Cartesian Products of Sets Questions in Hindi

(A) समुच्चयों का कार्तीय गुणन,समुच्चयों के संघ (union) पर वितरण नियम का पालन करता है।
संघ पर कार्तीय गुणन के वितरण गुण के अनुसार:
$A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिए गए समुच्चय $A = \{ 2, 4, 5 \}$ और $B = \{ 7, 8, 9 \}$ हैं।
समुच्चय $A$ में अवयवों की संख्या $n(A) = 3$ है।
समुच्चय $B$ में अवयवों की संख्या $n(B) = 3$ है।
कार्तीय गुणन $A \times B$ में अवयवों की संख्या का सूत्र $n(A \times B) = n(A) \times n(B)$ है।
अतः,$n(A \times B) = 3 \times 3 = 9$ होगा।

(C) दो समुच्चयों $A$ और $B$ का कार्तीय गुणन,जिसे $A \times B$ द्वारा दर्शाया जाता है,उन सभी क्रमित युग्मों $(a, b)$ का समुच्चय है जहाँ $a \in A$ और $b \in B$ है।
यदि समुच्चय $A$ में अवयवों की संख्या $n(A) = p$ है और समुच्चय $B$ में अवयवों की संख्या $n(B) = q$ है,तो कार्तीय गुणन $A \times B$ में अवयवों की संख्या निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$n(A \times B) = n(A) \times n(B) = p \times q = pq$.

(C) दिए गए समुच्चय $A = \{a, b\}$,$B = \{c, d\}$,और $C = \{d, e\}$ हैं।
सबसे पहले,समुच्चयों $B$ और $C$ का संघ (union) ज्ञात करें:
$B \cup C = \{c, d\} \cup \{d, e\} = \{c, d, e\}$.
अब,कार्तीय गुणन (Cartesian product) $A \times (B \cup C)$ की गणना करें:
$A \times (B \cup C) = \{a, b\} \times \{c, d, e\} = \{(a, c), (a, d), (a, e), (b, c), (b, d), (b, e)\}$.
अतः,दिया गया समुच्चय $A \times (B \cup C)$ के बराबर है।

(C) दो समुच्चयों $A$ और $B$ का कार्तीय गुणनफल $A \times B = \{(a, b) : a \in A, b \in B\}$ के रूप में परिभाषित होता है।
सामान्यतः,$A \times B \neq B \times A$,जब तक कि समुच्चय समान न हों या उनमें से कोई एक रिक्त समुच्चय न हो।
विशेष रूप से,$A \times B = B \times A$ यदि और केवल यदि $A = B$ हो (यह मानते हुए कि $A, B \neq \emptyset$)।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया है $A = \{1, 2, 4\}, B = \{2, 4, 5\}, C = \{2, 5\}$.
सबसे पहले,$A - B$ की गणना करें:
$A - B = \{x : x \in A \text{ और } x \notin B\} = \{1\}$.
इसके बाद,$B - C$ की गणना करें:
$B - C = \{x : x \in B \text{ और } x \notin C\} = \{4\}$.
अंत में,कार्तीय गुणन $(A - B) \times (B - C)$ है:
$\{1\} \times \{4\} = \{(1, 4)\}$.

(A) दिया गया है कि $(1, 3), (2, 5), (3, 3) \in A \times B$।
इन क्रमित युग्मों से,समुच्चय $A$ के अवयव प्रथम घटक हैं: $A = \{1, 2, 3\}$।
समुच्चय $B$ के अवयव द्वितीय घटक हैं: $B = \{3, 5\}$।
$A \times B$ में अवयवों की कुल संख्या $n(A) \times n(B) = 3 \times 2 = 6$ है।
पूर्ण समुच्चय $A \times B = \{(1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (3, 3), (3, 5)\}$ है।
हमें तीन अवयव दिए गए हैं: $(1, 3), (2, 5), (3, 3)$।
शेष अवयव $\{(1, 5), (2, 3), (3, 5)\}$ हैं।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया है $A = \{1, 2, 3\}$ और $B = \{3, 8\}$।
सबसे पहले,समुच्चय $A$ और $B$ का संघ (union) ज्ञात करें: $A \cup B = \{1, 2, 3, 8\}$।
इसके बाद,समुच्चय $A$ और $B$ का सर्वनिष्ठ (intersection) ज्ञात करें: $A \cap B = \{3\}$।
अब,कार्तीय गुणनफल $(A \cup B) \times (A \cap B)$ ज्ञात करें:
$(A \cup B) \times (A \cap B) = \{1, 2, 3, 8\} \times \{3\} = \{(1, 3), (2, 3), (3, 3), (8, 3)\}$।

(C) दिए गए समुच्चय $A = \{2, 3, 5\}$ और $B = \{2, 5, 6\}$ हैं।
सबसे पहले,अंतर समुच्चय $(A - B)$ ज्ञात करें:
$A - B = \{x : x \in A \text{ और } x \notin B\} = \{3\}$.
इसके बाद,सर्वनिष्ठ समुच्चय $(A \cap B)$ ज्ञात करें:
$A \cap B = \{x : x \in A \text{ और } x \in B\} = \{2, 5\}$.
अंत में,कार्तीय गुणन $(A - B) \times (A \cap B)$ की गणना करें:
$(A - B) \times (A \cap B) = \{3\} \times \{2, 5\} = \{(3, 2), (3, 5)\}$.

(C) दो समुच्चयों $A$ और $B$ का कार्तीय गुणन,जिसे $A \times B$ द्वारा दर्शाया जाता है,उन सभी क्रमित युग्मों $(x, y)$ का समुच्चय है जहाँ $x \in A$ और $y \in B$ है।
दिया गया है $A = \{1, 2, 3, 4\}$ और $B = \{a, b\}$।
अतः,$A \times B = \{(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4, b)\}$।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(B) $A \times B$ और $B \times A$ में उभयनिष्ठ अवयवों की संख्या $n((A \times B) \cap (B \times A))$ द्वारा दी जाती है।
कार्तीय गुणन (Cartesian product) के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A)$.
अतः,$n((A \times B) \cap (B \times A)) = n((A \cap B) \times (A \cap B)) = n(A \cap B) \times n(A \cap B)$.
दिया गया है कि $n(A \cap B) = 99$,इसलिए $99 \times 99 = 99^2$।

(C) परिभाषा के अनुसार,समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ तक का संबंध $R$,कार्तीय गुणनफल $A \times B$ का एक उपसमुच्चय होता है।
अतः,$R \subseteq A \times B$.
चूंकि प्रश्न पूछता है कि $R$ किस समुच्चय का उपसमुच्चय है,इसलिए सही विकल्प $A \times B$ है।

(A) सबसे पहले,समुच्चय $A$ के अवयव ज्ञात करने के लिए समीकरण $x^2 - 5x + 6 = 0$ को हल करते हैं।
$x^2 - 2x - 3x + 6 = 0 \implies x(x - 2) - 3(x - 2) = 0 \implies (x - 2)(x - 3) = 0$.
अतः,$A = \{2, 3\}$ है।
दिया गया है कि $B = \{2, 4\}$ और $C = \{4, 5\}$,इसलिए सर्वनिष्ठ समुच्चय $B \cap C$ उभयनिष्ठ अवयवों का समुच्चय है।
$B \cap C = \{4\}$.
अब,कार्तीय गुणनफल $A \times (B \cap C) = \{2, 3\} \times \{4\}$ ज्ञात करते हैं।
$A \times (B \cap C) = \{(2, 4), (3, 4)\}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दो कार्तीय गुणनफल का सर्वनिष्ठ $(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ और $B = \{2, 3, 6, 7\}$।
समुच्चयों का सर्वनिष्ठ $A \cap B = \{2, 3\}$ है।
अतः,$(A \cap B) \times (B \cap A) = \{2, 3\} \times \{2, 3\} = \{(2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)\}$।
इस समुच्चय में अवयवों की संख्या $2 \times 2 = 4$ है।

(B) मान लीजिए $n(A) = 4$ और $n(B) = 2$ है।
तब $A \times B$ में अवयवों की संख्या $n(A \times B) = 4 \times 2 = 8$ है।
$A \times B$ के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^8 = 256$ है।
हमें कम से कम $3$ अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या ज्ञात करनी है।
यह कुल उपसमुच्चयों में से $0, 1,$ या $2$ अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या घटाने पर प्राप्त होता है।
$0$ अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या = $\binom{8}{0} = 1$ है।
$1$ अवयव वाले उपसमुच्चयों की संख्या = $\binom{8}{1} = 8$ है।
$2$ अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या = $\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ है।
$3$ से कम अवयवों वाले कुल उपसमुच्चयों की संख्या = $1 + 8 + 28 = 37$ है।
अतः,कम से कम $3$ अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या = $256 - 37 = 219$ है।

(B) समुच्चयों का कार्तीय गुणन,समुच्चयों के सर्वनिष्ठ (intersection) पर वितरित होता है।
अतः,$A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C).$
इसे कार्तीय गुणन का सर्वनिष्ठ पर वितरण नियम कहा जाता है।

(D) दो समुच्चयों $A$ और $B$ के कार्तीय गुणन की परिभाषा से,$A \times B = \{(a, b) : a \in A, b \in B\}$.
दिया है $A = \{0, 1\}$ और $B = \{1, 0\}$.
$A$ के प्रत्येक अवयव को $B$ के प्रत्येक अवयव के साथ युग्मित करने पर:
$a = 0$ के लिए: $(0, 1)$ और $(0, 0)$.
$a = 1$ के लिए: $(1, 1)$ और $(1, 0)$.
अतः,$A \times B = \{(0, 1), (0, 0), (1, 1), (1, 0)\}$.

(C) दो समुच्चयों $A$ और $B$ के कार्तीय गुणन (Cartesian product) में अवयवों की संख्या प्रत्येक समुच्चय में मौजूद अवयवों के गुणनफल के बराबर होती है।
यहाँ $n(A) = p$ और $n(B) = q$ दिया गया है।
अतः,$n(A \times B) = n(A) \times n(B) = p \times q = pq$.

(C) दिए गए समुच्चय $A = \{a, b\}$,$B = \{c, d\}$,और $C = \{d, e\}$ हैं।
सबसे पहले,$B$ और $C$ का संघ (union) ज्ञात करें:
$B \cup C = \{c, d\} \cup \{d, e\} = \{c, d, e\}$.
अब,$A$ और $(B \cup C)$ का कार्तीय गुणन (Cartesian product) ज्ञात करें:
$A \times (B \cup C) = \{a, b\} \times \{c, d, e\} = \{(a, c), (a, d), (a, e), (b, c), (b, d), (b, e)\}$.
अतः,दिया गया समुच्चय $A \times (B \cup C)$ के बराबर है।

(A) दिया गया है $A = \{x : x^2 - 5x + 6 = 0\}$.
द्विघात समीकरण $x^2 - 5x + 6 = 0$ को हल करने पर,हमें $(x - 2)(x - 3) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $A = \{2, 3\}$.
दिया गया है $B = \{2, 4\}$ और $C = \{4, 5\}$.
सर्वनिष्ठ समुच्चय $B \cap C$ उभयनिष्ठ अवयवों का समुच्चय है,इसलिए $B \cap C = \{4\}$.
अब,कार्तीय गुणन $A \times (B \cap C) = \{2, 3\} \times \{4\}$.
इससे क्रमित युग्मों का समुच्चय $\{(2, 4), (3, 4)\}$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए समुच्चय $A = \{2, 3, 5\}$ और $B = \{2, 5, 6\}$ हैं।
सबसे पहले,अंतर समुच्चय $(A - B)$ ज्ञात करें:
$A - B$ में वे अवयव हैं जो $A$ में हैं लेकिन $B$ में नहीं हैं।
$A - B = \{3\}$.
इसके बाद,सर्वनिष्ठ समुच्चय $(A \cap B)$ ज्ञात करें:
$A \cap B$ में $A$ और $B$ दोनों में उभयनिष्ठ अवयव हैं।
$A \cap B = \{2, 5\}$.
अंत में,कार्तीय गुणन $(A - B) \times (A \cap B)$ की गणना करें:
$(A - B) \times (A \cap B) = \{3\} \times \{2, 5\} = \{(3, 2), (3, 5)\}$.

(C) परिभाषा के अनुसार,समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ में एक संबंध $R$,कार्तीय गुणनफल $A \times B$ का एक उपसमुच्चय होता है।
चूंकि $A = \{a, b, c\}$ और $B = \{1, 2\}$ है,इसलिए कार्तीय गुणनफल $A \times B$ उन सभी क्रमित युग्मों $(x, y)$ का समुच्चय है जहाँ $x \in A$ और $y \in B$ है।
अतः,$A \times B = \{(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)\}$.
$A$ से $B$ में कोई भी संबंध $R$ शर्त $R \subseteq A \times B$ को संतुष्ट करता है।

(D) हम जानते हैं कि किन्हीं भी समुच्चयों $A, B, C$ के लिए,कार्तीय गुणन का प्रतिच्छेदन इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $(A \times B) \cap (B \times C) = (A \cap B) \times (B \cap C)$.
दिया गया है कि $n(A \cap B) = 2$ और $n(B \cap C) = 2$.
इसलिए,प्रतिच्छेदन में अवयवों की संख्या $n((A \cap B) \times (B \cap C)) = n(A \cap B) \times n(B \cap C)$ होगी।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2 \times 2 = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$n((A \times B) \cap (B \times C)) = 4$।

(C) दिया गया है कि $n(A) = 3$ और $n(B) = 3$,इसलिए कार्तीय गुणन $A \times B$ में अवयवों की संख्या $n(A \times B) = n(A) \times n(B) = 3 \times 3 = 9$ है।
$m$ अवयवों वाले समुच्चय के विषम संख्या में अवयव रखने वाले उपसमुच्चयों की संख्या $\sum_{k \text{ is odd}} \binom{m}{k} = \binom{m}{1} + \binom{m}{3} + \dots + \binom{m}{m}$ द्वारा दी जाती है।
$m = 9$ के लिए,यह योग $\binom{9}{1} + \binom{9}{3} + \binom{9}{5} + \binom{9}{7} + \binom{9}{9}$ है।
सर्वसमिका $\sum_{k \text{ is odd}} \binom{m}{k} = 2^{m-1}$ का उपयोग करने पर,हमें $2^{9-1} = 2^8 = 256$ प्राप्त होता है।

(C) समुच्चय $A$ में $1$ से $100$ तक के अवयव हैं,इसलिए $n(A) = 100$.
समुच्चय $B$ में $51$ से $180$ तक के अवयव हैं,इसलिए $n(B) = 180 - 51 + 1 = 130$.
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ में $51$ से $100$ तक के अवयव हैं,इसलिए $n(A \cap B) = 100 - 51 + 1 = 50$.
हम जानते हैं कि $(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A)$.
अतः,अवयवों की संख्या $n((A \cap B) \times (B \cap A)) = n(A \cap B) \times n(B \cap A)$ होगी।
चूँकि $n(A \cap B) = 50$ है,इसलिए $50 \times 50 = 2500$ प्राप्त होता है।

(A) चूंकि क्रमित युग्म समान हैं,इसलिए उनके संगत घटक भी समान होंगे।
अतः,हमें प्राप्त होता है:
$x + 1 = 3 \implies x = 3 - 1 = 2$
और,
$y - 2 = 1 \implies y = 1 + 2 = 3$
इस प्रकार,$x = 2$ और $y = 3$ है।

(B) कार्तीय गुणन की परिभाषा के अनुसार:
$P \times Q = \{(a, r), (b, r), (c, r)\}$
$Q \times P = \{(r, a), (r, b), (r, c)\}$
चूंकि,क्रमित युग्मों की समानता की परिभाषा के अनुसार,युग्म $(a, r)$ युग्म $(r, a)$ के बराबर नहीं है,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $P \times Q \neq Q \times P$ है।
हालाँकि,प्रत्येक समुच्चय में अवयवों की संख्या समान है।

(A) सबसे पहले,समुच्चय $B$ और $C$ का सर्वनिष्ठ (intersection) ज्ञात करें:
$B \cap C = \{3, 4\} \cap \{4, 5, 6\} = \{4\}$.
अब,समुच्चय $A$ और प्राप्त समुच्चय $\{4\}$ का कार्तीय गुणन (Cartesian product) ज्ञात करें:
$A \times (B \cap C) = \{1, 2, 3\} \times \{4\} = \{(1, 4), (2, 4), (3, 4)\}$.

(A) हम जानते हैं कि $(A \times B) \cap (A \times C) = A \times (B \cap C)$ होता है।
सबसे पहले,समुच्चय $B$ और $C$ का सर्वनिष्ठ (intersection) ज्ञात करें:
$B \cap C = \{3, 4\} \cap \{4, 5, 6\} = \{4\}$.
अब,कार्तीय गुणनफल $A \times (B \cap C)$ की गणना करें:
$A \times \{4\} = \{(1, 4), (2, 4), (3, 4)\}$.
अतः,$(A \times B) \cap (A \times C) = \{(1, 4), (2, 4), (3, 4)\}$.

(A) सबसे पहले,समुच्चय $B$ और $C$ का संघ (union) ज्ञात करें:
$(B \cup C) = \{3, 4\} \cup \{4, 5, 6\} = \{3, 4, 5, 6\}$.
अब,कार्तीय गुणनफल $A \times (B \cup C)$ ज्ञात करें:
$A \times (B \cup C) = \{1, 2, 3\} \times \{3, 4, 5, 6\} = \{(1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)\}$.

(D) सबसे पहले,हम कार्तीय गुणन $A \times B$ और $A \times C$ ज्ञात करते हैं:
$A \times B = \{(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)\}$
$A \times C = \{(1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6)\}$
अब,हम दोनों समुच्चयों से सभी अद्वितीय क्रमित युग्मों को मिलाकर संघ $(A \times B) \cup (A \times C)$ ज्ञात करते हैं:
$(A \times B) \cup (A \times C) = \{(1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)\}$

(N/A) दिया गया है $P = \{1, 2\}$।
$P \times P \times P$ कार्तीय गुणन ज्ञात करने के लिए,हम सभी संभावित क्रमित त्रिक $(a, b, c)$ ज्ञात करते हैं जहाँ $a, b, c \in P$ है।
$P \times P \times P = \{(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2)\}$।

(B) कार्तीय गुणन $R \times R$ को समुच्चय $R \times R = \{(x, y) : x, y \in R \}$ के रूप में परिभाषित किया गया है। यह समुच्चय द्विविमीय समतल में सभी बिंदुओं के निर्देशांकों को दर्शाता है।
कार्तीय गुणन $R \times R \times R$ को समुच्चय $R \times R \times R = \{(x, y, z) : x, y, z \in R \}$ के रूप में परिभाषित किया गया है। यह समुच्चय त्रिविमीय आकाश में सभी बिंदुओं के निर्देशांकों को दर्शाता है।

(A) कार्तीय गुणन $A \times B$ उन सभी क्रमित युग्मों $(a, b)$ का समुच्चय है जहाँ $a \in A$ और $b \in B$ है।
दिया गया है $A \times B = \{(p, q), (p, r), (m, q), (m, r)\}$.
$A$,$A \times B$ के क्रमित युग्मों के प्रथम घटकों का समुच्चय है।
अतः,$A = \{p, m\}$.
$B$,$A \times B$ के क्रमित युग्मों के द्वितीय घटकों का समुच्चय है।
अतः,$B = \{q, r\}$.

(A) दिया गया है कि $\left(\frac{x}{3}+1, y-\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{5}{3}, \frac{1}{3}\right)$।
चूंकि क्रमित युग्म समान हैं,इसलिए उनके संगत अवयव भी समान होंगे।
प्रथम घटकों की तुलना करने पर: $\frac{x}{3}+1=\frac{5}{3}$
$\Rightarrow \frac{x}{3}=\frac{5}{3}-1$
$\Rightarrow \frac{x}{3}=\frac{2}{3}$
$\Rightarrow x=2$
द्वितीय घटकों की तुलना करने पर: $y-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$
$\Rightarrow y=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}$
$\Rightarrow y=\frac{3}{3}$
$\Rightarrow y=1$
अतः,$x=2$ और $y=1$ है।

(C) दिया गया है कि समुच्चय $A$ में अवयवों की संख्या $n(A) = 3$ है।
समुच्चय $B = \{3, 4, 5\}$ दिया गया है,इसलिए समुच्चय $B$ में अवयवों की संख्या $n(B) = 3$ है।
कार्तीय गुणन $(A \times B)$ में अवयवों की संख्या का सूत्र $n(A \times B) = n(A) \times n(B)$ है।
मान रखने पर,हमें $n(A \times B) = 3 \times 3 = 9$ प्राप्त होता है।
अतः,$(A \times B)$ में अवयवों की संख्या $9$ है।

(A) दिया गया है $G = \{7, 8\}$ और $H = \{5, 4, 2\}$।
दो अरिक्त समुच्चयों $P$ और $Q$ का कार्तीय गुणन $P \times Q$ उन सभी क्रमित युग्मों $(p, q)$ का समुच्चय है जहाँ $p \in P$ और $q \in Q$ है।
अतः,$G \times H = \{(7, 5), (7, 4), (7, 2), (8, 5), (8, 4), (8, 2)\}$।
इसी प्रकार,$H \times G = \{(5, 7), (5, 8), (4, 7), (4, 8), (2, 7), (2, 8)\}$।

(N/A) असत्य।
कार्तीय गुणन $P \times Q$ उन सभी क्रमित युग्मों $(p, q)$ का समुच्चय है जहाँ $p \in P$ और $q \in Q$ है।
दिए गए $P = \{m, n\}$ और $Q = \{n, m\}$ के लिए,कार्तीय गुणन है:
$P \times Q = \{(m, n), (m, m), (n, n), (n, m)\}$.

(A) यह कथन सत्य है।
दो समुच्चयों $A$ और $B$ के कार्तीय गुणन की परिभाषा के अनुसार,$A \times B = \{(x, y) : x \in A \text{ और } y \in B\}$। यदि $A$ और $B$ अरिक्त हैं,तो कम से कम एक अवयव $a \in A$ और $b \in B$ का अस्तित्व होता है,जिसका अर्थ है कि $(a, b) \in A \times B$। अतः,$A \times B$ एक अरिक्त समुच्चय है।

(B) यह कथन असत्य है।
चरण $1$: सर्वनिष्ठ $B \cap \varnothing$ का मान ज्ञात कीजिए। किसी भी समुच्चय का रिक्त समुच्चय के साथ सर्वनिष्ठ रिक्त समुच्चय ही होता है,इसलिए $B \cap \varnothing = \varnothing$।
चरण $2$: इस मान को व्यंजक में रखने पर: $A \times \{B \cap \varnothing\} = A \times \{\varnothing\}$।
चरण $3$: कार्तीय गुणन $A \times \{\varnothing\}$ उन सभी क्रमित युग्मों $(a, b)$ का समुच्चय है जहाँ $a \in A$ और $b \in \{\varnothing\}$ है। अतः परिणाम $\{(1, \varnothing), (2, \varnothing)\}$ प्राप्त होता है।
सही कथन: यदि $A = \{1, 2\}$ और $B = \{3, 4\}$ है,तो $A \times \{B \cap \varnothing\} = \{(1, \varnothing), (2, \varnothing)\}$।

(A) यह ज्ञात है कि किसी भी अरिक्त समुच्चय $A$ के लिए,कार्तीय गुणन $A \times A \times A$ को $(a, b, c)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है जहाँ $a, b, c \in A$ है।
दिया गया है कि $A = \{-1, 1\}$ है।
अतः,$A \times A \times A = \{(a, b, c) : a, b, c \in \{-1, 1\} \}$ है।
$A$ के अवयवों के सभी संभावित संयोजनों को लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A \times A \times A = \{(-1, -1, -1), (-1, -1, 1), (-1, 1, -1), (-1, 1, 1), (1, -1, -1), (1, -1, 1), (1, 1, -1), (1, 1, 1)\}$.

(A) दिया गया है कि $A \times B = \{(a, x), (a, y), (b, x), (b, y)\}$.
हम जानते हैं कि दो अरिक्त समुच्चयों $A$ और $B$ का कार्तीय गुणन $A \times B = \{(p, q) : p \in A, q \in B\}$ के रूप में परिभाषित होता है।
अतः,$A$ क्रमित युग्मों के सभी प्रथम घटकों का समुच्चय है और $B$ सभी द्वितीय घटकों का समुच्चय है।
इस प्रकार,$A = \{a, b\}$ और $B = \{x, y\}$।

(N/A) सत्यापित करने के लिए: $A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)$।
सबसे पहले,समुच्चय $B$ और $C$ का सर्वनिष्ठ (intersection) ज्ञात करें:
$B \cap C = \{1, 2, 3, 4\} \cap \{5, 6\} = \varnothing$।
अब,बायां पक्ष $(L.H.S.)$ ज्ञात करें:
$L.H.S. = A \times (B \cap C) = \{1, 2\} \times \varnothing = \varnothing$।
इसके बाद,दायां पक्ष $(R.H.S.)$ ज्ञात करें:
$A \times B = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)\}$।
$A \times C = \{(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)\}$।
$R.H.S. = (A \times B) \cap (A \times C) = \varnothing$।
चूंकि $L.H.S. = R.H.S. = \varnothing$,अतः सर्वसमिका $A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)$ सत्यापित होती है।

(N/A) सत्यापन: $A \times C$,$B \times D$ का एक उपसमुच्चय है।
सबसे पहले,कार्तीय गुणन $A \times C$ ज्ञात कीजिए:
$A \times C = \{(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)\}$.
इसके बाद,कार्तीय गुणन $B \times D$ ज्ञात कीजिए:
$B \times D = \{(1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)\}$.
हम देख सकते हैं कि $A \times C$ का प्रत्येक अवयव $B \times D$ में मौजूद है।
अतः,$A \times C \subset B \times D$ सत्यापित होता है।

दिया गया है $A = \{1, 2\}$ और $B = \{3, 4\}$।
$A \times B = \{(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)\}$।
$A \times B$ में अवयवों की संख्या $n(A \times B) = 4$ है।
$m$ अवयवों वाले समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या $2^m$ होती है।
अतः,$A \times B$ के उपसमुच्चयों की संख्या $2^4 = 16$ है।
ये उपसमुच्चय हैं:
$\varnothing, \{(1, 3)\}, \{(1, 4)\}, \{(2, 3)\}, \{(2, 4)\}, \{(1, 3), (1, 4)\}, \{(1, 3), (2, 3)\}, \{(1, 3), (2, 4)\}, \{(1, 4), (2, 3)\}, \{(1, 4), (2, 4)\}, \{(2, 3), (2, 4)\}, \{(1, 3), (1, 4), (2, 3)\}, \{(1, 3), (1, 4), (2, 4)\}, \{(1, 3), (2, 3), (2, 4)\}, \{(1, 4), (2, 3), (2, 4)\}, \{(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)\}$।

(A) दिया गया है कि $n(A) = 3$ और $n(B) = 2$ है।
चूँकि $(x, 1), (y, 2), (z, 1) \in A \times B$,इन क्रमित युग्मों के प्रथम अवयव समुच्चय $A$ में और द्वितीय अवयव समुच्चय $B$ में होने चाहिए।
अतः,$A = \{x, y, z\}$ और $B = \{1, 2\}$।
चूँकि $n(A) = 3$ और $n(B) = 2$ है,ये समुच्चय दी गई शर्तों को संतुष्ट करते हैं।
इसलिए,$A = \{x, y, z\}$ और $B = \{1, 2\}$।

(A) हम जानते हैं कि यदि $n(A) = p$ है,तो $n(A \times A) = p^2$ होता है।
दिया गया है कि $n(A \times A) = 9,$ इसलिए $p^2 = 9,$ जिसका अर्थ है कि $n(A) = 3.$
$A \times A$ के अवयव $(a, b)$ के रूप में होते हैं जहाँ $a, b \in A.$
चूंकि $(-1, 0) \in A \times A,$ इसलिए $-1 \in A$ और $0 \in A.$
चूंकि $(0, 1) \in A \times A,$ इसलिए $0 \in A$ और $1 \in A.$
अतः,समुच्चय $A = \{-1, 0, 1\}.$
समुच्चय $A \times A$ में $3 \times 3 = 9$ अवयव हैं:
$A \times A = \{(-1, -1), (-1, 0), (-1, 1), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (1, -1), (1, 0), (1, 1)\}.$
दिए गए अवयव $(-1, 0)$ और $(0, 1)$ हैं।
शेष अवयव $(-1, -1), (-1, 1), (0, -1), (0, 0), (1, -1), (1, 0), (1, 1)$ हैं।

(C) दिया गया है $n(A)=4$ और $n(B)=2$।
कार्तीय गुणन $A \times B$ में अवयवों की संख्या $n(A \times B) = n(A) \times n(B) = 4 \times 2 = 8$ है।
हमें $A \times B$ के उन उपसमुच्चयों की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें कम से कम $3$ अवयव हों।
$8$ अवयवों वाले समुच्चय के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^8 = 256$ है।
$0, 1,$ या $2$ अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या $\binom{8}{0} + \binom{8}{1} + \binom{8}{2}$ द्वारा दी जाती है।
$\binom{8}{0} = 1$,$\binom{8}{1} = 8$,और $\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$।
इन उपसमुच्चयों का योग $= 1 + 8 + 28 = 37$।
कम से कम $3$ अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या $= 2^8 - (\binom{8}{0} + \binom{8}{1} + \binom{8}{2}) = 256 - 37 = 219$।

(C) $A \cap B = \{4\}$
$A \cup B = \{2, 3, 4, 5\}$
अतः,कार्तीय गुणनफल है:
$(A \cap B) \times (A \cup B) = \{4\} \times \{2, 3, 4, 5\}$
$= \{(4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5)\}$

(A) दिया है,$n(A)=p, n(B)=q$ और $n(A \times B)=7$.
चूंकि,$n(A \times B)=n(A) \times n(B)$,इसलिए $p \times q = 7$.
चूंकि $p$ और $q$ समुच्चयों में अवयवों की संख्या हैं,इसलिए वे धनात्मक पूर्णांक होने चाहिए। $7$ के गुणनखंड $1$ और $7$ हैं।
अतः,$(p, q)$ के लिए संभावित मान $(7, 1)$ या $(1, 7)$ हैं।
दोनों ही स्थितियों में,$p^2+q^2 = 7^2 + 1^2 = 49 + 1 = 50$.