Trigonometrical ratios of multiple and sub-multiple angles Questions in Gujarati

(D) આપણી પાસે $\sqrt{\frac{1 - \sin A}{1 + \sin A}}$ છે.
નિત્યસમ $\sin A = \cos \left( \frac{\pi}{2} - A \right)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sqrt{\frac{1 - \cos \left( \frac{\pi}{2} - A \right)}{1 + \cos \left( \frac{\pi}{2} - A \right)}}$ મળે છે.
અડધા ખૂણાના સૂત્રો $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \left( \frac{\theta}{2} \right)$ અને $1 + \cos \theta = 2 \cos^2 \left( \frac{\theta}{2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sqrt{\frac{2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{A}{2} \right)}{2 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{A}{2} \right)}} = \sqrt{\tan^2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{A}{2} \right)} = \tan \left( \frac{\pi}{4} - \frac{A}{2} \right)$.

(A) ધારો કે $E = \frac{\sin 3\theta - \cos 3\theta}{\sin \theta + \cos \theta} + 1$.
$\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ અને $\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
અંશ $N = \sin 3\theta - \cos 3\theta = 3(\sin \theta + \cos \theta) - 4(\sin^3 \theta + \cos^3 \theta)$.
ઘનનો સરવાળો $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$N = (\sin \theta + \cos \theta) [3 - 4(1 - \sin \theta \cos \theta)]$.
તેથી,$\frac{N}{\sin \theta + \cos \theta} = 3 - 4 + 4\sin \theta \cos \theta = 4\sin \theta \cos \theta - 1$.
આ પદમાં $1$ ઉમેરતા:
$E = (4\sin \theta \cos \theta - 1) + 1 = 4\sin \theta \cos \theta$.
$2\sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$E = 2(2\sin \theta \cos \theta) = 2\sin 2\theta$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{\sin 2\theta}$.
$\theta = 7\frac{1}{2}^\circ$ લેતા,$2\theta = 15^\circ$ મળે.
$\tan 7\frac{1}{2}^\circ = \frac{1 - \cos 15^\circ}{\sin 15^\circ}$.
$\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$ અને $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$ મૂકતા,
ગણતરી કરતા જવાબ $\sqrt{6} - \sqrt{3} + \sqrt{2} - 2$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $\sin \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{x - 1}{2x}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 \frac{\theta}{2} = 1 - \sin^2 \frac{\theta}{2} = 1 - \frac{x - 1}{2x} = \frac{2x - x + 1}{2x} = \frac{x + 1}{2x}$.
તેથી,$\cos \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{x + 1}{2x}}$.
હવે,$\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin(\theta/2)}{\cos(\theta/2)} = \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}$.
સૂત્ર $\tan \theta = \frac{2 \tan(\theta/2)}{1 - \tan^2(\theta/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \theta = \frac{2 \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}}{1 - \frac{x - 1}{x + 1}} = \frac{2 \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}}{\frac{x + 1 - x + 1}{x + 1}} = \frac{2 \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}}{\frac{2}{x + 1}} = (x + 1) \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} = \sqrt{(x + 1)^2 \cdot \frac{x - 1}{x + 1}} = \sqrt{(x + 1)(x - 1)} = \sqrt{x^2 - 1}$.

(B) આપેલ છે કે $x + \frac{1}{x} = 2 \cos \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$.
$a = x$ અને $b = \frac{1}{x}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 - 3 \left(x \cdot \frac{1}{x}\right) \left(x + \frac{1}{x}\right)$
$= (2 \cos \theta)^3 - 3(1)(2 \cos \theta)$
$= 8 \cos^3 \theta - 6 \cos \theta$
$= 2(4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$= 2 \cos 3\theta$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
પદાવલિ $= \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ$.
નિત્યસમ $\sin \theta \sin(60^\circ - \theta) \sin(60^\circ + \theta) = \frac{1}{4} \sin 3\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
અહીં,$\theta = 20^\circ$,તેથી $\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ = \sin 20^\circ \sin(60^\circ - 20^\circ) \sin(60^\circ + 20^\circ) = \frac{1}{4} \sin(3 \times 20^\circ) = \frac{1}{4} \sin 60^\circ = \frac{1}{4} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8}$.
તેથી,કુલ પદાવલિ $= \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{3}{16}$.

(C) આપણે નિત્યસમ $\tan \theta = \cot \theta - 2\cot 2\theta$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જે સૂચવે છે કે $\cot \theta - \tan \theta = 2\cot 2\theta$.
પદાવલિ $E = \tan \alpha + 2\tan 2\alpha + 4\tan 4\alpha + 8\cot 8\alpha$ ધ્યાનમાં લો.
નિત્યસમ $\tan \theta = \cot \theta - 2\cot 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$8\cot 8\alpha + 4\tan 4\alpha = 4(2\cot 8\alpha + \tan 4\alpha) = 4(\cot 4\alpha) = 4\cot 4\alpha$.
હવે પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$E = \tan \alpha + 2\tan 2\alpha + 4\cot 4\alpha$.
ફરીથી,$4\cot 4\alpha + 2\tan 2\alpha = 2(2\cot 4\alpha + \tan 2\alpha) = 2(\cot 2\alpha) = 2\cot 2\alpha$ નો ઉપયોગ કરતા.
હવે પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$E = \tan \alpha + 2\cot 2\alpha$.
$2\cot 2\alpha = \cot \alpha - \tan \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$E = \tan \alpha + (\cot \alpha - \tan \alpha) = \cot \alpha$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ છે,$\text{cosec} \theta = \frac{p + q}{p - q}$.
$\frac{1}{\sin \theta} = \frac{p + q}{p - q}$.
યોગ-વિયોગની રીત (componendo and dividendo) વાપરતા:
$\frac{1 + \sin \theta}{1 - \sin \theta} = \frac{(p + q) + (p - q)}{(p + q) - (p - q)} = \frac{2p}{2q} = \frac{p}{q}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \sin \theta = \left( \cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2} \right)^2$ અને $1 - \sin \theta = \left( \cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2} \right)^2$.
તેથી,$\left( \frac{\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2}} \right)^2 = \frac{p}{q}$.
અંશ અને છેદને $\cos \frac{\theta}{2}$ વડે ભાગતા:
$\left( \frac{1 + \tan \frac{\theta}{2}}{1 - \tan \frac{\theta}{2}} \right)^2 = \frac{p}{q}$.
સૂત્ર $\tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) = \frac{1 + \tan \frac{\theta}{2}}{1 - \tan \frac{\theta}{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^2 \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) = \frac{p}{q}$.
વ્યસ્ત લેતા:
$\cot^2 \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) = \frac{q}{p}$.
તેથી,$\cot \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) = \sqrt{\frac{q}{p}}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 6\theta = 2\sin 3\theta \cos 3\theta$.
$\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ અને $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 6\theta = 2(3\sin\theta - 4\sin^3\theta)(4\cos^3\theta - 3\cos\theta)$
આ પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા આપણને $32\cos^5\theta \sin\theta - 32\cos^3\theta \sin\theta + 3\sin 2\theta$ મળે છે.
સરખામણી કરતા,$x = \sin 2\theta$ મળે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot(A) = \frac{1 + \cos(2A)}{\sin(2A)}$.
ધારો કે $A = 7\frac{1}{2}^{\circ}$,તેથી $2A = 15^{\circ}$.
$\cot(7\frac{1}{2}^{\circ}) = \frac{1 + \cos(15^{\circ})}{\sin(15^{\circ})}$.
$\cos(15^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$ અને $\sin(15^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$ મૂકતા,
$\cot(7\frac{1}{2}^{\circ}) = \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા,આપણને $\sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + 2$ મળે છે,જે $\sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4}$ છે.

(A) ધારો કે $y = \frac{\tan x}{\tan 3x}$.
$\tan 3x = \frac{3\tan x - \tan^3 x}{1 - 3\tan^2 x}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$y = \frac{\tan x}{\frac{3\tan x - \tan^3 x}{1 - 3\tan^2 x}} = \frac{1 - 3\tan^2 x}{3 - \tan^2 x}$.
ધારો કે $t = \tan^2 x$,જ્યાં $t \ge 0$. તેથી $y = \frac{1 - 3t}{3 - t}$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $y(3 - t) = 1 - 3t \implies 3y - yt = 1 - 3t \implies t(3 - y) = 1 - 3y \implies t = \frac{1 - 3y}{3 - y}$.
$t = \tan^2 x \ge 0$ હોવાથી,$\frac{1 - 3y}{3 - y} \ge 0$.
આ અસમતા $y \in [1/3, 3)$ માટે સાચી છે.
તેથી,$y$ ની કિંમત ક્યારેય $(1/3, 3)$ અંતરાલની વચ્ચે હોતી નથી.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin 3\alpha = 4\sin \alpha \sin (x + \alpha )\sin (x - \alpha )$
નિત્યસમ $\sin (x + \alpha )\sin (x - \alpha ) = \sin^2 x - \sin^2 \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 3\alpha = 4\sin \alpha (\sin^2 x - \sin^2 \alpha)$
નિત્યસમ $\sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha = 4\sin \alpha \sin^2 x - 4\sin^3 \alpha$
$3\sin \alpha = 4\sin \alpha \sin^2 x$
$\sin \alpha \neq 0$ ધારીને,$\sin \alpha$ વડે ભાગતા:
$3 = 4\sin^2 x$
$\sin^2 x = \frac{3}{4} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$
$\sin^2 x = \sin^2 \left(\frac{\pi}{3}\right)$
$\sin^2 x = \sin^2 \theta$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi \pm \theta$ છે.
તેથી,$x = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$.

(A) આપેલ છે કે $\cos \theta = 1 - 2x^2$ અને $x = \cos 40^\circ$.
$x$ ની કિંમત મૂકતા,$\cos \theta = 1 - 2\cos^2 40^\circ$.
નિત્યસમ $\cos 2A = 2\cos^2 A - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos \theta = -(2\cos^2 40^\circ - 1) = -\cos(2 \times 40^\circ) = -\cos 80^\circ$.
$0^\circ$ થી $360^\circ$ ની વચ્ચે $\theta$ શોધવા માટે,આપણે $\cos(180^\circ - A) = -\cos A$ અને $\cos(180^\circ + A) = -\cos A$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીશું.
તેથી,$\cos \theta = \cos(180^\circ - 80^\circ) = \cos 100^\circ$ અને $\cos \theta = \cos(180^\circ + 80^\circ) = \cos 260^\circ$.
આમ,$\theta$ ના શક્ય મૂલ્યો $100^\circ$ અને $260^\circ$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\sin n\theta = \sum\limits_{r = 0}^n b_r \sin^r \theta$.
જ્યારે $n$ એકી હોય ત્યારે $\sin n\theta$ એ $\theta$ નું એકી વિધેય છે,તેથી $\sin \theta$ ના પદોમાં વિસ્તરણમાં માત્ર $\sin \theta$ ની એકી ઘાત જ હોવી જોઈએ.
આમ,$b_0 = 0$ અને $b_2 = b_4 = \dots = 0$.
$\sin n\theta = \text{Im}((\cos \theta + i \sin \theta)^n)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\sin n\theta = \binom{n}{1} \sin \theta \cos^{n-1} \theta - \binom{n}{3} \sin^3 \theta \cos^{n-3} \theta + \dots$.
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ મૂકતા,$\sin n\theta = \binom{n}{1} \sin \theta (1 - \sin^2 \theta)^{(n-1)/2} - \binom{n}{3} \sin^3 \theta (1 - \sin^2 \theta)^{(n-3)/2} + \dots$.
$\sin \theta$ નો સહગુણક પ્રથમ પદમાંથી મળે છે: $\binom{n}{1} \sin \theta (1)^{(n-1)/2} = n \sin \theta$.
તેથી,$b_1 = n$ અને $b_0 = 0$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$,તેથી $\sin^3 x = \frac{1}{4}(3 \sin x - \sin 3x)$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sin^3 x \sin 3x = \frac{1}{4}(3 \sin x - \sin 3x) \sin 3x$
$= \frac{3}{4} \sin x \sin 3x - \frac{1}{4} \sin^2 3x$
$= \frac{3}{8}(2 \sin 3x \sin x) - \frac{1}{8}(2 \sin^2 3x)$
નિત્યસમ $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ અને $2 \sin^2 A = 1 - \cos 2A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{3}{8}(\cos 2x - \cos 4x) - \frac{1}{8}(1 - \cos 6x)$
$= -\frac{1}{8} + \frac{3}{8} \cos 2x - \frac{3}{8} \cos 4x + \frac{1}{8} \cos 6x$
આને $\sum_{m=0}^n c_m \cos mx = c_0 + c_1 \cos x + \dots + c_n \cos nx$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે મહત્તમ આવૃત્તિ વાળું પદ $\cos 6x$ છે,તેથી $n = 6$.

(B) આપેલ છે $k = \sin \frac{\pi}{18} \sin \frac{5\pi}{18} \sin \frac{7\pi}{18}$.
નિત્યસમ $\sin \theta = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$k = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{18} \right) \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{18} \right) \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{7\pi}{18} \right)$
$k = \cos \frac{4\pi}{9} \cos \frac{2\pi}{9} \cos \frac{\pi}{9}$.
સૂત્ર $\cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta = \frac{\sin 8\theta}{8 \sin \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = \frac{\pi}{9}$:
$k = \frac{\sin \left( 8 \cdot \frac{\pi}{9} \right)}{8 \sin \frac{\pi}{9}} = \frac{\sin \frac{8\pi}{9}}{8 \sin \frac{\pi}{9}}$.
કારણ કે $\sin \frac{8\pi}{9} = \sin \left( \pi - \frac{\pi}{9} \right) = \sin \frac{\pi}{9}$:
$k = \frac{\sin \frac{\pi}{9}}{8 \sin \frac{\pi}{9}} = \frac{1}{8}$.

(A) આપેલ પદાવલિ $E = \frac{\sqrt{1 - \sin x} + \sqrt{1 + \sin x}}{\sqrt{1 - \sin x} - \sqrt{1 + \sin x}}$ છે.
$1 \pm \sin x = (\cos \frac{x}{2} \pm \sin \frac{x}{2})^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sqrt{1 \pm \sin x} = |\cos \frac{x}{2} \pm \sin \frac{x}{2}|$ મળે.
$\frac{5\pi}{2} < x < 3\pi$ માટે,$\frac{5\pi}{4} < \frac{x}{2} < \frac{3\pi}{2}$ થાય.
આ અંતરાલમાં,$\cos \frac{x}{2} < 0$ અને $\sin \frac{x}{2} < 0$ છે,અને $|\cos \frac{x}{2}| > |\sin \frac{x}{2}|$ છે.
તેથી,$\sqrt{1 - \sin x} = \sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}$ અને $\sqrt{1 + \sin x} = -(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})$ મળે.
કિંમતો મૂકતા,$E = \frac{-2\cos \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}} = -\cot \frac{x}{2}$ મળે.

(A) ધારો કે $f(x) = \cot x + \cot(60^\circ + x) + \cot(120^\circ + x)$.
નિત્યસમ $\cot A + \cot B = \frac{\sin(A+B)}{\sin A \sin B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cot(60^\circ + x) + \cot(120^\circ + x) = \frac{\sin(180^\circ + 2x)}{\sin(60^\circ + x)\sin(60^\circ - x)} = \frac{-\sin 2x}{\sin^2 60^\circ - \sin^2 x}$.
છેદમાં $\sin^2 60^\circ - \sin^2 x = \frac{3}{4} - \sin^2 x = \frac{3 - 4\sin^2 x}{4}$ મૂકતા:
$\cot(60^\circ + x) + \cot(120^\circ + x) = \frac{-8\sin x \cos x}{3 - 4\sin^2 x}$.
હવે,$f(x) = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{8\sin x \cos x}{3 - 4\sin^2 x} = \frac{3\cos x - 12\sin^2 x \cos x}{3\sin x - 4\sin^3 x} = 3\cot 3x$.

(D) આપણી પાસે પદાવલિ $\frac{\sec 8\theta - 1}{\sec 4\theta - 1}$ છે.
કોસાઈનમાં રૂપાંતર કરતા,$\frac{\frac{1}{\cos 8\theta} - 1}{\frac{1}{\cos 4\theta} - 1} = \frac{1 - \cos 8\theta}{\cos 8\theta} \times \frac{\cos 4\theta}{1 - \cos 4\theta}$ મળે.
નિત્યસમ $1 - \cos 2A = 2 \sin^2 A$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 - \cos 8\theta = 2 \sin^2 4\theta$ અને $1 - \cos 4\theta = 2 \sin^2 2\theta$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{2 \sin^2 4\theta}{\cos 8\theta} \times \frac{\cos 4\theta}{2 \sin^2 2\theta}$ મળે.
$\sin 4\theta = 2 \sin 2\theta \cos 2\theta$ વિસ્તરણ કરતા,$\frac{\sin 8\theta}{\cos 8\theta} \times \frac{\cos 2\theta}{\sin 2\theta} = \tan 8\theta \cot 2\theta$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $\theta = 3\alpha$ અને $\sin 3\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.
ધારો કે $\cos 3\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.
આપણે $E = a \csc \alpha - b \sec \alpha = \frac{a}{\sin \alpha} - \frac{b}{\cos \alpha} = \frac{a \cos \alpha - b \sin \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$a = \sqrt{a^2 + b^2} \sin 3\alpha$ અને $b = \sqrt{a^2 + b^2} \cos 3\alpha$ મૂકતા:
$E = \frac{\sqrt{a^2 + b^2} (\sin 3\alpha \cos \alpha - \cos 3\alpha \sin \alpha)}{\sin \alpha \cos \alpha}$.
નિત્યસમ $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{\sqrt{a^2 + b^2} \sin(3\alpha - \alpha)}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2} \sin 2\alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}$.
$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ હોવાથી:
$E = \frac{\sqrt{a^2 + b^2} (2 \sin \alpha \cos \alpha)}{\sin \alpha \cos \alpha} = 2\sqrt{a^2 + b^2}$.

(B) ધારો કે પદાવલિ $E = (\cot 7.5^{\circ} - \tan 7.5^{\circ}) - (\cot 67.5^{\circ} - \tan 67.5^{\circ})$ છે.
નિત્યસમ $\cot \theta - \tan \theta = 2 \cot 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા.
પ્રથમ ભાગ માટે,$2 \cot 15^{\circ} = 2(2 + \sqrt{3})$.
બીજા ભાગ માટે,$2 \cot 135^{\circ} = -2$.
તેથી,$E = 2(2 + \sqrt{3}) - (-2) = 6 + 2\sqrt{3}$.
આ એક અસંમેય સંખ્યા છે,તેથી વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) આપેલ છે કે $A = 580^\circ$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sqrt{1 + \sin A} = |\sin(A/2) + \cos(A/2)|$ અને $\sqrt{1 - \sin A} = |\sin(A/2) - \cos(A/2)|$.
$A/2 = 290^\circ$ માટે,જે ચોથા ચરણમાં છે,$\sin(290^\circ) + \cos(290^\circ) < 0$ અને $\sin(290^\circ) - \cos(290^\circ) < 0$ થાય છે.
તેથી,$\sqrt{1 + \sin A} + \sqrt{1 - \sin A} = -(\sin(A/2) + \cos(A/2)) - (\sin(A/2) - \cos(A/2)) = -2 \sin(A/2)$.
આમ,$2 \sin(A/2) = -(\sqrt{1 + \sin A} + \sqrt{1 - \sin A})$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin t = \frac{2 \tan(t/2)}{1 + \tan^2(t/2)}$ અને $\cos t = \frac{1 - \tan^2(t/2)}{1 + \tan^2(t/2)}$.
ધારો કે $y = \tan(t/2)$. તો સમીકરણ $\frac{2y}{1+y^2} + \frac{1-y^2}{1+y^2} = \frac{1}{5}$ બને છે.
$5(1+y^2)$ વડે ગુણતા,$5(2y + 1 - y^2) = 1 + y^2$ મળે.
$10y + 5 - 5y^2 = 1 + y^2$.
$6y^2 - 10y - 4 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા,$3y^2 - 5y - 2 = 0$ મળે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(3y + 1)(y - 2) = 0$.
આમ,$y = 2$ અથવા $y = -\frac{1}{3}$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\sec 8\theta - 1}{\sec 4\theta - 1} = \frac{4 - 4 \tan^2 2\theta - 8 \tan^4 2\theta}{1 - 6 \tan^2 2\theta + \tan^4 2\theta}$ માં સરખામણી કરતા $a=4, b=-4, c=-6, d=1$ મળે છે.
તેથી,$a - b + c - d = 4 - (-4) + (-6) - 1 = 4 + 4 - 6 - 1 = 1$.

(A) આપણે નિત્યસમ $\cot \theta - \tan \theta = 2 \cot 2\theta$ નો ઉપયોગ કરીશું.
પગલું $1$: પ્રથમ બે પદોનું સાદુંરૂપ આપતા: $\cot 5^o - \tan 5^o = 2 \cot 10^o$.
પગલું $2$: આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $2 \cot 10^o - 2 \tan 10^o - 4 \tan 20^o - 8 \cot 40^o$.
પગલું $3$: $2$ સામાન્ય લેતા: $2(\cot 10^o - \tan 10^o) - 4 \tan 20^o - 8 \cot 40^o = 2(2 \cot 20^o) - 4 \tan 20^o - 8 \cot 40^o = 4 \cot 20^o - 4 \tan 20^o - 8 \cot 40^o$.
પગલું $4$: $4$ સામાન્ય લેતા: $4(\cot 20^o - \tan 20^o) - 8 \cot 40^o = 4(2 \cot 40^o) - 8 \cot 40^o = 8 \cot 40^o - 8 \cot 40^o = 0$.

(C) ધારો કે $P = \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{3\pi}{7}$.
$2 \sin \frac{\pi}{7}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$P = \frac{1}{2 \sin \frac{\pi}{7}} \left( 2 \sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{\pi}{7} \right) \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{3\pi}{7}$
$2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P = \frac{1}{2 \sin \frac{\pi}{7}} \left( \sin \frac{2\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \right) \cos \frac{3\pi}{7}$
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$P = \frac{1}{4 \sin \frac{\pi}{7}} \left( 2 \sin \frac{2\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \right) \cos \frac{3\pi}{7} = \frac{1}{4 \sin \frac{\pi}{7}} \sin \frac{4\pi}{7} \cos \frac{3\pi}{7}$
$\sin \frac{4\pi}{7} = \sin \left( \pi - \frac{3\pi}{7} \right) = \sin \frac{3\pi}{7}$ હોવાથી:
$P = \frac{1}{4 \sin \frac{\pi}{7}} \sin \frac{3\pi}{7} \cos \frac{3\pi}{7} = \frac{1}{8 \sin \frac{\pi}{7}} \left( 2 \sin \frac{3\pi}{7} \cos \frac{3\pi}{7} \right)$
$P = \frac{\sin \frac{6\pi}{7}}{8 \sin \frac{\pi}{7}}$
$\sin \frac{6\pi}{7} = \sin \left( \pi - \frac{\pi}{7} \right) = \sin \frac{\pi}{7}$ હોવાથી:
$P = \frac{\sin \frac{\pi}{7}}{8 \sin \frac{\pi}{7}} = \frac{1}{8}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \theta = \tan(90^\circ - \theta)$.
આપેલ પદાવલિ: $\tan 20^\circ \cot 10^\circ \cot 50^\circ = \tan 20^\circ \tan(90^\circ - 10^\circ) \tan(90^\circ - 50^\circ)$.
$= \tan 20^\circ \tan 80^\circ \tan 40^\circ$.
પદોને ગોઠવતા: $\tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 80^\circ$.
નિત્યસમ $\tan \theta \tan(60^\circ - \theta) \tan(60^\circ + \theta) = \tan 3\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = 20^\circ$:
$= \tan(3 \times 20^\circ) = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$.

(B) આપેલ છે $\csc \theta = \frac{p + q}{p - q}$,તેથી $\sin \theta = \frac{p - q}{p + q}$.
નિત્યસમ $\cot \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) = \frac{\cot \frac{\pi}{4} \cot \frac{\theta}{2} - 1}{\cot \frac{\pi}{4} + \cot \frac{\theta}{2}} = \frac{\cot \frac{\theta}{2} - 1}{\cot \frac{\theta}{2} + 1}$ નો ઉપયોગ કરતા.
આ પદ $\frac{\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2}}$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
આ પદનો વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{\cos^2 \frac{\theta}{2} + \sin^2 \frac{\theta}{2} - 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{\cos^2 \frac{\theta}{2} + \sin^2 \frac{\theta}{2} + 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}} = \frac{1 - \sin \theta}{1 + \sin \theta}$ મળે છે.
$\sin \theta = \frac{p - q}{p + q}$ મૂકતા:
$\frac{1 - \frac{p - q}{p + q}}{1 + \frac{p - q}{p + q}} = \frac{p + q - p + q}{p + q + p - q} = \frac{2q}{2p} = \frac{q}{p}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$\left| \cot \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) \right| = \sqrt{\frac{q}{p}}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $P = \cos \frac{\pi}{2^2} \cdot \cos \frac{\pi}{2^3} \cdot \dots \cdot \cos \frac{\pi}{2^{10}}$.
નિત્યસમ $\cos \theta \cdot \cos 2\theta \cdot \cos 4\theta \dots \cos 2^{n-1}\theta = \frac{\sin(2^n \theta)}{2^n \sin \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\theta = \frac{\pi}{2^{10}}$ અને $n = 9$ લેતા.
તેથી $P = \frac{\sin(2^9 \cdot \frac{\pi}{2^{10}})}{2^9 \sin(\frac{\pi}{2^{10}})} = \frac{\sin(\frac{\pi}{2})}{512 \sin(\frac{\pi}{2^{10}})} = \frac{1}{512 \sin(\frac{\pi}{2^{10}})}$.
આપેલ પદાવલિ $P \cdot \sin \frac{\pi}{2^{10}} = \frac{1}{512 \sin(\frac{\pi}{2^{10}})} \cdot \sin \frac{\pi}{2^{10}} = \frac{1}{512}$ થાય.

આપણે જાણીએ છીએ કે $3x = 2x + x$.
તેથી,$\tan 3x = \tan (2x + x)$.
$\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 3x = \frac{\tan 2x + \tan x}{1 - \tan 2x \tan x}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$\tan 3x (1 - \tan 2x \tan x) = \tan 2x + \tan x$.
$\tan 3x - \tan 3x \tan 2x \tan x = \tan 2x + \tan x$.
પદોને ગોઠવતા:
$\tan 3x - \tan 2x - \tan x = \tan 3x \tan 2x \tan x$.
આમ,$\tan 3x \tan 2x \tan x = \tan 3x - \tan 2x - \tan x$.

આપણી પાસે $L.H.S. = \frac{\sin 5x - 2\sin 3x + \sin x}{\cos 5x - \cos x}$ છે.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રો $\sin A + \sin B = 2\sin(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2})$ અને $\cos A - \cos B = -2\sin(\frac{A+B}{2})\sin(\frac{A-B}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L.H.S. = \frac{(\sin 5x + \sin x) - 2\sin 3x}{\cos 5x - \cos x}$
$L.H.S. = \frac{2\sin 3x \cos 2x - 2\sin 3x}{-2\sin 3x \sin 2x}$
$L.H.S. = \frac{2\sin 3x(\cos 2x - 1)}{-2\sin 3x \sin 2x}$
$L.H.S. = -\frac{\cos 2x - 1}{\sin 2x} = \frac{1 - \cos 2x}{\sin 2x}$
બેવડા ખૂણાના નિત્યસમ $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$ અને $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L.H.S. = \frac{2\sin^2 x}{2\sin x \cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x = R.H.S.$

(N/A) આપણે નિત્યસમ $\cos^{2} A - \cos^{2} B = \sin(A+B) \sin(B-A)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
વૈકલ્પિક રીતે,$\cos^{2} A - \cos^{2} B = (\cos A + \cos B)(\cos A - \cos B)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$L.H.S. = (\cos 2x + \cos 6x)(\cos 2x - \cos 6x)$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 2x + \cos 6x = 2 \cos \left( \frac{2x+6x}{2} \right) \cos \left( \frac{2x-6x}{2} \right) = 2 \cos 4x \cos(-2x) = 2 \cos 4x \cos 2x$
$\cos 2x - \cos 6x = -2 \sin \left( \frac{2x+6x}{2} \right) \sin \left( \frac{2x-6x}{2} \right) = -2 \sin 4x \sin(-2x) = 2 \sin 4x \sin 2x$
આ પરિણામોનો ગુણાકાર કરતા:
$L.H.S. = (2 \cos 4x \cos 2x)(2 \sin 4x \sin 2x)$
$= (2 \sin 4x \cos 4x)(2 \sin 2x \cos 2x)$
દ્વિગુણિત ખૂણાના નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \sin 8x \sin 4x = R.H.S.$

(N/A) $L.H.S. = \sin 2x + 2 \sin 4x + \sin 6x$
$= (\sin 6x + \sin 2x) + 2 \sin 4x$
$= 2 \sin \left( \frac{6x + 2x}{2} \right) \cos \left( \frac{6x - 2x}{2} \right) + 2 \sin 4x$
$= 2 \sin 4x \cos 2x + 2 \sin 4x$
$= 2 \sin 4x (\cos 2x + 1)$
$\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$= 2 \sin 4x (2 \cos^2 x - 1 + 1)$
$= 2 \sin 4x (2 \cos^2 x)$
$= 4 \cos^2 x \sin 4x = R.H.S.$

(N/A) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ જાણીએ છીએ: $\sin A - \sin B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right)$ અને $\cos^2 A - \sin^2 A = \cos 2A$.
$L.H.S. = \frac{\sin x - \sin 3x}{\sin^2 x - \cos^2 x}$
$= \frac{2 \cos \left( \frac{x+3x}{2} \right) \sin \left( \frac{x-3x}{2} \right)}{-(\cos^2 x - \sin^2 x)}$
$= \frac{2 \cos(2x) \sin(-x)}{-\cos 2x}$
$\sin(-x) = -\sin x$ હોવાથી:
$= \frac{2 \cos 2x (-\sin x)}{-\cos 2x}$
$= 2 \sin x = R.H.S.$

આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 2A = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}$.
$L.H.S. = \tan 4x = \tan 2(2x)$.
$\tan 2A = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = 2x$:
$= \frac{2 \tan 2x}{1 - \tan^2 2x}$.
$\tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}$ મૂકતા:
$= \frac{2 \left( \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x} \right)}{1 - \left( \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x} \right)^2}$.
$= \frac{\frac{4 \tan x}{1 - \tan^2 x}}{1 - \frac{4 \tan^2 x}{(1 - \tan^2 x)^2}}$.
$= \frac{\frac{4 \tan x}{1 - \tan^2 x}}{\frac{(1 - \tan^2 x)^2 - 4 \tan^2 x}{(1 - \tan^2 x)^2}}$.
$= \frac{4 \tan x (1 - \tan^2 x)}{(1 - \tan^2 x)^2 - 4 \tan^2 x}$.
$= \frac{4 \tan x (1 - \tan^2 x)}{1 + \tan^4 x - 2 \tan^2 x - 4 \tan^2 x}$.
$= \frac{4 \tan x (1 - \tan^2 x)}{1 - 6 \tan^2 x + \tan^4 x} = R.H.S.$

(N/A) $L.H.S. = \cos 4x$
$= \cos 2(2x)$
$= 1 - 2 \sin^2 2x$ ($\cos 2A = 1 - 2 \sin^2 A$ નો ઉપયોગ કરતા)
$= 1 - 2(2 \sin x \cos x)^2$ ($\sin 2A = 2 \sin A \cos A$ નો ઉપયોગ કરતા)
$= 1 - 2(4 \sin^2 x \cos^2 x)$
$= 1 - 8 \sin^2 x \cos^2 x$
$= R.H.S.$

$L.H.S. = \cos 6x$
$= \cos 3(2x)$
$= 4 \cos^3 2x - 3 \cos 2x$ ($\cos 3A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A$ નો ઉપયોગ કરતા)
$= 4[(2 \cos^2 x - 1)^3 - 3(2 \cos^2 x - 1)]$ ($\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$ નો ઉપયોગ કરતા)
$= 4[8 \cos^6 x - 1 - 3(4 \cos^4 x)(1) + 3(2 \cos^2 x)(1)^2] - 6 \cos^2 x + 3$
$= 4[8 \cos^6 x - 12 \cos^4 x + 6 \cos^2 x - 1] - 6 \cos^2 x + 3$
$= 32 \cos^6 x - 48 \cos^4 x + 24 \cos^2 x - 4 - 6 \cos^2 x + 3$
$= 32 \cos^6 x - 48 \cos^4 x + 18 \cos^2 x - 1$
$= R.H.S.$

(B) ધારો કે $x = \frac{\pi}{8}$. તો $2x = \frac{\pi}{4}$.
$\tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \frac{\pi}{4} = \frac{2 \tan \frac{\pi}{8}}{1 - \tan^2 \frac{\pi}{8}}$
$\tan \frac{\pi}{4} = 1$ હોવાથી,ધારો કે $y = \tan \frac{\pi}{8}$. તેથી:
$1 = \frac{2y}{1 - y^2}$
$1 - y^2 = 2y$
$y^2 + 2y - 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$
$\frac{\pi}{8}$ એ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$\tan \frac{\pi}{8} > 0$. તેથી,$y = \sqrt{2} - 1$.

આપેલ છે કે $\tan x = \frac{3}{4}$ અને $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$.
$x$ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,$\cos x$ ઋણ છે.
$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos^2 x = \frac{16}{25}$ મળે.
$\cos x < 0$ હોવાથી,$\cos x = -\frac{4}{5}$.
$\pi < x < \frac{3\pi}{2}$ ને $2$ વડે ભાગતા,$\frac{\pi}{2} < \frac{x}{2} < \frac{3\pi}{4}$ મળે.
આ અંતરાલમાં (બીજા ચરણમાં),$\sin \frac{x}{2} > 0$ અને $\cos \frac{x}{2} < 0$ છે.
અડધા ખૂણાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin^2 \frac{x}{2} = 1 - \cos x = 1 - (-\frac{4}{5}) = \frac{9}{5} \implies \sin^2 \frac{x}{2} = \frac{9}{10} \implies \sin \frac{x}{2} = \frac{3}{\sqrt{10}}$.
$2 \cos^2 \frac{x}{2} = 1 + \cos x = 1 + (-\frac{4}{5}) = \frac{1}{5} \implies \cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1}{10} \implies \cos \frac{x}{2} = -\frac{1}{\sqrt{10}}$.
અંતે,$\tan \frac{x}{2} = \frac{\sin (x/2)}{\cos (x/2)} = \frac{3/\sqrt{10}}{-1/\sqrt{10}} = -3$.

(D) અહીં $x$ એ બીજા ચરણમાં છે,તેથી $\frac{\pi}{2} < x < \pi$.
$2$ વડે ભાગતા,$\frac{\pi}{4} < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2}$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{x}{2}$ એ પ્રથમ ચરણમાં છે,તેથી $\sin \frac{x}{2}, \cos \frac{x}{2}$ અને $\tan \frac{x}{2}$ બધા ધન છે.
આપેલ છે કે $\tan x = -\frac{4}{3}$,તેથી $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}$.
તેથી,$\cos^2 x = \frac{9}{25}$,જે $\cos x = -\frac{3}{5}$ આપે છે (કારણ કે $x$ બીજા ચરણમાં છે,$\cos x < 0$).
સૂત્ર $\cos x = 2\cos^2 \frac{x}{2} - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$-\frac{3}{5} = 2\cos^2 \frac{x}{2} - 1$.
$2\cos^2 \frac{x}{2} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5} \Rightarrow \cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1}{5}$.
$\frac{x}{2}$ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$\cos \frac{x}{2} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.
$\sin^2 \frac{x}{2} = 1 - \cos^2 \frac{x}{2} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.
$\frac{x}{2}$ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$\sin \frac{x}{2} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.
અંતે,$\tan \frac{x}{2} = \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)} = \frac{2/\sqrt{5}}{1/\sqrt{5}} = 2$.
તેથી,$\sin \frac{x}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{5}, \cos \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ અને $\tan \frac{x}{2} = 2$ છે.

(A) અહીં $x$ એ $III$ ચરણમાં છે,એટલે કે $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$.
તેથી,$\frac{\pi}{2} < \frac{x}{2} < \frac{3\pi}{4}$.
આ અંતરાલમાં (બીજું ચરણ),$\sin \frac{x}{2}$ ધન છે,જ્યારે $\cos \frac{x}{2}$ અને $\tan \frac{x}{2}$ ઋણ છે.
નિત્યસમ $\cos x = 1 - 2\sin^2 \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2} = \frac{1 - (-1/3)}{2} = \frac{2}{3}$.
$\sin \frac{x}{2} > 0$ હોવાથી,$\sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.
નિત્યસમ $\cos x = 2\cos^2 \frac{x}{2} - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2} = \frac{1 + (-1/3)}{2} = \frac{1}{3}$.
$\cos \frac{x}{2} < 0$ હોવાથી,$\cos \frac{x}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
અંતે,$\tan \frac{x}{2} = \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)} = -\sqrt{2}$.

અહીં $x$ એ બીજા ચરણમાં છે,તેથી $\frac{\pi}{2} < x < \pi$.
$2$ વડે ભાગતા,$\frac{\pi}{4} < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2}$ મળે.
આમ,$\frac{x}{2}$ એ પ્રથમ ચરણમાં છે,તેથી $\sin \frac{x}{2}, \cos \frac{x}{2}$ અને $\tan \frac{x}{2}$ બધા ધન છે.
આપેલ છે કે $\sin x = \frac{1}{4}$.
$x$ બીજા ચરણમાં હોવાથી,$\cos x = -\sqrt{1 - \sin^2 x} = -\sqrt{1 - (\frac{1}{4})^2} = -\frac{\sqrt{15}}{4}$.
અડધા ખૂણાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{4}$.
$\cos \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{4}$.
$\tan \frac{x}{2} = \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)} = 4 + \sqrt{15}$.

(A) આપેલ છે $L = \sin^{2}\left(\frac{\pi}{16}\right) - \sin^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right)$.
નિત્યસમ $\sin^{2} \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \left(\frac{1 - \cos(\pi/8)}{2}\right) - \left(\frac{1 - \cos(\pi/4)}{2}\right)$
$L = \frac{1}{2} \left[ \cos(\pi/4) - \cos(\pi/8) \right] = \frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{1}{2} \cos\left(\frac{\pi}{8}\right)$.
આપેલ છે $M = \cos^{2}\left(\frac{\pi}{16}\right) - \sin^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right)$.
નિત્યસમ $\cos^{2} \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ અને $\sin^{2} \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$M = \left(\frac{1 + \cos(\pi/8)}{2}\right) - \left(\frac{1 - \cos(\pi/4)}{2}\right)$
$M = \frac{1}{2} \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) + \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \frac{\theta}{2} = \csc \theta + \cot \theta$.
$\theta = \frac{\pi}{12}$ લેતા,$\cot \frac{\pi}{24} = \csc \frac{\pi}{12} + \cot \frac{\pi}{12}$.
$\csc \frac{\pi}{12} = \sqrt{6}+\sqrt{2}$ અને $\cot \frac{\pi}{12} = 2+\sqrt{3}$.
તેથી,$\cot \frac{\pi}{24} = \sqrt{6}+\sqrt{2}+2+\sqrt{3}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 72^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$.
$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^{2}\theta$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos 72^{\circ} = 1 - 2\sin^{2} 36^{\circ}$ મળે.
$\alpha = \sin 36^{\circ}$ મૂકતા,$1 - 2\alpha^{2} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ મળે.
$4$ વડે ગુણતા,$4 - 8\alpha^{2} = \sqrt{5} - 1$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$5 - 8\alpha^{2} = \sqrt{5}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(5 - 8\alpha^{2})^{2} = 5$ મળે.
$25 + 64\alpha^{4} - 80\alpha^{2} = 5$.
$64\alpha^{4} - 80\alpha^{2} + 20 = 0$.
$4$ વડે ભાગતા,$16\alpha^{4} - 20\alpha^{2} + 5 = 0$ મળે.
આમ,$\alpha$ એ $16x^{4} - 20x^{2} + 5 = 0$ સમીકરણનું બીજ છે.

(A) ધારો કે $S = \cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right) + \cos \left(\frac{4 \pi}{7}\right) + \cos \left(\frac{6 \pi}{7}\right)$.
સમાંતર શ્રેણીમાં કોસાઇનના સરવાળા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $S = \frac{\sin(\frac{3 \pi}{7})}{\sin(\frac{\pi}{7})} \cos\left(\frac{4 \pi}{7}\right)$.
અંશ અને છેદને $2 \sin(\frac{\pi}{7})$ વડે ગુણતા:
$S = \frac{2 \sin(\frac{3 \pi}{7}) \cos(\frac{4 \pi}{7})}{2 \sin(\frac{\pi}{7})}$
$2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{\sin(\pi) + \sin(-\frac{\pi}{7})}{2 \sin(\frac{\pi}{7})}$
$\sin(\pi) = 0$ અને $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$ હોવાથી:
$S = \frac{-\sin(\frac{\pi}{7})}{2 \sin(\frac{\pi}{7})} = -\frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે $P = 96 \cos \frac{\pi}{33} \cos \frac{2 \pi}{33} \cos \frac{4 \pi}{33} \cos \frac{8 \pi}{33} \cos \frac{16 \pi}{33}$.
સૂત્ર $\cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta \dots \cos 2^{n-1}\theta = \frac{\sin(2^n \theta)}{2^n \sin \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n=5$ અને $\theta = \frac{\pi}{33}$.
$P = 96 \times \frac{\sin(2^5 \times \frac{\pi}{33})}{2^5 \sin \frac{\pi}{33}}$
$P = 96 \times \frac{\sin \frac{32 \pi}{33}}{32 \sin \frac{\pi}{33}}$
કારણ કે $\sin \frac{32 \pi}{33} = \sin(\pi - \frac{\pi}{33}) = \sin \frac{\pi}{33}$,તેથી:
$P = \frac{96}{32} \times \frac{\sin \frac{\pi}{33}}{\sin \frac{\pi}{33}}$
$P = 3 \times 1 = 3$.

(B) આપેલ છે $\sec x + \tan x = 2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^2 x - \tan^2 x = 1$,જેનો અર્થ છે કે $(\sec x - \tan x)(\sec x + \tan x) = 1$.
આપેલ કિંમત મૂકતા,આપણને $\sec x - \tan x = \frac{1}{2}$ મળે છે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2 \sec x = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$,તેથી $\sec x = \frac{5}{4}$.
આમ,$\cos x = \frac{4}{5}$.
અડધા ખૂણાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2} = \frac{1 - 4/5}{2} = \frac{1}{10}$.
$0 < x < \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$0 < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{4}$ મળે,તેથી $\sin \frac{x}{2} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
પછી $\cos \frac{x}{2} = \sqrt{1 - \sin^2 \frac{x}{2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{10}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$.
$\sin^2 \frac{x}{4} = \frac{1 - \cos \frac{x}{2}}{2} = \frac{1 - 3/\sqrt{10}}{2} = \frac{\sqrt{10} - 3}{2 \sqrt{10}}$.
અંશ અને છેદને $\sqrt{10} + 3$ વડે ગુણતા:
$\sin^2 \frac{x}{4} = \frac{(\sqrt{10} - 3)(\sqrt{10} + 3)}{2 \sqrt{10}(\sqrt{10} + 3)} = \frac{10 - 9}{2(10 + 3 \sqrt{10})} = \frac{1}{2(10 + 3 \sqrt{10})}$.
તેથી,$\sin \frac{x}{4} = \frac{1}{\sqrt{2(10 + 3 \sqrt{10})}}$.

(C) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $4 \cos^3 \theta = \cos 3\theta + 3 \cos \theta$.
નિત્યસમમાં $\theta = 20^{\circ}$ મૂકતા:
$4 \cos^3 20^{\circ} = \cos(3 \times 20^{\circ}) + 3 \cos 20^{\circ}$
$4 \cos^3 20^{\circ} = \cos 60^{\circ} + 3 \cos 20^{\circ}$
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી:
$4 \cos^3 20^{\circ} = \frac{1}{2} + 3 \cos 20^{\circ}$.