Trigonometrical ratios of multiple and sub-multiple angles Questions in Gujarati

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ અને $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sin^2 \theta \cos^2 \theta = \left(\frac{1 - \cos 2\theta}{2}\right) \left(\frac{1 + \cos 2\theta}{2}\right)$
$= \frac{(1 - \cos 2\theta)(1 + \cos 2\theta)}{4}$
$= \frac{1 - \cos^2 2\theta}{4}$
નિત્યસમ $\cos^2 A = \frac{1 + \cos 2A}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\cos^2 2\theta = \frac{1 + \cos 4\theta}{2}$ મળે છે.
$= \frac{1 - \left(\frac{1 + \cos 4\theta}{2}\right)}{4}$
$= \frac{\frac{2 - 1 - \cos 4\theta}{2}}{4}$
$= \frac{1 - \cos 4\theta}{8}$

(C) આપણે નિત્યસમ $\tan \theta - \cot \theta = -2 \cot 2 \theta$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ પદાવલિ: $S = \tan \alpha + 2 \tan 2 \alpha + 4 \tan 4 \alpha + 8 \cot 8 \alpha$.
$\tan \alpha = \cot \alpha - 2 \cot 2 \alpha$ મૂકતા:
$S = (\cot \alpha - 2 \cot 2 \alpha) + 2 \tan 2 \alpha + 4 \tan 4 \alpha + 8 \cot 8 \alpha$
$S = \cot \alpha + 2(\tan 2 \alpha - \cot 2 \alpha) + 4 \tan 4 \alpha + 8 \cot 8 \alpha$
$\tan 2 \alpha - \cot 2 \alpha = -2 \cot 4 \alpha$ હોવાથી:
$S = \cot \alpha + 2(-2 \cot 4 \alpha) + 4 \tan 4 \alpha + 8 \cot 8 \alpha$
$S = \cot \alpha - 4 \cot 4 \alpha + 4 \tan 4 \alpha + 8 \cot 8 \alpha$
$S = \cot \alpha + 4(\tan 4 \alpha - \cot 4 \alpha) + 8 \cot 8 \alpha$
$\tan 4 \alpha - \cot 4 \alpha = -2 \cot 8 \alpha$ હોવાથી:
$S = \cot \alpha + 4(-2 \cot 8 \alpha) + 8 \cot 8 \alpha$
$S = \cot \alpha - 8 \cot 8 \alpha + 8 \cot 8 \alpha$
$S = \cot \alpha$.

(B) આપેલ છે કે,$\alpha = \frac{180^{\circ}}{7}$,જેનો અર્થ છે કે $7 \alpha = 180^{\circ} = \pi$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $3 \sin \alpha - 4 \sin^{3} \alpha = \sin 3 \alpha$.
$\alpha$ ની કિંમત મૂકતા:
$\sin 3 \alpha = \sin (7 \alpha - 4 \alpha)$.
કારણ કે $7 \alpha = \pi$,તેથી:
$\sin (\pi - 4 \alpha) = \sin 4 \alpha$.
આમ,$3 \sin \alpha - 4 \sin^{3} \alpha = \sin 4 \alpha$.

(C) અમે હાયપરબોલિક નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$1$. $\cosh x = 2 \cosh^2 \frac{x}{2} - 1 \implies \cosh \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1+\cosh x}{2}}$
$2$. $\cosh x = 1 + 2 \sinh^2 \frac{x}{2} \implies \sinh \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{\cosh x - 1}{2}}$
$3$. $\tanh \frac{x}{2} = \frac{\sinh x}{1+\cosh x} = \frac{\cosh x - 1}{\sinh x}$
$4$. $\sinh x = 2 \sinh \frac{x}{2} \cosh \frac{x}{2}$
વિકલ્પ $C$ તપાસતા: $\frac{\sinh x}{\sqrt{2(\cosh x+1)}} = \frac{2 \sinh \frac{x}{2} \cosh \frac{x}{2}}{\sqrt{2(2 \cosh^2 \frac{x}{2})}} = \frac{2 \sinh \frac{x}{2} \cosh \frac{x}{2}}{2 \cosh \frac{x}{2}} = \sinh \frac{x}{2}$.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) આપણને $\tanh(x) = \frac{1}{3}$ આપેલ છે.
$\tanh(3x) = \frac{3\tanh(x) + \tanh^3(x)}{1 + 3\tanh^2(x)}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\tanh(x) = \frac{1}{3}$ કિંમત મૂકતા:
$\tanh(3x) = \frac{3(\frac{1}{3}) + (\frac{1}{3})^3}{1 + 3(\frac{1}{3})^2}$
$\tanh(3x) = \frac{1 + \frac{1}{27}}{1 + 3(\frac{1}{9})}$
$\tanh(3x) = \frac{\frac{28}{27}}{1 + \frac{1}{3}}$
$\tanh(3x) = \frac{\frac{28}{27}}{\frac{4}{3}}$
$\tanh(3x) = \frac{28}{27} \times \frac{3}{4} = \frac{7}{9}$

(D) આપેલ છે કે $\tan \left(\frac{x}{2}\right) = \frac{m}{n}$.
અડધા ખૂણાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $\sin (x) = \frac{2 \tan (x/2)}{1 + \tan^2 (x/2)}$ અને $\cos (x) = \frac{1 - \tan^2 (x/2)}{1 + \tan^2 (x/2)}$.
આ કિંમતો $m \sin (x) + n \cos (x)$ માં મૂકતા:
$m \left( \frac{2 \tan (x/2)}{1 + \tan^2 (x/2)} \right) + n \left( \frac{1 - \tan^2 (x/2)}{1 + \tan^2 (x/2)} \right)$
$= m \left( \frac{2(m/n)}{1 + (m^2/n^2)} \right) + n \left( \frac{1 - (m^2/n^2)}{1 + (m^2/n^2)} \right)$
$= \frac{2m^2 n + n^3 - nm^2}{m^2 + n^2} = \frac{n(m^2 + n^2)}{m^2 + n^2} = n$.

(A) આપેલ છે કે $\cos A = \frac{7}{25}$ અને $A$ એ ચોથા ચરણમાં છે,એટલે કે $\frac{3 \pi}{2} < A < 2 \pi$.
$\frac{3 \pi}{2} < A < 2 \pi$ હોવાથી,$\frac{3 \pi}{4} < \frac{A}{2} < \pi$ અને $\frac{3 \pi}{8} < \frac{A}{4} < \frac{\pi}{2}$ થાય.
$\cos A = 2 \cos^2 \frac{A}{2} - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos^2 \frac{A}{2} = \frac{1 + \cos A}{2} = \frac{1 + 7/25}{2} = \frac{16}{25}$.
$\frac{A}{2}$ એ બીજા ચરણમાં હોવાથી,$\cos \frac{A}{2} = -\frac{4}{5}$.
$\cos \frac{A}{2} = 2 \cos^2 \frac{A}{4} - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 \cos^2 \frac{A}{4} = 1 + \cos \frac{A}{2} = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$,તેથી $\cos^2 \frac{A}{4} = \frac{1}{10}$.
$\frac{A}{4}$ એ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$\cos \frac{A}{4} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
વળી,$\cos 2A = 2 \cos^2 A - 1 = 2 \left(\frac{7}{25}\right)^2 - 1 = -\frac{527}{625}$.
તેથી,$\cos \frac{A}{4} + \cos \frac{A}{2} - \cos 2A = \frac{1}{\sqrt{10}} - \frac{4}{5} + \frac{527}{625} = \frac{1}{\sqrt{10}} + \frac{27}{625}$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $32 \sin \left(\frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{5A}{2}\right) = 16 \left[ 2 \sin \left(\frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{5A}{2}\right) \right]$
સૂત્ર $2 \sin X \sin Y = \cos(X-Y) - \cos(X+Y)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 16 \left[ \cos\left(\frac{5A}{2} - \frac{A}{2}\right) - \cos\left(\frac{5A}{2} + \frac{A}{2}\right) \right]$
$= 16 [ \cos(2A) - \cos(3A) ]$
$\cos 2A = 2 \cos^2 A - 1$ અને $\cos 3A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 16 [ (2 \cos^2 A - 1) - (4 \cos^3 A - 3 \cos A) ]$
$\cos A = \frac{3}{4}$ મૂકતા:
$= 16 \left[ 2\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 1 - 4\left(\frac{3}{4}\right)^3 + 3\left(\frac{3}{4}\right) \right]$
$= 16 \left[ \frac{9}{8} - 1 - \frac{27}{16} + \frac{9}{4} \right]$
$= 16 \left[ \frac{18 - 16 - 27 + 36}{16} \right] = 11$

(B) અમે સૂત્ર $\prod_{k=2}^{n} \cos \frac{\pi}{2^k} = \frac{\sin \frac{\pi}{2}}{2^{n-1} \sin \frac{\pi}{2^n}}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$n = 10$ છે.
ગુણાકાર $P = \cos \frac{\pi}{2^2} \cdot \cos \frac{\pi}{2^3} \cdots \cos \frac{\pi}{2^{10}}$ છે.
નિત્યસમ $\cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta \cdots \cos 2^{n-1}\theta = \frac{\sin 2^n \theta}{2^n \sin \theta}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $\theta = \frac{\pi}{2^{10}}$ લઈએ છીએ.
તેથી ગુણાકાર $\frac{\sin(2^9 \cdot \frac{\pi}{2^{10}})}{2^9 \sin(\frac{\pi}{2^{10}})} = \frac{\sin(\frac{\pi}{2})}{512 \sin(\frac{\pi}{2^{10}})}$ થાય છે.
કારણ કે $\sin \frac{\pi}{2} = 1$,તેથી $P = \frac{1}{512 \sin(\frac{\pi}{2^{10}})} = \frac{\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{2^{10}})}{512}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે,$\sin^4 \theta \cos^2 \theta = \sum_{n=0}^{\infty} a_{2n} \cos 2n \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ અને $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\sin^4 \theta \cos^2 \theta = (\sin^2 \theta)^2 \cos^2 \theta = \left(\frac{1 - \cos 2\theta}{2}\right)^2 \left(\frac{1 + \cos 2\theta}{2}\right)$
$= \frac{1}{8} (1 - 2\cos 2\theta + \cos^2 2\theta)(1 + \cos 2\theta)$
$= \frac{1}{8} (1 - \cos 2\theta - \cos^2 2\theta + \cos^3 2\theta)$
$\cos^2 2\theta$ અને $\cos^3 2\theta$ ના સૂત્રો વાપરતા,આપણને $n=4$ માટે $a_{2n}=0$ મળે છે.

(C) આપણે સૂત્ર $\prod_{k=1}^{n} \cos \frac{\theta}{2^k} = \frac{\sin \theta}{2^n \sin(\theta/2^n)}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$\theta = \frac{\pi}{2}$ અને $n=4$ છે.
તેથી,$\cos \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{16} \cos \frac{\pi}{32} = \frac{\sin(\pi/2)}{2^4 \sin(\pi/32)} = \frac{1}{16 \sin(\pi/32)}$ છે.
આ $\frac{1}{16} \operatorname{cosec} \frac{\pi}{32} = 2^{-4} \operatorname{cosec} \frac{\pi}{32}$ ની બરાબર છે.
$2^m \operatorname{cosec} \frac{\pi}{n}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m = -4$ અને $n = 32$ મળે છે.
આમ,$m+n = -4 + 32 = 28$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan \theta + \tan \left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) + \tan \left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right) = 3$.
નિત્યસમ $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરીને પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$\tan \theta + \frac{\tan \theta + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} \tan \theta} + \frac{\tan \theta - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3} \tan \theta} = 3$.
અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરતા:
$\tan \theta + \frac{8 \tan \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta} = 3$.
$\frac{9 \tan \theta - 3 \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta} = 3$.
$3 \left( \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta} \right) = 3$.
$\tan 3\theta = \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta}$ હોવાથી,$3 \tan 3\theta = 3$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\tan 3\theta = 1$.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે કે $630^{\circ} < \theta < 810^{\circ}$,$4$ વડે ભાગતા $157.5^{\circ} < \frac{\theta}{4} < 202.5^{\circ}$ મળે.
$\tan \theta = -\frac{7}{24}$ અને $\theta$ એ ચોથા ચરણમાં હોવાથી $\cos \theta = \frac{24}{25}$ મળે.
અડધા ખૂણાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $\cos \frac{\theta}{2} = \frac{7}{5 \sqrt{2}}$ મળે.
તેથી $\cos^2 \frac{\theta}{4} = \frac{1 + \cos \frac{\theta}{2}}{2} = \frac{5 \sqrt{2} + 7}{10 \sqrt{2}}$.
$157.5^{\circ} < \frac{\theta}{4} < 202.5^{\circ}$ હોવાથી $\cos \frac{\theta}{4}$ ઋણ થશે,તેથી $\cos \frac{\theta}{4} = -\sqrt{\frac{7 + 5 \sqrt{2}}{10 \sqrt{2}}}$.

(A) ધારો કે $x = \frac{\pi}{8}$. તેથી $\frac{3\pi}{8} = 3x$.
પદાવલિ $\cos^3 x \cos 3x + \sin^3 x \sin 3x$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ અને $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$.
કિંમતો મૂકતા:
$\cos^3 x (4\cos^3 x - 3\cos x) + \sin^3 x (3\sin x - 4\sin^3 x) = 4\cos^6 x - 3\cos^4 x + 3\sin^4 x - 4\sin^6 x$.
$= 4(\cos^6 x - \sin^6 x) - 3(\cos^4 x - \sin^4 x) = \cos^3 2x$.
$x = \frac{\pi}{8}$ હોવાથી,$2x = \frac{\pi}{4}$.
$\cos^3(\frac{\pi}{4}) = (\frac{1}{\sqrt{2}})^3 = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.

(A) આપણી પાસે પદાવલિ $\left(\frac{\sin 3 \theta}{\sin \theta}\right)^2-\left(\frac{\cos 3 \theta}{\cos \theta}\right)^2$ છે.
$\sin 3 \theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$ અને $\cos 3 \theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= (3 - 4 \sin^2 \theta)^2 - (4 \cos^2 \theta - 3)^2$
$= (4 \cos^2 \theta - 1)^2 - (4 \cos^2 \theta - 3)^2$
$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$= (2)(8 \cos^2 \theta - 4) = 16 \cos^2 \theta - 8$
$= 8(2 \cos^2 \theta - 1) = 8 \cos 2 \theta$.
$a \cos b \theta$ સાથે સરખાવતા,$a = 8$ અને $b = 2$ મળે છે.
તેથી,$a: b = 8: 2 = 4: 1$.

(C) આપેલ છે કે $\cos \theta = \frac{-3}{5}$.
$\cos \theta < 0$ હોવાથી અને $\theta$ બીજા ચરણમાં નથી,તેથી $\theta$ ત્રીજા ચરણમાં હોવું જોઈએ.
આમ,$\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$.
$2$ વડે ભાગતા,$\frac{\pi}{2} < \frac{\theta}{2} < \frac{3\pi}{4}$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{\theta}{2}$ બીજા ચરણમાં છે,જ્યાં $\tan \frac{\theta}{2}$ ઋણ હોય છે.
સૂત્ર $\tan \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \frac{\theta}{2} = - \sqrt{\frac{1 - (\frac{-3}{5})}{1 + (\frac{-3}{5})}}$
$= - \sqrt{\frac{1 + \frac{3}{5}}{1 - \frac{3}{5}}}$
$= - \sqrt{\frac{8/5}{2/5}}$
$= - \sqrt{4} = -2$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $(\sin x)(\cos x) = \frac{1}{4}$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $2 \sin x \cos x = \frac{2}{4}$
નિત્યસમ $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા: $\sin 2x = \frac{1}{2}$
અહીં $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ હોવાથી,$2x \in (0, \pi)$ થાય.
$\sin 2x = \frac{1}{2}$ માટે $2x$ ની કિંમતો $2x = \frac{\pi}{6}$ અને $2x = \frac{5\pi}{6}$ મળે.
તેથી,$x = \frac{\pi}{12}$ અને $x = \frac{5\pi}{12}$ મળે.
બંને કિંમતો $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ અંતરાલમાં છે.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,$\frac{\pi}{12}$ સાચો જવાબ છે.

(B) આપેલ છે કે $\cos^4 \theta = a \cos 4\theta + b \cos 2\theta + c$.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos^4 \theta = \left(\frac{1 + \cos 2\theta}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} (1 + 2 \cos 2\theta + \cos^2 2\theta)$.
$\cos^2 2\theta = \frac{1 + \cos 4\theta}{2}$ મુકતા:
$\cos^4 \theta = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cos 2\theta + \frac{1}{4} \left(\frac{1 + \cos 4\theta}{2}\right)$.
$= \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cos 2\theta + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \cos 4\theta$.
$= \frac{1}{8} \cos 4\theta + \frac{1}{2} \cos 2\theta + \frac{3}{8}$.
સરખામણી કરતા,$a = \frac{1}{8}$,$b = \frac{1}{2}$,અને $c = \frac{3}{8}$ મળે છે.
તેથી,$(a, b, c) = \left(\frac{1}{8}, \frac{1}{2}, \frac{3}{8}\right)$.

(A) આપણી પાસે છે,$\sin (5 \theta) = \sin (3 \theta + 2 \theta)$.
$\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin (5 \theta) = \sin 3 \theta \cos 2 \theta + \cos 3 \theta \sin 2 \theta$.
બહુવિધ ખૂણાના સૂત્રો મૂકતા:
$\sin (5 \theta) = (3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta)(2 \cos^2 \theta - 1) + (4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta)(2 \sin \theta \cos \theta)$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$\sin (5 \theta) = 16 \sin \theta \cos^4 \theta - 12 \sin \theta \cos^2 \theta + \sin \theta$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 5 \theta = \cos (4 \theta + \theta)$.
$\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 5 \theta = \cos 4 \theta \cos \theta - \sin 4 \theta \sin \theta$
$= (2 \cos ^2 2 \theta - 1) \cos \theta - (2 \sin 2 \theta \cos 2 \theta) \sin \theta$
$= \{2(2 \cos ^2 \theta - 1)^2 - 1\} \cos \theta - 4 \sin ^2 \theta \cos \theta (2 \cos ^2 \theta - 1)$
$= (8 \cos ^4 \theta - 8 \cos ^2 \theta + 1) \cos \theta - 4(1 - \cos ^2 \theta) \cos \theta (2 \cos ^2 \theta - 1)$
$= 16 \cos ^5 \theta - 20 \cos ^3 \theta + 5 \cos \theta$

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \theta + \cot \theta = \frac{2}{\sin(2 \theta)}$.
અહીં,$\theta = \frac{3 \pi}{16}$,તેથી $2 \theta = \frac{3 \pi}{8}$.
આમ,પદાવલિ $\frac{2}{\sin(3 \pi / 8)}$ બને છે.
$\sin(3 \pi / 8) = \cos(\pi / 8) = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$.
તેથી,$\frac{2}{\sin(3 \pi / 8)} = \frac{4}{\sqrt{2+\sqrt{2}}} = 2 \sqrt{2} \sqrt{2-\sqrt{2}}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 6 \theta = \sin 3(2 \theta)$.
$\sin 3A = 3 \sin A - 4 \sin^3 A$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 6 \theta = 3 \sin 2 \theta - 4 \sin^3 2 \theta$.
$\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ મૂકતા:
$\sin 6 \theta = 3(2 \sin \theta \cos \theta) - 4(2 \sin \theta \cos \theta)^3$
$= 6 \sin \theta \cos \theta - 32 \sin^3 \theta \cos^3 \theta$
$= 6 \sin \theta \cos \theta - 32 \sin \theta \cos^3 \theta (1 - \cos^2 \theta)$
$= 32 \cos^5 \theta \sin \theta - 32 \cos^3 \theta \sin \theta + 3 \sin 2 \theta$.
આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,$3x = 3 \sin 2 \theta$,તેથી $x = \sin 2 \theta$ મળે છે.

(D) આપેલ છે $x = \log_e \left[ \cot \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) \right]$.
વ્યાખ્યા મુજબ,$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$.
અહીં,$e^x = \cot \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) = \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}$.
તેથી $e^{-x} = \tan \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) = \frac{1 + \tan \theta}{1 - \tan \theta}$.
$\sinh x$ ના સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\sinh x = \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta} - \frac{1 + \tan \theta}{1 - \tan \theta} \right) = -\tan 2\theta$.

(C) ધારો કે $y = \log \sec x$. તેથી $\sec x = e^y$,જેનો અર્થ છે કે $\cos x = e^{-y}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos x = \frac{1 - \tan^2(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}$.
વળી,$\cos x = \frac{1 - \tan^2(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)} = \frac{\cot^2(x/2) - 1}{\cot^2(x/2) + 1}$.
હાયપરબોલિક વિધેયોનો ઉપયોગ કરીને,$\coth(y/2) = \frac{1 + e^{-y}}{1 - e^{-y}} = \frac{1 + \cos x}{1 - \cos x} = \frac{1 + \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}}{1 - \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}} = \frac{2}{2\tan^2(x/2)} = \cot^2(x/2)$.
કારણ કે $\cot^2(x/2) = \operatorname{cosec}^2(x/2) - 1$,તેથી $\coth(y/2) = \operatorname{cosec}^2(x/2) - 1$.
તેથી,$\frac{y}{2} = \operatorname{coth}^{-1}(\operatorname{cosec}^2(x/2) - 1)$,જે આપે છે $y = 2 \operatorname{coth}^{-1}(\operatorname{cosec}^2(x/2) - 1)$.

(D) આપેલ છે કે,$90^{\circ} < A < 180^{\circ}$ અને $\sin A = \frac{4}{5}$.
$90^{\circ} < A < 180^{\circ}$ હોવાથી,$45^{\circ} < \frac{A}{2} < 90^{\circ}$ થાય.
આ અંતરાલમાં,$\tan \frac{A}{2}$ ની કિંમત $1$ કરતા મોટી હોવી જોઈએ.
સૂત્ર $\sin A = \frac{2 \tan \frac{A}{2}}{1 + \tan^2 \frac{A}{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{4}{5} = \frac{2 \tan \frac{A}{2}}{1 + \tan^2 \frac{A}{2}}$
$4(1 + \tan^2 \frac{A}{2}) = 10 \tan \frac{A}{2}$
$2 \tan^2 \frac{A}{2} - 5 \tan \frac{A}{2} + 2 = 0$
$(2 \tan \frac{A}{2} - 1)(\tan \frac{A}{2} - 2) = 0$
તેથી $\tan \frac{A}{2} = \frac{1}{2}$ અથવા $\tan \frac{A}{2} = 2$ મળે.
$45^{\circ} < \frac{A}{2} < 90^{\circ}$ હોવાથી,$\tan \frac{A}{2} > 1$,તેથી $\tan \frac{A}{2} = 2$.

(C) આપેલ છે કે $540^{\circ} < \theta < 630^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta$ એ $3^{rd}$ ચરણમાં છે.
$\tan \theta = \frac{5}{12}$ હોવાથી,$\sin \theta = -\frac{5}{13}$ અને $\cos \theta = -\frac{12}{13}$ મળે.
$\frac{\theta}{2}$ માટે,$270^{\circ} < \frac{\theta}{2} < 315^{\circ}$ થાય,જે $4^{th}$ ચરણ છે.
$4^{th}$ ચરણમાં,$\cos \frac{\theta}{2} > 0$ અને $\sin \frac{\theta}{2} < 0$ હોય.
$\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$-\frac{12}{13} = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1$,તેથી $2 \cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1}{13}$,જે $\cos \frac{\theta}{2} = \frac{1}{\sqrt{26}}$ આપે છે.
ત્યારબાદ $\sin \frac{\theta}{2} = -\frac{5}{\sqrt{26}}$ મળે.
છેદ $\sqrt{-(12 \sec \theta + 5 \operatorname{cosec} \theta)} = \sqrt{26}$ થાય છે.
આ કિંમતો મૂકતા,પદાવલિ $\frac{\frac{1}{\sqrt{26}} - 5(-\frac{5}{\sqrt{26}})}{\sqrt{26}} = \frac{26}{26} = 1$ મળે છે.

(B) આપેલ છે $\tan \alpha = \frac{-12}{5}$. $\alpha$ બીજા ચરણમાં ન હોવાથી,$\alpha$ ચોથા ચરણમાં છે. તેથી,$\frac{\alpha}{2} \in (135^{\circ}, 180^{\circ})$.
$\tan \alpha = \frac{2 \tan \frac{\alpha}{2}}{1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{-12}{5} = \frac{2 \tan \frac{\alpha}{2}}{1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2}}$ મળે.
$6 \tan^2 \frac{\alpha}{2} - 5 \tan \frac{\alpha}{2} - 6 = 0$ ઉકેલતા,$\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{-2}{3}$ મળે. $\frac{\alpha}{2}$ બીજા ચરણમાં હોવાથી,$\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{2}{\sqrt{13}}$.
આપેલ છે $\cot \beta = \frac{7}{24}$. $\beta$ પ્રથમ ચરણમાં ન હોવાથી,$\beta$ ત્રીજા ચરણમાં છે. તેથી,$\cos \beta = \frac{-7}{25}$.
$\cos \beta = 2 \cos^2 \frac{\beta}{2} - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{-7}{25} = 2 \cos^2 \frac{\beta}{2} - 1$,તેથી $\cos^2 \frac{\beta}{2} = \frac{9}{25}$. $\frac{\beta}{2}$ બીજા ચરણમાં હોવાથી,$\cos \frac{\beta}{2} = \frac{-3}{5}$ અને $\sin \frac{\beta}{2} = \frac{4}{5}$,તેથી $\cot \frac{\beta}{2} = \frac{-3}{4}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{13} (\frac{2}{\sqrt{13}}) + (\frac{-3}{5}) + (\frac{-2}{3})(\frac{-3}{4}) = 2 - \frac{3}{5} + \frac{1}{2} = \frac{20 - 6 + 5}{10} = \frac{19}{10}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$. આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $\frac{\cot ^2 15^{\circ}-1}{\cot ^2 15^{\circ}+1} = \frac{\frac{\cos ^2 15^{\circ}}{\sin ^2 15^{\circ}}-1}{\frac{\cos ^2 15^{\circ}}{\sin ^2 15^{\circ}}+1}$
$= \frac{\cos ^2 15^{\circ}-\sin ^2 15^{\circ}}{\cos ^2 15^{\circ}+\sin ^2 15^{\circ}}$
નિત્યસમ $\cos ^2 x - \sin ^2 x = \cos 2x$ અને $\cos ^2 x + \sin ^2 x = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{\cos(2 \times 15^{\circ})}{1} = \cos 30^{\circ}$
કારણ કે $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી અંતિમ જવાબ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.

(A) આપેલ છે,$\cot A=\frac{11}{60}$. $A$ પ્રથમ ચરણમાં નથી અને $\cot A > 0$ હોવાથી,$A$ ત્રીજા ચરણમાં $(Q_3)$ હોવું જોઈએ. તેથી,$\tan A = \frac{60}{11}$.
આપેલ છે $\cos B = \frac{7}{25}$. $B$ પ્રથમ ચરણમાં નથી અને $\cos B > 0$ હોવાથી,$B$ ચોથા ચરણમાં $(Q_4)$ હોવું જોઈએ.
$Q_4$ માં,$\sin B = -\sqrt{1 - \cos^2 B} = -\sqrt{1 - (\frac{7}{25})^2} = -\frac{24}{25}$.
તેથી,$\tan B = \frac{\sin B}{\cos B} = \frac{-24/25}{7/25} = -\frac{24}{7}$.
સૂત્ર $\tan B = \frac{2 \tan(B/2)}{1 - \tan^2(B/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા,$-\frac{24}{7} = \frac{2 \tan(B/2)}{1 - \tan^2(B/2)}$.
ધારો કે $t = \tan(B/2)$. તો $-\frac{24}{7} = \frac{2t}{1-t^2}$ $\Rightarrow -24 + 24t^2 = 14t$ $\Rightarrow 12t^2 - 7t - 12 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $12t^2 - 16t + 9t - 12 = 0$ $\Rightarrow 4t(3t - 4) + 3(3t - 4) = 0$ $\Rightarrow (4t + 3)(3t - 4) = 0$.
તેથી,$t = \frac{4}{3}$ અથવા $t = -\frac{3}{4}$.
$B \in Q_4$ હોવાથી,$\frac{3\pi}{2} < B < 2\pi \Rightarrow \frac{3\pi}{4} < \frac{B}{2} < \pi$. આનો અર્થ એ છે કે $\frac{B}{2}$ બીજા ચરણમાં $(Q_2)$ છે,જ્યાં $\tan(B/2)$ ઋણ હોવું જોઈએ. તેથી,$\tan(B/2) = -\frac{3}{4}$.
હવે,$\tan(A + B/2) = \frac{\tan A + \tan(B/2)}{1 - \tan A \cdot \tan(B/2)} = \frac{\frac{60}{11} - \frac{3}{4}}{1 - (\frac{60}{11})(-\frac{3}{4})} = \frac{\frac{240 - 33}{44}}{1 + \frac{180}{44}} = \frac{207/44}{224/44} = \frac{207}{224}$.
$\tan(A + B/2) > 0$ હોવાથી,ખૂણો $(A + B/2)$ પ્રથમ ચરણમાં $(Q_1)$ આવે છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 5 \theta = \sin(3 \theta + 2 \theta) = \sin 3 \theta \cos 2 \theta + \cos 3 \theta \sin 2 \theta$.
$\sin 3 \theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$,$\cos 2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta$,$\cos 3 \theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta$,અને $\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 5 \theta = 5 \sin \theta \cos^4 \theta - 10 \sin^3 \theta \cos^2 \theta + \sin^5 \theta$.
આને $a \cos^4 \theta \sin \theta + b \cos^2 \theta \sin^3 \theta + c \sin^5 \theta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 5$,$b = -10$,અને $c = 1$ મળે છે.
તેથી,$abc = 5 \times (-10) \times 1 = -50$.

(C) આપેલ છે $\cos \theta = \frac{-3}{5}$ અને $\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$.
$\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$ હોવાથી,$\frac{\pi}{2} < \frac{\theta}{2} < \frac{3\pi}{4}$ થાય,જે $2^{nd}$ ચરણમાં છે.
$2^{nd}$ ચરણમાં,$\sin \frac{\theta}{2} > 0$,$\cos \frac{\theta}{2} < 0$,અને $\tan \frac{\theta}{2} < 0$ હોય છે.
અડધા ખૂણાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \theta = 1 - 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ $\Rightarrow \frac{-3}{5} = 1 - 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ $\Rightarrow 2 \sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{8}{5}$ $\Rightarrow \sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{4}{5}$.
$\sin \frac{\theta}{2} > 0$ હોવાથી,$\sin \frac{\theta}{2} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
$\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1$ $\Rightarrow \frac{-3}{5} = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1$ $\Rightarrow 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{2}{5}$ $\Rightarrow \cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1}{5}$.
$\cos \frac{\theta}{2} < 0$ હોવાથી,$\cos \frac{\theta}{2} = -\frac{1}{\sqrt{5}}$.
તેથી $\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}} = \frac{2/\sqrt{5}}{-1/\sqrt{5}} = -2$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\tan \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2} + 2 \cos \frac{\theta}{2} = -2 + \frac{2}{\sqrt{5}} + 2 \left( -\frac{1}{\sqrt{5}} \right) = -2 + \frac{2}{\sqrt{5}} - \frac{2}{\sqrt{5}} = -2$.

(D) આપેલ છે કે $\sin \theta - \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\sin \theta - \cos \theta)^2 = (\frac{1}{\sqrt{3}})^2$.
$1 - \sin(2\theta) = \frac{1}{3} \Rightarrow \sin(2\theta) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
હવે,$\cos(4\theta) = 1 - 2\sin^2(2\theta) = 1 - 2(\frac{2}{3})^2 = 1 - 2(\frac{4}{9}) = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$.
આગળ,$\sin(6\theta) = 3\sin(2\theta) - 4\sin^3(2\theta) = 3(\frac{2}{3}) - 4(\frac{2}{3})^3 = 2 - 4(\frac{8}{27}) = 2 - \frac{32}{27} = \frac{54 - 32}{27} = \frac{22}{27}$.
અંતે,$\sin(2\theta) + \cos(4\theta) + \sin(6\theta) = \frac{2}{3} + \frac{1}{9} + \frac{22}{27} = \frac{18 + 3 + 22}{27} = \frac{43}{27}$.

(C) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\cos 2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ અને $\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{1 - (1 - 2 \sin^2 \theta) + 2 \sin \theta \cos \theta}{1 + (2 \cos^2 \theta - 1) + 2 \sin \theta \cos \theta}$
$= \frac{2 \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta}{2 \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta}$
$= \frac{2 \sin \theta (\sin \theta + \cos \theta)}{2 \cos \theta (\cos \theta + \sin \theta)}$
$= \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \theta - \tan \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} - \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{\cos 2 \theta}{\frac{1}{2} \sin 2 \theta} = 2 \cot 2 \theta$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\cot \theta - \tan \theta - 2 \tan 2 \theta - 4 \tan 4 \theta = 2 \cot 2 \theta - 2 \tan 2 \theta - 4 \tan 4 \theta$.
હવે,$2(\cot 2 \theta - \tan 2 \theta) = 2(2 \cot 4 \theta) = 4 \cot 4 \theta$.
આ કિંમત ફરીથી મૂકતા:
$4 \cot 4 \theta - 4 \tan 4 \theta = 4(\cot 4 \theta - \tan 4 \theta) = 4(2 \cot 8 \theta) = 8 \cot 8 \theta$.

(B) આપેલ છે,$3 \sin x + 4 \cos x = 5$.
અડધા ખૂણાના સૂત્રો $\sin x = \frac{2 \tan(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}$ અને $\cos x = \frac{1 - \tan^2(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3 \left( \frac{2 \tan(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)} \right) + 4 \left( \frac{1 - \tan^2(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)} \right) = 5$.
બંને બાજુ $(1 + \tan^2(x/2))$ વડે ગુણતા:
$6 \tan(x/2) + 4 - 4 \tan^2(x/2) = 5(1 + \tan^2(x/2))$.
$6 \tan(x/2) + 4 - 4 \tan^2(x/2) = 5 + 5 \tan^2(x/2)$.
પદોને ગોઠવતા:
$6 \tan(x/2) - 9 \tan^2(x/2) = 5 - 4$.
$6 \tan(x/2) - 9 \tan^2(x/2) = 1$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ $\tan x + \tan \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \tan \left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = 3 \tan 3x$ છે.
આપેલ છે કે $\tan x + \tan \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \tan \left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = 3$.
આ કિંમત નિત્યસમમાં મૂકતા,આપણને $3 \tan 3x = 3$ મળે છે.
તેથી,$\tan 3x = 1$.

(B) આપેલ છે કે $\tan 2A = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A} = -\frac{4}{3}$.
$6 \tan A = -4 + 4 \tan^2 A \Rightarrow 2 \tan^2 A - 3 \tan A - 2 = 0$.
$\tan A$ માટે ઉકેલતા: $(2 \tan A + 1)(\tan A - 2) = 0$,તેથી $\tan A = -\frac{1}{2}$ અથવા $\tan A = 2$.
$\tan A < 0$ હોવાથી,$\tan A = -\frac{1}{2}$ મળે.
હવે,$\cos 2A = \frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A} = \frac{1 - 1/4}{1 + 1/4} = \frac{3/4}{5/4} = \frac{3}{5}$.
નિત્યસમ $\cos 6A = 4 \cos^3 2A - 3 \cos 2A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 6A = 4 \left(\frac{3}{5}\right)^3 - 3 \left(\frac{3}{5}\right) = 4 \left(\frac{27}{125}\right) - \frac{9}{5} = \frac{108}{125} - \frac{225}{125} = -\frac{117}{125}$.

(C) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ જાણીએ છીએ: $\cos 2\theta = \frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}$.
$\theta = 15^{\circ}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1-\tan^2 15^{\circ}}{1+\tan^2 15^{\circ}} = \cos(2 \times 15^{\circ})$
$= \cos 30^{\circ}$
$= \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(B) આપેલ છે,$\theta \in \left(\pi, \frac{3 \pi}{2}\right)$.
$\pi < \theta < \frac{3 \pi}{2}$ હોવાથી,$2$ વડે ભાગતા $\frac{\pi}{2} < \frac{\theta}{2} < \frac{3 \pi}{4}$ મળે.
આ અંતરાલમાં,$\tan \left(\frac{\theta}{2}\right)$ ઋણ હોય છે.
સૂત્ર $\cos \theta = \frac{1 - \tan^2(\theta/2)}{1 + \tan^2(\theta/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1 - \tan^2(\theta/2)}{1 + \tan^2(\theta/2)} = \frac{-3}{5}$ મળે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $5 - 5 \tan^2(\theta/2) = -3 - 3 \tan^2(\theta/2)$ મળે.
પદોને ગોઠવતા $8 = 2 \tan^2(\theta/2)$,જેનો અર્થ છે કે $\tan^2(\theta/2) = 4$.
આમ,$\tan(\theta/2) = \pm 2$.
$\frac{\theta}{2}$ એ બીજા ચરણમાં હોવાથી,$\tan(\theta/2)$ ઋણ હોવું જોઈએ.
તેથી,$\tan(\theta/2) = -2$.

(A) આપેલ છે $y = \frac{2 \sin \theta}{1+\cos \theta+\sin \theta}$.
અડધા ખૂણાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$y = \frac{2(2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2})}{2 \cos^2 \frac{\theta}{2} + 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}} = \frac{2 \sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2}}$.
હવે,પદાવલિ $E = \frac{1-\cos \theta+\sin \theta}{1+\sin \theta}$ લો.
$1-\cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ અને $1+\sin \theta = (\sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2})^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{2 \sin^2 \frac{\theta}{2} + 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{(\sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2})^2} = \frac{2 \sin \frac{\theta}{2}(\sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2})}{(\sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2})^2} = \frac{2 \sin \frac{\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2}} = y$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{cosec} 2A + \cot 2A = \frac{1}{\sin 2A} + \frac{\cos 2A}{\sin 2A} = \frac{1 + \cos 2A}{\sin 2A}$.
નિત્યસમ $1 + \cos 2A = 2 \cos^2 A$ અને $\sin 2A = 2 \sin A \cos A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2 \cos^2 A}{2 \sin A \cos A} = \frac{\cos A}{\sin A} = \cot A$.
હવે,$\cot A$ ને $\tan A$ ના સ્વરૂપમાં લખતા:
$\cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{\tan^2 A + 1 - \tan^2 A}{\tan A} = \tan A + \frac{1 - \tan^2 A}{\tan A}$.
$\tan 2A = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}$ હોવાથી,$\cot 2A = \frac{1 - \tan^2 A}{2 \tan A}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1 - \tan^2 A}{\tan A} = 2 \cot 2A$.
તેથી,$\operatorname{cosec} 2A + \cot 2A = \tan A + 2 \cot 2A$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 5 \theta = 5 \sin \theta - 20 \sin ^3 \theta + 16 \sin ^5 \theta$.
$\sin \theta$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\sin \theta \neq 0$):
$\frac{\sin 5 \theta}{\sin \theta} = 5 - 20 \sin ^2 \theta + 16 \sin ^4 \theta$.
$\sin ^2 \theta = 1 - \cos ^2 \theta$ મૂકતા:
$= 5 - 20(1 - \cos ^2 \theta) + 16(1 - \cos ^2 \theta)^2$
$= 5 - 20 + 20 \cos ^2 \theta + 16(1 - 2 \cos ^2 \theta + \cos ^4 \theta)$
$= -15 + 20 \cos ^2 \theta + 16 - 32 \cos ^2 \theta + 16 \cos ^4 \theta$
$= 16 \cos ^4 \theta - 12 \cos ^2 \theta + 1$.

(A) ધારો કે $P = \cos \left(\frac{\pi}{7}\right) \cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{4 \pi}{7}\right)$.
$2 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$P = \frac{2 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right) \cos \left(\frac{\pi}{7}\right) \cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{4 \pi}{7}\right)}{2 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)}$
$2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2 \theta$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P = \frac{\sin \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{4 \pi}{7}\right)}{2 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)}$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$P = \frac{2 \sin \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{4 \pi}{7}\right)}{4 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)} = \frac{\sin \left(\frac{4 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{4 \pi}{7}\right)}{4 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)}$
ફરીથી અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$P = \frac{2 \sin \left(\frac{4 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{4 \pi}{7}\right)}{8 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)} = \frac{\sin \left(\frac{8 \pi}{7}\right)}{8 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)}$
કારણ કે $\sin \left(\frac{8 \pi}{7}\right) = \sin \left(\pi + \frac{\pi}{7}\right) = -\sin \left(\frac{\pi}{7}\right)$:
$P = \frac{-\sin \left(\frac{\pi}{7}\right)}{8 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)} = -\frac{1}{8}$.

(A) ગુણાકાર $P = \cos A \cos 2 A \cos 2^2 A \ldots \cos 2^{n-1} A$ ની ગણતરી કરવા માટે,$2 \sin A$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$P = \frac{1}{2 \sin A} (2 \sin A \cos A) \cos 2 A \cos 4 A \ldots \cos 2^{n-1} A$
નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P = \frac{1}{2 \sin A} (\sin 2 A \cos 2 A) \cos 4 A \ldots \cos 2^{n-1} A$
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$P = \frac{1}{2^2 \sin A} (2 \sin 2 A \cos 2 A) \cos 4 A \ldots \cos 2^{n-1} A = \frac{\sin 4 A}{2^2 \sin A} \cos 4 A \ldots \cos 2^{n-1} A$
આ પ્રક્રિયા $n$ વખત કરતા,આપણને મળે છે:
$P = \frac{\sin 2^n A}{2^n \sin A}$