Bulk Modulus Questions in Gujarati

(C) દબાણમાં થતો ફેરફાર $\Delta P = 250 \text{ kPa} - 200 \text{ kPa} = 50 \text{ kPa} = 50 \times 10^3 \text{ Pa} = 5 \times 10^4 \text{ Pa}$ છે.
કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = 0.25 \% = \frac{0.25}{100} = 2.5 \times 10^{-3}$ છે.
બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ નું સૂત્ર $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ છે.
સંકોચનીયતા $K$ એ બલ્ક મોડ્યુલસનો વ્યસ્ત છે,$K = \frac{1}{B} = \frac{\Delta V / V}{\Delta P}$.
કિંમતો મૂકતા: $K = \frac{2.5 \times 10^{-3}}{5 \times 10^4} = 0.5 \times 10^{-7} \text{ m}^2 \text{ N}^{-1} = 5 \times 10^{-8} \text{ m}^2 \text{ N}^{-1}$.

(C) બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ની વ્યાખ્યા $B = -V \frac{dP}{dV}$ છે.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે, અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = \text{અચળ}$ છે.
બંને બાજુ $V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, આપણને $P + V \frac{dP}{dV} = 0$ મળે છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $V \frac{dP}{dV} = -P$.
તેથી, સમતાપી બલ્ક મોડ્યુલસ $B_{\text{isothermal}} = -(-P) = P$ થાય છે.

(A) આપેલ છે:
પ્રારંભિક કદ,$V = 2000 \text{ cm}^3 = 2000 \times 10^{-6} \text{ m}^3 = 2 \times 10^{-3} \text{ m}^3$.
કદમાં ફેરફાર,$\Delta V = 5 \times 10^{-2} \text{ cm}^3 = 5 \times 10^{-2} \times 10^{-6} \text{ m}^3 = 5 \times 10^{-8} \text{ m}^3$.
દબાણ,$P = 15 \text{ atm} = 15 \times 10^5 \text{ Nm}^{-2}$.
બલ્ક મોડ્યુલસ $(B)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{P}{\left(\frac{\Delta V}{V}\right)} = \frac{P \times V}{\Delta V}$
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{15 \times 10^5 \times 2 \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-8}}$
$B = \frac{30 \times 10^2}{5 \times 10^{-8}}$
$B = 6 \times 10^{10} \text{ Nm}^{-2}$.

(B) કાચના સ્લેબ પર લાગતું હાઇડ્રોલિક દબાણ $P = 14 \,atm$ છે. તેને પાસ્કલ $(Pa)$ માં ફેરવતા:
$P = 14 \times 1.013 \times 10^5 \,Pa \approx 14.182 \times 10^5 \,Pa$.
આપેલ બલ્ક મોડ્યુલસ $B = 40 \times 10^9 \,N/m^2$ છે।
બલ્ક મોડ્યુલસનું સૂત્ર $B = -\frac{P}{\Delta V/V}$ છે, જ્યાં $\frac{\Delta V}{V}$ એ કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર છે।
તેથી, કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર:
$\frac{\Delta V}{V} = \frac{P}{B}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta V}{V} = \frac{14 \times 1.013 \times 10^5}{40 \times 10^9} = \frac{14.182 \times 10^5}{40 \times 10^9} = 0.35455 \times 10^{-4} = 3.5455 \times 10^{-5}$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ, જવાબ $3.54 \times 10^{-5}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક કદ $V = 4000 \ cc$.
કદમાં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = 0.05 \% = \frac{0.05}{100} = 0.0005$.
બલ્ક મોડ્યુલસ $B = 2.2 \times 10^9 \ N/m^2$.
બલ્ક મોડ્યુલસનું સૂત્ર $B = -\frac{P}{\Delta V/V}$ છે,જ્યાં $P$ એ લાગુ પાડેલ દબાણ છે.
મૂલ્ય લેતા,$P = B \times \frac{\Delta V}{V}$.
કિંમતો મૂકતા: $P = (2.2 \times 10^9) \times (0.0005)$.
$P = 2.2 \times 10^9 \times 5 \times 10^{-4} = 11 \times 10^5 = 1.1 \times 10^6 \ N/m^2$.

(B) બલ્ક મોડ્યુલસ $K$ ની વ્યાખ્યા $K = -V \frac{dP}{dV}$ છે.
એડિઆબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^\gamma = \text{અચળ}$ છે.
બંને બાજુ $V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$P(\gamma V^{\gamma-1}) + V^\gamma \frac{dP}{dV} = 0$.
$V^{\gamma-1}$ વડે ભાગતા,આપણને $\gamma P + V \frac{dP}{dV} = 0$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$V \frac{dP}{dV} = -\gamma P$ મળે છે.
આ કિંમતને બલ્ક મોડ્યુલસની વ્યાખ્યામાં મૂકતા,$K = -(-\gamma P) = \gamma P$ મળે છે.

(A) આપેલ છે:
ગરમ ચાનું તાપમાન,$t_2 = 57^{\circ} C$
દાંતનું સામાન્ય તાપમાન,$t_1 = 37^{\circ} C$
રેખીય પ્રસરણાંક,$\alpha = 1.7 \times 10^{-5} {}^{\circ} C^{-1}$
બલ્ક મોડ્યુલસ,$B = 140 \times 10^9 \ Nm^{-2}$
તાપમાનમાં ફેરફાર,$\Delta t = t_2 - t_1 = 57 - 37 = 20^{\circ} C$
થર્મલ સ્ટ્રેસ (પ્રતિબળ) એ બલ્ક મોડ્યુલસ અને કદ વિકૃતિના ગુણાકાર જેટલું હોય છે:
$\text{Stress} = B \times \frac{\Delta V}{V}$
કારણ કે $\frac{\Delta V}{V} = \gamma \Delta t$ અને $\gamma = 3\alpha$:
$\text{Stress} = B \times (3\alpha) \times \Delta t$
કિંમતો મૂકતા:
$\text{Stress} = 3 \times (140 \times 10^9) \times (1.7 \times 10^{-5}) \times 20$
$\text{Stress} = 3 \times 140 \times 1.7 \times 20 \times 10^4$
$\text{Stress} = 14280 \times 10^4 = 1.428 \times 10^8 \ Nm^{-2} \approx 1.4 \times 10^8 \ Nm^{-2}$.

(C) બ્લોક પર લગાડવામાં આવેલ દબાણ $p = 8 \times 10^8 \ N \ m^{-2}$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક કદ $V_1$ છે. અંતિમ કદ $V_2$ માં $20 \%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી $V_2 = V_1 - 0.20 V_1 = 0.8 V_1 = \frac{4}{5} V_1$ થાય.
કદમાં ફેરફાર $\Delta V = V_1 - V_2 = V_1 - 0.8 V_1 = 0.2 V_1 = \frac{V_1}{5}$ છે.
બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $B = \frac{p}{\Delta V / V_1}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$B = \frac{8 \times 10^8}{(0.2 V_1) / V_1} = \frac{8 \times 10^8}{0.2} = 40 \times 10^8 = 4 \times 10^9 \ N \ m^{-2}$ મળે.

(B) આપેલ છે:
બલ્ક મોડ્યુલસ $(K) = 2 \times 10^8 \ N m^{-2}$
કદમાં ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = 1\% = 0.01$
બલ્ક મોડ્યુલસનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$K = \frac{p}{\frac{\Delta V}{V}}$
દબાણ $(p)$ શોધવા માટે સૂત્રને ગોઠવતા:
$p = K \times \left( \frac{\Delta V}{V} \right)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$p = (2 \times 10^8) \times (0.01)$
$p = 2 \times 10^6 \ N m^{-2}$
તેથી,જરૂરી દબાણ $2 \times 10^6 \ N m^{-2}$ છે.

(C) આપેલ છે,ઘન તાંબાના સમઘનની ધાર,$l = 7 \,cm$.
સમઘનનું કદ,$V = l^3 = (7 \,cm)^3 = 343 \,cm^3 = 343 \times 10^{-6} \,m^3$.
હાઇડ્રોલિક દબાણ,$p = 8000 \,kPa = 8000 \times 10^3 \,Pa = 8 \times 10^6 \,Pa$.
તાંબાનો બલ્ક મોડ્યુલસ,$\beta = 140 \,GPa = 140 \times 10^9 \,Pa$.
આપણે જાણીએ છીએ કે બલ્ક મોડ્યુલસ $\beta = \frac{p}{\Delta V / V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta V$ એ કદમાં થતો ફેરફાર છે.
$\Delta V$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$\Delta V = \frac{p V}{\beta}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta V = \frac{(8 \times 10^6 \,Pa) \times (343 \times 10^{-6} \,m^3)}{140 \times 10^9 \,Pa} = \frac{2744}{140 \times 10^9} \,m^3 = 19.6 \times 10^{-9} \,m^3$.
$cm^3$ માં રૂપાંતર કરતા:
$1 \,m^3 = 10^6 \,cm^3$,તેથી $\Delta V = 19.6 \times 10^{-9} \times 10^6 \,cm^3 = 19.6 \times 10^{-3} \,cm^3$.

(B) $h$ ઊંડાઈએ દબાણ $\Delta P = h \rho g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ને $B = \frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે।
તેથી,આંશિક સંકોચન $\frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta P}{B} = \frac{h \rho g}{B}$ છે।
આપેલ છે: $h = 3000 \,m$,$\rho = 1000 \,kg/m^3$,$g = 9.8 \,m/s^2$,અને $B = 2.2 \times 10^9 \,N/m^2$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta V}{V} = \frac{3000 \times 1000 \times 9.8}{2.2 \times 10^9} = \frac{2.94 \times 10^7}{2.2 \times 10^9} = 1.336 \times 10^{-2} \approx 1.34 \times 10^{-2}$.

(D) ઉપરની સપાટી પર પ્રવાહીના $V_1$ કદનો વિચાર કરો. $H$ ઊંડાઈએ દબાણને કારણે,પ્રવાહીનું તેટલું જ દળ $V_2$ કદ રોકે છે.
દળ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$\rho_0 V_1 = \rho V_2$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\rho}{\rho_0}$.
$H$ ઊંડાઈએ,ગેજ દબાણ $P = \rho g H$ છે.
બલ્ક મોડ્યુલસ $B_0$ ની વ્યાખ્યા મુજબ,$B_0 = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V_1} = -\frac{P}{(V_2 - V_1) / V_1}$.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{V_2 - V_1}{V_1} = -\frac{P}{B_0} = -\frac{\rho g H}{B_0}$ મળે છે.
આમ,$\frac{V_2}{V_1} = 1 - \frac{\rho g H}{B_0}$.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{1 - \frac{\rho g H}{B_0}}$.
આ કિંમતને દળ સંરક્ષણના સમીકરણ $\rho = \rho_0 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)$ માં મૂકતા,આપણને $\rho = \frac{\rho_0}{1 - \frac{\rho g H}{B_0}}$ મળે છે.
આ સમીકરણની સરખામણી આપેલ સમીકરણ $\rho = \frac{\rho_0}{1 + \alpha \rho g H}$ સાથે કરતા,આપણને $\alpha = -\frac{1}{B_0}$ મળે છે.

(B) બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ને $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V/V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $B = 60 \ GPa = 60 \times 10^9 \ Pa$,$\Delta P = 10^7 \ Pa$,$r = 36 \ cm = 0.36 \ m$.
ગોળાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે,તેથી કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = 3 \frac{\Delta r}{r}$ થાય.
આ કિંમત બલ્ક મોડ્યુલસના સૂત્રમાં મૂકતા: $B = -\frac{\Delta P}{3 \Delta r / r}$.
$\Delta r$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $\Delta r = -\frac{\Delta P \cdot r}{3B}$.
માનાંક લેતા: $|\Delta r| = \frac{10^7 \times 0.36}{3 \times 60 \times 10^9}$.
$|\Delta r| = \frac{3.6 \times 10^6}{180 \times 10^9} = \frac{3.6}{180} \times 10^{-3} = 0.02 \times 10^{-3} \ m = 2 \times 10^{-5} \ m$.
સેમીમાં ફેરવતા: $2 \times 10^{-5} \times 10^2 \ cm = 2 \times 10^{-3} \ cm$.

(D) પાણીના સ્તંભને કારણે પૂલના તળિયે દબાણમાં થતો વધારો $\Delta P = \rho g h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\Delta P = 1000 \times 10 \times 22 = 2.2 \times 10^5 \ N \ m^{-2}$.
બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ને $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\left| \frac{\Delta V}{V} \right| = \frac{\Delta P}{B}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\left| \frac{\Delta V}{V} \right| = \frac{2.2 \times 10^5}{2.2 \times 10^9} = 10^{-4}$.

(D) બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$
આપેલ છે:
દબાણમાં ફેરફાર,$\Delta P = 2 \text{ atm} - 1 \text{ atm} = 1 \text{ atm} = 1.01 \times 10^5 \text{ N/m}^2$.
કદમાં આંશિક ફેરફાર,$\frac{\Delta V}{V} = -2 \% = -0.02$ (ઋણ નિશાની કદમાં ઘટાડો સૂચવે છે).
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = -\frac{1.01 \times 10^5}{-0.02}$
$B = \frac{1.01 \times 10^5}{0.02}$
$B = 50.5 \times 10^5 \text{ N/m}^2 = 5.05 \times 10^6 \text{ N/m}^2$
નજીકના વિકલ્પને ધ્યાનમાં લેતા,$B \approx 5 \times 10^6 \text{ N/m}^2$ મળે છે.

(A) બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ને $B = -\frac{p}{\Delta V / V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં $p$ એ દબાણ છે અને $\frac{\Delta V}{V}$ એ કદ વિકૃતિ છે.
તેથી, આંશિક સંકોચન $-\frac{\Delta V}{V} = \frac{p}{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કૂવાના તળિયે દબાણ $p = \rho g h$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\rho = 1500 \, kg/m^3$, $g = 10 \, m/s^2$, $h = 2000 \, m$, અને $B = 8 \times 10^8 \, N/m^2$.
આંશિક સંકોચન ($\%$ માં) $= \frac{\rho g h}{B} \times 100$.
$= \frac{1500 \times 10 \times 2000}{8 \times 10^8} \times 100$.
$= \frac{3 \times 10^7}{8 \times 10^8} \times 100 = \frac{3}{80} \times 100 = 3.75 \%$.

(B) આપેલ છે: બલ્ક મોડ્યુલસ $B = 2 \times 10^9 \ N/m^2$.
કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = -2 \% = -0.02 = -\frac{1}{50}$ છે.
બલ્ક મોડ્યુલસનું સૂત્ર $B = -\frac{\Delta p}{\Delta V/V}$ છે,જ્યાં $\Delta p$ એ દબાણમાં થતો ફેરફાર છે.
દબાણ માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $\Delta p = -B \left( \frac{\Delta V}{V} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta p = -(2 \times 10^9) \times (-0.02)$.
$\Delta p = 2 \times 10^9 \times 0.02 = 4 \times 10^7 \ N/m^2$.

(C) આપેલ છે,કદમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{|\Delta V|}{V} = 0.4 \% = 0.004$.
પાણીનો બલ્ક મોડ્યુલસ,$B = 2.0 \times 10^9 \text{ Pa}$.
બલ્ક મોડ્યુલસનું સૂત્ર $B = -\frac{p}{\Delta V / V}$ છે,જ્યાં $p$ એ લાગુ પાડવામાં આવેલ દબાણ છે.
તેથી,જરૂરી દબાણ $p = B \times \left| \frac{\Delta V}{V} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$p = (2.0 \times 10^9 \text{ Pa}) \times 0.004 = 8.0 \times 10^6 \text{ Pa}$.
દબાણને $\text{Pa}$ માંથી $\text{atm}$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે $1 \text{ atm} \approx 1.01325 \times 10^5 \text{ Pa}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$p = \frac{8.0 \times 10^6}{1.01325 \times 10^5} \text{ atm} \approx 78.95 \text{ atm}$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$p \approx 80 \text{ atm}$ મળે છે.

(C) બલ્ક મોડ્યુલસ $(K)$ નું સૂત્ર $K = -\frac{p}{\Delta V / V}$ છે,જ્યાં $p$ એ દબાણમાં ફેરફાર છે અને $\Delta V / V$ એ કદની વિકૃતિ છે.
આપેલ છે,બલ્ક મોડ્યુલસ $K = 2 \times 10^9 \ N/m^2$.
કદમાં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = 0.1 \% = \frac{0.1}{100} = 10^{-3}$ છે.
અહીં આપણે કદમાં વધારો કરી રહ્યા છીએ,તેથી દબાણમાં ફેરફાર $p$ ઋણ હશે (તણાવ),પરંતુ આપણે જરૂરી દબાણનું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
મૂલ્યનો ઉપયોગ કરતા: $p = K \times \left( \frac{\Delta V}{V} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $p = (2 \times 10^9) \times (10^{-3})$.
$p = 2 \times 10^6 \ N/m^2$.

(B) બલ્ક મોડ્યુલસ $(B)$ એ દબાણમાં થતા ફેરફાર અને કદમાં થતા આંશિક ફેરફારના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ઘન પદાર્થો વાયુઓની તુલનામાં ખૂબ જ ઊંચો બલ્ક મોડ્યુલસ ધરાવે છે કારણ કે તેઓ ગીચ રીતે ગોઠવાયેલા હોય છે અને કદમાં ફેરફારનો પ્રતિકાર કરે છે.
તેથી,ઘન પદાર્થો સૌથી ઓછા સંકોચનીય છે,જ્યારે વાયુઓ સૌથી વધુ સંકોચનીય છે.
વિધાન $(B)$ દાવો કરે છે કે વાયુઓ સૌથી ઓછા સંકોચનીય છે,જે ખોટું છે.
ઘન પદાર્થોની અસંકોચનીયતા પાડોશી પરમાણુઓ વચ્ચેના મજબૂત આંતર-પરમાણુ બળો (ચુસ્ત જોડાણ) ને કારણે ઉદ્ભવે છે.
સંકોચનીયતાને બલ્ક મોડ્યુલસના વ્યસ્ત $(K = 1/B)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

(A) બલ્ક મોડ્યુલસ $k$ ને $k = -\frac{p}{\Delta V / V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ઘનતા $\rho = \frac{m}{V}$ હોવાથી,આપણને $\frac{\Delta \rho}{\rho} = -\frac{\Delta V}{V}$ મળે છે.
આપેલ છે કે ઘનતામાં $0.01 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $\frac{\Delta \rho}{\rho} = 0.01 \% = \frac{0.01}{100} = 10^{-4}$.
તેથી,$-\frac{\Delta V}{V} = 10^{-4}$.
આ કિંમતને બલ્ક મોડ્યુલસના સૂત્રમાં મૂકતા: $p = k \times \left( -\frac{\Delta V}{V} \right)$.
$p = k \times 10^{-4} = \frac{k}{10000}$.

(B) બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ને દબાણમાં થતો ફેરફાર $\Delta P$ અને કદના વિકૃતિ $-\frac{\Delta V}{V}$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$B = -\frac{\Delta P}{\Delta V/V}$.
કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta P}{B}$ મળે છે.
અહીં $\Delta P = 6.3 \times 10^7 \text{ N/m}^2$ અને $B = 2.1 \times 10^9 \text{ N/m}^2$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta V}{V} = \frac{6.3 \times 10^7}{2.1 \times 10^9} = 3 \times 10^{-2} = 0.03$.
ટકાવારી ઘટાડો શોધવા માટે,$100$ વડે ગુણાકાર કરો: $0.03 \times 100 = 3\%$.