एक महिला $6$ मेहमानों के लिए डिनर पार्टी देती है। यदि $10$ दोस्तों में से $2$ दोस्त एक साथ पार्टी में नहीं आएंगे,तो उन्हें चुनने के तरीकों की संख्या क्या है?

किन्हीं $r$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल हमेशा किससे विभाज्य होता है?

एक व्यक्ति को $(2n + 1)$ अलग-अलग सिक्कों के संग्रह से कम से कम एक और अधिक से अधिक $n$ सिक्के चुनने की अनुमति है। यदि सिक्कों को चुनने के कुल तरीकों की संख्या $255$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $^{n}C_{9} = ^{n}C_{8}$ है,तो $^{n}C_{17}$ ज्ञात कीजिए।

एक इंजीनियर को हर महीने के पहले $15$ दिनों के दौरान ठीक $4$ दिनों के लिए एक कारखाने का दौरा करना आवश्यक है और यह अनिवार्य है कि कोई भी दो दौरे लगातार दिनों में न हों। $1-15$ जून $2021$ के दौरान इंजीनियर द्वारा कारखाने के ऐसे दौरों को करने के सभी संभावित तरीकों की संख्या है:

यदि $\binom{189}{35} + \binom{189}{x} = \binom{190}{x}$ है,तो $x = \dots$