने पर: $\Delta x = \frac{(M \pi / 16) \cdot (R / \sqrt{2})}{M - M \pi / 16} = \frac{M \pi R / (16 \sqrt{2})}{M(16 - \pi) / 16} = \frac{\pi R}{\sqrt{2}(16 - \pi)}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) मान लीजिए कि प्लेट का प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान $\sigma$ है।
मूल प्लेट का द्रव्यमान $M = \sigma \pi (4r)^2 = 16 \sigma \pi r^2$ है।
हटाए गए वृत्ताकार भाग का द्रव्यमान $m = \sigma \pi r^2$ है।
शेष भाग का द्रव्यमान $M' = M - m = 16 \sigma \pi r^2 - \sigma \pi r^2 = 15 \sigma \pi r^2$ है।
मान लीजिए कि मूल प्लेट का केंद्र मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है।
हटाए गए भाग का केंद्र $(2r, 0)$ पर है।
कैविटी (छेद) के लिए द्रव्यमान केंद्र के सिद्धांत का उपयोग करते हुए: $M X_{CM} = M' X_{R} + m X_{C}$,जहाँ $X_{CM}$ मूल प्लेट का द्रव्यमान केंद्र है (जो $0$ है),$X_{R}$ शेष भाग का द्रव्यमान केंद्र है,और $X_{C}$ हटाए गए भाग का द्रव्यमान केंद्र है।
$0 = (15 \sigma \pi r^2) X_{R} + (\sigma \pi r^2)(2r)$.
$15 X_{R} = -2r$.
दूरी का परिमाण $|X_{R}| = \frac{2r}{15}$ है।

(D) माना मूल डिस्क की त्रिज्या $R = 2 \,cm$ है और हटाए गए भाग की त्रिज्या $r = 1 \,cm$ है।
मूल डिस्क का क्षेत्रफल $A_1 = \pi R^2 = 4\pi \,cm^2$ है और हटाए गए भाग का क्षेत्रफल $A_2 = \pi r^2 = \pi \,cm^2$ है।
माना $\sigma$ पृष्ठीय द्रव्यमान घनत्व है। मूल डिस्क का द्रव्यमान $M = \sigma A_1 = 4\sigma\pi$ है और हटाए गए भाग का द्रव्यमान $m = \sigma A_2 = \sigma\pi$ है।
शेष द्रव्यमान $M' = M - m = 3\sigma\pi = \frac{3}{4}M$ है।
द्रव्यमान केंद्र में विस्थापन को अधिकतम करने के लिए, हटाए गए भाग को मूल डिस्क के किनारे पर स्पर्शरेखा होना चाहिए। $O$ से हटाए गए भाग के केंद्र की दूरी $d = R - r = 2 - 1 = 1 \,cm$ है।
द्रव्यमान केंद्र में विस्थापन $x = \frac{m d}{M'} = \frac{(\sigma\pi)(1)}{3\sigma\pi} = \frac{1}{3} \,cm$ है।
जब डिस्क को $\theta$ कोण से घुमाया जाता है, तो नया द्रव्यमान केंद्र $x = \frac{1}{3} \,cm$ त्रिज्या के वृत्ताकार चाप पर चलता है। द्रव्यमान केंद्र की प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों के बीच का विस्थापन $PQ = \frac{1}{\sqrt{3}} \,cm$ दिया गया है।
केंद्र $O$ और द्रव्यमान केंद्र की दो स्थितियों द्वारा निर्मित समद्विबाहु त्रिभुज में, $O$ पर कोण $\theta$ है। जीवा की लंबाई के सूत्र $PQ = 2x \sin(\frac{\theta}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = 2(\frac{1}{3}) \sin(\frac{\theta}{2})$
$\sin(\frac{\theta}{2}) = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{\theta}{2} = 60^{\circ} \Rightarrow \theta = 120^{\circ}$.

(B) माना डिस्क का प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान $\sigma$ है।
मूल डिस्क का कुल द्रव्यमान,$M = \pi R^2 \sigma$,जहाँ $R = 6 \text{ cm}$ है।
काटे गए भाग का द्रव्यमान,$M' = \pi r^2 \sigma$,जहाँ $r = 3 \text{ cm}$ है।
हम मूल डिस्क के केंद्र $O$ को मूल बिंदु $(0,0)$ मानते हैं।
मूल डिस्क का द्रव्यमान केंद्र $(0,0)$ पर है।
छेद का केंद्र $(3,0)$ पर है।
शेष भाग का द्रव्यमान केंद्र इस प्रकार होगा:
$x_{CM} = \frac{M x_1 - M' x_2}{M - M'}$
मान रखने पर:
$x_{CM} = \frac{(\pi R^2 \sigma)(0) - (\pi r^2 \sigma)(3)}{\pi R^2 \sigma - \pi r^2 \sigma}$
$x_{CM} = \frac{-3 \pi r^2 \sigma}{\pi \sigma (R^2 - r^2)} = \frac{-3 r^2}{R^2 - r^2}$
$x_{CM} = \frac{-3 \times 3^2}{6^2 - 3^2} = \frac{-3 \times 9}{36 - 9} = \frac{-27}{27} = -1 \text{ cm}$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि द्रव्यमान केंद्र मूल केंद्र से बाईं ओर $1 \text{ cm}$ स्थानांतरित हो जाता है। अतः दूरी $1 \text{ cm}$ है।

(D) मान लीजिए कि एकसमान प्लेट को $2a$ और $2b$ भुजाओं वाले एक बड़े आयत के रूप में माना जाता है,जिसमें से $a$ और $b$ भुजाओं वाला एक छोटा आयत हटा दिया गया है।
हटाए गए आयत का द्रव्यमान $m_1$ है और शेष छायांकित प्लेट का द्रव्यमान $m_2$ है।
हटाए गए आयत का क्षेत्रफल $A_1 = a \times b$ है। अतः,$m_1 = \sigma ab$.
पूर्ण आयत का क्षेत्रफल $A = 2a \times 2b = 4ab$ है। शेष प्लेट का क्षेत्रफल $A_2 = 4ab - ab = 3ab$ है। अतः,$m_2 = 3\sigma ab = 3m_1$.
पूर्ण आयत का द्रव्यमान केंद्र मूल बिंदु $(0,0)$ पर है।
हटाए गए आयत का द्रव्यमान केंद्र $(a/2, b/2)$ पर है।
द्रव्यमान केंद्र के लिए अध्यारोपण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए: शेष भाग के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $\vec{R} = \frac{M\vec{R}_{full} - m_1\vec{r}_1}{M - m_1}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,पूर्ण आयत का केंद्र $(0,0)$ पर है। इसका द्रव्यमान $M = 4m_1$ है।
हटाए गए भाग का केंद्र $(a/2, b/2)$ पर है।
$X_{cm} = \frac{4m_1(0) - m_1(a/2)}{3m_1} = -a/6$.
$Y_{cm} = \frac{4m_1(0) - m_1(b/2)}{3m_1} = -b/6$.
अतः,स्थिति $(-\frac{a}{6}, -\frac{b}{6})$ है।