Motion Under Gravity Questions in Hindi

(B) दिया गया है: टावर की ऊँचाई $h = 125 \ m$,प्रारंभिक वेग $u = 0$,त्वरण $g = 10 \ m/s^2$ है।
सबसे पहले,$h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ सूत्र का उपयोग करके जमीन तक पहुँचने में लगा कुल समय $t$ ज्ञात करें:
$125 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$
$125 = 5t^2 \Rightarrow t^2 = 25 \Rightarrow t = 5 \ s$ है।
अंतिम सेकंड में तय की गई दूरी,कुल समय में तय की गई दूरी और $(t-1)$ सेकंड में तय की गई दूरी का अंतर है।
$(5-1) = 4 \ s$ में तय की गई दूरी $h' = \frac{1}{2} \times 10 \times (4)^2 = 5 \times 16 = 80 \ m$ है।
अंतिम सेकंड में तय की गई दूरी $= 125 - 80 = 45 \ m$ है।
प्रश्न के अनुसार,यह दूरी कुल ऊँचाई का $x \%$ है:
$45 = \frac{x}{100} \times 125$
$x = \frac{45 \times 100}{125} = \frac{4500}{125} = 36$।

(B) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 35 \ m/s$,त्वरण $a = -g = -10 \ m/s^2$ है।
गति के प्रथम समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर:
$t_1 = 3 \ s$ पर,वेग $v_1 = 35 - 10(3) = 35 - 30 = 5 \ m/s$ है।
चाल $|v_1| = 5 \ m/s$ है।
$t_2 = 4 \ s$ पर,वेग $v_2 = 35 - 10(4) = 35 - 40 = -5 \ m/s$ है।
चाल $|v_2| = |-5| = 5 \ m/s$ है।
अतः,$3 \ s$ और $4 \ s$ पर चाल का अनुपात $\frac{|v_1|}{|v_2|} = \frac{5}{5} = 1: 1$ है।

(B) $n^{\text{वें}}$ सेकंड में तय की गई दूरी का सूत्र है:
$S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$
मुक्त रूप से गिरते हुए पिंड के लिए,प्रारंभिक वेग $u = 0$ और त्वरण $a = g$ होता है।
अतः,$n^{\text{वें}}$ सेकंड में तय की गई दूरी $S_n = \frac{g}{2}(2n - 1)$ है।
पहले सेकंड के लिए $(n = 1)$:
$S_1 = \frac{g}{2}(2(1) - 1) = \frac{g}{2}$
दूसरे सेकंड के लिए $(n = 2)$:
$S_2 = \frac{g}{2}(2(2) - 1) = \frac{3g}{2}$
तीसरे सेकंड के लिए $(n = 3)$:
$S_3 = \frac{g}{2}(2(3) - 1) = \frac{5g}{2}$
विस्थापन का अनुपात $S_1 : S_2 : S_3 = \frac{g}{2} : \frac{3g}{2} : \frac{5g}{2} = 1 : 3 : 5$ है।

(B) जब किसी पिंड को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है, तो वह अपनी पूरी उड़ान के दौरान गुरुत्वाकर्षण के कारण नीचे की ओर एक निरंतर त्वरण, जिसे $g$ कहा जाता है, का अनुभव करता है।
अपने प्रक्षेप पथ के उच्चतम बिंदु पर, पिंड का वेग क्षण भर के लिए $0 \,m/s$ हो जाता है।
हालाँकि, त्वरण स्थिर रहता है और पृथ्वी के केंद्र की ओर नीचे की दिशा में कार्य करता है।
इसलिए, उच्चतम बिंदु पर त्वरण गुरुत्वीय त्वरण के बराबर होता है, जो लगभग $9.8 \,m/s^2$ नीचे की ओर होता है।

(C)
समय $t$ पर ऊँचाई $H$ के लिए गति का समीकरण:
$H = ut - \frac{1}{2}gt^2$
चूँकि गेंद $t_1 = 2 \,s$ और $t_2 = 10 \,s$ पर समान ऊँचाई $H$ से गुजरती है, इसलिए:
$H = u(2) - \frac{1}{2}g(2)^2 = 2u - 2g$
$H = u(10) - \frac{1}{2}g(10)^2 = 10u - 50g$
$H$ के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$2u - 2g = 10u - 50g$
$8u = 48g$
$u = 6g = 6 \times 9.8 = 58.8 \,m/s$
अब $H$ के व्यंजक में $u$ का मान रखने पर:
$H = 2(58.8) - 2(9.8) = 117.6 - 19.6 = 98 \,m$

(B) दिया गया है कि $1 \,s$ में प्राप्त ऊँचाई $h=25 \,m$ है। मान लीजिए $u$ ऊपर की दिशा में प्रारंभिक वेग है। गति के समीकरण का उपयोग करते हुए,$h=ut-\frac{1}{2}gt^2$.
$25=u(1)-\frac{1}{2}(10)(1)^2$
$25=u-5 \Rightarrow u=30 \,m/s$.
अधिकतम ऊँचाई पर गेंद का अंतिम वेग शून्य हो जाता है। अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय $v=u-gt \Rightarrow 0=30-10t \Rightarrow t=3 \,s$ है।
अब,$2 \,s$ में तय की गई दूरी $2 \,s$ में विस्थापन है क्योंकि गेंद अभी भी ऊपर की ओर गति कर रही है:
$d_1=u(2)-\frac{1}{2}g(2)^2 = 30(2)-5(4) = 60-20 = 40 \,m$.
$3 \,s$ में गेंद द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई:
$H=u(3)-\frac{1}{2}g(3)^2 = 30(3)-5(9) = 90-45 = 45 \,m$.
$4 \,s$ के बाद विस्थापन:
$S_2=u(4)-\frac{1}{2}g(4)^2 = 30(4)-5(16) = 120-80 = 40 \,m$.
चूंकि गेंद $t=3 \,s$ पर अधिकतम ऊँचाई पार कर चुकी है,इसलिए $4 \,s$ में तय की गई कुल दूरी $d_2=H+(H-S_2) = 45+(45-40) = 50 \,m$ होगी।
अनुपात $\frac{d_1}{d_2} = \frac{40}{50} = \frac{4}{5}$ है।

(D) अधिकतम ऊँचाई पर, अंतिम वेग $v = 0$ होता है। गति के पहले समीकरण $v = u - gt$ का उपयोग करने पर, $0 = u - 10 \times 5$, जिससे $u = 50 \,m/s$ प्राप्त होता है।
$n^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी $s_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ द्वारा दी जाती है।
$2^{nd}$ सेकंड के लिए $(n=2)$: $s_2 = 50 - \frac{10}{2}(2 \times 2 - 1) = 50 - 5(3) = 35 \,m$.
$7^{th}$ सेकंड के लिए $(n=7)$: $s_7 = 50 - \frac{10}{2}(2 \times 7 - 1) = 50 - 5(13) = 50 - 65 = -15 \,m$. दूरी का परिमाण $15 \,m$ है।
$2^{nd}$ सेकंड और $7^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी का अनुपात $\frac{35}{15} = \frac{7}{3}$ है।

(A) मान लीजिए प्रारंभिक स्थिति $A$ है और वह बिंदु जहाँ गेंद पकड़ी जाती है $B$ है। उच्चतम बिंदु $P$ है।
प्रारंभिक गति $u = 20 \,m/s$ है।
विस्थापन $s = 5 \,m$ के लिए गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$5 = 20t - \frac{1}{2}(10)t^2$
$5 = 20t - 5t^2$
$5$ से विभाजित करने पर:
$1 = 4t - t^2$
$t^2 - 4t + 1 = 0$
द्विघात सूत्र $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$t = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3} \,s$.
चूंकि गेंद नीचे आते समय पकड़ी जाती है, इसलिए हम समय का बड़ा मान लेंगे:
$t = 2 + \sqrt{3} \,s$.

(B) मुक्त रूप से गिरते हुए पिंड के लिए,वेग का गति समीकरण $v = u + gt$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि प्रारंभिक चाल $u = 0$ है,इसलिए समीकरण $v = gt$ हो जाता है।
यहाँ,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,जो एक नियतांक है ($g \approx 9.8 \ m/s^2$ या $10 \ m/s^2$)।
यह समीकरण $v = gt$,$y = mx$ के रूप में है,जहाँ $y$ चाल को दर्शाता है,$x$ समय को दर्शाता है,और $m = g$ ढाल (slope) है।
चूंकि इसमें कोई अचर पद (अंतःखंड) नहीं है,इसलिए ग्राफ मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) प्रश्न के अनुसार, गेंद $t_1 = 3 \,s$ पर मीनार के शीर्ष पर पहुँचती है और उसके $2 \,s$ बाद अपनी अधिकतम ऊँचाई पर पहुँचती है।
अतः, गेंद द्वारा अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लिया गया कुल समय $t = t_1 + t_2 = 3 + 2 = 5 \,s$ है।
यदि $t = 0$ पर गेंद का प्रारंभिक वेग $u$ है, तो गति के पहले समीकरण $(v = u - gt)$ से:
$0 = u - 10 \times 5 \implies u = 50 \,m/s$.
यदि मीनार की ऊँचाई $h$ है, तो गति के दूसरे समीकरण $(h = ut - \frac{1}{2}gt^2)$ से:
$h = 50 \times 3 - \frac{1}{2} \times 10 \times 3^2 = 150 - 45 = 105 \,m$.
अतः, मीनार की ऊँचाई $105 \,m$ है।

(A) अधिकतम ऊँचाई पर, वस्तु का अंतिम वेग $v = 0 \,m/s$ होता है।
मान लीजिए कि अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय $t_{max}$ है।
हम जानते हैं कि अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने से $t$ समय पहले वस्तु का वेग, अधिकतम ऊँचाई से नीचे गिरते समय $t$ समय में प्राप्त किए गए वेग के बराबर होता है (समरूपता के कारण)।
यहाँ, $t = 0.5 \,s$ और गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \,m/s^2$ है।
अधिकतम ऊँचाई से विरामावस्था से शुरू होने वाली नीचे की गति के लिए गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए:
$v = u + gt$
$v = 0 + (9.8 \,m/s^2) \times (0.5 \,s)$
$v = 4.9 \,m/s$.

(B) माना कि दूरी $AB = BC = h$ है। कुल दूरी $AC = 2h$ है।
चूंकि वस्तु $A$ से विरामावस्था से मुक्त रूप से गिरती है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
गति के समीकरण $s = \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करते हुए,$AB = h$ दूरी तय करने में लगा समय $t_1$ है:
$t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$
$AC = 2h$ दूरी तय करने में लगा कुल समय $T$ है:
$T = \sqrt{\frac{2(2h)}{g}} = \sqrt{\frac{4h}{g}} = 2\sqrt{\frac{h}{g}}$
$BC$ दूरी तय करने में लगा समय $t_2$,कुल समय $T$ और $t_1$ का अंतर है:
$t_2 = T - t_1 = 2\sqrt{\frac{h}{g}} - \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{h}{g}}(2 - \sqrt{2})$
अब,अनुपात $(t_2 / t_1)$ है:
$\frac{t_2}{t_1} = \frac{\sqrt{\frac{h}{g}}(2 - \sqrt{2})}{\sqrt{\frac{2h}{g}}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$

(B) माना प्रारंभिक वेग $u$ है। अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,अंतिम वेग $0$ है। $v = u - gt$ का उपयोग करने पर,$0 = u - gt$,इसलिए $u = gt$।
अधिकतम ऊँचाई $h = \frac{u^2}{2g} = \frac{(gt)^2}{2g} = \frac{gt^2}{2}$ है।
पिंड $t$ सेकंड में अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचता है।
वापस लौटते समय,पिंड $h$ ऊँचाई से $h/2$ ऊँचाई तक गिरता है। तय की गई दूरी $h/2$ है।
अधिकतम ऊँचाई से विरामावस्था से नीचे की गति के लिए $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$\frac{h}{2} = 0 + \frac{1}{2}g(t')^2$,जहाँ $t'$ अधिकतम ऊँचाई से आधी ऊँचाई तक गिरने में लगा समय है।
$h = \frac{gt^2}{2}$ रखने पर,हमें $\frac{gt^2}{4} = \frac{1}{2}g(t')^2$ प्राप्त होता है।
$t'$ के लिए हल करने पर,$(t')^2 = \frac{t^2}{2}$,इसलिए $t' = \frac{t}{\sqrt{2}}$।
प्रक्षेपण से कुल समय $T = t + t' = t + \frac{t}{\sqrt{2}} = \left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)t$ होगा।

(D) जब कोई पिंड अपनी दिशा बदलता है,तो वह एक क्षण के लिए स्थिर हो जाता है,उदाहरण के लिए,ऊपर की ओर फेंका गया पिंड अपने उच्चतम बिंदु पर स्थिर हो जाता है। अतः,कारण कथन सही है।
इसी उदाहरण में,उच्चतम बिंदु पर कण का वेग $0$ होता है,लेकिन कण का त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $(g = 9.8 \ m/s^2)$ के बराबर होता है,जो कि शून्य नहीं है।
इसलिए,कथन असत्य है।

(A) गुरुत्वाकर्षण के अंतर्गत मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु के लिए,प्रारंभिक वेग $u = 0$ होता है। $t$ समय में तय की गई दूरी $h = \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दी जाती है।
पहले $4$ सेकंड में तय की गई दूरी $d_1 = \frac{1}{2}g(4)^2 = 8g$ है।
$12$ सेकंड ($4$ सेकंड + $8$ सेकंड) में तय की गई कुल दूरी $h_{12} = \frac{1}{2}g(12)^2 = 72g$ है।
अगले $8$ सेकंड में तय की गई दूरी $d_2 = h_{12} - d_1 = 72g - 8g = 64g$ है।
अतः,अनुपात $\frac{d_2}{d_1} = \frac{64g}{8g} = 8$ है।

(B) मान लीजिए कि पहली गेंद को $t=0$ समय पर $h$ ऊँचाई से विरामावस्था से गिराया जाता है और दूसरी गेंद को उसी $h$ ऊँचाई से $t=1 \,s$ समय पर गिराया जाता है।
समय $t$ पर पहली गेंद द्वारा तय की गई दूरी $H_1 = \frac{1}{2} g t^2$ है।
दूसरी गेंद $t=1 \,s$ पर गिराई जाती है। मान लीजिए दूसरी गेंद गिराने के बाद का समय $t_1$ है। अतः $t = 1 + t_1$ है।
समय $t$ पर पहली गेंद द्वारा तय की गई दूरी $s_1 = \frac{1}{2} g t^2 = \frac{1}{2} g (1 + t_1)^2$ है।
समय $t_1$ पर दूसरी गेंद द्वारा तय की गई दूरी $s_2 = \frac{1}{2} g t_1^2$ है।
दोनों गेंदों के बीच की दूरी $s_1 - s_2 = 10 \,m$ दी गई है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} g (1 + t_1)^2 - \frac{1}{2} g t_1^2 = 10$.
$g = 10 \,m/s^2$ का उपयोग करने पर: $5(1 + 2t_1 + t_1^2) - 5t_1^2 = 10$.
$5 + 10t_1 + 5t_1^2 - 5t_1^2 = 10$.
$10t_1 = 5$.
$t_1 = 0.5 \,s$.
कुल समय $t = 1 + t_1 = 1 + 0.5 = 1.5 \,s$.

(A) मान लीजिए कि दोनों गेंदें $t$ समय बाद छत से $h$ दूरी पर मिलती हैं।
गेंद-$1$ के लिए (नीचे की ओर गति):
$h = u_1 t + \frac{1}{2} g t^2 = 0 \cdot t + \frac{1}{2} (10) t^2 = 5 t^2$ ... $(i)$
गेंद-$2$ के लिए (ऊपर की ओर गति):
गेंद-$2$ द्वारा तय की गई दूरी $(21 - h)$ है।
$(21 - h) = u_2 t - \frac{1}{2} g t^2 = 14 t - 5 t^2$ ... (ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$h + (21 - h) = 5 t^2 + 14 t - 5 t^2$
$21 = 14 t$
$t = \frac{21}{14} = 1.5 \,s$
$t = 1.5 \,s$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$h = 5 \times (1.5)^2 = 5 \times 2.25 = 11.25 \,m = \frac{45}{4} \,m$
अतः,गेंद-$1$ जब गेंद-$2$ को पार करेगी तब वह $\frac{45}{4} \,m$ नीचे गिर चुकी होगी।

(A) मान लीजिए कि दोनों पत्थर $t$ सेकंड के बाद जमीन से $h$ ऊँचाई पर मिलते हैं।
$100 \ m$ की ऊँचाई से गिराए गए पहले पत्थर के लिए:
$t$ समय पर पहले पत्थर की ऊँचाई $y_1 = 100 - \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दी जाती है।
जमीन से ऊपर की ओर प्रक्षेपित किए गए दूसरे पत्थर के लिए:
$t$ समय पर दूसरे पत्थर की ऊँचाई $y_2 = 25t - \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि वे समान ऊँचाई पर मिलते हैं,इसलिए $y_1 = y_2$:
$100 - \frac{1}{2}gt^2 = 25t - \frac{1}{2}gt^2$
$100 = 25t$
$t = \frac{100}{25} = 4 \ s$.
अतः,$4 \ s$ के बाद पत्थर समान ऊँचाई पर होंगे।

(D) मान लीजिए कि खिड़की का ऊपरी सिरा मूल बिंदु $(y=0)$ है। पत्थर को $u = 8 \,m/s$ के वेग से ऊपर की ओर फेंका जाता है।
अधिकतम ऊँचाई $A$ पर,अंतिम वेग $v = 0$ होता है।
$v = u + at$ का उपयोग करने पर:
$0 = 8 - 10t \implies t = 0.8 \,s$।
खिड़की के ऊपरी सिरे से $A$ बिंदु की ऊँचाई $h = ut + \frac{1}{2}at^2 = 8(0.8) - \frac{1}{2}(10)(0.8)^2 = 6.4 - 3.2 = 3.2 \,m$ है।
अब,पत्थर $A$ बिंदु से खिड़की के निचले सिरे तक गिरता है। $A$ से खिड़की के निचले सिरे तक की कुल दूरी $H = 3.2 \,m + 1.8 \,m = 5.0 \,m$ है।
$A$ से खिड़की के निचले सिरे तक गिरने में लगा समय $(t_{total})$:
$H = \frac{1}{2}gt_{total}^2 \implies 5.0 = \frac{1}{2}(10)t_{total}^2 \implies t_{total}^2 = 1 \implies t_{total} = 1 \,s$।
नीचे की ओर गति के दौरान खिड़की को पार करने में लगा समय,निचले सिरे तक पहुँचने के समय और $A$ से ऊपरी सिरे तक पहुँचने के समय का अंतर है:
$\Delta t = t_{total} - t = 1 \,s - 0.8 \,s = 0.2 \,s$।

(A) पहली गेंद द्वारा जमीन तक पहुँचने में लिया गया समय $t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$t_1 = \sqrt{\frac{2 \times 500}{10}} = \sqrt{100} = 10 \ s$.
पहली गेंद $t = 10 \ s$ पर जमीन से टकराती है।
दूसरी गेंद $1 \ s$ बाद छोड़ी जाती है,इसलिए वह $t_2 = 10 - 1 = 9 \ s$ तक गति में रही है।
पहली गेंद द्वारा तय की गई दूरी $s_1 = 500 \ m$ है (क्योंकि वह जमीन से टकराती है)।
दूसरी गेंद द्वारा $9 \ s$ में तय की गई दूरी $s_2 = \frac{1}{2} \times g \times t_2^2$ है।
$s_2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 9^2 = 5 \times 81 = 405 \ m$.
दोनों गेंदों के बीच की दूरी $s_1 - s_2 = 500 - 405 = 95 \ m$ है।

(B) माना बिंदु $B$ पर कण का वेग $v$ है।
चूंकि वस्तु मुक्त रूप से गिर रही है,इसलिए त्वरण $g$ है।
$BC$ अंतराल के लिए,लगा समय $t_1 = 2 \ s$ है। गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$BC = v(2) + \frac{1}{2}g(2)^2 = 2v + 2g$ --- $(i)$
$BD$ अंतराल के लिए,कुल समय $t_2 = 2 + 1 = 3 \ s$ है।
$BD = BC + CD = 2BC$ (क्योंकि $BC = CD$)।
$BD = v(3) + \frac{1}{2}g(3)^2 = 3v + 4.5g$
चूंकि $BD = 2BC$,इसलिए:
$2(2v + 2g) = 3v + 4.5g$
$4v + 4g = 3v + 4.5g$
$v = 0.5g$
अब,$AB$ अंतराल के लिए,माना लगा समय $t$ है। चूंकि वस्तु $A$ से मुक्त रूप से गिर रही है,इसलिए इसका प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
$v = u + at \Rightarrow 0.5g = 0 + gt$
$t = 0.5 \ s$.

(B) $\text{माना पिंड का प्रारंभिक वेग } u \text{ है। अधिकतम ऊँचाई } H \text{ पर, अंतिम वेग } v = 0 \text{ होता है। अधिकतम ऊँचाई का सूत्र } H = \frac{u^2}{2g} \text{ है।}
h \text{ ऊँचाई पर, वेग } v_h = 8 \,m/s \text{ है। गति के समीकरण } v^2 = u^2 - 2gh \text{ का उपयोग करते हुए } 8^2 = u^2 - 2gh, \text{ जिसका अर्थ है } u^2 = 64 + 2gh।
\text{यदि हम } h \text{ ऊँचाई से अधिकतम ऊँचाई } H \text{ तक की गति पर विचार करें, तो प्रारंभिक वेग } 8 \,m/s \text{ और अंतिम वेग } 0 \text{ है। तय की गई दूरी } (H - h) \text{ है।}
v^2 = u^2 - 2as \text{ का उपयोग करते हुए } 0^2 = 8^2 - 2g(H - h), \text{ इसलिए } 64 = 20(H - h), \text{ जो } (H - h) = 3.2 \,m \text{ देता है।}
\text{अतः, पिंड द्वारा प्राप्त अतिरिक्त ऊँचाई } 3.2 \,m \text{ है।}$

(C) मान लीजिए कि पिंड को अधिकतम ऊँचाई बिंदु $C$ से बिंदु $B$ तक गिरने में लगा समय $t^{\prime}$ है।
गति की समरूपता के कारण,$B$ से $C$ तक जाने में लगा समय $C$ से $B$ तक गिरने में लगे समय के बराबर होता है,जो $t^{\prime}$ है।
यह दिया गया है कि पिंड $t_1$ और $t_2$ समय पर $H$ ऊँचाई पर है,इसलिए $t_2 = t_1 + 2t^{\prime}$।
अतः,$t^{\prime} = \frac{t_2-t_1}{2}$।
अधिकतम ऊँचाई $C$ तक पहुँचने में लगा कुल समय $T = t_1 + t^{\prime} = t_1 + \frac{t_2-t_1}{2} = \frac{t_1+t_2}{2}$ है।
प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H_{\max}$ सूत्र $H_{\max} = \frac{1}{2}gT^2$ द्वारा दी जाती है।
$T$ का मान रखने पर,हमें $H_{\max} = \frac{1}{2}g\left(\frac{t_1+t_2}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}g \cdot \frac{(t_1+t_2)^2}{4} = \frac{g(t_1+t_2)^2}{8}$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि पिंड को प्रारंभिक वेग $u$ के साथ प्रक्षेपित किया गया है। ऊँचाई $h$ के लिए गति का समीकरण $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ है,जो $t$ में एक द्विघात समीकरण है: $\frac{1}{2}gt^2 - ut + h = 0$।
चूंकि $t_1$ और $t_2$ इस समीकरण के मूल हैं,इसलिए मूलों का योग $t_1 + t_2 = \frac{u}{g/2} = \frac{2u}{g}$ है।
अतः,$u = \frac{g(t_1+t_2)}{2}$।
पिंड द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{u^2}{2g}$ द्वारा दी जाती है।
$u$ का मान रखने पर: $H = \frac{1}{2g} \left[ \frac{g(t_1+t_2)}{2} \right]^2 = \frac{1}{2g} \cdot \frac{g^2(t_1+t_2)^2}{4} = \frac{g(t_1+t_2)^2}{8}$।
वैकल्पिक रूप से,$H = 2g \left( \frac{t_1+t_2}{4} \right)^2 = 2g \cdot \frac{(t_1+t_2)^2}{16} = \frac{g(t_1+t_2)^2}{8}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया है: पुल की ऊँचाई $h = 45 \ m$। गेंद का प्रारंभिक वेग $u = 0 \ m \ s^{-1}$। गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m \ s^{-2}$।
ऊर्ध्वाधर गति के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हुए: $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$.
चूंकि $u = 0$ है,इसलिए $45 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$.
$45 = 5t^2 \implies t^2 = 9 \implies t = 3 \ s$.
गेंद को पानी की सतह तक पहुँचने में $3 \ s$ का समय लगता है।
इस समय के दौरान,नाव को प्रभाव बिंदु पर होने के लिए $12 \ m$ की दूरी तय करनी होगी।
नाव की गति $v = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{12 \ m}{3 \ s} = 4 \ m \ s^{-1}$.

(B) मान लीजिए लड़के $A$ के लिए समय अंतराल $t_A = 2 \ s$ है और लड़के $B$ के लिए समय अंतराल $t_B = 1 \ s$ है।
लंबवत फेंकी गई गेंद के लिए,$h$ ऊँचाई पर स्थित बिंदु से अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय $t/2$ होता है।
$v = u + at$ का उपयोग करते हुए,अधिकतम ऊँचाई पर $v = 0$ होता है,इसलिए $u = g(t/2)$ प्राप्त होता है।
जमीन से बिंदु की ऊँचाई $h = u(t/2) - 1/2 g(t/2)^2 = g(t/2)^2 - 1/2 g(t/2)^2 = 1/2 g(t/2)^2 = 1/8 g t^2$ द्वारा दी जाती है।
लड़के $A$ के लिए: $h_A = 1/8 \times 10 \times (2)^2 = 5 \ m$.
लड़के $B$ के लिए: $h_B = 1/8 \times 10 \times (1)^2 = 1.25 \ m$.
ऊर्ध्वाधर स्थितियों में अंतर $h_A - h_B = 5 \ m - 1.25 \ m = 3.75 \ m$ है।

(A) गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य $W = F \cdot S_n = mg \cdot S_n$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $S_n$ $n$वें सेकंड में तय की गई दूरी है।
चूंकि $m$,$g$ और $F$ स्थिर हैं,इसलिए $W \propto S_n$ होगा।
विराम अवस्था से शुरू होने वाली वस्तु के लिए $n$वें सेकंड में तय की गई दूरी $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ $u = 0$ और $a = g$ है,इसलिए $S_n = \frac{g}{2}(2n - 1)$ होगा।
$n = 1, 2, 3$ के लिए:
$S_1 = \frac{g}{2}(2(1) - 1) = \frac{g}{2}(1)$
$S_2 = \frac{g}{2}(2(2) - 1) = \frac{g}{2}(3)$
$S_3 = \frac{g}{2}(2(3) - 1) = \frac{g}{2}(5)$
अतः दूरियों का अनुपात $S_1 : S_2 : S_3 = 1 : 3 : 5$ है।
इसलिए,किए गए कार्य का अनुपात $1 : 3 : 5$ है।

(C) माना कि दो क्रमागत बूंदों के बीच का समयांतराल $t$ है।
चूंकि पहली बूंद तब फर्श से टकराती है जब छठी बूंद गिरना शुरू होती है,इसलिए पहली बूंद द्वारा जमीन तक पहुंचने में लिया गया कुल समय $5t$ है।
दी गई ऊंचाई $h = 5 \ m$ और $g = 10 \ m/s^2$ के लिए,लिया गया समय $t_{total} = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 5}{10}} = 1 \ s$ है।
अतः,$5t = 1 \ s$,जिसका अर्थ है $t = 0.2 \ s$।
जिस क्षण पहली बूंद जमीन से टकराती है,चौथी बूंद $(1.0 - 0.6) = 0.4 \ s$ समय से गिर रही है।
चौथी बूंद द्वारा तय की गई दूरी $h_4 = \frac{1}{2}gt_4^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.4)^2 = 5 \times 0.16 = 0.8 \ m$ है।
जमीन से ऊंचाई $= 5 - 0.8 = 4.2 \ m$।

(B) मान लीजिए गति के बिंदु $A$ (कूद),$B$ (पैराशूट खुलता है),$C$ ($10 \ m$ ऊंचाई पर),और $D$ (जमीन) हैं।
$1.$ $A$ से $B$ तक की गति (मुक्त पतन):
प्रारंभिक वेग $u_A = 0$,समय $t = 2 \ s$,त्वरण $a = g = 10 \ m/s^2$।
तय की गई दूरी $x_1 = \frac{1}{2} g t^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (2)^2 = 20 \ m$।
$B$ पर वेग,$v_B = u_A + gt = 0 + 10 \times 2 = 20 \ m/s$।
$2.$ $B$ से $C$ तक की गति (मंदन):
प्रारंभिक वेग $u_B = 20 \ m/s$,अंतिम वेग $v_C = 5 \ m/s$,त्वरण $a = -3 \ m/s^2$।
सूत्र $v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करने पर:
$(5)^2 - (20)^2 = 2(-3) x_2$
$25 - 400 = -6 x_2$
$-375 = -6 x_2$
$x_2 = \frac{375}{6} = 62.5 \ m$।
$3.$ $C$ से $D$ तक की गति:
दूरी $x_3 = 10 \ m$।
कुल ऊंचाई $H = x_1 + x_2 + x_3 = 20 + 62.5 + 10 = 92.5 \ m$।

(A) मान लीजिए कि गेंद ऊपर से $h'$ दूरी तय करती है।
$h'$ दूरी गिरने के बाद गेंद का वेग $v = \sqrt{2gh'}$ द्वारा दिया जाता है।
गुरुत्वीय त्वरण का परिमाण $a = g = 10 \text{ m/s}^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,वेग का परिमाण और त्वरण का परिमाण बराबर है: $|v| = |a|$.
मान रखने पर,$\sqrt{2gh'} = g$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$2gh' = g^2$ प्राप्त होता है।
$g$ से विभाजित करने पर,$2h' = g$ प्राप्त होता है।
चूँकि $g = 10 \text{ m/s}^2$ दिया गया है,इसलिए $2h' = 10$,जिससे $h' = 5 \text{ m}$ प्राप्त होता है।
जमीन से ऊँचाई $H$ कुल ऊँचाई में से तय की गई दूरी को घटाने पर मिलती है: $H = 18 \text{ m} - 5 \text{ m} = 13 \text{ m}$.

(D) स्वतंत्र रूप से गिरती हुई वस्तु द्वारा तय की गई दूरी समीकरण $s = \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $g$ स्थिर है,इसलिए दूरी $s$ प्रतिक्रिया समय $t$ के वर्ग के सीधे आनुपातिक है $(s \propto t^2)$।
प्रतिक्रिया समय की तुलना करने पर: $t_B (0.22 \text{ s}) > t_E (0.21 \text{ s}) > t_A (0.20 \text{ s}) > t_D (0.19 \text{ s}) > t_C (0.18 \text{ s})$।
चूंकि $s \propto t^2$,इसलिए दूरी का क्रम प्रतिक्रिया समय के वर्ग के क्रम के समान होगा।
अतः,तय की गई दूरी का क्रम होगा: $B > E > A > D > C$।
इस प्रकार,विकल्प $D$ सही है।