Kinematics Circular Motion (Uniform Angular Accelaration) Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_{0} = 20\pi \, rad/s$,અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = 40\pi \, rad/s$,અને સમય $t = 10 \, s$.
ગતિના સમીકરણ $\omega = \omega_{0} + \alpha t$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ શોધીએ છીએ:
$40\pi = 20\pi + \alpha(10) \Rightarrow 20\pi = 10\alpha \Rightarrow \alpha = 2\pi \, rad/s^{2}$.
હવે,$\theta = \omega_{0}t + \frac{1}{2}\alpha t^{2}$ નો ઉપયોગ કરીને કુલ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ ની ગણતરી કરો:
$\theta = (20\pi)(10) + \frac{1}{2}(2\pi)(10)^{2} = 200\pi + 100\pi = 300\pi \, rad$.
એક પરિભ્રમણ $2\pi \, rad$ ની બરાબર હોવાથી,પરિભ્રમણની સંખ્યા $n = \frac{\theta}{2\pi}$ દ્વારા મળે છે:
$n = \frac{300\pi}{2\pi} = 150$ પરિભ્રમણ.

(A) કણની ઝડપ સમીકરણ $v = 2t + 2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t = 1 \ s$ પર,ઝડપ $v = 2(1) + 2 = 4 \ m/s$ થાય છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_{cp}$ નું સૂત્ર $a_{cp} = \frac{v^2}{r}$ છે.
ત્રિજ્યા $r = 2 \ m$ આપેલ હોવાથી,કિંમતો મૂકતા: $a_{cp} = \frac{4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8 \ m/s^2$.

(C) સ્થિર કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ સાથે સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતી વસ્તુ માટે,સમય $t$ માં કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = \frac{1}{2}\alpha t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિભ્રમણની સંખ્યા $n$ એ કોણીય સ્થાનાંતરના પ્રમાણમાં હોવાથી,$n \propto t^2$ થાય.
ધારો કે પ્રથમ સમયગાળા $t_1 = 3\,s$ માં $n_1$ પરિભ્રમણ થાય છે,અને પછીના સમયગાળા $t_2 = 3\,s$ માં $n_2$ પરિભ્રમણ થાય છે.
કુલ સમય $2t$ માં કુલ પરિભ્રમણ $n_{total} = n_1 + n_2$ છે.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતા સમાન પ્રવેગના ગુણધર્મ મુજબ,સમાન સમયગાળામાં પરિભ્રમણનો ગુણોત્તર $1 : 3 : 5 : \dots$ હોય છે.
તેથી,$n_1 : n_2 = 1 : 3$ થાય.
અહીં $n_1 = 10$ આપેલ છે,તેથી $10 : n_2 = 1 : 3$.
આમ,$n_2 = 10 \times 3 = 30$ પરિભ્રમણ.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_{0} = 0 \, rad \, s^{-1}$,અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = 15 \, rad \, s^{-1}$,સમય $t = 0.270 \, s$,અને ત્રિજ્યા $r = 0.810 \, m$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $\omega = \omega_{0} + \alpha t$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
$\omega_{0} = 0$ હોવાથી,$\alpha = \frac{\omega}{t} = \frac{15}{0.270} \, rad \, s^{-2}$ મળે છે.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_{t}$ એ $a_{t} = r \alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $a_{t} = 0.810 \times \frac{15}{0.270} = 0.810 \times 55.55 = 45 \, m \, s^{-2}$.
આમ,ડિસ્કસનો પ્રવેગ $45 \, m \, s^{-2}$ છે.

(C) ઘડિયાળનો સેકન્ડ કાંટો $T = 60 \, s$ માં એક પૂર્ણ પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે છે. એક પરિભ્રમણમાં કાંટાના છેડા દ્વારા કાપેલું અંતર એ વર્તુળનો પરિઘ $2 \pi \ell$ છે,જ્યાં $\ell$ એ સેકન્ડ કાંટાની લંબાઈ છે.
રેખીય ઝડપ $v$ નું સૂત્ર $v = \frac{2 \pi \ell}{T}$ છે.
અહીં $v = 1.05 \, cm \, s^{-1}$ અને $T = 60 \, s$ આપેલ છે,તેથી:
$1.05 = \frac{2 \times 3.14159 \times \ell}{60}$.
$\ell$ ને કર્તા બનાવતા:
$\ell = \frac{1.05 \times 60}{2 \times 3.14159} \approx \frac{63}{6.283} \approx 10.027 \, cm$.
આમ,સેકન્ડ કાંટાની લંબાઈ આશરે $10 \, cm$ છે.

(C) આપેલ છે: પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_i = 0 \ rad/s$,અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_f = 20 \ rad/s$,સમય $t = 5 \ s$.
કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ માટેનું સૂત્ર: $\theta = \left( \frac{\omega_i + \omega_f}{2} \right) \times t$.
કિંમતો મૂકતા: $\theta = \left( \frac{0 + 20}{2} \right) \times 5 = 10 \times 5 = 50 \ rad$.
પરિભ્રમણની સંખ્યા $n$ શોધવા માટેનું સૂત્ર: $n = \frac{\theta}{2\pi}$.
તેથી,$n = \frac{50}{2\pi} = \frac{25}{\pi} \text{ પરિભ્રમણ}$.

(C) કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = 2t^3 + 0.5$ આપેલ છે.
કોણીય વેગ $\omega$ એ સમયની સાપેક્ષમાં કોણીય સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર છે:
$\omega = \frac{d\theta}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^3 + 0.5)$.
વિકલનના ઘાત નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\omega = 6t^2$.
$t = 2 \, s$ સમયે કોણીય વેગ શોધવા માટે,$t$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\omega = 6(2)^2 = 6 \times 4 = 24 \, rad/s$.

(D) આપેલ છે: કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \pi \, rad/s^2$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$ અને સમય $t = 10 \, s$.
કોણીય સ્થાનાંતર માટેના ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\theta = 0 \cdot (10) + \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot (10)^2$.
$\theta = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot 100 = 50\pi \, rad$.
એક પરિભ્રમણ એટલે $2\pi \, rad$ હોવાથી,પરિભ્રમણની સંખ્યા $n = \frac{\theta}{2\pi}$ દ્વારા મળે છે.
$n = \frac{50\pi}{2\pi} = 25$.
તેથી,કણ $25$ પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરશે.

(C) સ્થિર સ્થિતિમાંથી સમાન કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ સાથે ગતિ શરૂ કરતા પદાર્થ માટે કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = \frac{1}{2} \alpha t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ $t_1 = 2 \ s$ માટે,પરિભ્રમણ કોણ $\theta = \frac{1}{2} \alpha (2)^2 = 2 \alpha$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\alpha = \frac{\theta}{2}$.
કુલ સમય $t_2 = 2 \ s + 2 \ s = 4 \ s$ માટે,કુલ પરિભ્રમણ કોણ $\theta_{total} = \frac{1}{2} \alpha (4)^2 = 8 \alpha$ છે.
પછીના $2 \ s$ માં પરિભ્રમણ કોણ $\Delta \theta = \theta_{total} - \theta = 8 \alpha - 2 \alpha = 6 \alpha$ થશે.
$\alpha = \frac{\theta}{2}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\Delta \theta = 6 \left( \frac{\theta}{2} \right) = 3 \theta$ મળે છે.

(C) પ્રથમ,પ્રારંભિક અને અંતિમ વેગને $km/h$ માંથી $m/s$ માં રૂપાંતરિત કરો:
$u = 18 \times \frac{5}{18} = 5\,m/s$
$v = 36 \times \frac{5}{18} = 10\,m/s$
રેખીય પ્રવેગ $a$ ની ગણતરી $a = \frac{v-u}{t}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરો:
$a = \frac{10 - 5}{5} = \frac{5}{5} = 1\,m/s^2$
પૈડાની ત્રિજ્યા $r$ એ વ્યાસ કરતા અડધી હોય છે:
$r = \frac{0.8}{2} = 0.4\,m$
કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ એ રેખીય પ્રવેગ $a$ સાથે $\alpha = \frac{a}{r}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે:
$\alpha = \frac{1}{0.4} = 2.5\,rad/s^2$

(B) કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = k^2rt^2$ આપેલ છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું સૂત્ર $a_c = \frac{v^2}{r}$ હોવાથી,$\frac{v^2}{r} = k^2rt^2$ થાય.
આથી $v^2 = k^2r^2t^2$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $v = krt$ મળે.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t$ એ ઝડપમાં થતો ફેરફાર છે: $a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(krt) = kr$.
ઝડપમાં ફેરફાર માટે જવાબદાર સ્પર્શકીય બળ $F_t = m a_t = mkr$ થાય.
કણ પર લાગતો પાવર $P = F_t \cdot v$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$P = (mkr) \cdot (krt) = mk^2r^2t$ મળે.

(B) ધારો કે $t=0$ સમયે $A, B$ અને $C$ ના કોણીય સ્થાન $\theta_A(0) = 0$,$\theta_B(0) = \pi/2$,અને $\theta_C(0) = \pi$ છે.
કોણીય વેગ $\omega_A = v_A/r = \pi \, rad/s$,$\omega_B = v_B/r = 2.5\pi \, rad/s$,અને $\omega_C = v_C/r = 2\pi \, rad/s$ છે.
$t$ સમયે કોણીય સ્થાન $\theta_A(t) = \pi t$,$\theta_B(t) = \pi/2 + 2.5\pi t$,અને $\theta_C(t) = \pi + 2\pi t$ છે.
કણો મળે તે માટે તેમના કોણીય સ્થાન $2\pi$ ના મોડ્યુલો સમાન હોવા જોઈએ. ધારો કે $\theta_A(t) = \theta_B(t) + 2n\pi$ અને $\theta_B(t) = \theta_C(t) + 2m\pi$.
$\pi t = \pi/2 + 2.5\pi t + 2n\pi \implies -1.5t = 0.5 + 2n \implies t = -(2n + 0.5)/1.5$.
$\pi/2 + 2.5\pi t = \pi + 2\pi t + 2m\pi \implies 0.5t = 0.5 + 2m \implies t = 1 + 4m$.
$t$ ને સરખાવતા: $1 + 4m = -(2n + 0.5)/1.5 \implies 1.5 + 6m = -2n - 0.5 \implies 2n + 6m = -2 \implies n + 3m = -1$.
પ્રથમ મુલાકાત માટે,$m = -1$ લેતા,$n = 2$ મળે. તેથી $t = 1 + 4(-1) = -3$ (મૂલ્ય $t=3s$ લેતા).
અંતર $s_B = v_B t = 2.5 \times 3 = 7.5 \, m$.
અંતર $s_C = v_C t = 2 \times 3 = 6 \, m$.
ગુણોત્તર $s_B : s_C = 7.5 : 6 = 5 : 4$.

(A) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = \frac{20}{\pi} \, m$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_i = 0$,અને કુલ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = 2 \times (2 \pi) = 4 \pi \, rad$ (કારણ કે તે બે પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે છે).
અંતિમ રેખીય વેગ $v = 80 \, m/s$.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_f = \frac{v}{r} = \frac{80}{20/\pi} = 4 \pi \, rad/s$ છે.
ભ્રમણ ગતિના સમીકરણ $\omega_f^2 = \omega_i^2 + 2 \alpha \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(4 \pi)^2 = 0^2 + 2 \alpha (4 \pi)$
$16 \pi^2 = 8 \pi \alpha$
$\alpha = 2 \pi \, rad/s^2$.
સ્પર્શક પ્રવેગ $a_t = r \alpha = \left( \frac{20}{\pi} \right) \times (2 \pi) = 40 \, m/s^2$ થાય.

(D) કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = 2t^3 + 0.5$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગ $\omega$ એ સમયની સાપેક્ષમાં કોણીય સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર છે: $\omega = \frac{d\theta}{dt}$.
$\theta$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\omega = \frac{d}{dt}(2t^3 + 0.5) = 6t^2$.
$t = 2$ સેકન્ડ પછી કોણીય વેગ શોધવા માટે,$\omega$ ના સમીકરણમાં $t = 2$ મૂકતા:
$\omega = 6(2)^2 = 6 \times 4 = 24 \ rad/sec$.

(B) આપેલ છે:
પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ,$\omega_0 = 2.00\, rad/s$
કોણીય પ્રવેગ,$\alpha = 3.0\, rad/s^2$
સમય,$t = 2\, s$
કોણીય સ્થાનાંતર માટેના ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\theta = (2.00)(2) + \frac{1}{2}(3.0)(2)^2$
$\theta = 4 + \frac{1}{2}(3.0)(4)$
$\theta = 4 + 6 = 10\, rad$
આમ,પૈડું $10\, rad$ ના ખૂણે પરિભ્રમણ કરશે.

(C) કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_{0} = 0$ છે.
$n$ ચક્ર પછી,કુલ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = 2 \pi n$ છે.
અંતિમ રેખીય વેગ $V_{0}$ છે,તેથી અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = \frac{V_{0}}{r}$ થાય.
ગતિના સમીકરણ $\omega^{2} = \omega_{0}^{2} + 2 \alpha \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\alpha = \frac{\omega^{2} - \omega_{0}^{2}}{2 \theta} = \frac{(V_{0}/r)^{2} - 0}{2(2 \pi n)} = \frac{V_{0}^{2}/r^{2}}{4 \pi n} = \frac{V_{0}^{2}}{4 \pi n r^{2}} \; rad/s^{2}$.

(N/A) કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ સમાન છે,તેથી સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં કોણીય વેગ $\omega$ ના ફેરફારનો દર અચળ છે:
$\frac{d\omega}{dt} = \alpha$
સંકલન માટે પદોને ગોઠવતા:
$d\omega = \alpha dt$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int d\omega = \int \alpha dt$
$\omega = \alpha t + c$,જ્યાં $c$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.
પ્રારંભિક શરત લાગુ પાડતા: $t = 0$ સમયે,$\omega = \omega_{0}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\omega_{0} = \alpha(0) + c \implies c = \omega_{0}$
$c$ ની કિંમતને સંકલિત સમીકરણમાં પાછી મૂકતા:
$\omega = \omega_{0} + \alpha t$.

(N/A) $(i)$ આપણે સમીકરણ $\omega = \omega_{0} + \alpha t$ નો ઉપયોગ કરીશું.
પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ $\omega_{0} = \frac{2 \pi \times 1200}{60} \; rad/s = 40 \pi \; rad/s$.
અંતિમ કોણીય ઝડપ $\omega = \frac{2 \pi \times 3120}{60} \; rad/s = 104 \pi \; rad/s$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\omega - \omega_{0}}{t} = \frac{104 \pi - 40 \pi}{16} = \frac{64 \pi}{16} = 4 \pi \; rad/s^{2}$.
$(ii)$ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે: $\theta = \omega_{0} t + \frac{1}{2} \alpha t^{2}$.
$\theta = (40 \pi \times 16) + \frac{1}{2} \times (4 \pi) \times (16)^{2} = 640 \pi + 512 \pi = 1152 \pi \; rad$.
પરિભ્રમણની સંખ્યા $n = \frac{\theta}{2 \pi} = \frac{1152 \pi}{2 \pi} = 576$.

(A) ચાકગતિ કરતા કણના રેખીય પ્રવેગનો સ્પર્શીય ઘટક $a_{T} = r\alpha$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે.
દઢ પદાર્થ અચળ કોણીય વેગથી ગતિ કરતું હોવાથી,કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{d\omega}{dt} = 0$ થાય છે.
તેથી,રેખીય પ્રવેગનો સ્પર્શીય ઘટક $a_{T} = r \times 0 = 0$ થાય છે.

(B) સ્પર્શીય પ્રવેગ $a_t$ એ વેગના મૂલ્યમાં થતા ફેરફારનો દર છે,જે $a_t = \frac{dv}{dt} = r \alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે.
જો કોણીય ઝડપ $\omega$ અચળ હોય,તો કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{d\omega}{dt} = 0$ થાય.
તેથી,સ્પર્શીય પ્રવેગ $a_t$ ફક્ત ત્યારે જ શૂન્ય હોય છે જ્યારે કણ નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરતો હોય,એટલે કે કોણીય ઝડપ અચળ રહેતી હોય.

(A) સેકન્ડ કાંટાની લંબાઈ એ વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા છે,$R = 0.1\, m$.
સેકન્ડ કાંટા માટે આવર્તકાળ $T = 60\, s$ છે.
કોણીય વેગ $\omega$ નીચે મુજબ મળે: $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{60} \approx 0.105\, rad/s$.
કાંટાના છેડાનો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a$ એ $a = \omega^2 R$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $a = (0.105)^2 \times 0.1$.
$a \approx 0.011025 \times 0.1 = 0.0011025\, m/s^2$.
આને $1.1 \times 10^{-3}\, m/s^2$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,સરેરાશ પ્રવેગ $10^{-3}$ ના ક્રમનો છે.

(B) પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ $\omega_0 = 360 \; rpm = 360 \times \frac{2\pi}{60} \; rad/s = 12\pi \; rad/s$.
અંતિમ કોણીય ઝડપ $\omega = 1200 \; rpm = 1200 \times \frac{2\pi}{60} \; rad/s = 40\pi \; rad/s$.
લીધેલ સમય $t = 14 \; s$.
ચાકગતિના સમીકરણ $\omega = \omega_0 + \alpha t$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે:
$40\pi = 12\pi + \alpha(14)$.
$28\pi = 14\alpha$.
$\alpha = \frac{28\pi}{14} = 2\pi \; rad/s^2$.

(B) આપેલ છે:
પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ,$\omega_1 = 900 \, rpm = \frac{900}{60} \, rev/s = 15 \, rev/s$.
અંતિમ કોણીય ઝડપ,$\omega_2 = 2460 \, rpm = \frac{2460}{60} \, rev/s = 41 \, rev/s$.
સમયગાળો,$t = 26 \, s$.
કોણીય પ્રવેગ સમાન હોવાથી,સરેરાશ કોણીય ઝડપ $\omega_{avg} = \frac{\omega_1 + \omega_2}{2}$ થશે.
$\omega_{avg} = \frac{15 + 41}{2} = \frac{56}{2} = 28 \, rev/s$.
કુલ પરિભ્રમણોની સંખ્યા $N$ એ સરેરાશ કોણીય ઝડપ અને સમયના ગુણાકાર જેટલી હોય છે:
$N = \omega_{avg} \times t = 28 \, rev/s \times 26 \, s = 728 \, \text{પરિભ્રમણો}$.

(D) પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ,$\omega_0 = 600 \, rpm = 10 \, rev/s$.
અંતિમ કોણીય ઝડપ,$\omega_f = 1800 \, rpm = 30 \, rev/s$.
લાગતો સમય,$t = 10 \, s$.
પ્રવેગ સમાન હોવાથી,સરેરાશ કોણીય ઝડપ $\omega_{avg} = \frac{\omega_0 + \omega_f}{2} = \frac{10 + 30}{2} = 20 \, rev/s$ થાય.
કુલ પરિભ્રમણોની સંખ્યા $\theta = \omega_{avg} \times t$ છે.
$\theta = 20 \, rev/s \times 10 \, s = 200 \, rev$.

(A) સમાન કોણીય પ્રવેગ હેઠળ કોણીય વેગ માટેનું સૂત્ર $\omega = \omega_{0} + \alpha t$ છે.
અહીં, પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ $\omega_{0} = 1200\,rpm$ અને અંતિમ કોણીય ઝડપ $\omega = 3120\,rpm$ છે.
સમયગાળો $t = 16\,s$ છે.
સૌ પ્રથમ, $1\,rpm = \frac{2\pi}{60}\,rad/s$ ના સંબંધનો ઉપયોગ કરીને કોણીય ઝડપને $rpm$ માંથી $rad/s$ માં રૂપાંતરિત કરો.
કોણીય ઝડપમાં ફેરફાર $\Delta\omega = 3120 - 1200 = 1920\,rpm$ છે.
આને $rad/s$ માં રૂપાંતરિત કરતા: $\Delta\omega = 1920 \times \frac{2\pi}{60} = 32 \times 2\pi = 64\pi\,rad/s$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\Delta\omega}{t} = \frac{64\pi}{16} = 4\pi\,rad/s^{2}$ મળે છે.

(B) આપેલ કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{d\omega}{dt} = 6t^2 - 2t$ છે.
કોણીય વેગ $\omega$ શોધવા માટે $t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int_{10}^{\omega} d\omega = \int_{0}^{t} (6t^2 - 2t) dt$
$\omega - 10 = [2t^3 - t^2]_0^t$
$\omega = 2t^3 - t^2 + 10$.
હવે,$\omega = \frac{d\theta}{dt} = 2t^3 - t^2 + 10$.
કોણીય સ્થાન $\theta$ શોધવા માટે $t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int_{4}^{\theta} d\theta = \int_{0}^{t} (2t^3 - t^2 + 10) dt$
$\theta - 4 = [\frac{2t^4}{4} - \frac{t^3}{3} + 10t]_0^t$
$\theta - 4 = \frac{t^4}{2} - \frac{t^3}{3} + 10t$
$\theta = \frac{t^4}{2} - \frac{t^3}{3} + 10t + 4$.

(B) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c$ નું સૂત્ર $a_c = \omega^2 r$ છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય વેગ છે અને $r$ એ વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા છે.
કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi f$ હોવાથી,જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે,આપણે આ કિંમત પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકી શકીએ:
$a_c = (2 \pi f)^2 r = 4 \pi^2 f^2 r$.
આ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે પ્રવેગ એ આવૃત્તિના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે: $a_c \propto f^2$.
જો આવૃત્તિ $f$ બમણી કરવામાં આવે $(f' = 2f)$,તો નવો પ્રવેગ $a_c'$ નીચે મુજબ થશે:
$a_c' \propto (2f)^2 = 4f^2$.
તેથી,પ્રવેગ મૂળ કિંમત કરતા $4$ ગણો થાય છે.

(D) કોણીય પ્રવેગ $(\alpha)$ એ સમયની સાપેક્ષમાં કોણીય વેગ $(\omega)$ માં થતા ફેરફારનો દર છે,જે $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
અહીં કણ અચળ કોણીય ઝડપથી ભ્રમણ કરી રહ્યો હોવાથી,કોણીય વેગ $\omega$ સમય સાથે બદલાતો નથી.
તેથી,કોણીય વેગમાં થતા ફેરફારનો દર શૂન્ય છે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 0 \, rad/s^2$.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0 \text{ rad/s}$ (કારણ કે તે સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે).
કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = 100 \pi \text{ rad}$.
સમય $t = 5 \text{ s}$.
પરિભ્રમણીય ગતિના બીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$.
કિંમતો મૂકતા: $100 \pi = 0 + \frac{1}{2} \alpha (5)^2$.
$100 \pi = \frac{25}{2} \alpha$.
$\alpha = \frac{200 \pi}{25} = 8 \pi \text{ rad/s}^2$.
હવે,પરિભ્રમણીય ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\omega = \omega_0 + \alpha t$.
$\omega = 0 + (8 \pi) \times 5 = 40 \pi \text{ rad/s}$.
આમ,$5 \text{ s}$ ના અંતે કોણીય ઝડપ $40 \pi \text{ rad/s}$ છે.

(A) કોણીય પ્રવેગ $(\vec{\alpha})$ એ સમયની સાપેક્ષમાં કોણીય વેગ $(\vec{\omega})$ માં થતા ફેરફારનો દર છે, જે $\vec{\alpha} = \frac{d\vec{\omega}}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતા પદાર્થ માટે કોણીય વેગ સદિશ $(\vec{\omega})$ ભ્રમણાક્ષની દિશામાં હોય છે, તેથી આ સદિશમાં થતા ફેરફારનો દર, જે કોણીય પ્રવેગ $(\vec{\alpha})$ છે, તે પણ ભ્રમણાક્ષની દિશામાં જ કાર્ય કરે છે.

(C) સેકન્ડ કાંટાની લંબાઈ $r_s = 75 \ cm = 0.75 \ m$ છે. મિનિટ કાંટાની લંબાઈ $r_m = 60 \ cm = 0.60 \ m$ છે.
$30$ મિનિટમાં,સેકન્ડ કાંટો $30$ પૂર્ણ પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે છે. સેકન્ડ કાંટાની ટોચ દ્વારા કાપેલું અંતર $d_s = 30 \times (2 \pi r_s) = 30 \times 2 \times 3.14 \times 0.75 = 141.3 \ m$ છે.
$30$ મિનિટમાં,મિનિટ કાંટો $0.5$ પરિભ્રમણ (અડધું વર્તુળ) પૂર્ણ કરે છે. મિનિટ કાંટાની ટોચ દ્વારા કાપેલું અંતર $d_m = 0.5 \times (2 \pi r_m) = \pi r_m = 3.14 \times 0.60 = 1.884 \ m$ છે.
અંતરનો તફાવત $x = d_s - d_m = 141.3 - 1.884 = 139.416 \ m$ છે.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$x \approx 139.4 \ m$ મળે છે.

(A) કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
એક પરિભ્રમણમાં કાપેલું અંતર વર્તુળના પરિઘ જેટલું હોય છે,જે $2 \pi r$ છે.
બે પરિભ્રમણમાં કાપેલું કુલ અંતર $s = 2 \times 2 \pi r = 4 \pi r$ થાય.
ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a$ એ સ્પર્શકીય પ્રવેગ છે:
$v^2 - 0^2 = 2 \times a \times (4 \pi r)$
$v^2 = 8 \pi r a$
તેથી,સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a = \frac{v^2}{8 \pi r}$ મળે છે.

(D) કોણીય સ્થાનાંતર માટેના પરિભ્રમણીય ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતો હોવાથી,$\omega_0 = 0$,તેથી:
$\theta = \frac{1}{2} \alpha t^2$
સમય $t$ માટે ઉકેલતા:
$t = \sqrt{\frac{2 \theta}{\alpha}} \quad ...(i)$
$\theta$ જેટલા કોણીય સ્થાનાંતર માટે કણ દ્વારા કાપેલું રેખીય અંતર (ચાપની લંબાઈ):
$s = r \theta \quad ...(ii)$
સરેરાશ વેગ એટલે કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા કુલ સમય. નાના સ્થાનાંતર $\theta$ માટે,સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય આશરે ચાપની લંબાઈ $s$ જેટલું થાય છે:
$V_{\text{average}} = \frac{s}{t} = \frac{r \theta}{\sqrt{\frac{2 \theta}{\alpha}}}$
$V_{\text{average}} = r \theta \cdot \sqrt{\frac{\alpha}{2 \theta}} = r \sqrt{\frac{\alpha \theta^2}{2 \theta}} = \frac{r}{\sqrt{2}} \sqrt{\alpha \theta}$

(B) ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 = u^2 + 2as$.
ગતિ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતી હોવાથી,$u = 0$,તેથી $v^2 = 2 a_t s$.
તેથી,$a_t = \frac{v^2}{2s}$.
ત્રીજા પરિભ્રમણના અંતે,કાપેલું કુલ અંતર $s = 3 \times (2 \pi r) = 6 \pi r$ થાય.
$s$ ની કિંમત પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા: $a_t = \frac{v^2}{2 \times 6 \pi r} = \frac{v^2}{12 \pi r}$.
આપેલ ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2} m v^2$ પરથી,$v^2 = \frac{2E}{m}$ મળે.
$v^2$ ની કિંમત $a_t$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $a_t = \frac{2E}{m \times 12 \pi r} = \frac{E}{6 \pi rm}$.

(D) વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{\pi}{2} \ m$ છે.
$x$ પરિભ્રમણમાં કણ દ્વારા કાપેલું કુલ અંતર $d = x \times (2\pi r)$ થાય.
$r$ ની કિંમત મૂકતા: $d = x \times (2\pi \times \frac{\pi}{2}) = x \times \pi^2 = \pi^2 x \ m$.
સ્પર્શકીય વેગ $v$ એ કાપેલું કુલ અંતર અને લીધેલા સમયનો ગુણોત્તર છે: $v = \frac{d}{t}$.
તેથી,$v = \frac{\pi^2 x}{t} \ m/s$.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 10 \text{ g} = 10^{-2} \text{ kg}$, ત્રિજ્યા $r = 6.4 \text{ cm} = 6.4 \times 10^{-2} \text{ m}$, ગતિઊર્જા $K = 8 \times 10^{-4} \text{ J}$.
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરે છે, તેથી તેનો પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
બે પરિભ્રમણમાં કાપેલું અંતર $s = 2 \times (2 \pi r) = 4 \pi r$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા, સ્પર્શકીય બળ $F_t$ દ્વારા થયેલું કાર્ય ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = F_t \cdot s = \Delta K$
$F_t = m a_t$ હોવાથી, આપણને મળે:
$m a_t \cdot (4 \pi r) = K - 0$
$a_t = \frac{K}{m \cdot 4 \pi r}$
કિંમતો મૂકતા:
$a_t = \frac{8 \times 10^{-4} \text{ J}}{10^{-2} \text{ kg} \times 4 \times 3.14 \times 6.4 \times 10^{-2} \text{ m}}$
$a_t = \frac{8 \times 10^{-4}}{25.6 \pi \times 10^{-4}} = \frac{8}{25.6 \times 3.14} \approx 0.1 \text{ m/s}^2$.

(B) કણ નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ $(U.C.M.)$ કરી રહ્યો છે.
$x$ પરિભ્રમણમાં કપાતો કુલ ખૂણો $\theta = 2 \pi x$ રેડિયન છે.
કોણીય વેગ $\omega = \frac{\theta}{t} = \frac{2 \pi x}{t}$ દ્વારા મળે છે.
સ્પર્શકીય વેગ $v$ અને કોણીય વેગ વચ્ચેનો સંબંધ $v = \omega R$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $R = \frac{\pi}{2} \ m$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,$v = \left( \frac{2 \pi x}{t} \right) \times \left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi^2 x}{t} \ m/s$.

(D) કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = 5 \sin \frac{\pi t}{6}$ આપેલ છે.
કોણીય વેગ $\omega$ એ કોણીય સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર છે,જે $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$\theta$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\omega = \frac{d}{dt} \left( 5 \sin \frac{\pi t}{6} \right) = 5 \cdot \cos \left( \frac{\pi t}{6} \right) \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \cos \left( \frac{\pi t}{6} \right)$.
$t = 3 \ s$ સમયે:
$\omega = \frac{5\pi}{6} \cos \left( \frac{\pi \times 3}{6} \right) = \frac{5\pi}{6} \cos \left( \frac{\pi}{2} \right)$.
કારણ કે $\cos \frac{\pi}{2} = 0$,તેથી $\omega = \frac{5\pi}{6} \times 0 = 0 \ rad/s$.

(D) પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $f = \frac{x}{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગ $\omega$ અને આવૃત્તિ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = 2 \pi f = \frac{2 \pi x}{t}$ છે.
સ્પર્શક વેગ $V$ અને કોણીય વેગ વચ્ચેનો સંબંધ $V = \omega r$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = \frac{\pi}{2} \ m$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V = \left( \frac{2 \pi x}{t} \right) \cdot \left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi^{2} x}{t}$.

(A) કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$ છે.
ભ્રમણકક્ષાની ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$.
$\omega_0 = 0$ હોવાથી,$\theta = \frac{1}{2} \alpha t^2$,જેમાંથી $t = \sqrt{\frac{2 \theta}{\alpha}}$ મળે છે.
$\theta$ કોણીય સ્થાનાંતર માટે કણનું રેખીય સ્થાનાંતર એ જીવાની લંબાઈ $d = 2r \sin(\theta/2)$ છે. નાના $\theta$ માટે,$\sin(\theta/2) \approx \theta/2$,તેથી $d \approx r \theta$.
સરેરાશ વેગ $v_{avg} = \frac{\text{સ્થાનાંતર}}{\text{સમય}} = \frac{r \theta}{t}$.
$t$ ની કિંમત મૂકતા: $v_{avg} = \frac{r \theta}{\sqrt{2 \theta / \alpha}} = r \theta \sqrt{\frac{\alpha}{2 \theta}} = r \sqrt{\frac{\alpha \theta}{2}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $r \sqrt{\frac{\alpha \theta}{2}}$ છે,જે વિકલ્પ $A$ ને અનુરૂપ છે.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $E_1 = E$ અને અંતિમ ગતિઊર્જા $E_2 = 3E$ છે.
$E = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mr^2\omega^2$ હોવાથી,$E \propto \omega^2$ મળે.
તેથી,$\frac{E_2}{E_1} = \frac{\omega_2^2}{\omega_1^2} = 3$,જેનો અર્થ છે કે $\omega_2^2 = 3\omega_1^2$.
ધારો કે પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0$ છે,તો $\omega_f^2 = 3\omega_0^2$.
કોણીય ગતિના સમીકરણ $\omega_f^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = 3 \times 2\pi = 6\pi$ રેડિયન છે.
$3\omega_0^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(6\pi) \implies 2\omega_0^2 = 12\alpha\pi \implies \alpha = \frac{\omega_0^2}{6\pi}$.
$E = \frac{1}{2}mr^2\omega_0^2$ આપેલ હોવાથી,$\omega_0^2 = \frac{2E}{mr^2}$ મળે.
$\alpha$ ના સમીકરણમાં $\omega_0^2$ ની કિંમત મૂકતા: $\alpha = \frac{2E}{mr^2} \cdot \frac{1}{6\pi} = \frac{E}{3\pi mr^2}$.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t = r\alpha = r \cdot \frac{E}{3\pi mr^2} = \frac{E}{3\pi mr}$ થાય.

(C) પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_{0} = 1200 \text{ rpm} = \frac{1200 \times 2\pi}{60} \text{ rad/s} = 40\pi \text{ rad/s}$.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = 0 \text{ rad/s}$.
કોણીય પ્રતિપ્રવેગ $\alpha = 4 \text{ rad/s}^{2}$.
ગતિના સમીકરણ $\omega^{2} = \omega_{0}^{2} - 2\alpha\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = (40\pi)^{2} - 2(4)\theta$
$8\theta = 1600\pi^{2}$
$\theta = 200\pi^{2} \text{ rad}$.
કુલ કોણ $\theta = 2\pi n$ હોવાથી,જ્યાં $n$ એ પરિભ્રમણની સંખ્યા છે:
$2\pi n = 200\pi^{2}$
$n = 100\pi = 100 \times 3.14159 \approx 314 \text{ પરિભ્રમણ}$.

(C) કોણીય ઝડપ $\omega$ ને $\omega = \frac{2\pi}{T}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે.
મિનિટ કાંટા માટે,આવર્તકાળ $T_{\min} = 60 \text{ મિનિટ}$. તેથી,$\omega_{\min} = \frac{2\pi}{60} \text{ rad/min}$.
કલાક કાંટા માટે,આવર્તકાળ $T_{hr} = 12 \text{ કલાક} = 12 \times 60 \text{ મિનિટ}$. તેથી,$\omega_{hr} = \frac{2\pi}{12 \times 60} \text{ rad/min}$.
કોણીય ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{\omega_{\min}}{\omega_{hr}} = \frac{2\pi / 60}{2\pi / (12 \times 60)} = \frac{12 \times 60}{60} = 12$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $12: 1$ છે.

(D) સ્થિર સ્થિતિમાંથી અચળ કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ સાથે ગતિ કરતા પદાર્થ માટે કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = \frac{1}{2} \alpha t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ $2 \ s$ માટે $(t_1 = 2 \ s)$: $\theta_1 = \frac{1}{2} \alpha (2)^2 = 2\alpha$.
કુલ $4 \ s$ સમય માટે $(t_2 = 2 + 2 = 4 \ s)$: $\theta_{total} = \frac{1}{2} \alpha (4)^2 = 8\alpha$.
પછીના $2 \ s$ માં ફરેલ ખૂણો $\theta_2 = \theta_{total} - \theta_1 = 8\alpha - 2\alpha = 6\alpha$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\theta_1 : \theta_2 = 2\alpha : 6\alpha = 1 : 3$ થાય.

(C) ભ્રમણ ગતિ માટે $n^{\text{th}}$ સેકન્ડમાં કપાતું કોણીય સ્થાનાંતર $\theta_n$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\theta_n = \omega_0 + \frac{\alpha}{2}(2n - 1)$.
આપેલ છે કે કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરે છે,તેથી પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$ છે.
$P^{\text{th}}$ સેકન્ડમાં કોણીય સ્થાનાંતર $\beta$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $\beta = 0 + \frac{\alpha}{2}(2P - 1)$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ શોધવા માટે સમીકરણને ગોઠવતા: $\alpha = \frac{2 \beta}{(2P - 1)}$.

(C) સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
ખ્યાલ: કોણીય ઝડપ $\omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સાપેક્ષ કોણીય ઝડપ $\omega_{rel} = \omega_{s} - \omega_{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સેકન્ડના કાંટાની કોણીય ઝડપ $\omega_{s} = \frac{2 \pi}{60} = \frac{\pi}{30} \ rad/s$ છે.
કલાકના કાંટાની કોણીય ઝડપ $\omega_{h} = \frac{2 \pi}{12 \times 3600} = \frac{2 \pi}{43200} = \frac{\pi}{21600} \ rad/s$ છે.
તેથી,સાપેક્ષ કોણીય ઝડપ $\omega_{rel} = \omega_{s} - \omega_{h} = \frac{\pi}{30} - \frac{\pi}{21600}$ છે.
છેદ સમાન કરતા: $\omega_{rel} = \frac{720 \pi - \pi}{21600} = \frac{719 \pi}{21600} \ rad/s$.

(B) કલાક કાંટાની કોણીય ઝડપ $(\omega_h)$ એ એક પૂર્ણ પરિભ્રમણ ($2 \pi$ રેડિયન) માટે લાગતા સમય $(12 \text{ કલાક} = 12 \times 3600 \text{ સેકન્ડ})$ વડે મળે છે: $\omega_h = \frac{2 \pi}{12 \times 3600} \text{ rad/s}$.
મિનિટ કાંટાની કોણીય ઝડપ $(\omega_m)$ એ એક પૂર્ણ પરિભ્રમણ ($2 \pi$ રેડિયન) માટે લાગતા સમય $(1 \text{ કલાક} = 3600 \text{ સેકન્ડ})$ વડે મળે છે: $\omega_m = \frac{2 \pi}{3600} \text{ rad/s}$.
સાપેક્ષ કોણીય ઝડપ એ બંને કાંટાની કોણીય ઝડપનો તફાવત છે: $\Delta \omega = \omega_m - \omega_h$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta \omega = \frac{2 \pi}{3600} - \frac{2 \pi}{12 \times 3600} = \frac{2 \pi}{3600} \left(1 - \frac{1}{12}\right) = \frac{2 \pi}{3600} \left(\frac{11}{12}\right) = \frac{22 \pi}{43200} = \frac{11 \pi}{21600} \text{ rad/s}$.

(C) આપેલ છે: કોણીય પ્રવેગ $\alpha = 4 \ rad/s^2$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = r\omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t = r\alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણને આપેલ છે કે $a_c = a_t$,તેથી $r\omega^2 = r\alpha$.
આ સમીકરણ $\omega^2 = \alpha$ માં પરિણમે છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \sqrt{\alpha} = \sqrt{4} = 2 \ rad/s$.
ચાકગતિ માટેના ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$\omega = \omega_0 + \alpha t$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા: $2 = 0 + 4t$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = 2/4 = 1/2 \ s$.