Periodic functions Questions in Gujarati

(A) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $f(\theta) = \left(\tan \theta - \frac{1}{3} \tan^3 \theta\right) \left(\frac{1}{3} - \tan^2 \theta\right)^{-1}$ છે.
$f(\theta) = \frac{\tan \theta - \frac{1}{3} \tan^3 \theta}{\frac{1}{3} - \tan^2 \theta} = \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{3(1 - 3 \tan^2 \theta)} \times 3 = \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta}$.
નિત્યસમ $\tan 3\theta = \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $f(\theta) = \tan 3\theta$ મળે છે.
$\tan x$ નો આવર્તકાળ $\pi$ છે. તેથી,$\tan 3\theta$ નો આવર્તકાળ $\frac{\pi}{|3|} = \frac{\pi}{3}$ થાય.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = e^{\log(\sin x)} + (\tan x)^3 - \operatorname{cosec}(3x - 5)$ છે.
પ્રથમ,પદને સરળ બનાવતા: $f(x) = \sin x + (\tan x)^3 - \operatorname{cosec}(3x - 5)$.
ધારો કે $f_1(x) = \sin x$,$f_2(x) = (\tan x)^3$,અને $f_3(x) = -\operatorname{cosec}(3x - 5)$.
$f_1(x) = \sin x$ નો આવર્તમાન $T_1 = 2\pi$ છે.
$f_2(x) = (\tan x)^3$ નો આવર્તમાન $T_2 = \pi$ છે.
$f_3(x) = -\operatorname{cosec}(3x - 5)$ નો આવર્તમાન $T_3 = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$ છે.
$f(x)$ નો આવર્તમાન એ $(T_1, T_2, T_3)$ નો $\text{LCM}$ છે = $\text{LCM}(2\pi, \pi, \frac{2\pi}{3})$.
અપૂર્ણાંકોનો $\text{LCM}$ શોધવા માટે,આપણે $\frac{\text{અંશનો LCM}}{\text{છેદનો HCF}}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ = $\frac{\text{LCM}(2\pi, \pi, 2\pi)}{\text{HCF}(1, 1, 3)} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \cos(3x + 5) + 7$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિધેય $\cos(ax + b) + c$ નો આવર્તમાન શોધવાનું સૂત્ર $T = \frac{2 \pi}{|a|}$ છે.
અહીં આપેલ પદમાં,$a = 3$ છે.
તેથી,આવર્તમાન $T = \frac{2 \pi}{|3|} = \frac{2 \pi}{3}$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપણી પાસે પદાવલિ $\cos(x + 8x + 27x + \ldots + n^3x)$ છે.
આને $\cos\left(\sum_{k=1}^{n} k^3 x\right) = \cos\left(x \sum_{k=1}^{n} k^3\right)$ તરીકે લખી શકાય.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ઘનનો સરવાળો કરવા માટેનું સૂત્ર વાપરતા,$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$.
આમ,પદાવલિ $\cos\left(\frac{n^2(n+1)^2}{4} x\right)$ બને છે.
$\cos(kx)$ નો આવર્તમાન $\frac{2\pi}{|k|}$ છે.
અહીં,$k = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ છે.
તેથી,આવર્તમાન $\frac{2\pi}{\frac{n^2(n+1)^2}{4}} = \frac{8\pi}{n^2(n+1)^2}$ થાય.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = \sin 5x \cos 3x$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે વિધેયને આ રીતે લખી શકીએ:
$f(x) = \frac{1}{2} [\sin(5x+3x) + \sin(5x-3x)] = \frac{1}{2} (\sin 8x + \sin 2x)$.
$\sin 8x$ નું આવર્તમાન $T_1 = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$ છે.
$\sin 2x$ નું આવર્તમાન $T_2 = \frac{2\pi}{2} = \pi$ છે.
બે આવર્તી વિધેયોના સરવાળાનું આવર્તમાન તેમના વ્યક્તિગત આવર્તમાનોનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી ($L$.$C$.$M$.) હોય છે.
$\alpha = \text{L.C.M.}\left(\frac{\pi}{4}, \pi\right) = \frac{\text{L.C.M.}(\pi, \pi)}{\text{H.C.F.}(4, 1)} = \frac{\pi}{1} = \pi$.
આમ,$\alpha = \pi$.
છેલ્લે,$\cos \alpha = \cos \pi = -1$.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = \cos \left(\frac{x}{3}\right) + \sin \left(\frac{x}{2}\right)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(ax)$ નું આવર્તમાન $\frac{2 \pi}{|a|}$ છે અને $\sin(bx)$ નું આવર્તમાન $\frac{2 \pi}{|b|}$ છે.
પ્રથમ પદ $\cos \left(\frac{x}{3}\right)$ માટે, આવર્તમાન $T_1 = \frac{2 \pi}{1/3} = 6 \pi$ છે.
બીજા પદ $\sin \left(\frac{x}{2}\right)$ માટે, આવર્તમાન $T_2 = \frac{2 \pi}{1/2} = 4 \pi$ છે.
બે આવર્તિય વિધેયોના સરવાળાનું આવર્તમાન તેમના વ્યક્તિગત આવર્તમાનોનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ હોય છે.
તેથી, $f(x)$ નું આવર્તમાન = $\text{LCM}(6 \pi, 4 \pi)$.
અહીં $6 \pi = 2 \times 3 \pi$ અને $4 \pi = 2 \times 2 \pi$ હોવાથી, $\text{LCM}(6 \pi, 4 \pi) = 12 \pi$ થાય.
આમ, $f(x)$ નું આવર્તમાન $12 \pi$ છે.

(D) વિધેય $f(x) = 7 + \cos(5x + 3)$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિધેય $\cos(ax + b)$ નું મૂળભૂત આવર્તમાન $\frac{2\pi}{|a|}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 5$ છે.
તેથી,$\cos(5x + 3)$ નું આવર્તમાન $\frac{2\pi}{|5|} = \frac{2\pi}{5}$ થાય.
વિધેયમાં અચળ સંખ્યા $7$ ઉમેરવાથી તેના આવર્તમાનમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી,તેથી $f(x)$ નું આવર્તમાન $\frac{2\pi}{5}$ છે.

(D) ધારો કે $f(x) = \sin ^4 x + \cos ^4 x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^4 x + \cos ^4 x = (\sin ^2 x + \cos ^2 x)^2 - 2 \sin ^2 x \cos ^2 x$.
કારણ કે $\sin ^2 x + \cos ^2 x = 1$,તેથી $f(x) = 1 - 2 \sin ^2 x \cos ^2 x$.
નિત્યસમ $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ કે $2 \sin ^2 x \cos ^2 x = \frac{1}{2} (2 \sin x \cos x)^2 = \frac{1}{2} \sin ^2 2x$.
આમ,$f(x) = 1 - \frac{1}{2} \sin ^2 2x$.
નિત્યસમ $\sin ^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $f(x) = 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \cos 4x}{2} \right) = 1 - \frac{1}{4} + \frac{\cos 4x}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4x$.
$\cos(kx)$ નો આવર્તમાન $\frac{2\pi}{|k|}$ છે.
તેથી,$f(x) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4x$ નો આવર્તમાન $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ થાય.

(B) વિધેય $f(x)$ ને આવર્ત વિધેય કહેવાય જો કોઈ ધન અચળાંક $T$ અસ્તિત્વ ધરાવે કે જેથી પ્રદેશના તમામ $x$ માટે $f(x+T) = f(x)$ થાય.
$f(x) = x + \sin 2x$ માટે:
જેમ $x \to \infty$,તેમ $f(x) \to \infty$,કારણ કે $x$ એ સતત વધતું વિધેય છે અને $\sin 2x$ એ $-1$ અને $1$ ની વચ્ચે સીમિત છે. તેથી,કોઈપણ $T > 0$ માટે $f(x+T) = x + T + \sin(2(x+T)) = x + \sin 2x$ શક્ય નથી. તેથી,$x + \sin 2x$ એ આવર્ત વિધેય નથી.
$g(x) = \cos (\sqrt{x}+1)$ માટે:
જેમ $x$ વધે છે,તેમ દલીલ $\sqrt{x}+1$ વધે છે,પરંતુ દલીલના બદલાવનો દર ઘટે છે. વિધેય આવર્ત હોવા માટે,કિંમતો નિયમિત અંતરાલે પુનરાવર્તિત થવી જોઈએ. $\cos (\sqrt{x}+1)$ ના ક્રમિક શૂન્યો વચ્ચેનું અંતર અચળ ન હોવાથી,તે આવર્ત વિધેય નથી.
આમ,વિધાન $B$ અને $D$ બંને સાચા છે.

(D) વિધેય $f$ એ $T$ આવર્તકાળ ધરાવતું આવર્તી વિધેય કહેવાય જો દરેક $x$ માટે $f(x+T) = f(x)$ હોય.
સરવાળા $f+g$ ને આવર્તી બનાવવા માટે,એક એવો અચળાંક $T > 0$ હોવો જોઈએ કે જેથી $(f+g)(x+T) = (f+g)(x)$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $f(x+T) + g(x+T) = f(x) + g(x)$.
જો $\frac{T_{1}}{T_{2}}$ એ સંમેય સંખ્યા હોય,ધારો કે $\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{p}{q}$ જ્યાં $p, q \in \mathbb{Z}^{+}$,તો $qT_{1} = pT_{2} = T$ થાય.
આ કિસ્સામાં,$f(x+T) = f(x)$ અને $g(x+T) = g(x)$ હોવાથી,$(f+g)(x+T) = f(x) + g(x)$ થાય છે.
આમ,જો તેમના આવર્તકાળનો ગુણોત્તર સંમેય સંખ્યા હોય તો $f+g$ એ આવર્તી વિધેય છે.

(C) વિધેય $f(x) = \sin(px) + \cos(qx)$ ત્યારે જ આવર્ત હોય જો તેના બે ઘટકોના આવર્તકાળનો ગુણોત્તર સંમેય સંખ્યા હોય.
$\sin x$ નો આવર્તકાળ $T_1 = 2\pi$ છે.
$\cos(ax)$ નો આવર્તકાળ $T_2 = \frac{2\pi}{|a|}$ છે (જ્યાં $a \neq 0$).
સરવાળો આવર્ત હોવા માટે,ગુણોત્તર $\frac{T_1}{T_2}$ સંમેય સંખ્યા હોવો જોઈએ.
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi}{2\pi / |a|} = |a|$.
આમ,$|a|$ સંમેય સંખ્યા હોવી જોઈએ.
તેથી,$a$ સંમેય સંખ્યા છે.

(C) આપણી પાસે વિધેય $f(x) = \cos(x^2)$ છે.
કોઈ વિધેય $T > 0$ આવર્તમાન ધરાવે તે માટે,તેના પ્રદેશના તમામ $x$ માટે $f(x+T) = f(x)$ થવું જોઈએ.
વિધેયની કિંમત મૂકતા,આપણને $\cos((x+T)^2) = \cos(x^2)$ મળે છે.
આનો અર્થ એ થાય કે કોઈ પૂર્ણાંક $n$ માટે $(x+T)^2 = x^2 + 2n\pi$ અથવા $(x+T)^2 = -(x^2) + 2n\pi$ થાય.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 + 2xT + T^2 = x^2 + 2n\pi$,જેનું સાદું રૂપ $2xT + T^2 = 2n\pi$ થાય છે.
આ સમીકરણ તમામ $x$ માટે સાચું ઠરે તે માટે $x$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $T=0$. પરંતુ આવર્તમાન $T$ એ ધન અચળાંક હોવો જોઈએ.
આમ,એવું કોઈ $T > 0$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી,તેથી વિધેય $f(x) = \cos(x^2)$ આવર્તી વિધેય નથી.

(A) $\cos(ax)$ નું આવર્તમાન $\frac{2\pi}{|a|}$ છે. તેથી,$\cos 4x$ નું આવર્તમાન $T_1 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ છે.
$\tan(bx)$ નું આવર્તમાન $\frac{\pi}{|b|}$ છે. તેથી,$\tan 3x$ નું આવર્તમાન $T_2 = \frac{\pi}{3}$ છે.
બે આવર્તી વિધેયોના સરવાળાનું આવર્તમાન તેમના વ્યક્તિગત આવર્તમાનોનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ હોય છે.
આપણે $\text{LCM}\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}\right)$ શોધવાની જરૂર છે.
અપૂર્ણાંકો $\frac{a}{b}$ અને $\frac{c}{d}$ નો $LCM$ શોધવા માટે,આપણે $\frac{\text{LCM}(a, c)}{\text{HCF}(b, d)}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$\text{LCM}(\pi, \pi) = \pi$ અને $\text{HCF}(2, 3) = 1$ છે.
તેથી,આવર્તમાન $\frac{\pi}{1} = \pi$ છે.