Bulk Modulus Questions in Gujarati

$(1.034 \times 10^3 \; kg \; m^{-3})$ ધારો કે સપાટી પરનું દબાણ $p_1 = 1.013 \times 10^5 \; Pa$ છે અને $h$ ઊંડાઈએ દબાણ $p_2 = 80.0 \; atm = 80.0 \times 1.013 \times 10^5 \; Pa$ છે.
દબાણમાં ફેરફાર $\Delta p = p_2 - p_1 \approx 80.0 \times 1.013 \times 10^5 \; Pa = 8.104 \times 10^6 \; Pa$.
બલ્ક મોડ્યુલસ $B = -\frac{\Delta p}{\Delta V / V_1}$, તેથી કદ વિકૃતિ $\frac{\Delta V}{V_1} = \frac{\Delta p}{B}$.
આપેલ સંકોચનક્ષમતા $\frac{1}{B} = 45.8 \times 10^{-11} \; Pa^{-1}$.
$\frac{\Delta V}{V_1} = \Delta p \times \frac{1}{B} = (8.104 \times 10^6) \times (45.8 \times 10^{-11}) \approx 3.71 \times 10^{-3}$.
કારણ કે $\rho_2 = \frac{m}{V_2}$ અને $\rho_1 = \frac{m}{V_1}$, તેથી $V_2 = V_1(1 - \frac{\Delta V}{V_1})$.
$\rho_2 = \frac{m}{V_1(1 - \Delta V / V_1)} = \frac{\rho_1}{1 - \Delta V / V_1} \approx \rho_1 (1 + \frac{\Delta V}{V_1})$.
$\rho_2 = 1.03 \times 10^3 \times (1 + 3.71 \times 10^{-3}) \approx 1.0338 \times 10^3 \; kg \; m^{-3} \approx 1.034 \times 10^3 \; kg \; m^{-3}$.

(C) કાચનો બલ્ક મોડ્યુલસ $(B)$ $B = 37 \times 10^{9} \; N/m^2$ છે.
બલ્ક મોડ્યુલસનું સૂત્ર $B = \frac{p}{\Delta V / V}$ છે,જ્યાં $p$ એ હાઇડ્રોલિક દબાણ છે અને $\Delta V / V$ એ કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર છે.
સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર મળે છે: $\frac{\Delta V}{V} = \frac{p}{B}$.
અહીં $p = 10 \; atm = 10 \times 1.013 \times 10^{5} \; Pa = 1.013 \times 10^{6} \; Pa$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta V}{V} = \frac{1.013 \times 10^{6}}{37 \times 10^{9}}$.
$\frac{\Delta V}{V} \approx 0.02737 \times 10^{-3} = 2.737 \times 10^{-5}$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર $2.73 \times 10^{-5}$ છે.

(D) તાંબાનો બલ્ક મોડ્યુલસ $B = 140 \times 10^{9} \; Pa$ છે.
બલ્ક મોડ્યુલસનું સૂત્ર $B = \frac{p}{\Delta V / V}$ છે,જ્યાં $p$ એ દબાણ છે,$V$ એ મૂળ કદ છે અને $\Delta V$ એ કદમાં થતો ફેરફાર છે.
કદના સંકોચન $\Delta V$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા,$\Delta V = \frac{p V}{B}$ મળે છે.
સમઘનનું મૂળ કદ $V = l^{3} = (10 \; cm)^{3} = (0.1 \; m)^{3} = 10^{-3} \; m^{3}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta V = \frac{7.0 \times 10^{6} \; Pa \times 10^{-3} \; m^{3}}{140 \times 10^{9} \; Pa}$.
$\Delta V = \frac{7.0 \times 10^{3}}{140 \times 10^{9}} = 0.05 \times 10^{-6} \; m^{3} = 5 \times 10^{-8} \; m^{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \; m^{3} = 10^{6} \; cm^{3}$,તેથી $\Delta V = 5 \times 10^{-8} \times 10^{6} \; cm^{3} = 5 \times 10^{-2} \; cm^{3}$.
આમ,કદનું સંકોચન $5 \times 10^{-2} \; cm^{3}$ છે.

(A) કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = 0.10\% = \frac{0.10}{100} = 10^{-3}$ છે.
પાણીનો બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ આશરે $2.2 \times 10^{9} \;Nm^{-2}$ છે.
બલ્ક મોડ્યુલસનું સૂત્ર $B = \frac{p}{\Delta V / V}$ છે,જ્યાં $p$ એ દબાણમાં થતો ફેરફાર છે.
$p$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$p = B \times \left( \frac{\Delta V}{V} \right)$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $p = (2.2 \times 10^{9} \;Nm^{-2}) \times (10^{-3})$.
$p = 2.2 \times 10^{6} \;Nm^{-2}$.
આમ,પાણી પરના દબાણમાં $2.2 \times 10^{6} \;Nm^{-2}$ જેટલો ફેરફાર કરવો જોઈએ.

(A) આપેલ છે:
તળિયે પાણીનું દબાણ,$p = 1.1 \times 10^{8} \; Pa$
સ્ટીલના દડાનું પ્રારંભિક કદ,$V = 0.32 \; m^{3}$
સ્ટીલનો બલ્ક મોડ્યુલસ,$B = 1.6 \times 10^{11} \; N/m^{2}$
બલ્ક મોડ્યુલસનું સૂત્ર $B = -\frac{p}{\Delta V / V}$ છે,જ્યાં $\Delta V$ એ કદમાં થતો ફેરફાર છે.
$\Delta V$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$\Delta V = \frac{p V}{B}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta V = \frac{(1.1 \times 10^{8} \; Pa) \times (0.32 \; m^{3})}{1.6 \times 10^{11} \; N/m^{2}}$
$\Delta V = \frac{0.352 \times 10^{8}}{1.6 \times 10^{11}}$
$\Delta V = 0.22 \times 10^{-3} \; m^{3} = 2.2 \times 10^{-4} \; m^{3}$.
આમ,ટ્રેન્ચના તળિયે પહોંચતા દડાના કદમાં થતો ફેરફાર $2.2 \times 10^{-4} \; m^{3}$ છે.

(N/A) જ્યારે કોઈ ઘન પદાર્થને ઊંચા દબાણ હેઠળના પ્રવાહીમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે બધી બાજુઓથી સમાન રીતે દબાય છે.
પ્રવાહી દ્વારા લાગુ પાડવામાં આવતું બળ સપાટીના દરેક બિંદુએ લંબ દિશામાં કાર્ય કરે છે,અને પદાર્થ હાઇડ્રોલિક કમ્પ્રેશન હેઠળ છે તેમ કહેવાય છે. પરિણામે,આ તેના ભૌમિતિક આકારમાં કોઈ ફેરફાર કર્યા વિના તેના કદમાં ઘટાડો કરે છે.
પદાર્થ આંતરિક પુનઃસ્થાપક બળો વિકસાવે છે જે પ્રવાહી દ્વારા લાગુ પાડવામાં આવેલા બળોની સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
આ કિસ્સામાં એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ આંતરિક પુનઃસ્થાપક બળને હાઇડ્રોલિક સ્ટ્રેસ (અથવા વોલ્યુમ સ્ટ્રેસ) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે,અને તેનું મૂલ્ય હાઇડ્રોલિક દબાણ (એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ) જેટલું હોય છે.
હાઇડ્રોલિક દબાણ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી વિકૃતિને વોલ્યુમ સ્ટ્રેઇન કહેવામાં આવે છે અને તેને કદમાં થતા ફેરફાર $(\Delta V)$ અને મૂળ કદ $(V)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$\text{વોલ્યુમ સ્ટ્રેઇન} = \frac{\Delta V}{V}$
તેને કોઈ એકમ કે પારિમાણિક સૂત્ર નથી.

(N/A) શીયરિંગ સ્ટ્રેસ અને તેને અનુરૂપ શીયરિંગ સ્ટ્રેઈનના ગુણોત્તરને પદાર્થનો શીયર મોડ્યુલસ કહેવામાં આવે છે અને તેને $G$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. તેને દ્રઢતા મોડ્યુલસ (modulus of rigidity) પણ કહેવામાં આવે છે.
$G = \frac{\text{Shearing stress } (\sigma_s)}{\text{Shearing strain } (\theta)} = \frac{F/A}{\Delta x/L} = \frac{FL}{A \Delta x}$
નાના ખૂણાઓ માટે,$\frac{\Delta x}{L} = \tan \theta \approx \theta$,તેથી $G = \frac{F/A}{\theta} = \frac{F}{A \theta}$.
શીયરિંગ સ્ટ્રેસ $\sigma_s$ ને $\sigma_s = G \times \theta$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
શીયર મોડ્યુલસનો $SI$ એકમ $N m^{-2}$ અથવા $Pa$ છે.
સામાન્ય રીતે,શીયર મોડ્યુલસ એ યંગ મોડ્યુલસ કરતા ઓછો હોય છે,અને મોટાભાગના પદાર્થો માટે $G \approx \frac{Y}{3}$ હોય છે.
જ્યારે કોઈ પદાર્થને પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે તે હાઇડ્રોલિક સ્ટ્રેસ (હાઇડ્રોલિક દબાણ જેટલું જ) અનુભવે છે. આનાથી પદાર્થના કદમાં ઘટાડો થાય છે,જેને વોલ્યુમ સ્ટ્રેઈન કહેવાય છે.
હાઇડ્રોલિક સ્ટ્રેસ અને તેને અનુરૂપ હાઇડ્રોલિક સ્ટ્રેઈનના ગુણોત્તરને બલ્ક મોડ્યુલસ કહેવામાં આવે છે,જેને $B$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$B = -\frac{p}{\Delta V / V}$
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે દબાણમાં વધારો થવાથી કદમાં ઘટાડો થાય છે (જો $p > 0$ હોય,તો $\Delta V < 0$ હોય). આમ,સંતુલિત સિસ્ટમ માટે,$B$ હંમેશા ધન હોય છે.
બલ્ક મોડ્યુલસનો $SI$ એકમ $N m^{-2}$ અથવા $Pa$ છે,અને તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^{-1} T^{-2}]$ છે.

(A) સંકોચનીયતા એ બલ્ક મોડ્યુલસ $(B)$ નો વ્યસ્ત છે. તે દબાણમાં એકમ વધારા દીઠ કદમાં થતા આંશિક ફેરફાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
સંકોચનીયતા $(k)$ નું સૂત્ર:
$k = \frac{1}{B} = -\frac{1}{V} \left( \frac{\Delta V}{\Delta p} \right)$
એકમ:
સંકોચનીયતાનો $SI$ એકમ $Pa^{-1}$ અથવા $m^2/N$ છે.
પારિમાણિક સૂત્ર:
બલ્ક મોડ્યુલસ $B = \frac{\text{બળ}}{\text{ક્ષેત્રફળ}} \times \frac{\text{કદ}}{\text{કદમાં ફેરફાર}}$ હોવાથી,$B$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^{-1} T^{-2}]$ છે.
તેથી,સંકોચનીયતાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{-1} L^1 T^2]$ થાય છે.

(A) બલ્ક મૉડ્યુલસ $(B)$ એ કદ પ્રતિબળ અને કદ વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે: $B = -\Delta P / (\Delta V / V)$.
સંકોચનીયતા $(K)$ એ બલ્ક મૉડ્યુલસના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $K = 1 / B$.
ઘન પદાર્થો માટે,આંતર-પરમાણ્વીય બળો ખૂબ જ મજબૂત હોય છે,જેના કારણે તેમને દબાવવા ખૂબ મુશ્કેલ છે. તેથી,ઘન પદાર્થોનો બલ્ક મૉડ્યુલસ $(B)$ ખૂબ ઊંચો હોય છે,જે ખૂબ જ ઓછી સંકોચનીયતા $(K)$ માં પરિણમે છે.
વાયુઓ માટે,આંતર-પરમાણ્વીય બળો નગણ્ય હોય છે,જેના કારણે તેમને દબાવવા ખૂબ સરળ છે. તેથી,વાયુઓનો બલ્ક મૉડ્યુલસ $(B)$ ખૂબ નીચો હોય છે,જે ખૂબ જ ઊંચી સંકોચનીયતા $(K)$ માં પરિણમે છે.
આથી,ઘન પદાર્થો સૌથી ઓછા દબનીય અને વાયુઓ સૌથી વધુ દબનીય છે.

(C) દબનીયતા $(K)$ એ બલ્ક મોડ્યુલસ $(B)$ નો વ્યસ્ત છે,જે $K = 1/B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘન પદાર્થો માટે,બલ્ક મોડ્યુલસ સામાન્ય રીતે $10^{11} \ N/m^2$ ના ક્રમમાં હોય છે.
વાયુઓ માટે,બલ્ક મોડ્યુલસ સામાન્ય રીતે $10^5 \ N/m^2$ ના ક્રમમાં હોય છે.
વાયુઓની દબનીયતા $(K_g)$ અને ઘન પદાર્થોની દબનીયતા $(K_s)$ નો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$K_g / K_s = B_s / B_g = 10^{11} / 10^5 = 10^6$.
તેથી,વાયુઓ ઘન પદાર્થો કરતા $10^6$ ગણા વધુ દબનીય છે.

(C) બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ એ કદના પ્રતિબળ અને કદના વિકૃતિના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $B = -\frac{P}{\Delta V / V}$.
સંપૂર્ણપણે દ્રઢ પદાર્થ માટે,લાગુ પાડવામાં આવેલા દબાણ $P$ ને ધ્યાનમાં લીધા વગર કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V$ હંમેશા $0$ હોય છે.
સૂત્રમાં $\Delta V = 0$ મૂકતા,આપણને $B = -\frac{P}{0} = \infty$ મળે છે.
તેથી,સંપૂર્ણપણે દ્રઢ પદાર્થનો બલ્ક મોડ્યુલસ અનંત હોય છે.

(B) પ્રવાહી અને વાયુઓનો કોઈ નિશ્ચિત આકાર હોતો નથી અને તેઓ શીયરિંગ બળોનો સામનો કરી શકતા નથી,તેથી તેમની પાસે યંગનો મોડ્યુલસ કે શીયર મોડ્યુલસ હોતા નથી.
તેઓ ફક્ત દબાણયુક્ત બળોનો સામનો કરી શકે છે જે તેમના કદમાં ફેરફાર કરે છે.
તેથી,પ્રવાહી (પ્રવાહી અને વાયુઓ) માટે લાગુ પડતો એકમાત્ર સ્થિતિસ્થાપક મોડ્યુલસ એ વોલ્યુમ ઇલાસ્ટિક મોડ્યુલસ છે,જેને સામાન્ય રીતે બલ્ક મોડ્યુલસ $(B)$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(N/A) પદાર્થની સ્થિતિસ્થાપકતા તેના બલ્ક મોડ્યુલસ $(B)$ દ્વારા માપવામાં આવે છે.
બલ્ક મોડ્યુલસ એ સંકોચનક્ષમતા $(K)$ ના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,એટલે કે $B = 1/K$.
હવા ખૂબ જ સંકોચનીય છે,જેનો અર્થ છે કે તેની સંકોચનક્ષમતાનું મૂલ્ય ખૂબ ઊંચું છે.
પાણી હવા કરતા ઘણું ઓછું સંકોચનીય છે.
બલ્ક મોડ્યુલસ એ સંકોચનક્ષમતાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,ઓછી સંકોચનક્ષમતા ધરાવતા પદાર્થનો બલ્ક મોડ્યુલસ વધારે હોય છે.
તેથી,પાણી હવા કરતા વધુ સ્થિતિસ્થાપક છે.

(C) બલ્ક મોડ્યુલસ $(B)$ ને દબાણમાં થતા ફેરફાર અને કદમાં થતા આંશિક ફેરફારના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ઘન,પ્રવાહી અને વાયુઓ ત્રણેય જ્યારે સમાન દબાણ હેઠળ હોય ત્યારે તેમના કદમાં ફેરફાર અનુભવે છે,તેથી બલ્ક મોડ્યુલસ દ્રવ્યની ત્રણેય અવસ્થાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
તેનાથી વિપરીત,યંગ મોડ્યુલસ અને શીયર મોડ્યુલસ માટે ચોક્કસ આકાર અને શીયરિંગ બળો સામે પ્રતિકારની જરૂર હોય છે,જે મુખ્યત્વે ઘન પદાર્થોના ગુણધર્મો છે.
તેથી,બલ્ક મોડ્યુલસ એ એકમાત્ર સ્થિતિસ્થાપકતાનો મોડ્યુલસ છે જે ઘન,પ્રવાહી અને વાયુઓ માટે લાગુ પડે છે.

બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ નું સૂત્ર $B = \frac{P}{\Delta V / V}$ છે,જ્યાં $P$ એ દબાણ છે,$\Delta V$ એ કદમાં થતો ફેરફાર છે અને $V$ એ પ્રારંભિક કદ છે.
કદમાં થતા ફેરફાર માટે સૂત્ર: $\Delta V = \frac{PV}{B}$.
ગોળાનું પ્રારંભિક કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$,જ્યાં $r = 10\,cm = 0.1\,m$.
કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{4}{3} \times 3.14 \times (0.1)^3 = \frac{4}{3} \times 3.14 \times 0.001\,m^3$.
હવે,$\Delta V$ ની ગણતરી કરતા:
$\Delta V = \frac{5 \times 10^8 \times (\frac{4}{3} \times 3.14 \times 0.001)}{3.14 \times 10^{11}}$
$\Delta V = \frac{5 \times 10^8 \times 4 \times 3.14 \times 0.001}{3 \times 3.14 \times 10^{11}}$
$\Delta V = \frac{20 \times 10^5}{3 \times 10^{11}} = 6.66 \times 10^{-6}\,m^3$
$\Delta V \approx 6.7 \times 10^{-6}\,m^3$.

(C) બલ્ક મોડ્યુલસ $(B)$ એ કદના પ્રતિબળ અને કદના વિકૃતિના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેનું સૂત્ર $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ છે.
એક સંપૂર્ણ દ્રઢ પદાર્થ માટે,કોઈપણ લાગુ કરેલા દબાણ $(\Delta P)$ માટે કદમાં થતો ફેરફાર $(\Delta V)$ શૂન્ય હોય છે.
તેથી,$B = -\frac{\Delta P}{0} = \infty$.
આમ,દ્રઢ પદાર્થ માટે બલ્ક મોડ્યુલસનું મૂલ્ય અનંત હોય છે.

(A) કદમાં થતો ટકાવારી ઘટાડો $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 0.1$ છે.
તેથી,કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = \frac{0.1}{100} = 0.001$ છે.
$h$ ઊંડાઈએ દરિયાના પાણી દ્વારા લાગતું દબાણ $P = h \rho g$ છે.
બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $B = \frac{P}{\Delta V / V}$.
ઊંડાઈ $h$ શોધવા માટે સૂત્રને ગોઠવતા,$h = \frac{B \times (\Delta V / V)}{\rho g}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $B = 9.8 \times 10^8 \, N/m^2$,$\frac{\Delta V}{V} = 0.001$,$\rho = 10^3 \, kg/m^3$,અને $g = 9.8 \, m/s^2$.
$h = \frac{9.8 \times 10^8 \times 0.001}{10^3 \times 9.8} = \frac{9.8 \times 10^5}{9.8 \times 10^3} = 10^2 = 100 \, m$.
તેથી,જરૂરી ઊંડાઈ $100 \, m$ છે.

(N/A) તાપમાનમાં વધારો $\Delta T = 57 - 37 = 20\,^{\circ}C$ અથવા $20\,K$.
કોપરનો રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = 1.7 \times 10^{-5}\,^{\circ}C^{-1}$.
કોપરનો બલ્ક મોડ્યુલસ $K = 140 \times 10^9\,N/m^2$.
કોપરનો કદ પ્રસરણાંક $\gamma = 3\alpha = 3 \times 1.7 \times 10^{-5} = 5.1 \times 10^{-5}\,^{\circ}C^{-1}$.
ઉષ્મીય પ્રતિબળનું સૂત્ર: $\text{Stress} = K \times \text{volumetric strain} = K \times \frac{\Delta V}{V}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{\Delta V}{V} = \gamma \Delta T$,તેથી $\text{Stress} = K \gamma \Delta T$.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Stress} = (140 \times 10^9) \times (5.1 \times 10^{-5}) \times 20$.
$\text{Stress} = 140 \times 5.1 \times 20 \times 10^4 = 14280 \times 10^4 = 1.428 \times 10^8\,N/m^2$.

(B) બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ને $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કદમાં થતા આંશિક ફેરફારનું મૂલ્ય $\left| \frac{\Delta V}{V} \right| = \frac{\Delta P}{B}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$\Delta P = 4 \times 10^9 \; Pa$ અને $B = 8 \times 10^{10} \; Pa$:
$\left| \frac{\Delta V}{V} \right| = \frac{4 \times 10^9}{8 \times 10^{10}} = \frac{1}{20} = 0.05$.
$\ell$ બાજુની લંબાઈ ધરાવતા સમઘન માટે,કદ $V = \ell^3$ છે. વિકલન કરતા,આપણને $\frac{\Delta V}{V} = 3 \frac{\Delta \ell}{\ell}$ મળે છે.
તેથી,લંબાઈમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta \ell}{\ell} = \frac{1}{3} \left| \frac{\Delta V}{V} \right| = \frac{1}{3} \times \frac{1}{20} = \frac{1}{60}$ છે.
લંબાઈમાં થતો પ્રતિશત ફેરફાર $\frac{\Delta \ell}{\ell} \times 100\% = \frac{1}{60} \times 100\% = \frac{10}{6}\% \approx 1.67\%$ છે.

(B) સંકોચનક્ષમતા $K$ એ બલ્ક મોડ્યુલસ $\beta$ નો વ્યસ્ત છે,જેનું સૂત્ર $K = \frac{1}{\beta} = -\frac{1}{V} \frac{\Delta V}{\Delta P}$ છે.
કદમાં થતા ફેરફાર $\Delta V$ ને શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $-\Delta V = K \cdot V \cdot P$.
આપેલ કિંમતો:
સંકોચનક્ષમતા $K = 6 \times 10^{-10} \ N^{-1} \ m^2$.
પ્રારંભિક કદ $V = 1 \ litre = 1000 \ cc = 10^{-3} \ m^3$.
દબાણ $P = 4 \times 10^7 \ N \ m^{-2}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$-\Delta V = (6 \times 10^{-10}) \times (10^{-3}) \times (4 \times 10^7)$.
$-\Delta V = 24 \times 10^{-6} \ m^3$.
કારણ કે $1 \ m^3 = 10^6 \ cc$,તેથી:
$-\Delta V = 24 \times 10^{-6} \times 10^6 \ cc = 24 \ cc$.

(D) હાઇડ્રોલિક સ્ટ્રેસ એ $h$ ઊંડાઈએ હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણ $P$ જેટલું હોય છે,જે $P = h \rho g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$h = 2 \, km = 2000 \, m$,$\rho = 1000 \, kg \, m^{-3}$,અને $g = 9.8 \, m \, s^{-2}$ છે.
$P = 2000 \times 1000 \times 9.8 = 1.96 \times 10^{7} \, N \, m^{-2}$.
હાઇડ્રોલિક સ્ટ્રેન એ આંશિક સંકોચન $\frac{\Delta V}{V} = 1.36 \, \% = 1.36 \times 10^{-2}$ છે.
હાઇડ્રોલિક સ્ટ્રેસ અને હાઇડ્રોલિક સ્ટ્રેનનો ગુણોત્તર એ બલ્ક મોડ્યુલસ $B = \frac{P}{\Delta V / V}$ છે.
$B = \frac{1.96 \times 10^{7}}{1.36 \times 10^{-2}} \approx 1.44 \times 10^{9} \, N \, m^{-2}$.

(B) ઘનતા $\rho = \frac{M}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ દળ છે અને $V$ એ કદ છે.
લોગેરિધમિક વિકલન લેતા,આપણને $\frac{d\rho}{\rho} = -\frac{dV}{V}$ મળે છે.
બલ્ક મોડ્યુલસ $K$ ને $K = -\frac{P}{dV/V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $-\frac{dV}{V} = \frac{P}{K}$.
આ કિંમતને ઘનતાના સંબંધમાં મૂકતા,આપણને $\frac{d\rho}{\rho} = \frac{P}{K}$ મળે છે.
તેથી,ઘનતામાં થતા વધારાનું મૂલ્ય $d\rho = \frac{\rho P}{K}$ થશે.

(C) બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ને $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V/V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
અહીં,$h$ ઊંડાઈએ દબાણમાં ફેરફાર $\Delta P = \rho g h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કદમાં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = -0.5\, \% = -0.005$ છે (ઋણ નિશાની કદમાં ઘટાડો સૂચવે છે).
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $B = -\frac{\rho g h}{-0.005}$.
$h$ માટે સૂત્ર ગોઠવતા: $h = \frac{B \times 0.005}{\rho g}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $h = \frac{9.8 \times 10^{8} \times 0.005}{10^{3} \times 9.8}$.
$h = \frac{10^{8} \times 0.005}{10^{3}} = 10^{5} \times 0.005 = 500 \, \text{m}$.
આમ,ઊંડાઈ $500 \, \text{m}$ છે.

(C) બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ને $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,$B = 3 \times 10^{10} \ Nm^{-2}$.
કદમાં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = -2\% = -0.02$ છે (ઋણ નિશાની કદમાં ઘટાડો સૂચવે છે).
દબાણના ફેરફાર $\Delta P$ માટેના સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $\Delta P = -B \times \left(\frac{\Delta V}{V}\right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta P = -(3 \times 10^{10}) \times (-0.02)$.
$\Delta P = 3 \times 10^{10} \times 0.02 = 0.06 \times 10^{10} = 6 \times 10^{8} \ Nm^{-2}$.
આમ,જરૂરી દબાણ $6 \times 10^{8} \ Nm^{-2}$ છે.

(C) બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ એ દબાણમાં થતા ફેરફાર અને કદ વિકૃતિના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$.
અહીં કદમાં થતો ઘટાડો $0.02 \%$ છે,તેથી કદ વિકૃતિ $\frac{\Delta V}{V} = -\frac{0.02}{100} = -2 \times 10^{-4}$ છે.
દબાણમાં થતો ફેરફાર $\Delta P = 50 \, atm = 50 \times 1.01 \times 10^5 \, Pa = 50.5 \times 10^5 \, Pa$ છે.
સૂત્ર $B = \frac{\Delta P}{-(\Delta V / V)}$ નો ઉપયોગ કરતા,$B = \frac{50.5 \times 10^5}{2 \times 10^{-4}} = 25.25 \times 10^9 = 2.525 \times 10^{10} \, Nm^{-2}$ મળે છે.

(D) બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ને $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ઘનતા $\rho = \frac{m}{V}$ હોવાથી,$V = \frac{m}{\rho}$ મળે.
વિકલન કરતા,$\Delta V = -\frac{m}{\rho^2} \Delta \rho$ મળે.
તેથી,$\frac{\Delta V}{V} = -\frac{\Delta \rho}{\rho}$ થાય.
આ કિંમત બલ્ક મોડ્યુલસના સૂત્રમાં મૂકતા: $B = \frac{\Delta P}{\Delta \rho / \rho}$,જે પરથી $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta P}{B}$ મળે.
આપેલ છે: $B = 8.0 \times 10^9 \, N/m^2$,$\Delta P = 2.0 \times 10^8 \, N/m^2$,અને $\rho_1 = 11.4 \, g/cc$.
$\Delta \rho = \rho_1 \times \frac{\Delta P}{B} = 11.4 \times \frac{2.0 \times 10^8}{8.0 \times 10^9} = 11.4 \times 0.025 = 0.285 \, g/cc$.
અંતિમ ઘનતા $\rho_2 = \rho_1 + \Delta \rho = 11.4 + 0.285 = 11.685 \, g/cc \approx 11.7 \, g/cc$.

(A) બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ એ સૂત્ર $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = 1.01 \times 10^5 \, Pa$
અંતિમ દબાણ $P_2 = 1.165 \times 10^5 \, Pa$
દબાણમાં ફેરફાર $\Delta P = P_2 - P_1 = (1.165 - 1.01) \times 10^5 \, Pa = 0.155 \times 10^5 \, Pa$.
જેમ દબાણ વધે છે,તેમ કદમાં $10 \%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી $\frac{\Delta V}{V} = -0.10$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = -\frac{0.155 \times 10^5}{-0.10}$
$B = \frac{0.155 \times 10^5}{0.10}$
$B = 1.55 \times 10^5 \, Pa$.
આમ,બલ્ક મોડ્યુલસ $1.55 \times 10^5 \, Pa$ છે.

(C) ઘનનું કદ $V = a^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ બાજુની લંબાઈ છે.
લોગરીધમિક વિકલન લેતા,આપણને $\frac{\Delta V}{V} = 3 \frac{\Delta a}{a}$ મળે છે.
આપેલ છે કે બાજુમાં $2 \%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી $\frac{\Delta a}{a} = -0.02$.
આ કિંમતને કદ વિકૃતિના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta V}{V} = 3 \times (-0.02) = -0.06$.
બલ્ક વિકૃતિ એ કદ વિકૃતિનું મૂલ્ય છે,જે $|\frac{\Delta V}{V}| = 0.06$ થાય છે.

(C) સમુદ્રના તળિયે દબાણ $P = \rho g h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $\rho = 1 \,g/cc = 1000 \,kg/m^3$,$g = 10 \,m/s^2$,અને $h = 1400 \,m$.
$P = 1000 \times 10 \times 1400 = 1.4 \times 10^7 \,N/m^2$.
કદમાં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = -2\% = -0.02$ છે.
બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ની વ્યાખ્યા $B = -\frac{P}{\Delta V / V}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $B = -\frac{1.4 \times 10^7}{-0.02} = \frac{1.4 \times 10^7}{0.02} = 70 \times 10^7 = 7 \times 10^8 \,N/m^2$.
આમ,બલ્ક મોડ્યુલસ $7 \times 10^8 \,N/m^2$ છે.

(D) બલ્ક મોડ્યુલસ $(B)$ નું સૂત્ર $B = -\frac{P}{\Delta V / V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,કદમાં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = -\frac{0.02}{100} = -2 \times 10^{-4}$ છે.
લાગુ પાડવામાં આવેલ દબાણ $P = 50 \, \text{atm} = 50 \times 1.013 \times 10^5 \, \text{Pa} \approx 5.065 \times 10^6 \, \text{Pa}$ છે.
$B = \frac{P}{|\Delta V / V|}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $B = \frac{50 \times 1.013 \times 10^5}{2 \times 10^{-4}}$ મળે છે.
$B = 25 \times 1.013 \times 10^9 = 2.5325 \times 10^{10} \, \text{N/m}^2$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત લેતા,સાચો જવાબ $2.5 \times 10^{10} \, \text{N/m}^2$ છે.

(C) સમુદ્રના તળિયે દબાણ $P = \rho g h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $\rho = 1000 \, kg/m^3$,$g = 9.8 \, m/s^2$,અને $h = 1000 \, m$.
$P = 1000 \times 9.8 \times 1000 = 9.8 \times 10^6 \, N/m^2$.
કદમાં આંશિક ફેરફાર $\frac{-\Delta V}{V} = 0.01 \% = \frac{0.01}{100} = 10^{-4}$ છે.
બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ની વ્યાખ્યા $B = \frac{P}{(-\Delta V/V)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $B = \frac{9.8 \times 10^6}{10^{-4}} = 9.8 \times 10^{10} \, N/m^2$.

(B) આપેલ છે:
સમઘનની ધાર $a = 10 \, cm = 0.1 \, m = 10^{-1} \, m$.
પ્રારંભિક કદ $V = a^3 = (10^{-1} \, m)^3 = 10^{-3} \, m^3$.
દબાણ $P = 7 \times 10^6 \, Pa$.
બલ્ક મોડ્યુલસ $B = 140 \, GPa = 140 \times 10^9 \, Pa$.
આપણે જાણીએ છીએ કે બલ્ક મોડ્યુલસનું સૂત્ર $B = \frac{P}{(-\Delta V / V)}$ છે,જ્યાં $-\Delta V$ એ કદમાં થતો ઘટાડો છે.
કદમાં થતા ઘટાડા માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $-\Delta V = \frac{P \times V}{B}$.
કિંમતો મૂકતા:
$-\Delta V = \frac{(7 \times 10^6 \, Pa) \times (10^{-3} \, m^3)}{140 \times 10^9 \, Pa}$.
$-\Delta V = \frac{7 \times 10^3}{140 \times 10^9} = \frac{1}{20} \times 10^{-6} = 0.05 \times 10^{-6} = 5 \times 10^{-8} \, m^3$.
આમ,કદમાં થતો ઘટાડો $5 \times 10^{-8} \, m^3$ છે.

(B) બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ની વ્યાખ્યા $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ છે.
પાણી માટે,કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V_w}{V_w} = 0.01 \% = \frac{0.01}{100} = 10^{-4}$ છે.
તેથી,$B_w = \frac{P}{10^{-4}} = 10^4 P$.
પ્રવાહી માટે,કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V_l}{V_l} = 0.03 \% = \frac{0.03}{100} = 3 \times 10^{-4}$ છે.
તેથી,$B_l = \frac{P}{3 \times 10^{-4}} = \frac{10^4 P}{3}$.
પાણીના બલ્ક મોડ્યુલસ અને પ્રવાહીના બલ્ક મોડ્યુલસનો ગુણોત્તર $\frac{B_w}{B_l} = \frac{10^4 P}{10^4 P / 3} = 3$ થાય છે.
આપેલ છે કે ગુણોત્તર $\frac{3}{x}$ છે,તેથી $\frac{3}{x} = 3$,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.

(B) બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ની વ્યાખ્યા $B = -V \frac{dP}{dV}$ છે.
આપેલ સંબંધ $P = aV^{-3}$ છે.
$V$ ની સાપેક્ષમાં $P$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{dP}{dV} = a(-3)V^{-4} = -3 \frac{aV^{-3}}{V} = -3 \frac{P}{V}$.
આ કિંમતને બલ્ક મોડ્યુલસના સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = -V \left( -3 \frac{P}{V} \right) = 3P$.
તેથી,બલ્ક મોડ્યુલસ $3P$ છે.

(B) બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ને $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સમુદ્રના તળિયે દબાણ હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta P = \rho g h$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\Delta P = 1000 \ kg m^{-3} \times 10 \ m s^{-2} \times 4000 \ m = 4 \times 10^7 \ N m^{-2}$.
આંશિક સંકોચન $\frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta P}{B}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta V}{V} = \frac{4 \times 10^7}{2 \times 10^9} = 2 \times 10^{-2}$.
આને $\alpha \times 10^{-2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 2$ મળે છે.

(D) બલ્ક મોડ્યુલસ $\beta$ ને $\beta = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
અહીં,$h$ ઊંડાઈએ દબાણમાં થતો ફેરફાર $\Delta P = \rho gh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = -0.02 \% = -\frac{0.02}{100} = -2 \times 10^{-4}$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\rho gh = -\beta \left( \frac{\Delta V}{V} \right)$
$10^3 \times 10 \times h = -(9 \times 10^8) \times (-2 \times 10^{-4})$
$10^4 \times h = 18 \times 10^4$
$h = 18 \ m$.

(B) $h$ ઊંડાઈએ દબાણ $P = \rho g h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $h = 5 \text{ km} = 5000 \text{ m}$,$\rho = 10^3 \text{ kg m}^{-3}$,અને $g = 10 \text{ m s}^{-2}$ છે,તેથી દબાણ $P = 10^3 \times 10 \times 5000 = 5 \times 10^7 \text{ Pa}$ થાય.
બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ની વ્યાખ્યા $B = -V \frac{dP}{dV}$ છે. $a$ બાજુવાળા ઘન માટે,$V = a^3$,તેથી $dV = 3a^2 da$ થાય.
આમ,$\frac{dV}{V} = \frac{3a^2 da}{a^3} = 3 \frac{da}{a}$ થાય.
આ કિંમત બલ્ક મોડ્યુલસના સૂત્રમાં મૂકતા: $B = -\frac{P}{3 \frac{da}{a}} \implies \frac{da}{a} = \frac{P}{3B}$ મળે.
અહીં,$a = 1 \text{ m}$,$P = 5 \times 10^7 \text{ Pa}$,અને $B = 70 \times 10^9 \text{ Pa}$ છે.
$da = \frac{a \times P}{3B} = \frac{1 \times 5 \times 10^7}{3 \times 70 \times 10^9} = \frac{5}{210} \times 10^{-2} \text{ m} = \frac{1}{42} \times 10^{-2} \text{ m} \approx 2.38 \text{ mm}$.

(D) બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ એ દબાણમાં થતા ફેરફાર અને કદના વિકૃતિના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$
આપેલ છે:
બલ્ક મોડ્યુલસ $B = 2.15 \times 10^9 \text{ Nm}^{-2}$
કદ વિકૃતિ $\frac{\Delta V}{V} = -0.2\% = -0.002$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$2.15 \times 10^9 = -\frac{\Delta P}{-0.002}$
$\Delta P = 2.15 \times 10^9 \times 0.002$
$\Delta P = 2.15 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-3}$
$\Delta P = 4.3 \times 10^6 \text{ Nm}^{-2}$
આપણે તેને $\text{P} \times 10^5 \text{ Nm}^{-2}$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવવાની જરૂર છે:
$4.3 \times 10^6 = 43 \times 10^5 \text{ Nm}^{-2}$
આને $\text{P} \times 10^5 \text{ Nm}^{-2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\text{P} = 43$ મળે છે.

(B) બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ નું સૂત્ર $B = \frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ છે,જ્યાં $\Delta P$ એ દબાણમાં ફેરફાર છે,$V$ એ પ્રારંભિક કદ છે અને $\Delta V$ એ કદમાં ફેરફાર છે.
આપેલ છે: ધારની લંબાઈ $L = 10 \ cm = 0.1 \ m$. પ્રારંભિક કદ $V = L^3 = (0.1 \ m)^3 = 10^{-3} \ m^3$.
દબાણમાં ફેરફાર $\Delta P = 7 \times 10^6 \ Pa$.
બલ્ક મોડ્યુલસ $B = 1.4 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$.
કદના સંકોચન $\Delta V$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $\Delta V = \frac{\Delta P \times V}{B}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta V = \frac{7 \times 10^6 \times 10^{-3}}{1.4 \times 10^{11}} = \frac{7 \times 10^3}{1.4 \times 10^{11}} = 5 \times 10^{-8} \ m^3$.
કારણ કે $1 \ m^3 = 10^9 \ mm^3$,તેથી કદને રૂપાંતરિત કરતા: $\Delta V = 5 \times 10^{-8} \times 10^9 \ mm^3 = 50 \ mm^3$.

(D) $h$ ઊંડાઈએ દબાણ $P = \rho gh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ની વ્યાખ્યા $B = \frac{P}{\left(\frac{\Delta V}{V}\right)}$ છે.
તેથી,આંશિક સંકોચન $\frac{\Delta V}{V} = \frac{P}{B} = \frac{\rho gh}{B}$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\rho = 10^3 \ kg m^{-3}$,$g = 10 \ m s^{-2}$,$h = 2.5 \ km = 2.5 \times 10^3 \ m$,અને $B = 2 \times 10^9 \ N m^{-2}$.
$\frac{\Delta V}{V} = \frac{10^3 \times 10 \times 2.5 \times 10^3}{2 \times 10^9} = \frac{2.5 \times 10^7}{2 \times 10^9} = 1.25 \times 10^{-2}$.
આને ટકાવારીમાં દર્શાવવા માટે: $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 1.25 \times 10^{-2} \times 100 = 1.25 \%$.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક દબાણ $(P_i) = 1 \ atm$,અંતિમ દબાણ $(P_f) = 5 \ atm$.
દબાણમાં ફેરફાર $(dP) = P_f - P_i = 4 \ atm = 4 \times 10^5 \ Pa$.
કદમાં ફેરફાર $(dV) = -0.8 \ cm^3 = -0.8 \times 10^{-6} \ m^3$.
બલ્ક મોડ્યુલસ $(B) = 2 \ GPa = 2 \times 10^9 \ Pa$.
બલ્ક મોડ્યુલસનું સૂત્ર $B = -\frac{dP}{dV/V}$ છે,જેનો અર્થ થાય છે $V = -\frac{B \cdot dV}{dP}$.
કિંમતો મૂકતા: $V = -\frac{2 \times 10^9 \times (-0.8 \times 10^{-6})}{4 \times 10^5}$.
$V = \frac{1.6 \times 10^3}{4 \times 10^5} = 0.4 \times 10^{-2} \ m^3 = 4 \times 10^{-3} \ m^3$.
કારણ કે $1 \ m^3 = 1000 \ litres$,તેથી $V = 4 \times 10^{-3} \times 1000 = 4 \ litres$.

(C) સંકોચનક્ષમતા $\beta$ એ બલ્ક મોડ્યુલસ $K$ ના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,એટલે કે $\beta = \frac{1}{K}$.
આપેલ છે:
સંકોચનક્ષમતા $\beta = 5 \times 10^{-10} \ m^2/N$
દબાણમાં ફેરફાર $\Delta P = 15 \times 10^6 \ Pa$
પ્રારંભિક કદ $V = 100 \ ml$
કદ વિકૃતિ (volumetric strain) માટેનું સૂત્ર $\frac{\Delta V}{V} = -\beta \Delta P$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta V}{100 \ ml} = -(5 \times 10^{-10} \ m^2/N) \times (15 \times 10^6 \ Pa)$
$\frac{\Delta V}{100 \ ml} = -75 \times 10^{-4} = -0.0075$
$\Delta V = -0.0075 \times 100 \ ml = -0.75 \ ml$.
ઋણ નિશાની કદમાં ઘટાડો સૂચવે છે.
તેથી,કદમાં થતો ફેરફાર $0.75 \ ml$ નો ઘટાડો છે.

(A) ઘનતા $\rho$ એ $\rho = M / V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ દળ છે અને $V$ એ કદ છે.
બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $\frac{d\rho}{\rho} = -\frac{dV}{V}$ મળે છે.
બલ્ક મોડ્યુલસ $K$ ની વ્યાખ્યા $K = -\frac{P}{dV/V}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $-\frac{dV}{V} = \frac{P}{K}$.
આ કિંમતને ઘનતાના સંબંધમાં મૂકતા,આપણને $\frac{d\rho}{\rho} = \frac{P}{K}$ મળે છે.
તેથી,ઘનતામાં થતો વધારો $d\rho = \frac{\rho P}{K}$ છે.

(A) બલ્ક મોડ્યુલસ $K$ ને $K = -\frac{\Delta p}{\Delta V / V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે કદમાં $x \%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી $\frac{\Delta V}{V} = \frac{x}{100}$.
સમુદ્રમાં $h$ ઊંડાઈએ દબાણમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = \rho g h$ છે.
આ કિંમતોને બલ્ક મોડ્યુલસના સૂત્રમાં મૂકતા: $K = \frac{\rho g h}{x / 100}$.
ઊંડાઈ $h$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $h = \frac{K \cdot x}{100 \cdot \rho \cdot g}$.
અહીં $100$ અચળ હોવાથી,ઊંડાઈ $h$ એ $\frac{Kx}{\rho g}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(D) બલ્ક મોડ્યુલસ $K$ ની વ્યાખ્યા $K = -V \frac{dp}{dV}$ છે.
દબાણમાં થતા નાના ફેરફાર $p$ માટે,આપણી પાસે $K = -V \frac{p}{\Delta V}$ છે,જે $\Delta V = -\frac{pV}{K}$ આપે છે.
નવું કદ $V^{\prime} = V + \Delta V = V - \frac{pV}{K} = V(1 - \frac{p}{K})$ થાય.
ઘનતા $\varrho = \frac{m}{V}$ હોવાથી,નવી ઘનતા $\varrho^{\prime} = \frac{m}{V^{\prime}} = \frac{m}{V(1 - \frac{p}{K})}$ થાય.
$\varrho = \frac{m}{V}$ મૂકતા,આપણને $\varrho^{\prime} = \frac{\varrho}{1 - \frac{p}{K}}$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{\varrho^{\prime}}{\varrho} = \frac{1}{1 - \frac{p}{K}}$ થાય.

(C) સંકોચનક્ષમતા $K$ એ બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે, જે $K = \frac{1}{B} = -\frac{\Delta V}{P V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે દબાણમાં વધારો થવાથી કદમાં ઘટાડો થાય છે.
આપેલ છે:
સંકોચનક્ષમતા $K = 6 \times 10^{-10} \,m^{2}/N$
પ્રારંભિક કદ $V = 1 \,L = 10^{-3} \,m^{3}$
દબાણમાં ફેરફાર $P = 4 \times 10^{7} \,N/m^{2}$
કદમાં થતો ઘટાડો $\Delta V$ નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$\Delta V = K \cdot P \cdot V$
$\Delta V = (6 \times 10^{-10} \,m^{2}/N) \times (4 \times 10^{7} \,N/m^{2}) \times (10^{-3} \,m^{3})$
$\Delta V = 24 \times 10^{-6} \,m^{3}$
કારણ કે $1 \,m^{3} = 10^{3} \,L = 10^{6} \,mL$, તેથી કદમાં થતા ફેરફારને મિલિલિટરમાં રૂપાંતરિત કરતા:
$\Delta V = 24 \times 10^{-6} \times 10^{6} \,mL = 24 \,mL$.

(D) બલ્ક મોડ્યુલસ $K$ નું સૂત્ર $K = -\frac{\Delta p}{\Delta V / V}$ છે.
અહીં આપણને બલ્ક મોડ્યુલસ $K = 2100 \, MPa = 2100 \times 10^3 \, kPa$ આપેલ છે.
કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = 0.008 \, \% = \frac{0.008}{100} = 8 \times 10^{-5}$ છે.
દબાણમાં થતો વધારો $\Delta p$ શોધવા માટે, આપણે સૂત્રને આ રીતે લખી શકીએ: $\Delta p = K \times \left( \frac{\Delta V}{V} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta p = (2100 \times 10^3 \, kPa) \times (8 \times 10^{-5})$.
$\Delta p = 2100 \times 8 \times 10^{-2} \, kPa = 21 \times 8 \, kPa = 168 \, kPa$.

(B) હાઇડ્રોલિક સ્ટ્રેસ અને તેને અનુરૂપ કદના સ્ટ્રેઇન (volumetric strain) ના ગુણોત્તરને બલ્ક મોડ્યુલસ $(B)$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$,જ્યાં $\Delta P$ એ દબાણમાં થતો ફેરફાર છે અને $\frac{\Delta V}{V}$ એ કદનો સ્ટ્રેઇન છે.

(C) $h$ ઊંડાઈએ દબાણ $P = \rho gh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $h = 1 \ km = 10^3 \ m$,$\rho = 10^3 \ kg \ m^{-3}$,$g = 10 \ m \ s^{-2}$.
$P = 10^3 \times 10 \times 10^3 = 10^7 \ N \ m^{-2}$.
કદમાં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = 0.01 \% = \frac{0.01}{100} = 10^{-4}$.
બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ની વ્યાખ્યા $B = \frac{P}{\Delta V / V}$ છે.
$B = \frac{10^7}{10^{-4}} = 10^{11} \ N \ m^{-2}$.
આમ,$10^{11} \ N \ m^{-2}$ એ $10 \times 10^{10} \ N \ m^{-2}$ ની બરાબર છે,તેથી વિકલ્પ $C$ સાચો છે.