Trigonometrical ratios of multiple and sub-multiple angles Questions in Gujarati

(A) ગુણાકાર $P = \cos A \cos 2 A \cos 2^2 A \ldots \cos 2^{n-1} A$ ની ગણતરી કરવા માટે,$2 \sin A$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$P = \frac{1}{2 \sin A} (2 \sin A \cos A) \cos 2 A \cos 4 A \ldots \cos 2^{n-1} A$
નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P = \frac{1}{2 \sin A} (\sin 2 A \cos 2 A) \cos 4 A \ldots \cos 2^{n-1} A$
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$P = \frac{1}{2^2 \sin A} (2 \sin 2 A \cos 2 A) \cos 4 A \ldots \cos 2^{n-1} A = \frac{\sin 4 A}{2^2 \sin A} \cos 4 A \ldots \cos 2^{n-1} A$
આ પ્રક્રિયા $n$ વખત કરતા,આપણને મળે છે:
$P = \frac{\sin 2^n A}{2^n \sin A}$

(B) આપેલ છે કે $\tan \theta = \frac{-3}{4}$. $\tan \theta < 0$ હોવાથી અને $\theta$ બીજા ચરણમાં નથી,તેથી $\theta$ ચોથા ચરણમાં હોવું જોઈએ.
ચોથા ચરણમાં,$\sin \theta = \frac{-3}{5}$ અને $\cos \theta = \frac{4}{5}$ થાય.
અડધા ખૂણાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\tan \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{1 - 4/5}{-3/5} = \frac{1/5}{-3/5} = \frac{-1}{3}$.
વળી,$\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \times (\frac{-3}{5}) \times (\frac{4}{5}) = \frac{-24}{25}$.
તેથી,$\tan \frac{\theta}{2} + \sin 2 \theta = \frac{-1}{3} + (\frac{-24}{25}) = \frac{-25 - 72}{75} = \frac{-97}{75}$.

(B) નિત્યસમ $\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos^3 x = \frac{\cos 3x + 3 \cos x}{4}$ મળે.
દરેક પદ માટે આ લાગુ પાડતા:
$\frac{\cos 3 \theta + 3 \cos \theta}{4} + \frac{\cos(2 \pi + 3 \theta) + 3 \cos(\frac{2 \pi}{3} + \theta)}{4} + \frac{\cos(4 \pi + 3 \theta) + 3 \cos(\frac{4 \pi}{3} + \theta)}{4} = \alpha \cos 3 \theta$
$\cos(2 \pi + 3 \theta) = \cos 3 \theta$ અને $\cos(4 \pi + 3 \theta) = \cos 3 \theta$ હોવાથી,સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$\frac{3 \cos 3 \theta + 3 \cos \theta + 3 \cos(\frac{2 \pi}{3} + \theta) + 3 \cos(\frac{4 \pi}{3} + \theta)}{4} = \alpha \cos 3 \theta$
સરવાળામાંથી ગુણાકારના સૂત્ર $\cos A + \cos B = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos(\frac{2 \pi}{3} + \theta) + \cos(\frac{4 \pi}{3} + \theta) = 2 \cos(\pi + \theta) \cos(-\frac{\pi}{3}) = 2(-\cos \theta)(\frac{1}{2}) = -\cos \theta$
આ કિંમત પાછી મૂકતા:
$\frac{3 \cos 3 \theta + 3 \cos \theta + 3(-\cos \theta)}{4} = \alpha \cos 3 \theta$
$\frac{3 \cos 3 \theta}{4} = \alpha \cos 3 \theta$
તેથી,$\alpha = \frac{3}{4}$.

(B) આપેલ છે કે $\frac{\tan 3A}{\tan A} = a$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 3A = \frac{3\tan A - \tan^3 A}{1 - 3\tan^2 A}$.
તેથી,$\frac{3\tan A - \tan^3 A}{\tan A(1 - 3\tan^2 A)} = a$.
$\frac{3 - \tan^2 A}{1 - 3\tan^2 A} = a$.
$3 - \tan^2 A = a - 3a\tan^2 A$.
$\tan^2 A(3a - 1) = a - 3$.
$\tan^2 A = \frac{a - 3}{3a - 1}$.
હવે,$\frac{\sin 3A}{\sin A} = \frac{3\sin A - 4\sin^3 A}{\sin A} = 3 - 4\sin^2 A$.
$\sin^2 A = \frac{\tan^2 A}{1 + \tan^2 A} = \frac{\frac{a-3}{3a-1}}{1 + \frac{a-3}{3a-1}} = \frac{a-3}{4(a-1)}$ નો ઉપયોગ કરતા.
તેથી,$\frac{\sin 3A}{\sin A} = 3 - 4\left(\frac{a-3}{4(a-1)}\right) = 3 - \frac{a-3}{a-1} = \frac{3a - 3 - a + 3}{a-1} = \frac{2a}{a-1}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $(1 + \sec \theta) = \frac{1 + \cos \theta}{\cos \theta} = \frac{2 \cos^2 \frac{\theta}{2}}{\cos \theta}$.
વળી,$\tan \frac{\theta}{2} (1 + \sec \theta) = \frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}} \cdot \frac{2 \cos^2 \frac{\theta}{2}}{\cos \theta} = \frac{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{\cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$.
આનો વારંવાર ઉપયોગ કરતા,$f_n(x) = \tan \frac{x}{2} (1 + \sec x) (1 + \sec 2x) \dots (1 + \sec 2^n x) = \tan 2^n x$.
$x = \frac{\pi}{16}$ માટે:
$f_2\left(\frac{\pi}{16}\right) = \tan \left(2^2 \cdot \frac{\pi}{16}\right) = \tan \left(4 \cdot \frac{\pi}{16}\right) = \tan \frac{\pi}{4} = 1$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot x - \tan x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x}$.
$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ અને $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\cot x - \tan x = \frac{\cos 2x}{\frac{1}{2} \sin 2x} = 2 \cot 2x$.
તેથી,$\frac{\cot x - \tan x}{\cot 2x} = \frac{2 \cot 2x}{\cot 2x} = 2$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\cos 15^{\circ} \cos 7.5^{\circ} \sin 7.5^{\circ}$.
નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin 7.5^{\circ} \cos 7.5^{\circ} = \frac{1}{2} \sin(2 \times 7.5^{\circ}) = \frac{1}{2} \sin 15^{\circ}$.
આ કિંમત મૂળ પદાવલિમાં મુકતા:
$\cos 15^{\circ} \times (\frac{1}{2} \sin 15^{\circ}) = \frac{1}{2} \sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ}$.
ફરીથી,$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ} = \frac{1}{2} \sin(2 \times 15^{\circ}) = \frac{1}{2} \sin 30^{\circ}$.
તેથી,પદાવલિ $\frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} \sin 30^{\circ}) = \frac{1}{4} \sin 30^{\circ}$ બને છે.
$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,અંતિમ જવાબ $\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+2 \cos 4x}}}}$
નિત્યસમ $1 + \cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 + 2 \cos 4x = 2(1 + \cos 4x) = 2(2 \cos^2 2x) = 4 \cos^2 2x$ મળે.
આ કિંમત અંદરના વર્ગમૂળમાં મૂકતા: $\sqrt{2+2 \cos 4x} = \sqrt{4 \cos^2 2x} = 2 \cos 2x$.
હવે પદાવલિ બને છે: $\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+2 \cos 2x}}}$.
ફરીથી,$2 + 2 \cos 2x = 2(1 + \cos 2x) = 2(2 \cos^2 x) = 4 \cos^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા.
આ કિંમત મૂકતા: $\sqrt{2+2 \cos 2x} = \sqrt{4 \cos^2 x} = 2 \cos x$.
હવે પદાવલિ બને છે: $\frac{2}{\sqrt{2+2 \cos x}}$.
$2 + 2 \cos x = 2(1 + \cos x) = 2(2 \cos^2 \frac{x}{2}) = 4 \cos^2 \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા.
આમ,$\sqrt{2+2 \cos x} = 2 \cos \frac{x}{2}$.
અંતે,પદાવલિનું સાદું રૂપ $\frac{2}{2 \cos \frac{x}{2}} = \frac{1}{\cos \frac{x}{2}} = \sec \frac{x}{2}$ થાય છે.

(B) આપેલ છે,$\cot \frac{2x}{3} + \tan \frac{x}{3} = \operatorname{cosec} \frac{kx}{3}$.
ધારો કે $\theta = \frac{x}{3}$.
તેથી,$\cot 2\theta + \tan \theta = \operatorname{cosec} k\theta$.
નિત્યસમ $\cot 2\theta = \frac{\cos 2\theta}{\sin 2\theta}$ અને $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\cos 2\theta}{\sin 2\theta} + \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \operatorname{cosec} k\theta$.
$\frac{\cos 2\theta \cos \theta + \sin 2\theta \sin \theta}{\sin 2\theta \cos \theta} = \operatorname{cosec} k\theta$.
$\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\cos(2\theta - \theta)}{\sin 2\theta \cos \theta} = \operatorname{cosec} k\theta$.
$\frac{\cos \theta}{\sin 2\theta \cos \theta} = \operatorname{cosec} k\theta$.
$\frac{1}{\sin 2\theta} = \operatorname{cosec} k\theta$.
$\operatorname{cosec} 2\theta = \operatorname{cosec} k\theta$.
તેથી,$k = 2$.

(B) નિત્યસમ $\cos ^2 A - \sin ^2 B = \cos(A+B) \cos(A-B)$ અને $\sin ^2 A - \sin ^2 B = \sin(A+B) \sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
અંશ: $\cos ^2 48^{\circ} - \sin ^2 12^{\circ} = \cos 60^{\circ} \cos 36^{\circ}$.
છેદ: $\sin ^2 24^{\circ} - \sin ^2 6^{\circ} = \sin 30^{\circ} \sin 18^{\circ}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{(1/2) \times ((\sqrt{5}+1)/4)}{(1/2) \times ((\sqrt{5}-1)/4)} = \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{6+2\sqrt{5}}{4} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$.
સરખામણી કરતા,$\alpha = 3$ અને $\beta = 1$ મળે છે.
તેથી,$\alpha+\beta = 4$.

(A) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin \theta \sin(60^\circ - \theta) \sin(60^\circ + \theta) = \frac{1}{4} \sin 3\theta$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$\theta = 10^\circ = \frac{\pi}{18}$ છે.
તેથી,$K = \sin 10^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ = \frac{1}{4} \sin(3 \times 10^\circ) = \frac{1}{4} \sin 30^\circ = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
હવે,આપણે $\sin(\frac{10K\pi}{3})$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$K = \frac{1}{8}$ મૂકતા,આપણને $\sin(\frac{10 \times (1/8) \times \pi}{3}) = \sin(\frac{10\pi}{24}) = \sin(\frac{5\pi}{12})$ મળે છે.
$\frac{5\pi}{12} = 75^\circ$ હોવાથી,$\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ$.
$= (\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$.