Periodic functions Questions in Gujarati

(B) $\sin(ax)$ નો આવર્તકાળ $\frac{2\pi}{|a|}$ છે.
તેથી,$\sin 2x$ નો આવર્તકાળ $\frac{2\pi}{2} = \pi$ થાય.
વિધેય $f(x) = |\sin(ax)|$ માટે,આવર્તકાળ $\frac{\pi}{|a|}$ થાય છે.
તેથી,$|\sin 2x|$ નો આવર્તકાળ $\frac{\pi}{2}$ છે.

(B) આપેલ પદ $f(\theta) = \sin \theta \cos \theta$ છે.
નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ:
$f(\theta) = \frac{1}{2} \sin 2\theta$.
$\sin(k\theta)$ નો આવર્તકાળ $\frac{2\pi}{|k|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$k = 2$ છે,તેથી આવર્તકાળ $\frac{2\pi}{2} = \pi$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ધારો કે $f(\theta) = \frac{\sin \theta + \sin 2\theta}{\cos \theta + \cos 2\theta}$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$f(\theta) = \frac{2 \sin \left(\frac{3\theta}{2}\right) \cos \left(\frac{\theta}{2}\right)}{2 \cos \left(\frac{3\theta}{2}\right) \cos \left(\frac{\theta}{2}\right)} = \tan \left(\frac{3\theta}{2}\right)$.
$\tan(k\theta)$ નો આવર્તમાન $\frac{\pi}{|k|}$ છે.
અહીં,$k = \frac{3}{2}$ હોવાથી,આવર્તમાન $\frac{\pi}{3/2} = \frac{2\pi}{3}$ થાય.

(C) $\cos(ax + b)$ સ્વરૂપના ત્રિકોણમિતીય વિધેયનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{|a|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$a = 7$ અને $b = -5$ છે.
તેથી,આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{|7|} = \frac{2\pi}{7}$ થાય.

(D) આપેલ પદને આ રીતે લખી શકાય: $\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta = 2 \left( \frac{1}{2} \sin \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta \right)$.
$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $2 \sin \left( \theta - \frac{\pi}{3} \right)$ મળે.
$\sin(k\theta)$ નો આવર્તમાન $\frac{2\pi}{|k|}$ થાય.
અહીં,$k = 1$ હોવાથી,આવર્તમાન $\frac{2\pi}{1} = 2\pi$ થાય.

(D) $\sin(ax)$ નો આવર્તકાળ $\frac{2\pi}{|a|}$ દ્વારા મળે છે.
$\sin \frac{x}{2}$ માટે, આવર્તકાળ $\frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ છે.
$\cos \frac{x}{3}$ માટે, આવર્તકાળ $\frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$ છે.
$\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{3}$ પદાવલિનો આવર્તકાળ એ $4\pi$ અને $6\pi$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ છે.
$LCM(4\pi, 6\pi) = 12\pi$.

(C) $\cot 3x$ નો આવર્તમાન $T_1 = \frac{\pi }{3}$ છે.
$\cos (4x + 3)$ નો આવર્તમાન $T_2 = \frac{2\pi }{4} = \frac{\pi }{2}$ છે.
વિધેય $f(x) = \cot 3x - \cos (4x + 3)$ નો આવર્તમાન $T_1$ અને $T_2$ નો $L.C.M.$ છે.
$L.C.M. \left( \frac{\pi }{3}, \frac{\pi }{2} \right) = \frac{L.C.M. (\pi, \pi)}{H.C.F. (3, 2)} = \frac{\pi }{1} = \pi$.
આમ,આવર્તમાન $\pi$ છે.

(D) ધારો કે $f(\theta) = 2\sin 3\theta + 4\cos 3\theta$.
આપણે તેને $f(\theta) = R\sin(3\theta + \alpha)$ તરીકે લખી શકીએ,જ્યાં $R = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}$.
તેથી,$f(\theta) = 2\sqrt{5} \sin(3\theta + \alpha)$.
આપેલ વિધેય $g(\theta) = |f(\theta)| = |2\sqrt{5} \sin(3\theta + \alpha)|$ છે.
$\sin(3\theta + \alpha)$ નો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{3}$ છે.
$|\sin(3\theta + \alpha)|$ નો આવર્તકાળ $\frac{T}{2} = \frac{2\pi/3}{2} = \frac{\pi}{3}$ થાય.
આમ,$|2\sin 3\theta + 4\cos 3\theta |$ નો આવર્તકાળ $\frac{\pi}{3}$ છે.

(A) ધારો કે $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$.
નિત્યસમ $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x$
$f(x) = 1 - 2(\sin x \cos x)^2$
$f(x) = 1 - 2(\frac{\sin 2x}{2})^2$
$f(x) = 1 - \frac{\sin^2 2x}{2}$
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \cos 4x}{2} \right)$
$f(x) = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos 4x$
$f(x) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4x$
$\cos(kx)$ નો આવર્તકાળ $\frac{2\pi}{|k|}$ છે.
તેથી,$f(x)$ નો આવર્તકાળ $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ થાય.

(D) વિધેય $f(x) = \sin(kx)$ નું આવર્તમાન $\frac{2\pi}{|k|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$k = \frac{1}{n}$ છે.
તેથી,$f(x) = \sin \left( \frac{x}{n} \right)$ નું આવર્તમાન $\frac{2\pi}{|1/n|} = 2n\pi$ થાય (જ્યાં $n > 0$ છે).
આપેલ છે કે આવર્તમાન $4\pi$ છે,તેથી $2n\pi = 4\pi$.
$n$ માટે ઉકેલતા,આપણને $n = 2$ મળે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.
$\cos(kx)$ નો આવર્તકાળ $\frac{2\pi}{|k|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$k = 2$ છે,તેથી આવર્તકાળ $\frac{2\pi}{2} = \pi$ થાય.
આમ,$\sin^2 x$ નો આવર્તકાળ $\pi$ છે.

(B) $y = \sin(ax + b)$ સ્વરૂપના વિધેયનો આવર્તમાન શોધવાનું સૂત્ર $T = \frac{2\pi}{|a|}$ છે.
અહીં આપેલ વિધેય $y = \sin 2x$ માં $a = 2$ છે.
તેથી,આવર્તમાન $T = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$ થાય.

(C) વિધેય $y = f(t)$ નો આવર્તકાળ $T$ હોય જો $f(t + T) = f(t)$ થાય.
વિકલ્પ $(a)$ માટે,પદોની આવૃત્તિઓ $2\pi, 3\pi, 5\pi$ છે. આવર્તકાળ $T_1 = \frac{2\pi}{2\pi} = 1$,$T_2 = \frac{2\pi}{3\pi} = \frac{2}{3}$,$T_3 = \frac{2\pi}{5\pi} = \frac{2}{5}$ છે. $(1, \frac{2}{3}, \frac{2}{5})$ નો લ.સા.અ. $2$ છે.
વિકલ્પ $(b)$ માટે,આવર્તકાળ $T_1 = \frac{2\pi}{\pi/3} = 6$ અને $T_2 = \frac{2\pi}{\pi/4} = 8$ છે. $(6, 8)$ નો લ.સા.અ. $24$ છે.
વિકલ્પ $(c)$ માટે,$\sin t$ નો આવર્તકાળ $2\pi$ છે અને $\cos 2t$ નો આવર્તકાળ $\frac{2\pi}{2} = \pi$ છે. $(2\pi, \pi)$ નો લ.સા.અ. $2\pi$ છે. તેથી,વિધેય $y = \sin t + \cos 2t$ નો આવર્તકાળ $2\pi$ છે.

(D) $\sin \left( \frac{2x}{3} \right)$ નું આવર્તમાન $T_1 = \frac{2\pi}{2/3} = 3\pi$ છે।
$\sin \left( \frac{3x}{2} \right)$ નું આવર્તમાન $T_2 = \frac{2\pi}{3/2} = \frac{4\pi}{3}$ છે।
બે આવર્તી વિધેયોના સરવાળાનું આવર્તમાન તેમના વ્યક્તિગત આવર્તમાનોનો $L.C.M.$ છે।
આપણે $3\pi$ અને $\frac{4\pi}{3}$ નો $L.C.M.$ શોધવાની જરૂર છે।
$L.C.M. \left( \frac{a}{b}, \frac{c}{d} \right) = \frac{L.C.M.(a, c)}{H.C.F.(b, d)}$.
$L.C.M. \left( \frac{3\pi}{1}, \frac{4\pi}{3} \right) = \frac{L.C.M.(3\pi, 4\pi)}{H.C.F.(1, 3)} = \frac{12\pi}{1} = 12\pi$.
આમ, આવર્તમાન $12\pi$ છે।

(A) વિધેય $f(x) = \cos px + \sin x$ આવર્ત છે જો કોઈ આવર્તકાળ $\lambda > 0$ અસ્તિત્વ ધરાવે કે જેથી તમામ $x \in R$ માટે $f(x + \lambda) = f(x)$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $\sin(x + \lambda) + \cos p(x + \lambda) = \sin x + \cos px$.
આ સાચું હોવા માટે,$\sin x$ અને $\cos px$ બંનેનો સામાન્ય આવર્તકાળ $\lambda$ હોવો જોઈએ.
$\sin x$ નો આવર્તકાળ $2\pi$ છે અને $\cos px$ નો આવર્તકાળ $\frac{2\pi}{|p|}$ છે.
સરવાળો આવર્ત હોવા માટે,આવર્તકાળનો ગુણોત્તર સંમેય સંખ્યા હોવો જોઈએ:
$\frac{2\pi}{2\pi/|p|} = |p| \in Q$.
તેથી,$p$ એ સંમેય સંખ્યા હોવી જોઈએ.

(A) વિધેય $f(x) = \sin(ax)$ નો આવર્તમાન $T = \frac{2\pi}{|a|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદ $\sin \left( \frac{\pi x}{2} \right)$ માટે,આવર્તમાન $T_1 = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4$ છે.
પદ $\cos \left( \frac{\pi x}{2} \right)$ માટે,આવર્તમાન $T_2 = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4$ છે.
બે આવર્તી વિધેયોના સરવાળાનો આવર્તમાન એ તેમના વ્યક્તિગત આવર્તમાનોનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી ($L$.$C$.$M$.) હોય છે.
તેથી,$\sin \left( \frac{\pi x}{2} \right) + \cos \left( \frac{\pi x}{2} \right)$ નો આવર્તમાન = $(4, 4)$ નો લ.સા.અ. $= 4$ છે.

(D) $\sin \frac{\pi x}{2}$ નું આવર્તમાન $T_1 = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4$ છે.
$\cos \frac{\pi x}{3}$ નું આવર્તમાન $T_2 = \frac{2\pi}{\pi/3} = 6$ છે.
$\tan \frac{\pi x}{4}$ નું આવર્તમાન $T_3 = \frac{\pi}{\pi/4} = 4$ છે.
તેથી,$f(x)$ નું આવર્તમાન $(T_1, T_2, T_3)$ નો લ.સા.અ. $= L.C.M.(4, 6, 4) = 12$ થાય.

(D) વિધેય $f(x) = |\sin(\pi x)|$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(ax)$ નો આવર્તમાન $\frac{2\pi}{|a|}$ છે.
વિધેય $|\sin(ax)|$ માટે,આવર્તમાન $\frac{\pi}{|a|}$ થાય છે.
અહીં,$a = \pi$ છે.
તેથી,આવર્તમાન $\frac{\pi}{\pi} = 1$ થાય.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \sin \left( \frac{\pi x}{n - 1} \right) + \cos \left( \frac{\pi x}{n} \right)$ છે.
$\sin \left( \frac{\pi x}{n - 1} \right)$ નું આવર્તમાન $T_1 = \frac{2\pi}{\left( \frac{\pi}{n - 1} \right)} = 2(n - 1)$ છે.
$\cos \left( \frac{\pi x}{n} \right)$ નું આવર્તમાન $T_2 = \frac{2\pi}{\left( \frac{\pi}{n} \right)} = 2n$ છે.
$f(x)$ નું આવર્તમાન એ $T_1$ અને $T_2$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ છે,જે $2(n - 1)$ અને $2n$ નો $LCM$ છે.
$n$ અને $n-1$ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાથી,$LCM(2(n-1), 2n) = 2n(n - 1)$ થાય.
આમ,આવર્તમાન $2n(n - 1)$ છે.

(A) $n = 2$ માટે,વિધેય $f(x) = \frac{\sin(2x)}{\sin(x/2)}$ છે.
નિત્યસમ $\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) = 4\sin(x/2)\cos(x/2)\cos(x)$.
તેથી,$f(x) = 4\cos(x/2)\cos(x)$.
$\cos(x)$ નું આવર્તમાન $2\pi$ છે અને $\cos(x/2)$ નું આવર્તમાન $4\pi$ છે.
બે વિધેયોના ગુણાકારનું આવર્તમાન તેમના વ્યક્તિગત આવર્તમાનોનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ હોય છે. $2\pi$ અને $4\pi$ નો $LCM$ $4\pi$ છે.
આમ,સાચો જવાબ $n = 2$ છે.

(C) ધારો કે $f(x)$ એ $T > 0$ આવર્તકાળ ધરાવતું આવર્તીય વિધેય છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,દરેક $x \in \mathbb{R}$ માટે $f(x + T) = f(x)$ થાય.
આપેલ વિધેય $f(x) = x - [x]$ ને મૂકતા:
$(x + T) - [x + T] = x - [x]$
$x + T - [x + T] = x - [x]$
$T = [x + T] - [x]$
દરેક $x \in \mathbb{R}$ માટે આ સમીકરણ સાચું ઠરવા માટે,$T$ એ પૂર્ણાંક સંખ્યા હોવી જોઈએ.
આ શરતનું પાલન કરતી સૌથી નાની ધન કિંમત $T = 1$ છે.
તેથી,વિધેય $f(x) = x - [x]$ (જેને અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય ${x}$ પણ કહેવાય છે) નો આવર્તકાળ $1$ છે.

(D) વિધેય $f(x)$ એ $T$ આવર્તકાળ ધરાવે છે જો તમામ $x$ માટે $f(x + T) = f(x)$ હોય.
ધારો કે $g(x) = f(ax + b)$.
આપણે એવો આવર્તકાળ $T'$ શોધવો છે કે જેથી $g(x + T') = g(x)$ થાય.
$g(x + T') = f(a(x + T') + b) = f(ax + aT' + b)$.
આ કિંમત $f(ax + b)$ જેટલી થવા માટે,$aT' = T$ હોવું જરૂરી છે.
તેથી,$T' = T/a$.
આમ,વિધેય $f(ax + b)$ નો આવર્તકાળ $T/a$ છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે,તેથી $f(-x) = -f(x)$.
કોઈપણ અયુગ્મ વિધેય માટે,$f(0) = -f(0)$,જેનો અર્થ છે કે $2f(0) = 0$,તેથી $f(0) = 0$.
આપેલ છે કે $f(x)$ એ $T = 1$ આવર્તકાળ ધરાવતું આવર્તી વિધેય છે,તેથી તમામ $x$ માટે $f(x + 1) = f(x)$.
આવર્તકાળના ગુણધર્મ મુજબ,કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે $f(x + nT) = f(x)$.
તેથી,$f(2) = f(0 + 2 \times 1) = f(0)$.
ચૂકી $f(0) = 0$,તેથી $f(2) = 0$ થાય.

(D) વિધેય $f(x)$ આવર્તી કહેવાય જો કોઈ અચળ $T > 0$ મળે કે જેથી પ્રદેશના દરેક $x$ માટે $f(x + T) = f(x)$ થાય.
$f(x) = \cos \sqrt{x}$ માટે,આપણે ચકાસીએ કે $\cos \sqrt{x + T} = \cos \sqrt{x}$ થાય છે કે નહીં.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{x + T} = \sqrt{x} + 2n\pi$ અથવા $\sqrt{x + T} = 2n\pi - \sqrt{x}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $x + T = x + 4n\pi\sqrt{x} + 4n^2\pi^2$ મળે છે.
અહીં $T$ એ $x$ થી સ્વતંત્ર અચળ હોવો જોઈએ,પરંતુ પદમાં $\sqrt{x}$ હોવાથી,આવો કોઈ અચળ $T$ શક્ય નથી.
તેથી,$f(x) = \cos \sqrt{x}$ એ આવર્તી વિધેય નથી.

(A) ધારો કે $f(x) = \frac{|\sin x| + |\cos x|}{|\sin x - \cos x|}$.
વિધેયને સરળ બનાવવા માટે વર્ગ કરીએ: $f(x)^2 = \frac{(|\sin x| + |\cos x|)^2}{(|\sin x - \cos x|)^2} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x + 2|\sin x \cos x|}{\sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x} = \frac{1 + |\sin 2x|}{1 - \sin 2x}$.
વૈકલ્પિક રીતે,સંમિતિ તપાસતા: $f(x + \pi/2) = \frac{|\sin(x + \pi/2)| + |\cos(x + \pi/2)|}{|\sin(x + \pi/2) - \cos(x + \pi/2)|} = \frac{|\cos x| + |\sin x|}{|\cos x - (-\sin x)|} = \frac{|\sin x| + |\cos x|}{|\cos x + \sin x|} = f(x)$.
આમ,$f(x + \pi/2) = f(x)$ હોવાથી,વિધેયનો આવર્તમાન $\pi/2$ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = nx + n - [nx + n]$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય (fractional part function) $\{y\} = y - [y]$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
તેથી,$f(x) = \{nx + n\}$.
અહીં $n$ એ પૂર્ણાંક હોવાથી,$nx + n = n(x + 1)$ લખી શકાય.
આમ,$f(x) = \{n(x + 1)\}$.
અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય $\{u\}$ નો મૂળભૂત આવર્તમાન $1$ છે.
વિધેય $f(x) = g(ax)$ માટે,આવર્તમાન $\frac{T}{|a|}$ થાય છે,જ્યાં $T$ એ $g(x)$ નો આવર્તમાન છે.
અહીં,$\{u\}$ નો આવર્તમાન $1$ છે,તેથી $\{n(x + 1)\}$ નો આવર્તમાન $\frac{1}{|n|}$ થશે.
કારણ કે $n \in N$ અને $n > 0$,તેથી આવર્તમાન $\frac{1}{n}$ છે.

(D) વિધેય $f(x)$ આવર્તિત કહેવાય જો કોઈ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા $T$ અસ્તિત્વ ધરાવે કે જેથી પ્રદેશના તમામ $x$ માટે $f(x + T) = f(x)$ થાય.
$1$. $f(x) = x - [x]$ માટે,આ અપૂર્ણાંક ભાગનું વિધેય છે,જેને $\{x\}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. તે $T = 1$ આવર્તમાન સાથે આવર્તિત છે,કારણ કે $\{x + 1\} = (x + 1) - [x + 1] = x + 1 - ([x] + 1) = x - [x] = \{x\}$. તેથી,$(A)$ આવર્તિત છે.
$2$. $w(x) = \sin^{-1} (\sin x)$ માટે,આ વિધેય $T = 2\pi$ આવર્તમાન સાથે આવર્તિત છે. કારણ કે $\sin(x + 2\pi) = \sin x$,તેથી $\sin^{-1}(\sin(x + 2\pi)) = \sin^{-1}(\sin x)$ થાય છે. તેથી,$(B)$ આવર્તિત છે.
$3$. $h(x) = x \cos x$ માટે,જેમ $x \to \infty$ થાય,તેમ દોલનોનો કંપવિસ્તાર રેખીય રીતે વધે છે,તેથી તે નિયમિત અંતરાલે તેની કિંમતોનું પુનરાવર્તન કરતું નથી. તેથી,$(C)$ આવર્તિત નથી.
આમ,$(A)$ અને $(B)$ બંને આવર્તિત વિધેયો છે.

(C) $f(x) = \sin^2 x + \cos^4 x + 2$
$= \sin^2 x + (1 - \sin^2 x)^2 + 2$
$= \sin^2 x + 1 - 2\sin^2 x + \sin^4 x + 2$
$= \sin^4 x - \sin^2 x + 3$
$= (\sin^2 x - \frac{1}{2})^2 + \frac{11}{4}$
$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$f(x) = \frac{1}{8} \cos 4x + \frac{23}{8}$ મળે.
$\cos 4x$ નું આવર્તમાન $T_1 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ છે.
$g(x) = \cos(\cos x) + \cos(\sin x)$ માટે,
$g(x + \frac{\pi}{2}) = \cos(\cos(x + \frac{\pi}{2})) + \cos(\sin(x + \frac{\pi}{2})) = \cos(-\sin x) + \cos(\cos x) = g(x)$.
આમ,$T_2 = \frac{\pi}{2}$ છે.
તેથી,$T_1 = T_2$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય $\{x\} = x - [x]$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
આપેલ વિધેય $f(x) = \left( \frac{x}{3} - \left[ \frac{x}{3} - 5 \right] \right) + \left( \frac{x}{4} - \left[ \frac{x}{4} - 5 \right] \right) + \left( \frac{x}{5} - \left[ \frac{x}{5} - 5 \right] \right)$ છે.
કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે $[x - n] = [x] - n$ હોવાથી,$\left[ \frac{x}{k} - 5 \right] = \left[ \frac{x}{k} \right] - 5$ થાય.
આ કિંમત વિધેયમાં મૂકતા:
$f(x) = \left( \frac{x}{3} - \left[ \frac{x}{3} \right] + 5 \right) + \left( \frac{x}{4} - \left[ \frac{x}{4} \right] + 5 \right) + \left( \frac{x}{5} - \left[ \frac{x}{5} \right] + 5 \right)$.
$f(x) = \left\{ \frac{x}{3} \right\} + \left\{ \frac{x}{4} \right\} + \left\{ \frac{x}{5} \right\} + 15$.
$\{ax\}$ નું આવર્તમાન $\frac{1}{|a|}$ છે.
તેથી,દરેક પદના આવર્તમાન $T_1 = 3$,$T_2 = 4$,અને $T_3 = 5$ છે.
આ વિધેયોના સરવાળાનું આવર્તમાન તેમના વ્યક્તિગત આવર્તમાનોનો લ.સા.અ. ($L$.$C$.$M$.) છે.
$T = L.C.M.(3, 4, 5) = 60$.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \cos^2(\sin x) + \sin^2(\cos x)$ છે.
આપણે એવો આવર્તમાન $T$ શોધીએ કે જેથી $f(x+T) = f(x)$ થાય.
ચાલો $T = \pi$ માટે ચકાસીએ:
$f(x + \pi) = \cos^2(\sin(x + \pi)) + \sin^2(\cos(x + \pi))$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(x + \pi) = -\sin x$ અને $\cos(x + \pi) = -\cos x$,તેથી:
$f(x + \pi) = \cos^2(-\sin x) + \sin^2(-\cos x)$
$\cos(-\theta) = \cos \theta$ અને $\sin(-\theta) = -\sin \theta$ ના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા:
$f(x + \pi) = \cos^2(\sin x) + (-\sin(\cos x))^2 = \cos^2(\sin x) + \sin^2(\cos x) = f(x)$.
આમ,$f(x + \pi) = f(x)$ હોવાથી,વિધેયનો આવર્તમાન $\pi$ છે.

(A) વિધેય $f(x) = \log(\cos 2x) + \sin 4x$ નો આવર્તમાન શોધવા માટે,આપણે તેના ઘટકોનું વિશ્લેષણ કરીએ.
પદ $\log(\cos 2x)$ માટે,વિધેય ત્યારે જ વ્યાખ્યાયિત થાય છે જ્યારે $\cos 2x > 0$ હોય.
$\cos 2x$ નો આવર્તમાન $\frac{2\pi}{2} = \pi$ છે.
પદ $\sin 4x$ માટે,આવર્તમાન $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ છે.
બે વિધેયોના સરવાળાનો આવર્તમાન એ તેમના વ્યક્તિગત આવર્તમાનોનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ હોય છે.
$\pi$ અને $\frac{\pi}{2}$ નો $LCM$ $\pi$ છે.
આમ,વિધેય $f(x)$ નો આવર્તમાન $\pi$ છે.

(A) વિધેય $f(x) = e^{\{x\} + |\cos \pi x| + |\cos 2\pi x| + \dots + |\cos n\pi x|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\{x\} = x - [x]$ એ અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય છે.
$1$. અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય $\{x\}$ નો આવર્તમાન $T_0 = 1$ છે.
$2$. $|\cos(k\pi x)|$ સ્વરૂપના દરેક પદ માટે,આવર્તમાન $T_k = \frac{\pi}{k\pi} = \frac{1}{k}$ થાય છે,જ્યાં $k = 1, 2, \dots, n$.
$3$. વિધેય $f(x)$ નો આવર્તમાન તેના વ્યક્તિગત ઘટકોના આવર્તમાનનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ છે: $T = \text{LCM}(T_0, T_1, T_2, \dots, T_n) = \text{LCM}(1, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots, \frac{1}{n})$.
$4$. અપૂર્ણાંકો $\frac{a}{b}, \frac{c}{d}, \dots$ નો $LCM$ $\frac{\text{LCM}(a, c, \dots)}{\text{GCD}(b, d, \dots)}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$5$. તેથી,$T = \frac{\text{LCM}(1, 1, 1, \dots, 1)}{\text{GCD}(1, 2, 3, \dots, n)} = \frac{1}{1} = 1$.
આમ,વિધેયનો આવર્તમાન $1$ છે.

(B) ધારો કે $f(x) = |\sin 4x| + |\cos 2x|$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\sin ax|$ નું આવર્તમાન $\frac{\pi}{|a|}$ છે અને $|\cos ax|$ નું આવર્તમાન $\frac{\pi}{|a|}$ છે.
$|\sin 4x|$ માટે,આવર્તમાન $T_1 = \frac{\pi}{4}$ છે.
$|\cos 2x|$ માટે,આવર્તમાન $T_2 = \frac{\pi}{2}$ છે.
બે આવર્તમાન વિધેયોના સરવાળાનું આવર્તમાન એ તેમના વ્યક્તિગત આવર્તમાનોનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ છે.
$T = \text{LCM}\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) = \frac{\text{LCM}(\pi, \pi)}{\text{HCF}(4, 2)} = \frac{\pi}{2}$.
આમ,$f(x)$ નું આવર્તમાન $\frac{\pi}{2}$ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = |\cos x|$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિધેય $\cos x$ નો આવર્તકાળ $2\pi$ છે.
જો કે,જ્યારે આપણે માનાંક લઈએ છીએ,ત્યારે આલેખના ઋણ ભાગો $x$-અક્ષની ઉપર પરાવર્તિત થાય છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,$|\cos(x + \pi)| = |-\cos x| = |\cos x|$.
કારણ કે $f(x + \pi) = f(x)$,તેથી વિધેય $f(x) = |\cos x|$ નો મૂળભૂત આવર્તકાળ $\pi$ છે.
આલેખમાં દર્શાવ્યા મુજબ,વિધેયની ભાત દર $\pi$ એકમોએ પુનરાવર્તિત થાય છે.

(D) વિધેય $\cos (kx)$ નું આવર્તમાન $T = \frac{2 \pi}{|k|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દરેક વિકલ્પ તપાસતા:
$A) \cos \left( \frac{\pi}{3} x \right) \implies T = \frac{2 \pi}{\pi/3} = 6$.
$B) \cos \left( \frac{\pi}{2} x \right) \implies T = \frac{2 \pi}{\pi/2} = 4$.
$C) \cos (2 \pi x) \implies T = \frac{2 \pi}{2 \pi} = 1$.
$D) \cos (\pi x) \implies T = \frac{2 \pi}{\pi} = 2$.
તેથી,$2$ આવર્તમાન ધરાવતું વિધેય $\cos (\pi x)$ છે.

(C) વિધેય $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$ નું આવર્તમાન એ $g(x)$ અને $h(x)$ ના આવર્તમાનોનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ છે.
અહીં $g(x) = \cos(nx)$ છે,જેનું આવર્તમાન $T_1 = \frac{2\pi}{n}$ છે.
અહીં $h(x) = \sin\left(\frac{x}{n}\right)$ છે,જેનું આવર્તમાન $T_2 = \frac{2\pi}{1/n} = 2n\pi$ છે.
ભાગાકારનું આવર્તમાન એ $T_1$ અને $T_2$ નો $LCM$ છે.
કારણ કે $T_2$ એ $T_1$ નો ગુણક છે $(2n\pi = n^2 \cdot \frac{2\pi}{n})$,તેથી વિધેયનું આવર્તમાન $T_2 = 2n\pi$ થાય.
આપેલ છે કે $2n\pi = 4\pi$,તેથી $n = 2$ મળે.

(D) આપણે નિત્યસમ $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A + B) \sin(A - B)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$A = \frac{\pi}{8} + \frac{x}{2}$ અને $B = \frac{\pi}{8} - \frac{x}{2}$ છે.
તેથી $A + B = \frac{\pi}{8} + \frac{x}{2} + \frac{\pi}{8} - \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4}$ થાય.
અને $A - B = \frac{\pi}{8} + \frac{x}{2} - \left(\frac{\pi}{8} - \frac{x}{2}\right) = x$ થાય.
તેથી,$f(x) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \sin(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin(x)$ મળે.
$\sin(x)$ નો આવર્તમાન $2\pi$ છે.
તેથી,$f(x)$ નો આવર્તમાન $2\pi$ છે.

(C) $\tan 5x$,$\cos 3x$,અને $\sin 6x$ ના આવર્તમાન અનુક્રમે $\frac{\pi}{5}$,$\frac{2\pi}{3}$,અને $\frac{\pi}{3}$ છે.
$f(x) = \frac{\tan 5x \cos 3x}{\sin 6x}$ નો આવર્તમાન $\alpha$ શોધવા માટે,આપણે પદાવલિનું સાદું રૂપ આપીએ:
$f(x) = \frac{\tan 5x \cos 3x}{2 \sin 3x \cos 3x} = \frac{\tan 5x}{2 \sin 3x}$.
$\tan 5x$ નો આવર્તમાન $\frac{\pi}{5}$ છે અને $\sin 3x$ નો આવર્તમાન $\frac{2\pi}{3}$ છે.
$f(x)$ નો આવર્તમાન $\alpha$ એ $\frac{\pi}{5}$ અને $\frac{2\pi}{3}$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ છે,જે $2\pi$ થાય છે.
તેથી,$\alpha = 2\pi$.
આપણે $f\left(\frac{\alpha}{8}\right) = f\left(\frac{2\pi}{8}\right) = f\left(\frac{\pi}{4}\right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan(5\pi/4)}{2 \sin(3\pi/4)} = \frac{1}{2 \times (1/\sqrt{2})} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) વિધેય $f(x) = f_1(x) + f_2(x)$ આવર્ત હોય જો $f_1(x)$ અને $f_2(x)$ બંને આવર્ત હોય અને તેમના આવર્તકાળનો ગુણોત્તર સંમેય સંખ્યા હોય.
અહીં,$f_1(x) = \cos(ax)$ નો આવર્તકાળ $T_1 = \frac{2\pi}{|a|}$ છે અને $f_2(x) = \sin(x)$ નો આવર્તકાળ $T_2 = 2\pi$ છે.
$f(x)$ આવર્ત હોવા માટે,ગુણોત્તર $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi/|a|}{2\pi} = \frac{1}{|a|}$ સંમેય સંખ્યા હોવી જોઈએ.
જો $\frac{1}{|a|}$ સંમેય સંખ્યા હોય,તો $|a|$ સંમેય સંખ્યા હોવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $a$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,$a$ સંમેય સંખ્યા હોવી જોઈએ. આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) $\cos(nx)$ નું આવર્તમાન $T_1 = \frac{2\pi}{n}$ છે.
$\sin(x/n)$ નું આવર્તમાન $T_2 = \frac{2\pi}{1/n} = 2n\pi$ છે.
ભાગાકાર $\frac{\cos(nx)}{\sin(x/n)}$ નું આવર્તમાન એ અંશ અને છેદના આવર્તમાનનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ છે.
આપેલ છે કે આવર્તમાન $4\pi$ છે,તેથી $2n\pi = 4\pi$.
$n$ માટે ઉકેલતા,આપણને $n = 2$ મળે છે.

(B) $k$ ની કિંમત પ્રથમ $20$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો છે:
$k = \sum_{n=1}^{20} n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ જ્યાં $n=20$.
$k = \frac{20 \times 21 \times 41}{6} = 70 \times 41 = 2870$.
આપણે $f(y) = \tan(2870y) + \sin(2870y)$ નો આવર્તમાન શોધવાનો છે.
$\tan(ky)$ નો આવર્તમાન $T_1 = \frac{\pi}{k} = \frac{\pi}{2870}$ છે.
$\sin(ky)$ નો આવર્તમાન $T_2 = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{2870} = \frac{\pi}{1435}$ છે.
બે વિધેયોના સરવાળાનો આવર્તમાન તેમના વ્યક્તિગત આવર્તમાનોનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ છે.
$LCM\left(\frac{\pi}{2870}, \frac{2\pi}{2870}\right) = \frac{2\pi}{2870} = \frac{\pi}{1435}$.

(A) $f(x) = 3 \sin \frac{\pi x}{3} - \cos \frac{\pi x}{2} + \tan \frac{\pi x}{4}$ નું આવર્તમાન તેના ઘટકોના આવર્તમાનનો લ.સા.અ. છે. આવર્તમાન $T_1 = \frac{2\pi}{\pi/3} = 6$,$T_2 = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4$,અને $T_3 = \frac{\pi}{\pi/4} = 4$ છે. તેથી,$\alpha = \text{LCM}(6, 4, 4) = 12$.
$\beta$ માટે,નિત્યસમ $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B)\sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરો. અહીં,$\sin^2 \left( \frac{\pi}{7} + \frac{x}{4} \right) - \sin^2 \left( \frac{\pi}{7} - \frac{x}{4} \right) = \sin \left( \frac{2\pi}{7} \right) \sin \left( \frac{x}{2} \right)$. આવર્તમાન $\beta = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ છે.
$\gamma$ માટે,$\cos^4 x + \sin^4 x = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2} \sin^2(2x) = 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \cos(4x)}{2} \right) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos(4x)$. આવર્તમાન $\gamma = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ છે.
અંતે,$\frac{\alpha \gamma}{\beta} = \frac{12 \times \frac{\pi}{2}}{4\pi} = \frac{6\pi}{4\pi} = \frac{3}{2}$.

(D) $\sin(a\theta)$ નું આવર્તમાન $\frac{2\pi}{|a|}$ છે અને $\cos(b\theta)$ નું આવર્તમાન $\frac{2\pi}{|b|}$ છે.
$f(\theta) = \sin \frac{\theta}{3} + \cos \frac{\theta}{2}$ માટે, $\sin \frac{\theta}{3}$ નું આવર્તમાન $T_1 = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$ છે.
$\cos \frac{\theta}{2}$ નું આવર્તમાન $T_2 = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ છે.
બે આવર્તી વિધેયોના સરવાળાનું આવર્તમાન તેમના વ્યક્તિગત આવર્તમાનોનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ છે.
આપણે $LCM(6\pi, 4\pi)$ શોધવાની જરૂર છે.
$LCM(6, 4) = 12$.
તેથી, $f(\theta)$ નું આવર્તમાન $12\pi$ છે.

(C) $\cos(3x + 4)$ નું આવર્તમાન $T_1 = \frac{2\pi}{3}$ છે.
$\tan(2x - 3)$ નું આવર્તમાન $T_2 = \frac{\pi}{2}$ છે.
$\sin(5x)$ નું આવર્તમાન $T_3 = \frac{2\pi}{5}$ છે.
$f(x)$ નું આવર્તમાન $k$ એ $T_1, T_2, T_3$ નો લ.સા.અ. છે,જે $\text{L.C.M.}\left(\frac{2\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{5}\right) = 2\pi$ થાય.
આમ,$k = 2\pi$.
વિકલ્પ $C$ ચકાસતા: $\tan \frac{k}{3} = \tan \frac{2\pi}{3} = -\sqrt{3}$.

(D) ધારો કે $f(x) = \frac{\sin x}{\cos 3x} + \frac{\sin 3x}{\cos 9x} + \frac{\sin 9x}{\cos 27x} + \frac{\sin 27x}{\cos 81x}$.
નિત્યસમ $\tan \theta - \tan \phi = \frac{\sin(\theta - \phi)}{\cos \theta \cos \phi}$ નો ઉપયોગ કરીને,દરેક પદને આ રીતે લખી શકાય:
$\frac{\sin x}{\cos 3x} = \frac{1}{2}(\tan 3x - \tan x)$.
તે જ રીતે,$\frac{\sin 3x}{\cos 9x} = \frac{1}{2}(\tan 9x - \tan 3x)$,
$\frac{\sin 9x}{\cos 27x} = \frac{1}{2}(\tan 27x - \tan 9x)$,
$\frac{\sin 27x}{\cos 81x} = \frac{1}{2}(\tan 81x - \tan 27x)$.
સરવાળો કરતા,$f(x) = \frac{1}{2}(\tan 81x - \tan x)$ મળે.
$\tan(kx)$ નો આવર્તમાન $\frac{\pi}{|k|}$ છે.
$\tan 81x$ નો આવર્તમાન $\frac{\pi}{81}$ અને $\tan x$ નો આવર્તમાન $\pi$ છે.
આવર્તમાનનો લ.સા.અ. $\text{L.C.M.}\left(\frac{\pi}{81}, \pi\right) = \pi$ થાય.

(A) $f(x)$ નો આવર્તમાન શોધવા માટે,આપણે અંશ અને છેદમાં રહેલા ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના આવર્તમાન શોધીએ.
અંશ: $2 \sin \left(\frac{\pi x}{3}\right) \cos \left(\frac{2 \pi x}{5}\right) = \sin \left(\frac{11 \pi x}{15}\right) - \sin \left(\frac{\pi x}{15}\right)$.
$\sin \left(\frac{11 \pi x}{15}\right)$ નો આવર્તમાન $T_1 = \frac{30}{11}$ છે.
$\sin \left(\frac{\pi x}{15}\right)$ નો આવર્તમાન $T_2 = 30$ છે.
અંશનો આવર્તમાન $\text{LCM} \left(\frac{30}{11}, 30\right) = 30$ છે.
છેદ: $\tan \left(\frac{7 \pi x}{2}\right)$ નો આવર્તમાન $T_3 = \frac{2}{7}$ છે.
$\sec \left(\frac{5 \pi x}{3}\right)$ નો આવર્તમાન $T_4 = \frac{6}{5}$ છે.
છેદનો આવર્તમાન $\text{LCM} \left(\frac{2}{7}, \frac{6}{5}\right) = 6$ છે.
$f(x)$ નો આવર્તમાન $\text{LCM}(30, 6) = 30$ છે.