Circular permutations Questions in Gujarati

(D) કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા = $3 + 8 = 11$.
$11$ વ્યક્તિઓને વર્તુળાકારમાં ગોઠવવાની રીતો = $(11 - 1)! = 10!$.
હવે,ધારો કે ત્રણેય બહેનો સાથે બેસે છે. $3$ બહેનોને $1$ એકમ તરીકે ગણો.
કુલ એકમો = $8$ ભાઈઓ + $1$ બહેનોનો એકમ = $9$ એકમો.
$9$ એકમોને વર્તુળાકારમાં ગોઠવવાની રીતો = $(9 - 1)! = 8!$.
$3$ બહેનો પોતાની વચ્ચે $3! = 6$ રીતે ગોઠવાઈ શકે છે.
તેથી,ત્રણેય બહેનો સાથે બેસે તેવી રીતો = $8! \times 6$.
ત્રણેય બહેનો સાથે ન બેસે તેવી રીતો = (કુલ ગોઠવણી) - (ત્રણેય બહેનો સાથે બેસે તેવી ગોઠવણી) = $10! - (8! \times 6)$.
$10! - 6 \times 8! = (10 \times 9 \times 8!) - (6 \times 8!) = (90 - 6) \times 8! = 84 \times 8!$.

(A) પ્રથમ,$5$ છોકરાઓને ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ ગોઠવો. $n$ વસ્તુઓને વર્તુળમાં ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે. તેથી,$5$ છોકરાઓને ગોઠવવાની રીતો $(5-1)! = 4!$ છે.
$5$ છોકરાઓની વચ્ચે $5$ જગ્યાઓ બને છે જ્યાં $4$ છોકરીઓ બેસી શકે છે જેથી કોઈ પણ બે છોકરીઓ સાથે ન બેસે.
આ $5$ જગ્યાઓમાં $4$ છોકરીઓને ગોઠવવાની રીતો $P(5, 4) = \frac{5!}{(5-4)!} = 5!$ છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $4! \times 5!$ છે.

(A) પ્રથમ,$6$ અલગ-અલગ સફેદ ગુલાબને વર્તુળાકારમાં ગોઠવો. $n$ અલગ-અલગ વસ્તુઓને વર્તુળાકારમાં ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે. તેથી,$6$ સફેદ ગુલાબને $(6-1)! = 5! = 120$ રીતે ગોઠવી શકાય.
આ $6$ સફેદ ગુલાબની વચ્ચે $6$ જગ્યાઓ બને છે. આપણે $6$ અલગ-અલગ લાલ ગુલાબને આ $6$ જગ્યાઓમાં એવી રીતે ગોઠવવાના છે કે જેથી કોઈ પણ બે લાલ ગુલાબ સાથે ન આવે. $6$ અલગ-અલગ લાલ ગુલાબને $6$ જગ્યાઓમાં ગોઠવવાની રીતો $6! = 720$ છે.
હાર હોવાથી,ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં અને તેની વિરુદ્ધ દિશામાંની ગોઠવણી સમાન ગણાય છે. તેથી,આપણે કુલ ગોઠવણીને $2$ વડે ભાગીએ છીએ.
કુલ રીતો $= \frac{5! \times 6!}{2} = \frac{120 \times 720}{2} = \frac{86400}{2} = 43200$.

(C) પ્રથમ,$9$ પુરુષોને ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ ગોઠવો,જે $(9-1)! = 8!$ રીતે કરી શકાય છે.
$9$ પુરુષોની વચ્ચે $9$ જગ્યાઓ બને છે.
કોઈ પણ બે સ્ત્રીઓ સાથે ન બેસે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે $5$ સ્ત્રીઓને આ $9$ જગ્યાઓમાં બેસાડવી પડશે.
$9$ જગ્યાઓમાં $5$ સ્ત્રીઓને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $^9 P_5$ છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $8! \times ^9 P_5$ છે.

(C) પ્રથમ,$2$ લાલ અને $3$ સફેદ ગુલાબને વર્તુળમાં ગોઠવો. $5$ અલગ વસ્તુઓને વર્તુળમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $(5-1)! = 4! = 24$ છે.
આ $5$ ગુલાબ વચ્ચે $5$ જગ્યાઓ બને છે.
આપણે $5$ પીળા ગુલાબને આ $5$ જગ્યાઓમાં એવી રીતે ગોઠવવાના છે કે જેથી કોઈ પણ બે પીળા ગુલાબ સાથે ન આવે.
$5$ અલગ પીળા ગુલાબને $5$ જગ્યાઓમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $5! = 120$ છે.
હાર હોવાથી,ઘડિયાળના કાંટાની દિશા અને તેની વિરુદ્ધ દિશાની ગોઠવણી સમાન ગણાય છે,તેથી આપણે $2$ વડે ભાગાકાર કરીશું.
કુલ રીતોની સંખ્યા $= \frac{4! \times 5!}{2} = \frac{24 \times 120}{2} = 1440$.

(A) ને એક સ્થાન પર નિશ્ચિત કરો. ધારો કે સ્થાનો ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં $1, 2, 3, 4, 5, 6$ છે,જેમાં $A$ સ્થાન $1$ પર છે. $A$ ની તરત જ જમણી બાજુ સ્થાન $6$ છે (કારણ કે તેઓ કેન્દ્ર તરફ મુખ રાખીને બેઠા છે).
કિસ્સો $1$: $E$ સ્થાન $6$ પર છે. તો $E$ ની તરત જ જમણી બાજુએ સ્થાન $5$ પર $F$ અથવા $D$ હોવા જોઈએ.
પેટા-કિસ્સો $1.1$: $F$ સ્થાન $5$ પર છે. બાકીની $3$ વ્યક્તિઓ $(B, C, D)$ ને બાકીના $3$ સ્થાનોમાં $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
પેટા-કિસ્સો $1.2$: $D$ સ્થાન $5$ પર છે. બાકીની $3$ વ્યક્તિઓ $(B, C, F)$ ને બાકીના $3$ સ્થાનોમાં $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
કિસ્સા $1$ માટે કુલ $= 6 + 6 = 12$ રીતો.
કિસ્સો $2$: $F$ સ્થાન $6$ પર છે. તો $E$ ની તરત જ જમણી બાજુએ $F$ અથવા $D$ હોવા જોઈએ. $F$ સ્થાન $6$ પર હોવાથી,$E$ સ્થાન $5$ પર ન હોઈ શકે (કારણ કે $F$ સ્થાન $6$ પર છે,$5$ પર નથી). તેથી,$E$ એવા અન્ય સ્થાન $k$ પર હોવો જોઈએ કે જેથી સ્થાન $k-1$ (ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં) $F$ અથવા $D$ હોય.
બાકીના સ્થાનો તપાસતા,આપણને કિસ્સા $2$ માટે $6$ માન્ય ગોઠવણીઓ મળે છે.
કુલ રીતો $= 12 + 6 = 18$.

(B) પ્રથમ,$6$ અલગ સફેદ ગુલાબને વર્તુળમાં ગોઠવો. $n$ અલગ વસ્તુઓને વર્તુળમાં ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે. તેથી,$6$ સફેદ ગુલાબને ગોઠવવાની રીતો $(6-1)! = 5! = 120$ છે.
વર્તુળમાં $6$ સફેદ ગુલાબ વચ્ચે $6$ જગ્યાઓ બને છે.
આપણે $5$ અલગ લાલ ગુલાબને આ $6$ જગ્યાઓમાં એવી રીતે ગોઠવવાના છે કે જેથી કોઈ પણ બે લાલ ગુલાબ સાથે ન આવે. $6$ માંથી $5$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^6C_5 = 6$ છે.
પસંદ કરેલી $5$ જગ્યાઓમાં $5$ અલગ લાલ ગુલાબને ગોઠવવાની રીતો $5! = 120$ છે.
હારને ઉલટાવી શકાય છે (ઘડિયાળની દિશામાં અને ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ગોઠવણી સમાન ગણાય છે),તેથી આપણે $2$ વડે ભાગાકાર કરીશું.
કુલ રીતો $= \frac{5! \times ^6C_5 \times 5!}{2} = \frac{120 \times 6 \times 120}{2} = \frac{86400}{2} = 43200$.

(D) પ્રથમ,$8$ પુરુષોને ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ ગોઠવો. ગોળાકારમાં $n$ વસ્તુઓને ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે. તેથી,$8$ પુરુષોને ગોઠવવાની રીતો $(8-1)! = 7!$ છે.
પુરુષોને ગોઠવ્યા પછી,તેમની વચ્ચે $8$ જગ્યાઓ બને છે.
કોઈ પણ બે સ્ત્રીઓ સાથે ન બેસે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે $4$ સ્ત્રીઓને આ $8$ જગ્યાઓમાં ગોઠવવી પડશે.
$8$ જગ્યાઓમાં $4$ સ્ત્રીઓને પસંદ કરવાની અને ગોઠવવાની રીતો ${}^{8}P_{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $7! \times {}^{8}P_{4}$ છે.

(C) ગોળાકાર ટેબલ પર $20$ વ્યક્તિઓને બેસાડવાની કુલ રીતો $(20-1)! = 19!$ છે.
વ્યક્તિ $A$ ને એક સ્થાન પર સ્થિર કરો.
વ્યક્તિ $B$ માટે $19$ બાકીની બેઠકો છે.
$A$ અને $B$ ની વચ્ચે બરાબર $6$ વ્યક્તિઓ હોય તે માટે,$B$ એ $A$ ની સાપેક્ષમાં ચોક્કસ સ્થાન પર બેસવું જોઈએ.
$A$ થી ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં $6$ બેઠકો ગણતા,$7$મી બેઠક પર $B$ બેસે છે.
$A$ થી ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં $6$ બેઠકો ગણતા,$7$મી બેઠક પર પણ $B$ બેસે છે.
આમ,$19$ શક્ય બેઠકોમાંથી $B$ માટે $2$ સાનુકૂળ સ્થાનો છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{2}{19}$ છે.

(B) $5$ લાલ અને $5$ સફેદ ગુલાબને હારમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $10$ ભિન્ન વસ્તુઓને વર્તુળાકારમાં ગોઠવવાની રીતો જેટલી છે,જે $(10-1)! = 9!$ છે.
ગુલાબ અલગ-અલગ કદના હોવાથી,આપણે તેમને ભિન્ન ગણીએ છીએ.
ગુલાબને એકાંતરે ગોઠવવા માટે,પહેલા $5$ લાલ ગુલાબને વર્તુળમાં $(5-1)! = 4!$ રીતે ગોઠવીએ.
આનાથી લાલ ગુલાબની વચ્ચે $5$ જગ્યાઓ બનશે.
આ $5$ જગ્યાઓમાં $5$ સફેદ ગુલાબને $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
આમ,સાનુકૂળ ગોઠવણીની સંખ્યા $4! \times 5!$ છે.
સંભાવના $\frac{4! \times 5!}{9!} = \frac{24 \times 120}{362880} = \frac{2880}{362880} = \frac{1}{126}$ છે.

(D) $8$ શિક્ષકો અને $4$ વિદ્યાર્થીઓને ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ ગોઠવવાની કુલ રીતો $(8+4-1)! = 11!$ છે.
કોઈ પણ બે વિદ્યાર્થીઓ સાથે ન બેસે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે પહેલા $8$ શિક્ષકોને વર્તુળમાં ગોઠવીએ,જે $(8-1)! = 7!$ રીતે કરી શકાય છે.
આનાથી શિક્ષકોની વચ્ચે $8$ જગ્યાઓ (gaps) બને છે. આપણે આ $8$ જગ્યાઓમાં $4$ વિદ્યાર્થીઓને બેસાડવાના છે,જે $^8C_4$ રીતે કરી શકાય છે.
વિદ્યાર્થીઓ પોતાની વચ્ચે $4!$ રીતે ગોઠવાઈ શકે છે.
આમ,સાનુકૂળ ગોઠવણીની સંખ્યા $^8C_4 \times 4! \times 7!$ છે.
જરૂરી સંભાવના $\frac{^8C_4 \times 4! \times 7!}{11!} = \frac{\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times 4! \times 7!}{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!} = \frac{70 \times 24 \times 7!}{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!} = \frac{7}{33}$ છે.

(A) "$COMBINATIONS$" શબ્દમાં $12$ અક્ષરો છે: $C, O, M, B, I, N, A, T, I, O, N, S$.
વ્યંજનો: $C, M, B, N, N, T, S$ ($7$ અક્ષરો,જેમાં $N$ બે વાર આવે છે).
સ્વરો: $O, I, A, I, O$ ($5$ અક્ષરો,જેમાં $O$ બે વાર અને $I$ બે વાર આવે છે).
પ્રથમ,$7$ વ્યંજનોને વર્તુળમાં ગોઠવો. વર્તુળમાં $n$ વસ્તુઓને ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે. $N$ બે વાર આવતું હોવાથી,રીતોની સંખ્યા $\frac{(7-1)!}{2!} = \frac{6!}{2!}$ છે.
$7$ વ્યંજનો વચ્ચે $7$ જગ્યાઓ બને છે. આપણે $5$ સ્વરોને આ $7$ જગ્યાઓમાં એવી રીતે ગોઠવવાના છે કે કોઈ પણ બે સ્વર સાથે ન આવે. $7$ માંથી $5$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો ${ }^{7}C_{5}$ છે.
$5$ સ્વરોને આ $5$ પસંદ કરેલી જગ્યાઓમાં $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય. $O$ અને $I$ દરેક બે વાર આવતા હોવાથી,ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{5!}{2!2!}$ છે.
કુલ રીતોની સંખ્યા $= \frac{6!}{2!} \times { }^{7}C_{5} \times \frac{5!}{2!2!} = \frac{7!6!}{(2!)^4}$.

(B) પ્રથમ,$5$ છોકરાઓને ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ ગોઠવો. $n$ વસ્તુઓને વર્તુળમાં ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે. તેથી,$5$ છોકરાઓને ગોઠવવાની રીતો $(5-1)! = 4! = 24$ છે.
$5$ છોકરાઓની વચ્ચે $5$ જગ્યાઓ બને છે જ્યાં $4$ છોકરીઓ બેસી શકે છે જેથી કોઈ પણ બે છોકરીઓ સાથે ન બેસે.
આ $5$ જગ્યાઓમાં $4$ છોકરીઓને ગોઠવવાની રીતો $P(5, 4) = \frac{5!}{(5-4)!} = 120$ છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $4! \times 120 = 2880$ છે.
આ $4! \times 5!$ ને સમાન છે.

(B) $5$ છોકરાઓ અને $5$ છોકરીઓને ગોળાકાર ટેબલ પર એવી રીતે બેસાડવા માટે કે જેથી કોઈ પણ બે છોકરાઓ કે છોકરીઓ સાથે ન હોય,તેઓએ એકાંતરે બેસવું પડે.
પ્રથમ,એક છોકરાને ગોળાકાર ટેબલ પર એક સ્થાન પર સ્થિર કરો. આ $1$ રીતે થઈ શકે છે.
બાકીના $4$ છોકરાઓને બાકીની $4$ જગ્યાઓ પર $(4-1)! = 3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
છોકરાઓની વચ્ચે $5$ જગ્યાઓ છે જ્યાં $5$ છોકરીઓને બેસાડી શકાય છે.
આ $5$ છોકરીઓને આ $5$ જગ્યાઓ પર $5! = 120$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $(5-1)! \times 5! = 24 \times 120 = 2880$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) કુલ વ્યક્તિઓ $= 6 \text{ પુરુષો} + 4 \text{ સ્ત્રીઓ} = 10 \text{ વ્યક્તિઓ}$.
પ્રથમ,$10$ વ્યક્તિઓને ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ બેસાડવાની કુલ રીતો $(10-1)! = 9!$ છે.
હવે,એક ચોક્કસ પુરુષ અને એક ચોક્કસ સ્ત્રી એકબીજાની બાજુમાં બેસે તેવી રીતો શોધીએ.
તે ચોક્કસ પુરુષ અને સ્ત્રીને એક એકમ તરીકે ગણો. હવે આપણી પાસે ગોળાકાર ટેબલ પર ગોઠવવા માટે $9$ એકમો છે,જે $(9-1)! = 8!$ રીતે કરી શકાય.
એકમની અંદર,પુરુષ અને સ્ત્રીને $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય.
તેથી,તેઓ સાથે બેસે તેવી રીતો $2 \times 8!$ છે.
તેઓ ક્યારેય બાજુમાં ન બેસે તેવી રીતો કુલ રીતોમાંથી સાથે બેસવાની રીતો બાદ કરવાથી મળે:
$9! - (2 \times 8!) = (9 \times 8!) - (2 \times 8!) = (9 - 2) \times 8! = 7 \times 8!$.

(D) કુલ છોકરીઓની સંખ્યા $= 3 + 8 = 11$.
$11$ છોકરીઓને વર્તુળાકારમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $(11 - 1)! = 10!$ છે.
ત્રણ બહેનો સાથે ન બેસે તેવી રીતો શોધવા માટે,આપણે પૂરક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: કુલ ગોઠવણી $-$ ત્રણ બહેનો સાથે બેસે તેવી ગોઠવણી.
$3$ બહેનોને એક એકમ તરીકે ગણતા,આપણી પાસે વર્તુળમાં ગોઠવવા માટે $8 + 1 = 9$ એકમો છે,જે $(9 - 1)! = 8!$ રીતે કરી શકાય છે.
$3$ બહેનો પોતાની વચ્ચે $3!$ રીતે ગોઠવાઈ શકે છે.
તેથી,$3$ બહેનો સાથે બેસે તેવી ગોઠવણી $= 8! \times 3!$.
જરૂરી રીતોની સંખ્યા $= 10! - (8! \times 3!) = 10! - (8! \times 6)$.
$= 8! \times (10 \times 9 - 6) = 8! \times (90 - 6) = 8! \times 84$.

(A) $n$ ભિન્ન વસ્તુઓની વર્તુળાકાર ક્રમચયની સંખ્યા $(n-1)!$ છે.
હાર માટે,ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં અને તેની વિરુદ્ધ દિશામાં ગોઠવણી સમાન ગણાય છે,તેથી રીતોની સંખ્યા $\frac{(n-1)!}{2}$ થાય.
અહીં,$n = 8$.
રીતોની સંખ્યા = $\frac{(8-1)!}{2} = \frac{7!}{2} = \frac{5040}{2} = 2520$.