Non-uniform Circular Motion (Centrifugal/Centripetal and tangential Accelaration) Questions in Hindi

(N/A) नहीं,स्पर्शरेखीय त्वरण हमेशा शून्य नहीं होता है। स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t$ वेग के परिमाण में परिवर्तन की दर है,जिसे $a_t = \frac{dv}{dt} = r \alpha$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $\alpha$ कोणीय त्वरण है।
यदि कण एकसमान चाल से गति करता है (समान वृत्तीय गति),तो $\frac{dv}{dt} = 0$ होता है,जिसका अर्थ है कि $a_t = 0$ है।
यदि कण परिवर्ती चाल से गति करता है (असमान वृत्तीय गति),तो $\alpha \neq 0$ होता है,और स्पर्शरेखीय त्वरण शून्य नहीं होता है।

(A) वृत्ताकार पथ पर गति करने वाली वस्तु का त्वरण अभिकेंद्र त्वरण के सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$a = \frac{v^2}{r}$
दिया गया है:
गति $v = 4 \, m/s$
त्रिज्या $r = 2 \, m$
सूत्र में मान रखने पर:
$a = \frac{(4)^2}{2} = \frac{16}{2} = 8 \, m/s^2$
अतः,इलेक्ट्रॉन का त्वरण $8 \, m/s^2$ है।

(A) वृत्तीय गति में,त्वरण सदिश $\overrightarrow{a}$ को दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है: अभिकेंद्र त्वरण $\overrightarrow{a}_c$ (वेग के लंबवत) और स्पर्शरेखीय त्वरण $\overrightarrow{a}_t$ (वेग के समानांतर)।
दिया गया है $\overrightarrow{v} = 2 \hat{i} \text{ m/s}$ और $\overrightarrow{a} = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} \text{ m/s}^2$।
वेग के लंबवत त्वरण का घटक अभिकेंद्र त्वरण $a_c$ है।
चूंकि $\overrightarrow{v}$ दिशा $\hat{i}$ में है,इसलिए $\overrightarrow{v}$ के लंबवत त्वरण का घटक $\hat{j}$ घटक है,जो $a_c = 4 \text{ m/s}^2$ है।
अभिकेंद्र त्वरण का सूत्र $a_c = \frac{v^2}{R}$ है,जहाँ $R$ वृत्त की त्रिज्या है।
$R$ के लिए हल करने पर,$R = \frac{v^2}{a_c}$।
मान रखने पर: $R = \frac{(2)^2}{4} = \frac{4}{4} = 1 \text{ m}$।

(A) किसी बल द्वारा प्रदान की गई शक्ति $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि कण की चाल बढ़ रही है,इसलिए कण पर लगे कुल बल द्वारा किया गया कार्य धनात्मक होना चाहिए।
वृत्तीय गति में,कुल बल $\vec{F}$ को दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है: अभिकेंद्री बल $\vec{F}_c$ (केंद्र की ओर) और स्पर्शरेखीय बल $\vec{F}_t$ (स्पर्शरेखा की दिशा में)।
अभिकेंद्री बल $\vec{F}_c$ हमेशा वेग $\vec{v}$ के लंबवत होता है,इसलिए $\vec{F}_c \cdot \vec{v} = 0$ होता है।
स्पर्शरेखीय बल $\vec{F}_t$ चाल में परिवर्तन के लिए जिम्मेदार होता है। चूंकि चाल बढ़ रही है,इसलिए $\vec{F}_t$ को वेग $\vec{v}$ की दिशा में ही होना चाहिए।
अतः,$\vec{F} \cdot \vec{v} = (\vec{F}_c + \vec{F}_t) \cdot \vec{v} = \vec{F}_c \cdot \vec{v} + \vec{F}_t \cdot \vec{v} = 0 + F_t v = F_t v > 0$ होता है।
इस प्रकार,$\vec{F} \cdot \vec{v} > 0$ है।

(C) अभिकेंद्र त्वरण $a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{20^2}{80} = \frac{400}{80} = 5 \, m/s^2$ है।
चूंकि चाल घट रही है,स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t$ वेग सदिश की विपरीत दिशा में है,इसलिए $a_t = -5 \, m/s^2$ है।
कुल त्वरण सदिश $\vec{a}$,अभिकेंद्र त्वरण $\vec{a}_c$ (केंद्र की ओर) और स्पर्शरेखीय त्वरण $\vec{a}_t$ (वेग की विपरीत दिशा में) का सदिश योग है।
कुल त्वरण $\vec{a}$ और स्पर्शरेखीय त्वरण $\vec{a}_t$ के बीच का कोण $\phi$,$\tan \phi = \frac{a_c}{|a_t|} = \frac{5}{5} = 1$ द्वारा प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\phi = 45^{\circ}$।
चूंकि स्पर्शरेखीय त्वरण $\vec{a}_t$ वेग $\vec{v}$ की विपरीत दिशा में है,इसलिए $\vec{a}_t$ और $\vec{v}$ के बीच का कोण $180^{\circ}$ है।
अतः,कुल त्वरण $\vec{a}$ और वेग $\vec{v}$ के बीच का कोण $\theta = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$ है।

(B) दिया गया है,$s = 2t^3$ और त्रिज्या $R = 12 \, m$ है।
वेग $v$ पथ के अनुदिश दूरी के परिवर्तन की दर है: $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^3) = 6t^2$.
$t = 2 \, s$ पर,वेग $v = 6(2)^2 = 24 \, m/s$ है।
अभिकेंद्री त्वरण $a_c = \frac{v^2}{R} = \frac{24^2}{12} = \frac{576}{12} = 48 \, m/s^2$ है।
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t$ चाल के परिवर्तन की दर है: $a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(6t^2) = 12t$ है।
$t = 2 \, s$ पर,स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = 12(2) = 24 \, m/s^2$ है।
स्पर्शरेखीय और अभिकेंद्री त्वरण का अनुपात $\frac{a_t}{a_c} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$,अर्थात $1: 2$ है।

(C) असमान वृत्तीय गति में,कुल त्वरण $\vec{a}$,अभिकेंद्री त्वरण $\vec{a}_c$ और स्पर्शरेखीय त्वरण $\vec{a}_T$ का सदिश योग होता है,अर्थात $\vec{a} = \vec{a}_c + \vec{a}_T$।
$1$. अभिकेंद्री त्वरण $\vec{a}_c$ हमेशा वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है,जो वेग सदिश $\vec{v}$ के साथ $90^{\circ}$ का कोण बनाता है।
$2$. स्पर्शरेखीय त्वरण $\vec{a}_T$ स्पर्शरेखा के अनुदिश कार्य करता है। चूंकि गति घट रही है,$\vec{a}_T$ वेग सदिश $\vec{v}$ के विपरीत दिशा में निर्देशित होता है,जो इसके साथ $180^{\circ}$ का कोण बनाता है।
$3$. परिणामी त्वरण $\vec{a}$,$\vec{a}_c$ और $\vec{a}_T$ की दिशाओं के बीच स्थित होता है। इसलिए,वेग $\vec{v}$ और कुल त्वरण $\vec{a}$ के बीच का कोण $\theta$,$90^{\circ}$ से अधिक ($\vec{a}_c$ के कारण) और $180^{\circ}$ से कम ($\vec{a}_T$ के कारण) होना चाहिए।
अतः,$90^{\circ} < \theta < 180^{\circ}$।

(B) दिया गया है: त्रिज्या $R = 600\,m$,प्रारंभिक गति $u = 54\,km/h = 15\,m/s$.
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = \frac{dv}{dt} = v\frac{dv}{ds}$.
अभिकेंद्र त्वरण $a_c = \frac{v^2}{R}$.
दिया गया है $a_t = a_c$,इसलिए $v\frac{dv}{ds} = \frac{v^2}{R} \Rightarrow \frac{dv}{v} = \frac{ds}{R}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int_{15}^{v} \frac{dv}{v} = \int_{0}^{s} \frac{ds}{R} \Rightarrow \ln(\frac{v}{15}) = \frac{s}{R} \Rightarrow v = 15e^{s/R}$.
चूंकि $v = \frac{ds}{dt}$,हमारे पास $\frac{ds}{dt} = 15e^{s/R} \Rightarrow e^{-s/R} ds = 15 dt$ है।
पहले चौथाई चक्कर के लिए समय $T$ ज्ञात करने हेतु,$s$ का मान $0$ से $\frac{\pi R}{2}$ तक लें।
$\int_{0}^{\pi R/2} e^{-s/R} ds = \int_{0}^{T} 15 dt$.
$[-R e^{-s/R}]_{0}^{\pi R/2} = 15T$.
$-R(e^{-\pi/2} - 1) = 15T \Rightarrow R(1 - e^{-\pi/2}) = 15T$.
$T = \frac{600}{15}(1 - e^{-\pi/2}) = 40(1 - e^{-\pi/2})$.
$t(1 - e^{-\pi/2})$ के साथ तुलना करने पर,हमें $t = 40$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: त्रिज्या $R = 180 \, cm = 1.8 \, m$। आवृत्ति $f = \frac{28}{60} \, Hz$। कोणीय वेग $\omega = 2 \pi f = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{28}{60} = \frac{44}{15} \, rad/s$। अभिकेंद्र त्वरण $a = \omega^2 R$ होता है। मान रखने पर: $a = \left(\frac{44}{15}\right)^2 \times 1.8 = \frac{1936}{225} \times 1.8$। सरल करने पर: $a = \frac{1936 \times 1.8}{225} = \frac{1936}{125} \, m s^{-2}$। इसे $\frac{1936}{x} \, m s^{-2}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 125$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि दोनों कणों के द्रव्यमान समान हैं,इसलिए $m_1 = m_2 = m$ है।
उनकी वक्रता त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{4}$ दिया गया है।
कण पर कार्य करने वाला अभिकेंद्र बल $F$ का सूत्र $F = \frac{mv^2}{r}$ है।
चूंकि अभिकेंद्र बल दोनों कणों के लिए स्थिर है,इसलिए $F_1 = F_2$ होगा।
सूत्र को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{m_1 v_1^2}{r_1} = \frac{m_2 v_2^2}{r_2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $m_1 = m_2$ है,समीकरण $\frac{v_1^2}{r_1} = \frac{v_2^2}{r_2}$ में सरल हो जाता है।
वेगों का अनुपात ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{r_1}{r_2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{r_1}{r_2}}$ प्राप्त होता है।
दिए गए अनुपात $\frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{4}$ को रखने पर,$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,उनके वेगों का अनुपात $\sqrt{3}:2$ है।

(A) दिया गया है कि अभिलंब त्वरण $a_c = \frac{v^2}{r}$ और स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = \frac{dv}{dt}$ समान हैं:
$\frac{v^2}{r} = \frac{dv}{dt}$
$t=0$ $(v=4 \ m/s)$ से $t$ समय तक समाकलन करने पर:
$\int_{4}^{v} \frac{dv}{v^2} = \int_{0}^{t} \frac{dt}{r}$
$\left[ -\frac{1}{v} \right]_{4}^{v} = \frac{t}{r}$
$-\frac{1}{v} + \frac{1}{4} = \frac{t}{0.5} = 2t$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{4} - 2t = \frac{1-8t}{4} \implies v = \frac{4}{1-8t}$
चूंकि $v = \frac{ds}{dt}$,एक चक्कर के लिए दूरी $s$ $(s = 2\pi r = 2\pi(0.5) = \pi \ m)$ ज्ञात करने के लिए समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{\pi} ds = \int_{0}^{t} \frac{4}{1-8t} dt$
$\pi = 4 \left[ \frac{\ln(1-8t)}{-8} \right]_{0}^{t}$
$\pi = -\frac{1}{2} \ln(1-8t)$
$-2\pi = \ln(1-8t)$
$e^{-2\pi} = 1-8t$
$8t = 1 - e^{-2\pi}$
$t = \frac{1}{8} [1 - e^{-2\pi}] \ s$
दिए गए रूप से तुलना करने पर,$\alpha = 8$।

(B) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 0$,स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = 12 \ m/s^2$,और त्रिज्या $r = 3 \ m$ है।
कुल त्वरण सदिश $\vec{a}$,त्रिज्यीय त्वरण $\vec{a}_c$ और स्पर्शरेखीय त्वरण $\vec{a}_t$ का सदिश योग है।
कुल त्वरण और त्रिज्यीय त्वरण के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \frac{a_t}{a_c}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\theta = 45^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\tan 45^{\circ} = 1$,जिसका अर्थ है कि $a_t = a_c$ है।
हम जानते हैं कि $a_c = \frac{v^2}{r}$,जहाँ $v$ तात्क्षणिक वेग है।
चूंकि $a_t = 12 \ m/s^2$ और $a_c = \frac{v^2}{3}$ है,इसलिए $12 = \frac{v^2}{3} \Rightarrow v^2 = 36 \Rightarrow v = 6 \ m/s$ है।
गति के समीकरण $v = u + a_t t$ का उपयोग करने पर,$6 = 0 + 12 \times t$ प्राप्त होता है।
अतः,$t = \frac{6}{12} = 0.5 \ s$ या $(1/2) \ s$ है।

(A) कुल त्वरण सदिश धनात्मक $x$-अक्ष (स्पर्शरेखा दिशा) के साथ $135^{\circ}$ का कोण बनाता है। अभिकेंद्र त्वरण $a_c$ केंद्र की ओर (ऋणात्मक $x$-दिशा में) निर्देशित होता है।
त्रिज्यीय दिशा में कुल त्वरण $a = 8\sqrt{2} \ m/s^2$ का घटक $a_c = a \cos(180^{\circ} - 135^{\circ}) = 8\sqrt{2} \cos(45^{\circ}) = 8\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 8 \ m/s^2$ है।
हम जानते हैं कि अभिकेंद्र त्वरण $a_c = \frac{v^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$8 = \frac{v^2}{2}$।
$v^2 = 16$।
$v = 4 \ m/s$।

(C) स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = \alpha r$ द्वारा दिया जाता है।
त्रिज्यीय (अभिकेंद्र) त्वरण $a_r = \frac{V^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
स्पर्शरेखीय त्वरण और त्रिज्यीय त्वरण का अनुपात $\frac{a_t}{a_r} = \frac{\alpha r}{V^2 / r}$ है।
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें $\frac{a_t}{a_r} = \frac{\alpha r^2}{V^2}$ प्राप्त होता है।

(C) स्पर्शरेखीय त्वरण $(a_t)$ का सूत्र $a_t = \alpha r$ होता है।
त्रिज्यीय (अभिकेंद्र) त्वरण $(a_r)$ का सूत्र $a_r = \frac{u^2}{r}$ होता है।
स्पर्शरेखीय त्वरण और त्रिज्यीय त्वरण का अनुपात $\frac{a_t}{a_r} = \frac{\alpha r}{u^2 / r}$ है।
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें $\frac{\alpha r^2}{u^2}$ प्राप्त होता है।

(A) असमान वृत्तीय गति में,स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = r \alpha$ द्वारा दिया जाता है।
त्रिज्यीय (अभिकेंद्र) त्वरण $a_r = \frac{v^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
स्पर्शरेखीय और त्रिज्यीय त्वरण का अनुपात $\frac{a_t}{a_r} = \frac{r \alpha}{v^2 / r}$ है।
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें $\frac{a_t}{a_r} = \frac{r^2 \alpha}{v^2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: कोणीय त्वरण $\alpha = 4 \ rad/s^2$. प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$.
$1$. समय $t$ पर कोणीय वेग $\omega = \omega_0 + \alpha t = \alpha t$ होता है।
$2$. अभिकेंद्री (त्रिज्यीय) त्वरण $a_c = \omega^2 r = (\alpha t)^2 r = \alpha^2 t^2 r$ है।
$3$. स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = \alpha r$ है।
$4$. हमें दिया गया है कि परिमाण बराबर हैं: $a_c = a_t$।
$5$. व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\alpha^2 t^2 r = \alpha r$।
$6$. दोनों पक्षों को $\alpha r$ से विभाजित करने पर: $\alpha t^2 = 1$।
$7$. $t$ के लिए हल करने पर: $t^2 = \frac{1}{\alpha} = \frac{1}{4}$।
$8$. अतः,$t = \sqrt{\frac{1}{4}} = 0.5 \ s$।

(B) दिया गया है: त्रिज्या $r = 100 \ m$,वेग $v = 20 \ m/s$,और स्पर्शरेखीय त्वरण $a_{t} = 3 \ m/s^{2}$।
सबसे पहले,त्रिज्यीय (अभिकेंद्र) त्वरण $a_{r}$ की गणना सूत्र $a_{r} = \frac{v^{2}}{r}$ का उपयोग करके करें।
$a_{r} = \frac{(20)^{2}}{100} = \frac{400}{100} = 4 \ m/s^{2}$।
परिणामी त्वरण $a$,स्पर्शरेखीय और त्रिज्यीय त्वरण का सदिश योग है,जो एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।
$a = \sqrt{a_{r}^{2} + a_{t}^{2}}$।
$a = \sqrt{(4)^{2} + (3)^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \ m/s^{2}$।
अतः,परिणामी त्वरण $5 \ m/s^{2}$ है।

(B) अनियमित वृत्तीय गति में, कार के पास त्वरण के दो घटक होते हैं:
$1$. स्पर्शरेखीय त्वरण $(a_t)$: जो $2 \,m/s^2$ दिया गया है।
$2$. अभिकेंद्र (त्रिज्यीय) त्वरण $(a_c)$: जिसकी गणना $a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{(30)^2}{500} = \frac{900}{500} = 1.8 \,m/s^2$ के रूप में की जाती है।
चूंकि ये दोनों घटक एक-दूसरे के लंबवत हैं, इसलिए कुल त्वरण $(a_{net})$ इस प्रकार होगा:
$a_{net} = \sqrt{a_t^2 + a_c^2}$
$a_{net} = \sqrt{(2)^2 + (1.8)^2}$
$a_{net} = \sqrt{4 + 3.24} = \sqrt{7.24} \approx 2.69 \,m/s^2 \approx 2.7 \,m/s^2$.

(C) पथ का समीकरण $(x-2)^2 + y^2 = 25$ है। यह एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $(2, 0)$ और त्रिज्या $R = 5 \text{ m}$ है।
एकसमान वृत्तीय गति में,त्वरण पूरी तरह से अभिकेंद्रित होता है,जो वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
अभिकेंद्रित त्वरण का परिमाण $a_c = \frac{v^2}{R}$ है।
दिया गया है $v = 2 \text{ m/s}$ और $R = 5 \text{ m}$,इसलिए $a_c = \frac{2^2}{5} = \frac{4}{5} = 0.8 \text{ m/s}^2$ है।
कण अपना न्यूनतम $y$ निर्देशांक $(2, -5)$ बिंदु पर प्राप्त करता है।
इस बिंदु पर,वृत्त का केंद्र $(2, 0)$ कण के ठीक ऊपर (धनात्मक $y$-अक्ष की दिशा में) स्थित है।
इसलिए,अभिकेंद्रित त्वरण सदिश धनात्मक $y$-अक्ष की दिशा में है,जो $0.8 hat{j} \text{ m/s}^2$ है।

(D) दिया गया है: चाल $v = 30 \,ms^{-1}$, त्रिज्या $r = 500 \,m$, स्पर्शरेखीय त्वरण $a_T = 2 \,ms^{-2}$।
वृत्तीय गति में कण का कुल त्वरण $a$, स्पर्शरेखीय त्वरण $a_T$ और अभिकेंद्र (त्रिज्यीय) त्वरण $a_r$ का सदिश योग होता है।
सबसे पहले, अभिकेंद्र त्वरण $a_r = \frac{v^2}{r} = \frac{30^2}{500} = \frac{900}{500} = 1.8 \,ms^{-2}$ की गणना करें।
कुल त्वरण $a = \sqrt{a_T^2 + a_r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $a = \sqrt{2^2 + 1.8^2} = \sqrt{4 + 3.24} = \sqrt{7.24}$।
वर्गमूल की गणना करने पर: $a \approx 2.69 \,ms^{-2}$, जो लगभग $2.7 \,ms^{-2}$ है।

(D) दिया गया है: कार का वेग, $v = 30 \,ms^{-1}$। वृत्ताकार सड़क की त्रिज्या, $r = 300 \,m$। स्पर्शरेखीय त्वरण, $a_t = 4 \,ms^{-2}$।
सबसे पहले, $a_c = \frac{v^2}{r}$ सूत्र का उपयोग करके अभिकेंद्र त्वरण $(a_c)$ की गणना करें।
$a_c = \frac{30^2}{300} = \frac{900}{300} = 3 \,ms^{-2}$।
कुल त्वरण $(a)$ स्पर्शरेखीय त्वरण और अभिकेंद्र त्वरण का सदिश योग है, जो एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।
$a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2}$।
$a = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \,ms^{-2}$।

(A) दिया गया है: त्रिज्या, $r = 10 \,m$.
अभिकेंद्री त्वरण, $a_c = 10 \,ms^{-2}$.
हम जानते हैं कि अभिकेंद्री त्वरण का सूत्र $a_c = \omega^2 r$ है।
कोणीय गति $\omega$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\omega = \sqrt{\frac{a_c}{r}}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\omega = \sqrt{\frac{10 \,ms^{-2}}{10 \,m}} = \sqrt{1 \,s^{-2}} = 1 \,rad \,s^{-1}$.
अतः, कोणीय गति $1 \,rad \,s^{-1}$ है।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 5 \ kg$,त्रिज्या $r = 1 \ m$,कोणीय वेग $\omega = 2 \ rad \ s^{-1}$।
अभिकेंद्र बल $F_c$ का सूत्र $F_c = m \omega^2 r$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$F_c = 5 \times (2)^2 \times 1$
$F_c = 5 \times 4 \times 1$
$F_c = 20 \ N$।
अतः,अभिकेंद्र बल $20 \ N$ है।

(A) दिया गया है,कण का वेग $\vec{v} = x \hat{i} + yt \hat{j}$ है।
वेग का परिमाण $v = \sqrt{x^2 + y^2 t^2}$ है।
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t$ गति में परिवर्तन की दर है:
$a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2 t^2}} \cdot (2y^2 t) = \frac{y^2 t}{\sqrt{x^2 + y^2 t^2}}$।
$t = \frac{x \sqrt{3}}{y}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$a_t = \frac{y^2 (x \sqrt{3} / y)}{\sqrt{x^2 + y^2 (3x^2 / y^2)}} = \frac{xy \sqrt{3}}{\sqrt{x^2 + 3x^2}} = \frac{xy \sqrt{3}}{2x} = \frac{\sqrt{3} y}{2}$।
कुल त्वरण सदिश $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(x \hat{i} + yt \hat{j}) = y \hat{j}$ है।
कुल त्वरण का परिमाण $a = |\vec{a}| = y$ है।
अभिलंब त्वरण $a_n$ को $a_n = \sqrt{a^2 - a_t^2}$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
$a_n = \sqrt{y^2 - (\frac{\sqrt{3} y}{2})^2} = \sqrt{y^2 - \frac{3y^2}{4}} = \sqrt{\frac{y^2}{4}} = \frac{y}{2}$।
अतः,स्पर्शरेखीय और अभिलंब त्वरण क्रमशः $\frac{\sqrt{3} y}{2}$ और $\frac{y}{2}$ हैं।

(D) त्रिज्यीय (अभिकेंद्री) त्वरण $a_r = \frac{v^2}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है $v = K\sqrt{s}$,इसलिए $a_r = \frac{(K\sqrt{s})^2}{R} = \frac{K^2 s}{R}$।
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{ds} \cdot \frac{ds}{dt} = v \frac{dv}{ds}$ है।
चूंकि $v = K s^{1/2}$,इसलिए $\frac{dv}{ds} = K \cdot \frac{1}{2} s^{-1/2} = \frac{K}{2\sqrt{s}}$।
अतः,$a_t = (K\sqrt{s}) \cdot \left( \frac{K}{2\sqrt{s}} \right) = \frac{K^2}{2}$।
कुल त्वरण और स्पर्शरेखीय त्वरण के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \frac{a_r}{a_t}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \frac{K^2 s / R}{K^2 / 2} = \frac{2s}{R}$।

(A) $R$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार पथ पर $\omega$ कोणीय चाल से गति कर रहे कण का अभिकेंद्र त्वरण $a_c = R \omega^2$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि प्रारंभिक कोणीय चाल $\omega_1 = \omega$ है और अंतिम कोणीय चाल $\omega_2 = 2\omega$ है।
प्रारंभिक अभिकेंद्र त्वरण $a_1 = R \omega^2$ है।
अंतिम अभिकेंद्र त्वरण $a_2 = R \omega_2^2 = R (2\omega)^2 = 4 R \omega^2$ है।
दोनों की तुलना करने पर,हमें $a_2 = 4 a_1$ प्राप्त होता है।
अतः,अभिकेंद्र त्वरण प्रारंभिक मान का $4$ गुना हो जाता है।

(B) जब कार बढ़ती गति के साथ वृत्ताकार पथ पर चलती है,तो वह दो प्रकार के त्वरण का अनुभव करती है:
$1$. त्रिज्यीय (अभिकेंद्र) त्वरण: $a_r = \frac{V^2}{r}$,जो वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
$2$. स्पर्शरेखीय त्वरण: $a_t = a$,जो पथ की स्पर्श रेखा की दिशा में होता है।
चूंकि ये दोनों त्वरण एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए परिणामी त्वरण $a_R$ सदिश योग द्वारा प्राप्त होता है:
$a_R = \sqrt{a_r^2 + a_t^2}$
मान रखने पर:
$a_R = \sqrt{(\frac{V^2}{r})^2 + a^2}$
$a_R = \sqrt{\frac{V^4}{r^2} + a^2}$

(A) दिया गया है,$\theta = a t^2$ है।
कोणीय वेग $\omega = \frac{d\theta}{dt} = 2at$ है।
स्पर्शरेखीय वेग $v = \omega r = 2atr$ है। अतः,$\frac{v}{t} = 2ar$ है।
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = \frac{dv}{dt} = 2ar$ है।
त्रिज्यीय (अभिकेंद्र) त्वरण $a_n = \frac{v^2}{r} = \frac{(2atr)^2}{r} = 4a^2t^2r$ है।
कुल त्वरण $a_{\text{total}} = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} = \sqrt{(2ar)^2 + (4a^2t^2r)^2}$ है।
$a_{\text{total}} = \sqrt{4a^2r^2 + 16a^4t^4r^2} = 2ar \sqrt{1 + 4a^2t^4}$ होता है।
चूंकि $2ar = \frac{v}{t}$ है,इसलिए $a_{\text{total}} = \frac{v}{t} \sqrt{1 + 4a^2t^4}$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई गति $v(t) = at$,जहाँ $a = 2 \ m/s^2$ है।
वृत्तीय गति में,$v = r \omega$,इसलिए $\omega = \frac{v}{r} = \frac{at}{r}$।
चूँकि $\omega = \frac{d\theta}{dt}$,हमारे पास $d\theta = \frac{at}{r} dt$ है।
$n$ चक्करों के लिए समाकलन करने पर,$\theta = 2\pi n = \int_0^t \frac{at}{r} dt = \frac{at^2}{2r}$।
अतः,$t^2 = \frac{4\pi nr}{a}$।
त्रिज्यीय त्वरण $a_r = \frac{v^2}{r} = \frac{(at)^2}{r} = \frac{a^2 t^2}{r} = \frac{a^2}{r} \cdot \frac{4\pi nr}{a} = 4\pi na$।
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = \frac{dv}{dt} = a$।
कुल त्वरण $A = \sqrt{a_t^2 + a_r^2} = \sqrt{a^2 + (4\pi na)^2} = a \sqrt{1 + (4\pi n)^2}$।
चूँकि $a = 2$ और $n = 2$ दिया गया है,$A = 2 \sqrt{1 + (4 \cdot \pi \cdot 2)^2} = 2 \sqrt{1 + 64\pi^2}$।

(D) प्रारंभिक गति $V = 36 \,km/h = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \,m/s$.
त्रिज्यीय त्वरण $a_r = \frac{V^2}{R} = \frac{10^2}{50} = \frac{100}{50} = 2 \,m/s^2$.
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = 0.5 \,m/s^2$.
कुल त्वरण $a_{net} = \sqrt{a_r^2 + a_t^2} = \sqrt{2^2 + 0.5^2} = \sqrt{4 + 0.25} = \sqrt{4.25} = \sqrt{\frac{17}{4}} = \frac{\sqrt{17}}{2} \,m/s^2$.
दिशा $\phi$ स्पर्शरेखीय सदिश के सापेक्ष $\tan \phi = \frac{a_r}{a_t} = \frac{2}{0.5} = 4$ द्वारा दी जाती है, इसलिए $\phi = \tan^{-1}(4)$.

(D) पिंड दो प्रकार के त्वरण का अनुभव करता है: अभिकेंद्र त्वरण $(a_c)$ और स्पर्शरेखीय त्वरण $(a_T)$।
अभिकेंद्र त्वरण $a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{(2\sqrt{5})^2}{5} = \frac{20}{5} = 4 \,m/s^2$ है।
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_T = 3 \,m/s^2$ दिया गया है।
कुल त्वरण $a = \sqrt{a_c^2 + a_T^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \,m/s^2$ है।
अतः, पिंड पर कार्य करने वाला कुल बल $F = m \times a = 2 \,kg \times 5 \,m/s^2 = 10 \,N$ होगा।