Motion Under Gravity Questions in Gujarati

(A) સાચું વિધાન $(A)$ છે.
જ્યારે કોઈ પદાર્થને શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તેના ગતિપથના મહત્તમ બિંદુએ તેનો વેગ $0 \ m/s$ થાય છે.
જોકે,પદાર્થ પર લાગતો ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \ m/s^2$ નીચેની તરફ અચળ રહે છે.
તેથી,શૂન્ય વેગ ધરાવતા પદાર્થનો પ્રવેગ શૂન્ય હોય તે જરૂરી નથી.

(B) $1$. નીચે પડતી વખતે,ટેનિસનો દડો નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,તેથી તેનું સ્થાનાંતર અને વેગ નીચેની દિશામાં હોય છે.
$2$. જમીન સાથે અથડાયા પછી અને પાછા ઉછળતી વખતે,દડો ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,તેથી સ્થાનાંતર અને વેગ બંનેની દિશા બદલાઈને ઉપરની તરફ થાય છે.
$3$. સમગ્ર ગતિ દરમિયાન (નીચે પડતી વખતે અને ઉપર જતી વખતે),ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $(g)$ હંમેશા શિરોલંબ નીચેની તરફ જ લાગે છે.
$4$. તેથી,માત્ર સ્થાનાંતર અને વેગની દિશા બદલાય છે,જ્યારે પ્રવેગની દિશા અચળ રહે છે.

(C) આપેલ છે: ફુગ્ગાનો (અને તેથી પથ્થરનો) પ્રારંભિક વેગ $u = 12 \, m/s$ (નીચેની તરફ).
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \, m/s^2$ (નીચેની તરફ).
સમય $t = 10 \, s$.
પથ્થર નીચે ઉતરી રહેલા ફુગ્ગામાંથી મુક્ત થાય છે,તેથી તેનો પ્રારંભિક વેગ ગતિની દિશામાં (નીચેની તરફ) હોય છે.
નીચેની દિશાને ધન લેતા,સ્થાનાંતર $s$ માટેનું ગતિનું સમીકરણ:
$s = ut + \frac{1}{2}gt^2$
કિંમતો મૂકતા:
$s = (12 \, m/s)(10 \, s) + \frac{1}{2}(9.8 \, m/s^2)(10 \, s)^2$
$s = 120 + 0.5 \times 9.8 \times 100$
$s = 120 + 490$
$s = 610 \, m$.
તેથી,$10 \, s$ પછી પથ્થરનું સ્થાનાંતર $610 \, m$ છે.

(B) જમીન સાથે અથડાતી વખતે દડાનો વેગ $(u_1)$:
$u_1 = \sqrt{2gh_1} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 10} = \sqrt{196} = 14 \, m/s$ (નીચેની તરફ).
નીચેની દિશાને ઋણ લેતા,$u_1 = -14 \, m/s$.
ઉછળતી વખતે દડાનો વેગ $(v_1)$:
$v_1 = \sqrt{2gh_2} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 2.5} = \sqrt{49} = 7 \, m/s$ (ઉપરની તરફ).
ઉપરની દિશાને ધન લેતા,$v_1 = +7 \, m/s$.
વેગમાં ફેરફાર $\Delta v = v_1 - u_1 = 7 - (-14) = 21 \, m/s$.
સરેરાશ પ્રવેગ $a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{21}{0.01} = 2100 \, m/s^2$.
વેગમાં ફેરફાર ધન હોવાથી,પ્રવેગ ઉપરની દિશામાં હશે.

(D) ધારો કે પદાર્થ $A$ ને ફેંક્યા પછીનો સમય $t$ છે. પદાર્થ $A$ નું સ્થાનાંતર $h_A = ut - \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થ $B$ ને $4 \, s$ પછી ફેંકવામાં આવે છે,તેથી તેનો ઉડ્ડયન સમય $(t-4) \, s$ છે. તેનું સ્થાનાંતર $h_B = u(t-4) - \frac{1}{2}g(t-4)^2$ છે.
જ્યારે પદાર્થો મળે છે,ત્યારે $h_A = h_B$.
$98t - \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 = 98(t-4) - \frac{1}{2} \times 9.8 \times (t-4)^2$.
$98t - 4.9t^2 = 98t - 392 - 4.9(t^2 - 8t + 16)$.
$98t - 4.9t^2 = 98t - 392 - 4.9t^2 + 39.2t - 78.4$.
$0 = -392 + 39.2t - 78.4$.
$39.2t = 470.4$.
$t = \frac{470.4}{39.2} = 12 \, s$.

(C) સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરેલા પદાર્થ માટે,$t$ સમયમાં કાપેલું અંતર $h$ ગતિના સમીકરણ દ્વારા મળે છે: $h = \frac{1}{2}gt^2$.
સમય $t$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
પ્રથમ પદાર્થ માટે જે $a$ ઊંચાઈ પરથી મુક્ત થાય છે,તે માટે લાગતો સમય $t_a = \sqrt{\frac{2a}{g}}$ છે.
બીજા પદાર્થ માટે જે $b$ ઊંચાઈ પરથી મુક્ત થાય છે,તે માટે લાગતો સમય $t_b = \sqrt{\frac{2b}{g}}$ છે.
સમયનો ગુણોત્તર $\frac{t_a}{t_b} = \frac{\sqrt{2a/g}}{\sqrt{2b/g}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ થાય છે.
આમ,ગુણોત્તર $\sqrt{a} : \sqrt{b}$ છે.

(B) ધારો કે ગતિનો કુલ સમય $n$ સેકન્ડ છે.
પ્રથમ $3$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $s_3 = \frac{1}{2} g (3)^2 = 4.5g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિની છેલ્લી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $s_{last} = u + \frac{g}{2} (2n - 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત પતન કરતો હોવાથી,$u = 0$,તેથી $s_{last} = \frac{g}{2} (2n - 1)$.
પ્રશ્ન મુજબ,$s_{last} = s_3$.
તેથી,$\frac{g}{2} (2n - 1) = \frac{1}{2} g (3)^2$.
બંને બાજુથી $\frac{g}{2}$ ને દૂર કરતા,આપણને $2n - 1 = 9$ મળે છે.
$2n = 10$,જે $n = 5 \; s$ આપે છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ પથ્થરને પાણીની સપાટી સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t$ છે. ગતિના સમીકરણ $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$ (મુક્ત પતન),$h = 44.1 \ m$,અને $g = 9.8 \ m/s^2$ છે:
$44.1 = 0 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$t^2 = \frac{44.1 \times 2}{9.8} = 9$
$t = 3 \ s$
બીજો પથ્થર $1 \ s$ મોડો ફેંકવામાં આવે છે અને તે જ સમયે પાણીને અથડાય છે,તેથી બીજા પથ્થર માટે લાગતો સમય $t' = 3 - 1 = 2 \ s$ થશે.
બીજા પથ્થર માટે $h = u't' + \frac{1}{2}g(t')^2$ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$44.1 = u' \times 2 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (2)^2$
$44.1 = 2u' + 19.6$
$2u' = 44.1 - 19.6 = 24.5$
$u' = 12.25 \ m/s$.

(B) ધારો કે પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને હવાના અવરોધને કારણે પ્રવેગ $a$ છે.
ઉપરની ગતિ દરમિયાન,ગુરુત્વાકર્ષણ $(g)$ અને હવાનો અવરોધ $(a)$ બંને નીચેની તરફ લાગે છે. પરિણામી પ્રવેગ $(g + a)$ છે. ઉપર જવાનો સમય $t_1 = \frac{u}{g + a}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2}{2(g + a)}$ છે.
નીચેની ગતિ દરમિયાન,ગુરુત્વાકર્ષણ નીચેની તરફ લાગે છે જ્યારે હવાનો અવરોધ ઉપરની તરફ લાગે છે. પરિણામી પ્રવેગ $(g - a)$ છે. નીચે પડવાનો સમય $t_2$ એ $H = \frac{1}{2}(g - a)t_2^2$ દ્વારા મળે છે.
$H$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{1}{2}(g - a)t_2^2 = \frac{u^2}{2(g + a)}$,જેનું સાદું રૂપ $t_2 = \frac{u}{\sqrt{(g + a)(g - a)}}$ થાય છે.
$t_1$ અને $t_2$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $t_2 = t_1 \sqrt{\frac{g + a}{g - a}}$. કારણ કે $\sqrt{\frac{g + a}{g - a}} > 1$,તેથી $t_2 > t_1$. આમ,ઉપર જવાનો સમય એ નીચે પડવાના સમય કરતા ઓછો છે.

(D) ધારો કે પ્રથમ પદાર્થ $t = 0$ સમયે મુક્ત થાય છે. $t$ સેકન્ડ પછી તેનું સ્થાન $y_1 = \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીજો પદાર્થ $t = 1 \; s$ સમયે મુક્ત થાય છે. $t$ સેકન્ડ પછી તેનું સ્થાન (જ્યાં $t > 1$) $y_2 = \frac{1}{2}g(t - 1)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે બીજા પદાર્થને મુક્ત કર્યાની $2 \; s$ પછીનું અંતર શોધવાનું છે. આ પ્રથમ પદાર્થ મુક્ત થયાના કુલ $t = 1 + 2 = 3 \; s$ સમયને અનુરૂપ છે.
$t = 3 \; s$ સમયે પ્રથમ પદાર્થનું સ્થાન: $y_1 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times (3)^2 = 4.9 \times 9 = 44.1 \; m$.
$t = 3 \; s$ સમયે બીજા પદાર્થનું સ્થાન (જે તેના મુક્ત થયાના $2 \; s$ પછી છે): $y_2 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times (2)^2 = 4.9 \times 4 = 19.6 \; m$.
બંને પદાર્થો વચ્ચેનું અંતર: $\Delta y = y_1 - y_2 = 44.1 - 19.6 = 24.5 \; m$.

(B) જ્યારે કોઈ પદાર્થને $u$ પ્રારંભિક વેગ સાથે શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે,ત્યારે તેનો ઉડ્ડયન સમય $T$ શોધવાનું સૂત્ર $T = \frac{2u}{g}$ છે.
અહીં,પ્રારંભિક વેગ $u = 100 \, m/s$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g \approx 10 \, m/s^2$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$T = \frac{2 \times 100}{10} = \frac{200}{10} = 20 \, sec$.
આમ,પદાર્થ $20 \, sec$ પછી જમીન પર અથડાશે.

(A) આપેલ છે કે પથ્થરને ટાવરની ટોચ પરથી નીચે ફેંકવામાં આવે છે,તેથી તેનો પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \, m/s$ છે.
જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = 4 \, s$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10 \, m/s^2$ લેતા.
લંબ અંતર $h$ માટે ગતિના બીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$h = ut + \frac{1}{2}gt^2$
કિંમતો મૂકતા:
$h = 0 \times 4 + \frac{1}{2} \times 10 \times (4)^2$
$h = 0 + 5 \times 16$
$h = 80 \, m$.
તેથી,ટાવરની ઊંચાઈ $80 \, m$ છે.

(D) ધારો કે પ્રારંભિક સ્થાન ટાવરની ટોચ $(y = h)$ છે અને જમીન $y = 0$ પર છે. પદાર્થને મુક્ત કરવામાં આવે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,કુલ ઊંચાઈ $h = \frac{1}{2}gt^2$ મળે છે ... $(i)$
$t/2$ સમય પછી,ટોચથી કાપેલું અંતર $x = \frac{1}{2}g(t/2)^2 = \frac{1}{2}g(t^2/4) = \frac{1}{8}gt^2$ છે ... (ii)
સમીકરણ $(i)$ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{2}gt^2 = h$,તેથી આ કિંમત સમીકરણ (ii) માં મૂકતા,આપણને $x = h/4$ મળે છે.
આ $x$ એ ટાવરની ટોચથી અંતર દર્શાવે છે.
તેથી,જમીનથી ઊંચાઈ $h - x = h - h/4 = 3h/4$ થશે.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ ગતિ કરતા કણ માટે ગતિનું સમીકરણ $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ છે.
અહીં,$u = 80 \; ft/sec$,$h = 96 \; ft$,અને $g = 32 \; ft/sec^2$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$96 = 80t - \frac{1}{2}(32)t^2$
$96 = 80t - 16t^2$
આખા સમીકરણને $16$ વડે ભાગતા:
$6 = 5t - t^2$
તેને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$t^2 - 5t + 6 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(t - 2)(t - 3) = 0$
આમ,$t = 2 \; sec$ અથવા $t = 3 \; sec$.
કણ ઉપર જતી વખતે $2 \; sec$ એ અને નીચે આવતી વખતે $3 \; sec$ એ $96 \; ft$ ની ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે.

(B) આપેલ છે કે પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી પડે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \ ft/sec$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 32 \ ft/sec^2$ છે.
લાગતો સમય $t = 1 \ sec$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ પડતા પદાર્થ માટે ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$v = u + gt$
કિંમતો મૂકતા:
$v = 0 + (32 \ ft/sec^2) \times (1 \ sec)$
$v = 32 \ ft/sec$.
તેથી,પ્રથમ સેકન્ડના અંતે વેગ $32 \ ft/sec$ છે.

(B) ધારો કે ઉપરની દિશા ધન છે અને નીચેની દિશા ઋણ છે.
પ્રારંભિક વેગ $u_i = +u$.
જમીન પર પહોંચતી વખતે અંતિમ વેગ $v_f = -3u$.
ગુરુત્વપ્રવેગ $a = -g$.
ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે. સ્થાનાંતર $s = -h$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v_f^2 = u_i^2 + 2as$.
કિંમતો મૂકતા: $(-3u)^2 = (u)^2 + 2(-g)(-h)$.
$9u^2 = u^2 + 2gh$.
$8u^2 = 2gh$.
$h = 4u^2/g$.

(C) જ્યારે કોઈ પદાર્થને ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ $h$ ઊંચાઈ પરથી નીચે પાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેની ગતિ $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ સમીકરણ દ્વારા નક્કી થાય છે. પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ હોવાથી,સમીકરણ $h = \frac{1}{2}gt^2$ બને છે. સમય $t$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ મળે છે. સમય $t$ માત્ર ઊંચાઈ $h$ અને ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ પર આધાર રાખે છે અને તે પદાર્થના દળથી સ્વતંત્ર છે,તેથી બંને પથ્થરો એકસાથે જમીન પર પહોંચશે.

(B) પદાર્થને શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે અને તે પાછો જમીન પર આવે છે. કુલ ઉડ્ડયન સમય $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2u}{g}$ છે.
અહીં પ્રારંભિક ઝડપ $u = 96\,ft/\sec$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 32\,ft/\sec^2$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = \frac{2 \times 96}{32} = \frac{192}{32} = 6\,sec$.
આમ,પદાર્થ $6\,sec$ પછી જમીન પર પહોંચશે.

(C) ધારો કે કુલ ઊંચાઈ $H$ છે. પથ્થર સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,તેથી $u = 0$.
ગતિના સમીકરણ $H = \frac{1}{2}gt^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$t = 5\, s$ માટે,આપણને $H = \frac{1}{2}g(5)^2 = \frac{25}{2}g$ મળે છે.
પ્રથમ $3\, s$ માં કાપેલું અંતર $h_1 = \frac{1}{2}g(3)^2 = \frac{9}{2}g$ છે.
બાકી રહેલું અંતર $h_2 = H - h_1 = \frac{25}{2}g - \frac{9}{2}g = \frac{16}{2}g = 8g$.
જ્યારે પથ્થરને $3\, s$ પછી અટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે ક્ષણે તેનો વેગ $v = gt = 3g$ હોય છે. જો કે,તેને ફરીથી સ્થિર સ્થિતિમાંથી પડવા દેવામાં આવે છે (કારણ કે તે અટકાવવામાં આવ્યો હતો),તેથી બાકીના અંતર $h_2$ માટે,પ્રારંભિક વેગ $u' = 0$ છે.
$h_2 = \frac{1}{2}gt'^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $t'$ એ બાકીનું અંતર કાપવા માટેનો સમય છે:
$8g = \frac{1}{2}gt'^2$
$16 = t'^2$
$t' = 4\, s$.

(A) $1$. $t = 2\,s$ માં ફુગ્ગા દ્વારા કાપેલ ઊંચાઈ:
$h_1 = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \times 4.9 \times (2)^2 = 9.8\,m$.
$2$. $t = 2\,s$ સમયે ફુગ્ગાનો વેગ:
$v = a t = 4.9 \times 2 = 9.8\,m/s$.
$3$. જ્યારે દડો છોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો પ્રારંભિક વેગ $u = 9.8\,m/s$ હોય છે. તે ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ ગતિ કરે છે જ્યાં સુધી તેનો વેગ મહત્તમ ઊંચાઈ $h_2$ પર શૂન્ય ન થાય:
$v^2 = u^2 - 2 g h_2 \implies 0 = (9.8)^2 - 2 \times 9.8 \times h_2 \implies h_2 = \frac{9.8}{2} = 4.9\,m$.
$4$. જમીનથી મહત્તમ ઊંચાઈ એ છોડતી વખતેની ઊંચાઈ અને દડા દ્વારા પ્રાપ્ત કરેલી વધારાની ઊંચાઈનો સરવાળો છે:
$H = h_1 + h_2 = 9.8 + 4.9 = 14.7\,m$.

(B) ધારો કે $h$ ઊંચાઈ પરથી નીચે પડવા માટે લાગતો કુલ સમય $n$ સેકન્ડ છે.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી કાપેલા અંતર માટે ગતિનું સમીકરણ વાપરતા: $h = \frac{1}{2}gn^2$ ... $(i)$
છેલ્લી સેકન્ડ ($n^{th}$ સેકન્ડ) માં કાપેલું અંતર $S_n = \frac{g}{2}(2n - 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$S_n = \frac{9h}{25}$.
આ સમીકરણમાં $(i)$ પરથી $h$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{9}{25} \left( \frac{1}{2}gn^2 \right) = \frac{g}{2}(2n - 1)$
$\frac{9n^2}{25} = 2n - 1$
$9n^2 = 50n - 25$
$9n^2 - 50n + 25 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $9n^2 - 45n - 5n + 25 = 0$
$9n(n - 5) - 5(n - 5) = 0$
$(9n - 5)(n - 5) = 0$
છેલ્લી સેકન્ડ અસ્તિત્વમાં હોવા માટે $n$ નું મૂલ્ય $1$ સેકન્ડ કરતાં વધુ હોવું જોઈએ,તેથી આપણે $n = 5 \ s$ લઈએ છીએ.
હવે,સમીકરણ $(i)$ માં $n = 5$ મૂકતા:
$h = \frac{1}{2} \times 9.8 \times (5)^2$
$h = 4.9 \times 25 = 122.5 \ m$.

(C) જ્યારે પદાર્થને ઉપર જતા ફુગ્ગામાંથી છોડવામાં આવે છે,ત્યારે તે ફુગ્ગા જેટલો જ પ્રારંભિક વેગ પ્રાપ્ત કરે છે.
પ્રારંભિક વેગ $u = +12\, m/s$ (ઉપરની તરફ).
સ્થાનાંતર $s = -81\, m$ (મુક્ત કર્યાના બિંદુથી જમીન સુધી નીચેની તરફ).
પ્રવેગ $a = g = -10\, m/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-81 = 12t + \frac{1}{2}(-10)t^2$
$-81 = 12t - 5t^2$
$5t^2 - 12t - 81 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$t = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(5)(-81)}}{2(5)}$
$t = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 1620}}{10}$
$t = \frac{12 \pm \sqrt{1764}}{10}$
$t = \frac{12 \pm 42}{10}$
સમય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી આપણે $t = \frac{12 + 42}{10} = \frac{54}{10} = 5.4\, s$ લઈએ છીએ.

(B) ધારો કે ક્રમિક ટીપાં વચ્ચેનો સમયગાળો $\Delta t$ છે.
જ્યારે પહેલું ટીપું જમીન પર પહોંચે છે,ત્યારે કુલ સમય $t = 2\Delta t$ થયો હોય છે (કારણ કે ત્રીજું ટીપું છૂટું પડે છે,એટલે કે બે અંતરાલ પસાર થયા છે).
ગતિના સમીકરણ $h = \frac{1}{2}gt^2$ નો ઉપયોગ કરતા,પહેલા ટીપાં માટે: $5 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$,જે $t^2 = 1$ આપે છે,તેથી $t = 1\,s$.
કારણ કે $t = 2\Delta t$,તેથી અંતરાલ $\Delta t = 0.5\,s$.
જે ક્ષણે પહેલું ટીપું જમીન પર પડે છે,તે ક્ષણે બીજું ટીપું $\Delta t = 0.5\,s$ માટે નીચે પડ્યું હોય છે.
નળથી બીજા ટીપાં દ્વારા કાપેલું અંતર $y = \frac{1}{2}g(\Delta t)^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.5)^2 = 5 \times 0.25 = 1.25\,m$ છે.
જમીનથી બીજા ટીપાંની ઊંચાઈ $H = 5 - 1.25 = 3.75\,m$ છે.

(C) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 4.9 \ m/s$ (ઉપરની દિશા ધન લેતા),સમય $t = 3 \ s$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \ m/s^2$ (નીચેની દિશા ઋણ લેતા).
ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $s = ut + \frac{1}{2}at^2$.
અહીં,સ્થાનાંતર $s$ એ ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે જે નીચેની દિશામાં છે,તેથી $s = -h$.
પ્રવેગ $a = -g = -9.8 \ m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા: $-h = (4.9)(3) + \frac{1}{2}(-9.8)(3)^2$.
$-h = 14.7 - 4.9 \times 9$.
$-h = 14.7 - 44.1$.
$-h = -29.4$.
તેથી,$h = 29.4 \ m$.

(A) પદાર્થ દ્વારા $n^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલ અંતરનું સૂત્ર: $S_n = u + \frac{g}{2}(2n - 1)$ છે.
પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરતો હોવાથી,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
તેથી,$n^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલ અંતર $S_n = \frac{g}{2}(2n - 1)$ થાય.
પ્રથમ સેકન્ડ માટે $(n=1)$: $S_1 = \frac{g}{2}(2(1) - 1) = \frac{g}{2}(1) = \frac{g}{2}$.
બીજી સેકન્ડ માટે $(n=2)$: $S_2 = \frac{g}{2}(2(2) - 1) = \frac{g}{2}(3) = \frac{3g}{2}$.
ત્રીજી સેકન્ડ માટે $(n=3)$: $S_3 = \frac{g}{2}(2(3) - 1) = \frac{g}{2}(5) = \frac{5g}{2}$.
આમ,$S_1 : S_2 : S_3$ નો ગુણોત્તર લેતા,આપણને $\frac{g}{2} : \frac{3g}{2} : \frac{5g}{2} = 1 : 3 : 5$ મળે છે.

(B) જ્યારે કોઈ પથ્થરને ઉપર જતા ફુગ્ગામાંથી છોડવામાં આવે છે,ત્યારે તે છોડતી વખતે ફુગ્ગાનો વેગ પ્રાપ્ત કરે છે. ધારો કે ઊંચાઈ $h$ છે અને ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ છે. પથ્થર માટે ગતિનું સમીકરણ $h = -ut + \frac{1}{2}gt^2$ છે,જ્યાં $u$ એ ફુગ્ગાનો ઉપરની તરફનો વેગ છે.
આને સમય $t$ માટે દ્વિઘાત સમીકરણ તરીકે ગોઠવતા: $\frac{1}{2}gt^2 - ut - h = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $t$ શોધતા: $t = \frac{u + \sqrt{u^2 + 2gh}}{g}$.
અહીં $g$ અને $h$ બધા પથ્થરો માટે સમાન હોવાથી,સમય $t$ એ પ્રારંભિક વેગ $u$ પર આધાર રાખે છે. જેમ $u$ વધે છે,તેમ જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t$ પણ વધે છે.
આપેલ વેગ $U_P = U, U_Q = 4U$ અને $U_R = 8U$ છે. $U_P < U_Q < U_R$ હોવાથી,સૌથી ઓછો પ્રારંભિક વેગ ધરાવતો પથ્થર $(U_P)$ જમીન પર પહોંચવા માટે સૌથી ઓછો સમય લેશે.
તેથી,ફુગ્ગા $P$ માંથી ફેંકાયેલ પથ્થર સૌથી પહેલા જમીન પર પહોંચશે.

(B) મહત્તમ ઊંચાઈએ,અંતિમ વેગ $v = 0$ હોય છે.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v = u + at$:
$0 = u - gT \Rightarrow u = gT$.
જ્યારે વેગ $u/2$ હોય ત્યારે સમય $t$ શોધવા માટે:
$v = u - gt$
$\frac{u}{2} = u - gt$
$gt = \frac{u}{2}$
સમીકરણમાં $u = gT$ મૂકતા:
$gt = \frac{gT}{2} \Rightarrow t = \frac{T}{2}$.
આમ,પદાર્થ $t = T/2$ સમયે $u/2$ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે.

(C) પ્રથમ પદાર્થ માટે,ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા:
આપેલ છે કે $u = 0$,$v = 3 \ km/h$.
તેથી,$3^2 = 0^2 + 2gh \implies 2gh = 9 \ (km/h)^2$.
બીજા પદાર્થ માટે,પ્રારંભિક ઝડપ $u = 4 \ km/h$ છે અને તે સમાન ઊંચાઈ $h$ પરથી ફેંકવામાં આવે છે.
તે જ સમીકરણ $v'^2 = u^2 + 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v'^2 = (4)^2 + 2gh$.
$2gh = 9$ કિંમત મૂકતા:
$v'^2 = 16 + 9 = 25$.
$v' = \sqrt{25} = 5 \ km/h$.
તેથી,અંતિમ વેગ $5 \ km/h$ છે.

(C) ઉર્ધ્વદિશામાં ફેંકવામાં આવેલા પદાર્થ માટે $n^{th}$ સેકન્ડમાં કપાયેલું અંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $h_{n^{th}} = u - \frac{g}{2}(2n - 1)$.
$5^{th}$ સેકન્ડ માટે $(n = 5)$: $h_{5^{th}} = u - \frac{10}{2}(2 \times 5 - 1) = u - 5(9) = u - 45$.
$6^{th}$ સેકન્ડ માટે $(n = 6)$: $h_{6^{th}} = u - \frac{10}{2}(2 \times 6 - 1) = u - 5(11) = u - 55$.
પ્રશ્ન મુજબ,$5^{th}$ સેકન્ડમાં કપાયેલું અંતર એ $6^{th}$ સેકન્ડમાં કપાયેલા અંતર કરતાં બમણું છે:
$h_{5^{th}} = 2 \times h_{6^{th}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$u - 45 = 2(u - 55)$.
$u - 45 = 2u - 110$.
$u = 110 - 45 = 65 \, m/s$.

(A) ધારો કે પ્રથમ દડો $B_1$ છે અને બીજો દડો $B_2$ છે.
$B_1$ ને $t = 0$ સમયે ફેંકવામાં આવે છે. $3$ સેકન્ડમાં $B_1$ દ્વારા કાપેલું અંતર $s_1 = \frac{1}{2} g (3)^2 = 4.5g$ છે.
$B_2$ ને $t = 1$ સેકન્ડ પછી ફેંકવામાં આવે છે. તેથી,$t = 3$ સેકન્ડ પર,$B_2$ એ $2$ સેકન્ડ માટે ગતિ કરી હશે. $B_2$ દ્વારા કાપેલું અંતર $s_2 = \frac{1}{2} g (2)^2 = 2g$ છે.
$g = 10 \ m/s^2$ લેતા,આપણને $s_1 = 45 \ m$ અને $s_2 = 20 \ m$ મળે છે.
તેમની વચ્ચેનું અંતર $s_1 - s_2 = 45 - 20 = 25 \ m$ છે.

(B) ધારો કે ઉપરની દિશા ધન છે અને નીચેની દિશા ઋણ છે.
પ્રારંભિક વેગ $u = +4.9 \, m/s$.
સમય $t = 2 \, s$.
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = -9.8 \, m/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$h = (4.9)(2) + \frac{1}{2}(-9.8)(2)^2$
$h = 9.8 - 4.9 \times 4$
$h = 9.8 - 19.6$
$h = -9.8 \, m$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે સ્થાનાંતર શરૂઆતના બિંદુથી $9.8 \, m$ નીચે છે.
તેથી,પુલની ઊંચાઈ $9.8 \, m$ છે.

(B) ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત અથવા ગતિના સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને,આપણે અંતિમ વેગ શોધી શકીએ છીએ.
ધારો કે ઉપરની દિશા ધન છે. પ્રારંભિક વેગ $u = 20\, m/s$ અને સ્થાનાંતર $s = -200\, m$ છે (કારણ કે તે શરૂઆતના બિંદુની નીચે જમીન પર પડે છે).
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = -9.8\, m/s^2$ છે.
સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v^2 = (20)^2 + 2(-9.8)(-200)$
$v^2 = 400 + 3920 = 4320$
$v = \sqrt{4320} \approx 65.7\, m/s$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં,ઝડપ આશરે $65\, m/s$ છે.

(B) ધારો કે વસ્તુ બિંદુ $A$ પર સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,જ્યાં પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
$A$ થી $B$ સુધીની ગતિ માટે ($h$ ઊંચાઈ કાપતા):
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$,$a = g$,અને $s = h$ છે:
$v^2 = 0 + 2gh$ ---$(i)$
$A$ થી $C$ સુધીની ગતિ માટે ($2v$ વેગ પ્રાપ્ત કરવા માટે કાપેલ કુલ ઊંચાઈ $x$):
તે જ સમીકરણ $v_f^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v_f = 2v$,$u = 0$,$a = g$,અને $s = x$ છે:
$(2v)^2 = 0 + 2gx$
$4v^2 = 2gx$ ---(ii)
સમીકરણ (ii) ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{4v^2}{v^2} = \frac{2gx}{2gh}$
$4 = \frac{x}{h}$
$x = 4h$
તેથી,શરૂઆતના બિંદુથી કુલ અંતર $4h$ છે.

(D) જ્યારે કોઈ પદાર્થને $u$ જેટલા પ્રારંભિક વેગથી ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ $(g)$ ને કારણે તેમાં સતત પ્રતિપ્રવેગ ઉત્પન્ન થાય છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ તેનો વેગ $0$ થઈ જાય છે.
જ્યારે તે પાછો પ્રક્ષેપણ બિંદુ પર આવે છે,ત્યારે તેટલા જ સ્થાનાંતર માટે ગુરુત્વાકર્ષણ $(g)$ ને કારણે તેમાં સતત પ્રવેગ ઉત્પન્ન થાય છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં ઉપરની ગતિ માટે $a = -g$ અને નીચેની ગતિ માટે $a = g$ છે,પ્રારંભિક બિંદુ પર અંતિમ વેગ $v$ નું મૂલ્ય પ્રારંભિક વેગ $u$ જેટલું જ હશે,પરંતુ તેની દિશા વિરુદ્ધ હશે.
તેથી,પ્રક્ષેપણ બિંદુ પર પાછા ફરતી વખતે પદાર્થની ઝડપ $v = u$ હશે.

(D) શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલા પદાર્થ માટે ઉડ્ડયન સમય $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2u}{g}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે પ્રારંભિક બિંદુ પર પાછા ફરવા માટેનો કુલ સમય $T = 4 \, s$ છે અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \, m/s^2$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$4 = \frac{2u}{10}$
$40 = 2u$
$u = 20 \, m/s$.
તેથી,પ્રારંભિક વેગ $u$ નું મૂલ્ય $20 \, m/s$ છે.

(B) સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત પતન કરતા પદાર્થ માટે,$t$ સમયમાં કાપેલું અંતર $h$ ગતિના સમીકરણ દ્વારા મળે છે: $h = \frac{1}{2}gt^2$.
આના પરથી,સમય $t$ ને આ રીતે દર્શાવી શકાય: $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
$h_1$ અને $h_2$ ઊંચાઈ માટે અનુક્રમે $t_1$ અને $t_2$ સમય હોય,તો:
$t_1 = \sqrt{\frac{2h_1}{g}}$ અને $t_2 = \sqrt{\frac{2h_2}{g}}$.
$t_1$ અને $t_2$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{t_1}{t_2} = \frac{\sqrt{\frac{2h_1}{g}}}{\sqrt{\frac{2h_2}{g}}} = \sqrt{\frac{h_1}{h_2}} = \frac{\sqrt{h_1}}{\sqrt{h_2}}$.
આમ,ગુણોત્તર $\sqrt{h_1} : \sqrt{h_2}$ થાય છે.

(B) જ્યારે કોઈ પદાર્થને શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય (ઉડ્ડયન સમયનો અડધો ભાગ) એ મહત્તમ ઊંચાઈથી જમીન પર પાછા આવવા માટે લાગતા સમય (અધઃગમન સમય) જેટલો જ હોય છે,જો હવાનો અવરોધ અવગણ્ય હોય.
અહીં આપેલ છે કે ઉપર જવાનો સમય $5\,sec$ છે,તેથી નીચે આવવાનો સમય પણ $5\,sec$ જ થશે.
આમ,પદાર્થ મહત્તમ ઊંચાઈએથી જમીન પર $5\,sec$ માં પહોંચશે.

(B) આપેલ છે કે,ઉપર જવાનો સમય $t = 6 \; s$ છે. $t = u/g$ હોવાથી,$u = 6 \times 10 = 60 \; m/s$ મળે ($g = 10 \; m/s^2$ લેતા).
$n^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલ અંતરનું સૂત્ર $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ છે.
પ્રથમ સેકન્ડ માટે $(n = 1)$: $S_1 = 60 + \frac{-10}{2}(2(1) - 1) = 60 - 5 = 55 \; m$.
સાતમી સેકન્ડ માટે $(n = 7)$: $S_7 = 60 + \frac{-10}{2}(2(7) - 1) = 60 - 5(13) = 60 - 65 = -5 \; m$.
અંતરનું મૂલ્ય $5 \; m$ છે.
તેથી,અંતરનો ગુણોત્તર $55:5 = 11:1$ થશે.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2}{2g}$ છે.
જ્યારે ઊંચાઈ $h = \frac{H}{2}$ હોય,ત્યારે વેગ $v = 10 \; m/s$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 - 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(10)^2 = u^2 - 2g \left( \frac{H}{2} \right)$
$100 = u^2 - gH$
સમીકરણમાં $H = \frac{u^2}{2g}$ મૂકતા:
$100 = u^2 - g \left( \frac{u^2}{2g} \right)$
$100 = u^2 - \frac{u^2}{2} = \frac{u^2}{2}$
$u^2 = 200 \; m^2/s^2$.
હવે,મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ ની ગણતરી કરતા:
$H = \frac{u^2}{2g} = \frac{200}{2 \times 10} = \frac{200}{20} = 10 \; m$.

(C) કોઈ પદાર્થને શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકતા પ્રાપ્ત થતી મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2}{2g}$ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ એ પદાર્થના દળ પર આધારિત નથી.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક વેગ $u_1 = u$ માટે મહત્તમ ઊંચાઈ $H_1 = 20\,m$ છે.
બીજા પદાર્થ માટે,પ્રારંભિક વેગ $u_2 = 2u$ છે.
નવી મહત્તમ ઊંચાઈ $H_2 = \frac{(2u)^2}{2g} = 4 \times \frac{u^2}{2g} = 4H_1$ થશે.
$H_1$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $H_2 = 4 \times 20\,m = 80\,m$ મળે છે.

(A) $1$. $t = 8\, s$ સમયે ફુગ્ગાનો વેગ: $v = a \times t = 1.25 \times 8 = 10\, m/s$ (ઉપરની તરફ).
$2$. $t = 8\, s$ સમયે ફુગ્ગાની ઊંચાઈ: $s = \frac{1}{2} \times a \times t^2 = \frac{1}{2} \times 1.25 \times 8^2 = 40\, m$.
$3$. જ્યારે પથ્થર મુક્ત થાય છે,ત્યારે તેનો પ્રારંભિક વેગ $u = 10\, m/s$ (ઉપરની તરફ) છે અને તેનું પ્રારંભિક સ્થાન જમીનથી $h = 40\, m$ ઊંચાઈએ છે.
$4$. સ્થાનાંતર માટે ગતિનું સમીકરણ: $s = ut + \frac{1}{2}at^2$. અહીં,$s = -40\, m$ (નીચેની તરફ),$u = 10\, m/s$,$a = -g = -10\, m/s^2$.
$-40 = 10t - 5t^2 \implies 5t^2 - 10t - 40 = 0 \implies t^2 - 2t - 8 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(t - 4)(t + 2) = 0$. $t > 0$ હોવાથી,$t = 4\, s$.
$5$. મુક્તિ બિંદુથી જમીન સુધી પથ્થરનું સ્થાનાંતર $40\, m$ (નીચેની તરફ) છે.
$6$. પથ્થર ત્યાં સુધી ઉપર જાય છે જ્યાં સુધી તેનો વેગ શૂન્ય ન થાય: $v^2 - u^2 = 2as \implies 0 - 10^2 = 2(-10)d \implies d = 5\, m$.
$7$. કુલ કાપેલું અંતર = $40\, m$ (ઉપરની તરફ) + $5\, m$ (ઉપરની તરફ) + $5\, m$ (નીચેની તરફ) = $50\, m$.

(D) શિરોલંબ ગતિના મહત્તમ બિંદુએ,પદાર્થ ક્ષણવાર માટે સ્થિર થાય છે,તેથી વેગ $v = 0$ થાય છે.
જોકે,ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ સમગ્ર ગતિ દરમિયાન નીચેની તરફ કાર્યરત રહે છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 - 2gH$ નો ઉપયોગ કરતા,મહત્તમ બિંદુએ $v = 0$ હોવાથી,$0 = u^2 - 2gH_{\max}$ મળે છે.
$H_{\max}$ માટે ઉકેલતા,આપણને $H_{\max} = u^2 / 2g$ મળે છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચું વિધાન છે.

(D) આપેલ છે: મહત્તમ ઊંચાઈ $h = 20 \; m$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \; m/s^2$.
સૌથી ઊંચા બિંદુએ,અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 - 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0^2 = u^2 - 2 \times 10 \times 20$
$u^2 = 400$
$u = 20 \; m/s$.
હવે,હવામાં રહેવાનો કુલ સમય $T$ એ $T = \frac{2u}{g}$ દ્વારા મળે છે:
$T = \frac{2 \times 20}{10} = 4 \; s$.
તેથી,પ્રારંભિક વેગ $20 \; m/s$ છે અને હવામાં રહેવાનો સમય $4 \; s$ છે.

(D) ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ ગતિ કરતા કણ માટે,જો તે બે અલગ-અલગ સમય $t_1$ અને $t_2$ પર સમાન ઊંચાઈ $h$ પરથી પસાર થાય,તો ઊંચાઈ $h$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$h = \frac{1}{2} g t_1 t_2$
અહીં $t_1 = 2 \; s$ અને $t_2 = 10 \; s$ આપેલ છે:
$h = \frac{1}{2} \times g \times 2 \times 10$
$h = 10g$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) $n^{th}$ સેકન્ડમાં કપાયેલું અંતર સૂત્ર $S_n = u + \frac{g}{2}(2n - 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 10\; m/s$,પ્રવેગ $g = 10\; m/s^2$.
$3^{rd}$ સેકન્ડ માટે $(n=3)$:
$S_3 = 10 + \frac{10}{2}(2 \times 3 - 1) = 10 + 5(5) = 10 + 25 = 35\; m$.
$2^{nd}$ સેકન્ડ માટે $(n=2)$:
$S_2 = 10 + \frac{10}{2}(2 \times 2 - 1) = 10 + 5(3) = 10 + 15 = 25\; m$.
અંતરનો ગુણોત્તર $\frac{S_3}{S_2} = \frac{35}{25} = \frac{7}{5}$ છે.

(C) ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 = u^2 + 2gh$,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક ઝડપ છે,$g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $h$ એ ઇમારતની ઊંચાઈ છે.
દડા $A$ માટે જે ઉપરની તરફ ફેંકાય છે: પ્રારંભિક વેગ $u$ ઉપરની તરફ છે. તે અમુક ઊંચાઈ સુધી જશે અને પછી પાછો જમીન પર આવશે. જ્યારે તે પ્રક્ષેપણ બિંદુ પાસેથી નીચેની તરફ પસાર થશે,ત્યારે તેની ઝડપ નીચેની તરફ $u$ હશે. આમ,તે $v_A = \sqrt{u^2 + 2gh}$ ઝડપ સાથે જમીન પર પહોંચશે.
દડા $B$ માટે જે નીચેની તરફ ફેંકાય છે: પ્રારંભિક વેગ $u$ નીચેની તરફ છે. તે $v_B = \sqrt{u^2 + 2gh}$ ઝડપ સાથે જમીન પર પહોંચશે.
કારણ કે બંને દડા માટે $u$,$g$ અને $h$ સમાન છે,તેથી $v_A = v_B$ થાય છે.

(B) ધારો કે ટાવરની ટોચ પરથી નીચે પડતો પ્રથમ દડો $t$ સમયમાં $h_1$ અંતર કાપે છે. ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$ અને $a = g$ છે,આપણને મળે છે:
$h_1 = \frac{1}{2}gt^2$
ધારો કે ટાવરના તળિયેથી ફેંકવામાં આવેલો બીજો દડો તે જ $t$ સમયમાં $h_2$ અંતર કાપે છે. $s = ut - \frac{1}{2}gt^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 50 \, m/s$ છે,આપણને મળે છે:
$h_2 = 50t - \frac{1}{2}gt^2$
ટાવરની કુલ ઊંચાઈ $100 \, m$ હોવાથી,જ્યારે બંને દડા મળે ત્યારે તેમના દ્વારા કાપવામાં આવેલા અંતરનો સરવાળો ટાવરની ઊંચાઈ જેટલો થાય:
$h_1 + h_2 = 100$
$h_1$ અને $h_2$ ના સમીકરણો મૂકતા:
$\frac{1}{2}gt^2 + (50t - \frac{1}{2}gt^2) = 100$
$50t = 100$
$t = 2 \, s$
આમ,દડાઓ $2 \, s$ પછી એકબીજાને મળશે.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 19.6 \ m/s$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \ m/s^2$,અને મહત્તમ ઊંચાઈએ અંતિમ વેગ $v = 0 \ m/s$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 = u^2 - 2gH$.
કિંમતો મૂકતા: $0^2 = (19.6)^2 - 2 \times 9.8 \times H$.
$0 = 384.16 - 19.6 \times H$.
$19.6 \times H = 384.16$.
$H = \frac{384.16}{19.6} = 19.6 \ m$.
તેથી,પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ $19.6 \ m$ છે.

(B) ધારો કે મીનારાની ઊંચાઈ $H$ છે અને પદાર્થને ઉપરથી નીચે પડતા લાગતો કુલ સમય $T$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$ અને $a = g = 10 \ m/s^2$:
$H = \frac{1}{2}gT^2 = 5T^2$ ... $(i)$
છેલ્લી $2 \ s$ માં,પદાર્થ $40 \ m$ અંતર કાપે છે. આનો અર્થ એ છે કે $(T - 2) \ s$ માં,પદાર્થ $(H - 40) \ m$ અંતર કાપે છે.
$(H - 40) = \frac{1}{2}g(T - 2)^2 = 5(T - 2)^2$ ... (ii)
સમીકરણ $(i)$ માંથી $H = 5T^2$ ને સમીકરણ (ii) માં મૂકતા:
$5T^2 - 40 = 5(T^2 - 4T + 4)$
$5T^2 - 40 = 5T^2 - 20T + 20$
$20T = 60$
$T = 3 \ s$
હવે,$T = 3 \ s$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$H = 5(3)^2 = 5 \times 9 = 45 \ m$.
આમ,મીનારાની ઊંચાઈ $45 \ m$ છે.