$\sin \frac{x}{2}, \cos \frac{x}{2}$ અને $\tan \frac{x}{2}$ ની કિંમતો શોધો.: $\cos x=-\frac{1}{3}, x$ એ બીજા ચરણમાં છે.

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

Here, $x$ is in quadrant $III$.

i.e., $\pi < x < \frac{3 \pi}{2}$

$\Rightarrow \frac{\pi}{2}<\frac{x}{2}<\frac{3 \pi}{4}$

Therefore, $\cos \frac{x}{2}$ and $\tan \frac{x}{2}$ are negative, where $\sin \frac{x}{2}$ as is positive.

It is given that $\cos x=-\frac{1}{3}$

$\cos x=1-2 \sin ^{2} \frac{x}{2}$

$\Rightarrow \sin ^{2} \frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}$

$\Rightarrow \sin ^{2} \frac{x}{2}=\frac{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}{2}=\frac{\left(1+\frac{1}{3}\right)}{2}=\frac{4 / 3}{2}=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow \sin \frac{x}{2}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \quad\left[\because \sin \frac{x}{2} \text { is positive }\right]$

$\therefore \sin \frac{x}{2}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

Now $\cos x=2 \cos ^{2} \frac{x}{2}-1$

$\Rightarrow \cos ^{2} \frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}=\frac{1+\left(-\frac{1}{3}\right)}{2}=\frac{\left(\frac{3-1}{3}\right)}{2}=\frac{\left(\frac{2}{3}\right)}{2}=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow \cos \frac{x}{2}=-\frac{1}{\sqrt{3}} \quad\left[\because \cos \frac{x}{2} \text { is negative }\right]$

$\therefore \cos \frac{x}{2}=-\frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{-\sqrt{3}}{3}$

$\tan \frac{x}{2}=\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}=\frac{\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)}{\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)}=-\sqrt{2}$

Thus, the respective values of $\sin \frac{x}{2}, \cos \frac{x}{2}$ and $\tan \frac{x}{2}$ are  $\frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{-\sqrt{3}}{3},$ and $-\sqrt{2}.$

Similar Questions

સમીકરણ  ${\sec ^2}\theta = \frac{{4xy}}{{{{(x + y)}^2}}}$ તો જ શક્ય છે જો . . . . 

  • [IIT 1966]

એક ચક્ર એક મિનિટમાં ${360^\circ }$ પરિભ્રમણ કરે છે, તો તે એક સેકન્ડમાં કેટલા રેડિયન માપ જેટલું ફરશે ?

જો  ${\rm{cosec }}A + \cot A = \frac{{11}}{2},$ તો $\tan A = $

$7\,cm$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળાકાર વાયરને કાપી તેને $12cm$ ત્રિજયાવાળા વર્તુળ પર બેસાડવામાં આવે તો તેને કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો.......$^o$ મેળવો.

જો સમીકરણ ${\sin ^2}\theta  = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{2xy}},x,y, \ne 0$ શકય હોય તો