एक महिला $6$ मेहमानों के लिए डिनर पार्टी देती है। यदि $10$ दोस्तों में से $2$ दोस्त एक साथ पार्टी में नहीं आएंगे,तो उन्हें चुनने के तरीकों की संख्या क्या है?

संगीता $6$ मेहमानों के लिए रात्रिभोज का आयोजन करती है। $10$ दोस्तों में से,वह कितनी तरह से मेहमानों का चयन कर सकती है यदि दो विशिष्ट मित्र एक साथ पार्टी में शामिल नहीं हो सकते हैं?

$2$ महिलाओं,$2$ वृद्ध पुरुषों और $4$ युवा पुरुषों में से $4$ व्यक्तियों की एक समिति इस प्रकार बनाई जानी है कि इसमें कम से कम $1$ महिला,कम से कम $1$ वृद्ध पुरुष और अधिकतम $2$ युवा पुरुष हों। तो इस समिति को बनाने के कुल तरीकों की संख्या क्या है?

$9$ लड़कों और $4$ लड़कियों में से $7$ सदस्यों की एक समिति बनाई जानी है। यदि समिति में अधिकतम $3$ लड़कियाँ हों,तो यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?

यदि $6$ समान फल,$7$ समान सब्जियां और $8$ समान बिस्कुट हैं,तो उनमें से किसी भी संख्या में वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि प्रत्येक श्रेणी से कम से कम एक वस्तु चुनी जाए।

यदि ${ }^{2n}C_3 : { }^{n}C_3 = 12 : 1$ है,तो $n =$