Kinematics Circular Motion (Uniform Angular Accelaration) Questions in Gujarati

(B) કલાકના કાંટાની કોણીય ઝડપ $\omega_{h} = \frac{2 \pi}{T_{h}} = \frac{2 \pi}{12 \times 3600} \text{ rad/s}$ છે.
સેકન્ડના કાંટાની કોણીય ઝડપ $\omega_{s} = \frac{2 \pi}{T_{s}} = \frac{2 \pi}{60} \text{ rad/s}$ છે.
સાપેક્ષ કોણીય ઝડપ $\omega_{rel} = |\omega_{s} - \omega_{h}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\omega_{rel} = \left| \frac{2 \pi}{60} - \frac{2 \pi}{43200} \right| = 2 \pi \left( \frac{720 - 1}{43200} \right)$.
$\omega_{rel} = 2 \pi \left( \frac{719}{43200} \right) = \frac{719 \pi}{21600} \text{ rad/s}$.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0 \ rad \ s^{-1}$,અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = 24 \ rad \ s^{-1}$,અને સમય $t = 8 \ s$.
સૌ પ્રથમ,અચળ કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ ની ગણતરી $\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરો.
$\alpha = \frac{24 - 0}{8} = 3 \ rad \ s^{-2}$.
હવે,ગતિના સમીકરણ $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$ નો ઉપયોગ કરીને કુલ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ શોધો.
$\theta = 0 \times 8 + \frac{1}{2} \times 3 \times (8)^2$.
$\theta = \frac{1}{2} \times 3 \times 64 = 3 \times 32 = 96 \ rad$.

(C) આપેલ છે કે,કોણીય પ્રવેગ $\alpha = 4 \ rad/s^2$ અને પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$ છે.
કેન્દ્રગામી (ત્રિજ્યાવર્તી) પ્રવેગ $a_r = r \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t = r \alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણને આપેલ છે કે કેન્દ્રગામી અને સ્પર્શકીય પ્રવેગના મૂલ્યો સમાન છે,તેથી $a_r = a_t$.
સમીકરણો મૂકતા,આપણને મળે છે $r \omega^2 = r \alpha$.
બંને બાજુ $r$ વડે ભાગતા,$\omega^2 = \alpha = 4$.
વર્ગમૂળ લેતા,$\omega = 2 \ rad/s$.
ભ્રમણ ગતિના ગતિશાસ્ત્રના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$\omega = \omega_0 + \alpha t$.
કારણ કે $\omega_0 = 0$,તેથી $\omega = \alpha t$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા,$2 = 4t$.
તેથી,$t = 2/4 = 1/2 \ s$.

(C) પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ $\omega_{1} = 1800 \ rpm = \frac{1800 \times 2\pi}{60} \ rad \ s^{-1} = 60\pi \ rad \ s^{-1}$.
અંતિમ કોણીય ઝડપ $\omega_{2} = 3000 \ rpm = \frac{3000 \times 2\pi}{60} \ rad \ s^{-1} = 100\pi \ rad \ s^{-1}$.
સમયગાળો $t = 20 \ s$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\omega_{2} - \omega_{1}}{t}$.
$\alpha = \frac{100\pi - 60\pi}{20} = \frac{40\pi}{20} = 2\pi \ rad \ s^{-2}$.

(A) સેકન્ડ કાંટા માટે,સમયગાળો $T_s = 60 \text{ s}$ છે.
તેથી,કોણીય ઝડપ $\omega_s = \frac{2\pi}{T_s} = \frac{2\pi}{60} \text{ rad/s}$.
કલાક કાંટા માટે,સમયગાળો $T_h = 12 \text{ કલાક} = 12 \times 60 \times 60 \text{ s} = 43200 \text{ s}$ છે.
તેથી,કોણીય ઝડપ $\omega_h = \frac{2\pi}{T_h} = \frac{2\pi}{43200} \text{ rad/s}$.
સેકન્ડ કાંટા અને કલાક કાંટાની કોણીય ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{\omega_s}{\omega_h} = \frac{2\pi / 60}{2\pi / 43200} = \frac{43200}{60} = 720$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $720: 1$ છે.

(A) વેગ સદિશ $\vec{v}(t) = A \cos(kt) \hat{i} - A \sin(kt) \hat{j}$ છે.
બળ $\vec{F}$ શોધવા માટે,આપણે વેગનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$\vec{F} = m \frac{d\vec{v}}{dt} = m \frac{d}{dt} [A \cos(kt) \hat{i} - A \sin(kt) \hat{j}]$
$\vec{F} = m A [-k \sin(kt) \hat{i} - k \cos(kt) \hat{j}] = -mkA [\sin(kt) \hat{i} + \cos(kt) \hat{j}]$.
હવે,$\vec{F}$ અને $\vec{v}$ નો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શોધો:
$\vec{F} \cdot \vec{v} = (-mkA [\sin(kt) \hat{i} + \cos(kt) \hat{j}]) \cdot (A \cos(kt) \hat{i} - A \sin(kt) \hat{j})$
$\vec{F} \cdot \vec{v} = -mkA^2 [\sin(kt)\cos(kt) - \cos(kt)\sin(kt)] = 0$.
અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોવાથી,બળ $\vec{F}$ અને વેગ $\vec{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.

(B) પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ $\omega_0 = 300 \text{ rpm} = \frac{300 \times 2\pi}{60} \text{ rad/s} = 10\pi \text{ rad/s}$.
અંતિમ કોણીય ઝડપ $\omega = 0 \text{ rad/s}$.
લાગતો સમય $t = 80 \text{ s}$.
ગતિના સમીકરણ $\omega = \omega_0 + \alpha t$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે કોણીય પ્રતિપ્રવેગ $\alpha$ શોધીએ છીએ:
$0 = 10\pi + \alpha(80) \Rightarrow \alpha = -\frac{10\pi}{80} = -\frac{\pi}{8} \text{ rad/s}^2$.
કુલ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ એ $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$ દ્વારા મળે છે:
$\theta = (10\pi)(80) + \frac{1}{2} \left(-\frac{\pi}{8}\right) (80)^2 = 800\pi - \frac{\pi}{16} (6400) = 800\pi - 400\pi = 400\pi \text{ rad}$.
પરિભ્રમણોની સંખ્યા $n$ એ $n = \frac{\theta}{2\pi}$ દ્વારા મળે છે:
$n = \frac{400\pi}{2\pi} = 200$.

(A) કોણીય વેગ $\omega$ એ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ અથવા $\omega = 2\pi n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. પૃથ્વી પોતાની ધરી પર ફરે છે,$T = 24 \ h = 86400 \ s$.
$\omega_1 = \frac{2\pi}{86400} \ rad/s \approx 7.27 \times 10^{-5} \ rad/s$.
$2$. ઘડિયાળના કલાકના કાંટા માટે,$T = 12 \ h = 43200 \ s$.
$\omega_2 = \frac{2\pi}{43200} \ rad/s \approx 1.45 \times 10^{-4} \ rad/s$.
$3$. ઘડિયાળના સેકન્ડના કાંટા માટે,$T = 60 \ s$.
$\omega_3 = \frac{2\pi}{60} \ rad/s \approx 0.105 \ rad/s$.
$4$. ફ્લાયવ્હીલ માટે,$n = 300 \ rpm = 5 \ rev/s$.
$\omega_4 = 2\pi \times 5 = 10\pi \ rad/s \approx 31.4 \ rad/s$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $\omega_1 < \omega_2 < \omega_3 < \omega_4$.
આમ,વધતો ક્રમ $1, 2, 3, 4$ છે.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0 \ rad/s$,કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \pi \ rad/s^2$,અને સમય $t = 6 \ s$.
કોણીય સ્થાનાંતર માટે ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\theta = 0 \times 6 + \frac{1}{2} \times \pi \times (6)^2$.
$\theta = \frac{1}{2} \times \pi \times 36 = 18\pi \ rad$.
પરિભ્રમણની સંખ્યા $n$ એ $n = \frac{\theta}{2\pi}$ દ્વારા મળે છે.
$n = \frac{18\pi}{2\pi} = 9$ પરિભ્રમણ.

(A) લંબ પ્રવેગ $a_n = \frac{v^2}{R} = k t^\alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
આના પરથી,વેગનો વર્ગ $v^2 = R k t^\alpha$ થાય.
પદાર્થની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m R k t^\alpha$ છે.
તમામ બળો દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પાવર $P$ એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફારના દર જેટલો હોય છે,એટલે કે $P = \frac{dK}{dt}$.
$P = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} m R k t^\alpha \right) = \frac{1}{2} m R k \alpha t^{\alpha-1}$.
અહીં $m$,$R$,$k$,અને $\alpha$ અચળાંક હોવાથી,$P \propto t^{\alpha-1}$ મળે છે.

(A) કોણીય વેગ $\omega$ એ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ અથવા $\omega = 2\pi n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. પૃથ્વી પોતાની ધરી પર ફરે છે,$T = 24 \ h = 86400 \ s$:
$\omega_1 = \frac{2\pi}{86400} \ rad/s \approx 7.27 \times 10^{-5} \ rad/s$.
$2$. ઘડિયાળનો કલાકનો કાંટો,$T = 12 \ h = 43200 \ s$:
$\omega_2 = \frac{2\pi}{43200} \ rad/s \approx 1.45 \times 10^{-4} \ rad/s$.
$3$. ઘડિયાળનો સેકન્ડનો કાંટો,$T = 60 \ s$:
$\omega_3 = \frac{2\pi}{60} \ rad/s \approx 0.105 \ rad/s$.
$4$. ફ્લાયવ્હીલ માટે,$n = 300 \ rpm = 5 \ rev/s$:
$\omega_4 = 2\pi \times 5 = 10\pi \ rad/s \approx 31.4 \ rad/s$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $\omega_1 < \omega_2 < \omega_3 < \omega_4$.
આમ,વધતો ક્રમ $1, 2, 3, 4$ છે.

(A) ચાકગતિના ગતિના સમીકરણો પરથી,આપણી પાસે $\omega = \omega_0 + \alpha t$ છે.
આપેલ છે કે $t=0$ સમયે $\omega_0 = 0$,અને $t=2 \ s$ સમયે $\omega = 5 \ rad/s$.
$5 = 0 + \alpha \times 2 \Rightarrow \alpha = 2.5 \ rad/s^2$.
$t=0 \ s$ થી $t=20 \ s$ ના સમયગાળા માટે,કોણીય સ્થાનાંતર $\theta_1$ છે:
$\theta_1 = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2.5 \times (20)^2 = 500 \ rad$.
$t=20 \ s$ સમયે કોણીય વેગ $\omega_{20} = \omega_0 + \alpha \times 20 = 0 + 2.5 \times 20 = 50 \ rad/s$ છે.
$t=20 \ s$ થી $t=50 \ s$ ના સમયગાળા માટે,પ્રવેગ શૂન્ય છે,તેથી કોણીય વેગ $50 \ rad/s$ પર અચળ રહે છે.
કોણીય સ્થાનાંતર $\theta_2$ છે:
$\theta_2 = \omega_{20} \times \Delta t = 50 \times (50 - 20) = 50 \times 30 = 1500 \ rad$.
કુલ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = \theta_1 + \theta_2 = 500 + 1500 = 2000 \ rad$.
પરિભ્રમણોની સંખ્યા $n = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{2000}{2\pi} = \frac{1000}{\pi}$.

(B) કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ અચળ હોવાથી અને પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$ હોવાથી,$t$ સમયમાં કપાયેલ ખૂણો $\theta = \frac{1}{2} \alpha t^2$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $t$ સમયમાં $\theta = 15^{\circ}$,તેથી $15^{\circ} = \frac{1}{2} \alpha t^2$ (સમીકરણ $1$).
હવે,આપણે પછીના $2t \ s$ સમયમાં કપાયેલ ખૂણો શોધવાનો છે. કુલ સમય $t + 2t = 3t \ s$ થાય.
$3t$ સમયમાં કુલ ખૂણો $\theta_{total} = \frac{1}{2} \alpha (3t)^2 = 9 \times (\frac{1}{2} \alpha t^2)$ થશે.
સમીકરણ $1$ ની કિંમત મૂકતા,$\theta_{total} = 9 \times 15^{\circ} = 135^{\circ}$.
તેથી,પછીના $2t \ s$ સમયમાં વધારાનો ખૂણો $\Delta \theta = \theta_{total} - \theta = 135^{\circ} - 15^{\circ} = 120^{\circ}$ મળે.

(C) કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = \frac{5t^4}{40} - \frac{t^3}{3} = \frac{t^4}{8} - \frac{t^3}{3}$ આપેલ છે.
કોણીય વેગ $\omega$ એ કોણીય સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર છે: $\omega = \frac{d\theta}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{t^4}{8} - \frac{t^3}{3}) = \frac{4t^3}{8} - \frac{3t^2}{3} = 0.5t^3 - t^2$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ એ કોણીય વેગના ફેરફારનો દર છે: $\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d}{dt}(0.5t^3 - t^2) = 1.5t^2 - 2t$.
$t = 10 \text{ s}$ સમયે,$\alpha$ ના સમીકરણમાં $t$ ની કિંમત મૂકતા:
$\alpha = 1.5(10)^2 - 2(10) = 1.5(100) - 20 = 150 - 20 = 130 \text{ rad/s}^2$.

(B) કોણીય સ્થાનાંતરનું સૂત્ર $\theta = \frac{1}{2}\alpha t^2$ છે,જ્યાં $\alpha$ એ સમાન કોણીય પ્રવેગ છે અને $t$ એ સમય છે.
પ્રથમ $2 \text{ s}$ $(t = 2 \text{ s})$ માટે,કોણીય સ્થાનાંતર $\theta_1 = \frac{1}{2}\alpha (2)^2 = 2\alpha$ છે.
કુલ $4 \text{ s}$ $(t = 4 \text{ s})$ ના સમય માટે,કુલ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta_{\text{total}} = \frac{1}{2}\alpha (4)^2 = 8\alpha$ છે.
પછીના $2 \text{ s}$ માં કોણીય સ્થાનાંતર $\theta_2 = \theta_{\text{total}} - \theta_1 = 8\alpha - 2\alpha = 6\alpha$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{\theta_2}{\theta_1} = \frac{6\alpha}{2\alpha} = 3$ થાય છે.

(D) પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ $\omega_i = 600 \text{ rpm} = \frac{600 \times 2\pi}{60} = 20\pi \text{ rad/s}$.
અંતિમ કોણીય ઝડપ $\omega_f = 1200 \text{ rpm} = \frac{1200 \times 2\pi}{60} = 40\pi \text{ rad/s}$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\omega_f - \omega_i}{t} = \frac{40\pi - 20\pi}{10} = 2\pi \text{ rad/s}^2$.
કુલ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = \omega_i t + \frac{1}{2} \alpha t^2 = (20\pi)(10) + \frac{1}{2}(2\pi)(10^2) = 200\pi + 100\pi = 300\pi \text{ rad}$.
પરિભ્રમણોની સંખ્યા $n = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{300\pi}{2\pi} = 150$.