Mathematical logic Questions in Hindi

(D) सबसे पहले,दिए गए कथनों के सत्यता मानों का मूल्यांकन करें:
$P: 5$ एक अभाज्य संख्या है। यह $True$ $(T)$ है।
$Q: 7$,$192$ का एक गुणनखंड है। चूंकि $192 \div 7 = 27.42...$,इसलिए यह $False$ $(F)$ है।
$R: 5$ और $7$ का ल.स.प. $35$ है। यह $True$ $(T)$ है।
अब,विकल्पों का मूल्यांकन करें:
$A: (\sim T) \vee (F \wedge T) = F \vee F = F$.
$B: (T \wedge F) \vee (\sim T) = F \vee F = F$.
$C: (\sim T) \wedge (\sim F \wedge T) = F \wedge (T \wedge T) = F \wedge T = F$.
$D: T \vee (\sim F \wedge T) = T \vee (T \wedge T) = T \vee T = T$.
अतः,विकल्प $D$ में दिया गया कथन सत्य है।

(C) माना व्यंजक $E = ((p \wedge q) \vee (p \vee \sim q)) \wedge (\sim p \wedge \sim q)$ है।
साहचर्य और क्रमविनिमेय नियमों का उपयोग करते हुए,पहले भाग को सरल करने पर: $(p \wedge q) \vee (p \vee \sim q) \equiv (p \vee (p \wedge q)) \vee \sim q \equiv p \vee \sim q$.
अब,इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $E \equiv (p \vee \sim q) \wedge (\sim p \wedge \sim q)$.
वितरण नियम का उपयोग करते हुए: $E \equiv (p \wedge (\sim p \wedge \sim q)) \vee (\sim q \wedge (\sim p \wedge \sim q))$.
चूंकि $p \wedge \sim p \equiv F$ (असत्य),पहला पद $F \wedge \sim q \equiv F$ हो जाता है।
दूसरा पद $\sim q \wedge \sim q \equiv \sim q$ के रूप में सरल होता है,इसलिए हमें $F \vee (\sim p \wedge \sim q)$ प्राप्त होता है।
अतः,$E \equiv \sim p \wedge \sim q$.

(A) हम तार्किक तुल्यता $\sim (a \to b) \equiv a \wedge \sim b$ का उपयोग करते हैं।
दिए गए व्यंजक $\sim ( \sim p \to q)$ पर इसे लागू करने पर:
मान लीजिए $a = \sim p$ और $b = q$ है।
तब $\sim ( \sim p \to q) \equiv (\sim p) \wedge (\sim q)$।
अतः,व्यंजक $\sim p \wedge \sim q$ के समतुल्य है।

(B) एक सशर्त कथन $p \to q$ का प्रतिधनात्मक (contrapositive) $\sim q \to \sim p$ होता है।
माना $p$ कथन है: "आप भारत में पैदा हुए हैं।"
माना $q$ कथन है: "आप भारत के नागरिक हैं।"
दिया गया कथन $p \to q$ है।
अतः,इसका प्रतिधनात्मक $\sim q \to \sim p$ होगा,जिसका अर्थ है: "यदि आप भारत के नागरिक नहीं हैं,तो आप भारत में पैदा नहीं हुए हैं।"
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(B) टॉटोलॉजी वह कथन है जो अपने सभी घटकों के सत्य मानों के लिए हमेशा सत्य होता है।
विकल्प $(A)$ की जाँच करें: $(p \vee q) \to (p \vee (\sim q)) = \sim (p \vee q) \vee (p \vee \sim q) = p \vee \sim q$,जो टॉटोलॉजी नहीं है।
विकल्प $(B)$ की जाँच करें: $(p \vee q) \to p = \sim (p \vee q) \vee p = \sim q \vee p$,जो टॉटोलॉजी नहीं है।
विकल्प $(C)$ की जाँच करें: $p \to (p \vee q) = \sim p \vee (p \vee q) = T$,जो टॉटोलॉजी है।
विकल्प $(D)$ की जाँच करें: $(p \wedge q) \to ((\sim p) \vee q) = \sim (p \wedge q) \vee (\sim p \vee q) = T$,जो टॉटोलॉजी है।

(C) हमें व्यंजक $p \vee (\sim p \wedge q)$ का निषेध ज्ञात करना है।
डी मॉर्गन के नियम को लागू करने पर: $\sim (p \vee (\sim p \wedge q))$
$= \sim p \wedge \sim (\sim p \wedge q)$
$= \sim p \wedge (p \vee \sim q)$
वितरण नियम का उपयोग करने पर: $(\sim p \wedge p) \vee (\sim p \wedge \sim q)$
चूंकि $(\sim p \wedge p)$ एक व्याघात $(c)$ है:
$= c \vee (\sim p \wedge \sim q)$
$= \sim p \wedge \sim q$

(B) प्रतिबंधात्मक कथन $P \Rightarrow (q \vee r)$ केवल तब असत्य होता है जब पूर्ववर्ती सत्य हो और परिणामी असत्य हो।
अर्थात,$P = T$ और $(q \vee r) = F$।
वियोजन $(q \vee r)$ के असत्य होने के लिए,$q$ और $r$ दोनों का असत्य होना आवश्यक है।
अतः,$p = T, q = F, r = F$।

(D) Tautology एक ऐसा कथन है जो अपने घटकों के सभी संभावित सत्य मानों के लिए हमेशा सत्य होता है।
विकल्प $(A)$ का मूल्यांकन करें: $(p \vee q) \wedge (p \vee \sim q) \equiv p \vee (q \wedge \sim q) \equiv p \vee F \equiv p$. यह tautology नहीं है।
विकल्प $(B)$ का मूल्यांकन करें: $(p \wedge q) \vee (p \wedge \sim q) \equiv p \wedge (q \vee \sim q) \equiv p \wedge T \equiv p$. यह tautology नहीं है।
विकल्प $(C)$ का मूल्यांकन करें: $(p \vee q) \wedge (\sim p \vee \sim q) \equiv (p \vee q) \wedge \sim (p \wedge q)$. यह tautology नहीं है।
विकल्प $(D)$ का मूल्यांकन करें: $(p \vee q) \vee (p \vee \sim q) \equiv p \vee (q \vee \sim q) \equiv p \vee T \equiv T$. चूँकि परिणाम हमेशा सत्य है,इसलिए यह एक tautology है।

(D) हम व्यंजक $\sim s \vee (\sim r \wedge s)$ का निषेध ज्ञात करना चाहते हैं।
डी मॉर्गन के नियम को लागू करने पर: $\sim (\sim s \vee (\sim r \wedge s)) = \sim (\sim s) \wedge \sim (\sim r \wedge s)$.
यह $s \wedge (\sim (\sim r) \vee \sim s)$ में सरल हो जाता है,जो $s \wedge (r \vee \sim s)$ है।
वितरण नियम का उपयोग करने पर: $(s \wedge r) \vee (s \wedge \sim s)$.
चूंकि $s \wedge \sim s = \phi$ (एक विरोधाभास),व्यंजक $(s \wedge r) \vee \phi$ बन जाता है।
अतः,परिणाम $s \wedge r$ है।

(A) प्रतिबंधात्मक कथन $p \to (\sim q \vee r)$ असत्य $(F)$ तभी होता है जब पूर्ववर्ती सत्य $(T)$ हो और परिणामी असत्य $(F)$ हो।
$1$. $p = T$
$2$. $(\sim q \vee r) = F$
वियोजन $(\sim q \vee r)$ के असत्य होने के लिए,दोनों घटकों का असत्य होना आवश्यक है:
$\sim q = F \implies q = T$
$r = F$
अतः,सत्यता मान $p = T, q = T, r = F$ हैं।

(C) हम जानते हैं कि निहितार्थ $p \Rightarrow r$,$(\sim p) \vee r$ के समतुल्य है।
इसलिए,$p \Rightarrow (\sim q)$,$(\sim p) \vee (\sim q)$ के समतुल्य है।
अब,निषेध लागू करने पर: $\sim (p \Rightarrow (\sim q)) = \sim ((\sim p) \vee (\sim q))$।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim (A \vee B) = (\sim A) \wedge (\sim B)$।
अतः,$\sim ((\sim p) \vee (\sim q)) = (\sim (\sim p)) \wedge (\sim (\sim q)) = p \wedge q$।
अतः,सही उत्तर विकल्प $(C)$ है।

(A) एक सशर्त कथन $p \rightarrow q$ का प्रतिधनात्मक $\sim q \rightarrow \sim p$ होता है।
दिया गया कथन: "यदि $A \subseteq B$ और $B \subseteq D,$ तो $A \subseteq C$"
मान लीजिए $p$ है $(A \subseteq B) \land (B \subseteq D)$ और $q$ है $(A \subseteq C)$।
निषेध $\sim q$ है $A \not\subseteq C$।
निषेध $\sim p$ है $\sim((A \subseteq B) \land (B \subseteq D))$,जो डी मॉर्गन के नियम के अनुसार $(A \not\subseteq B) \lor (B \not\subseteq D)$ है।
अतः,प्रतिधनात्मक कथन है: "यदि $A \not\subseteq C,$ तो $A \not\subseteq B$ या $B \not\subseteq D$।"

(C) दिया गया तार्किक कथन $(p$ $\Rightarrow q) \wedge (q$ $\Rightarrow \sim p)$ है।
निहित नियम $a \Rightarrow b \equiv \sim a \vee b$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\sim p \vee q) \wedge (\sim q \vee \sim p)$
क्रमविनिमेय नियम का उपयोग करके,हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$(\sim p \vee q) \wedge (\sim p \vee \sim q)$
वितरण नियम $x \vee (y \wedge z) \equiv (x \vee y) \wedge (x \vee z)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sim p \vee (q \wedge \sim q)$
चूंकि $q \wedge \sim q$ एक विरोधाभास $(C)$ है:
$\sim p \vee C \equiv \sim p$
अतः,यह कथन $\sim p$ के समतुल्य है।

(A) एक कथन एक पुनरुक्ति है यदि इसके घटकों के सभी संभावित सत्य मानों के लिए इसका सत्य मान हमेशा $T$ होता है।
विकल्प $A$ का विश्लेषण करें: $\sim(p \vee \sim q) \rightarrow (p \vee q)$।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim(p \vee \sim q) \equiv \sim p \wedge q$।
अतः,व्यंजक $(\sim p \wedge q) \rightarrow (p \vee q)$ बन जाता है।
यह $\sim(\sim p \wedge q) \vee (p \vee q) \equiv (p \vee \sim q) \vee (p \vee q) \equiv p \vee (\sim q \vee q) \equiv p \vee T \equiv T$ के समतुल्य है।
चूंकि परिणाम हमेशा $T$ है,इसलिए यह कथन एक पुनरुक्ति है।

(D) पुनरुक्ति (tautology) एक ऐसा कथन है जो अपने घटकों के सभी संभावित सत्य मानों के लिए हमेशा सत्य होता है।
$1$. $P \wedge (P \vee Q) \equiv P$ के लिए,जो पुनरुक्ति नहीं है।
$2$. $P \vee (P \wedge Q) \equiv P$ के लिए,जो पुनरुक्ति नहीं है।
$3$. $Q$ $\rightarrow (P \wedge (P$ $\rightarrow Q)) \equiv \sim Q \vee P$ के लिए,जो पुनरुक्ति नहीं है।
$4$. $(P \wedge (P$ $\rightarrow Q))$ $\rightarrow Q \equiv (P \wedge Q)$ $\rightarrow Q \equiv \sim P \vee t \equiv t$ के लिए।
चूंकि परिणाम $t$ (सत्य) है,इसलिए विकल्प $D$ एक पुनरुक्ति है।

(B) प्रतिबंधात्मक कथन $p \rightarrow (p \wedge \neg q)$ केवल तब असत्य होता है जब पूर्ववर्ती $p$ का मान $T$ हो और परिणामी $(p \wedge \neg q)$ का मान $F$ हो।
चूंकि $p$ का मान $T$ है,इसलिए $(p \wedge \neg q)$ का मान $(T \wedge \neg q)$ हो जाता है।
$(T \wedge \neg q)$ को $F$ होने के लिए,$\neg q$ को $F$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $q$ का मान $T$ है।
अतः,सत्यता मान $p = T$ और $q = T$ हैं।

(B) मान लीजिए $p$ कथन है: $\sqrt{5}$ एक पूर्णांक है।
मान लीजिए $q$ कथन है: $5$ अपरिमेय है।
दिया गया कथन $p \vee q$ है।
कथन का निषेध $\sim(p \vee q)$ है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\sim(p \vee q) \equiv \sim p \wedge \sim q$ होता है।
अतः,निषेध है: $\sqrt{5}$ एक पूर्णांक नहीं है और $5$ अपरिमेय नहीं है।

(A) एक वाक्य को कथन कहा जाता है यदि वह या तो सत्य है या असत्य,लेकिन दोनों नहीं।
दिए गए वाक्य '$8$,$6$ से कम है' में,हम जानते हैं कि $8 > 6$ है।
अतः,दिया गया वाक्य असत्य है।
चूँकि वाक्य का एक निश्चित सत्यता मान है (यह असत्य है),इसलिए यह एक कथन है।

(N/A) तर्कशास्त्र में एक वाक्य को कथन तब माना जाता है यदि वह या तो सत्य हो या असत्य,लेकिन दोनों न हो।
वाक्य "प्रत्येक समुच्चय एक परिमित समुच्चय है" एक घोषणात्मक वाक्य है।
चूंकि अनंत समुच्चय मौजूद हैं (उदाहरण के लिए,सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय $\mathbb{N}$),इसलिए यह कथन "प्रत्येक समुच्चय एक परिमित समुच्चय है" असत्य है।
चूंकि इस वाक्य का एक निश्चित सत्यता मान है (यह असत्य है),इसलिए यह एक कथन है।

(N/A) गणित में एक वाक्य को कथन तब माना जाता है यदि वह या तो सत्य हो या असत्य,लेकिन दोनों न हो।
चूँकि यह एक वैज्ञानिक रूप से स्थापित तथ्य है कि सूर्य एक तारा है,इसलिए यह वाक्य सदैव सत्य है।
अतः,यह एक कथन है।

(N/A) तर्कशास्त्र में एक वाक्य को कथन तब माना जाता है यदि वह या तो सत्य हो या असत्य,लेकिन दोनों न हो।
यह वाक्य व्यक्तिपरक है क्योंकि कुछ लोगों के लिए गणित मजेदार है,जबकि दूसरों के लिए यह नहीं हो सकता है।
चूंकि इस वाक्य का सत्य मान व्यक्ति की राय पर निर्भर करता है,इसलिए यह हमेशा सत्य या हमेशा असत्य नहीं होता है।
इसलिए,यह एक कथन नहीं है।

(N/A) एक कथन को एक ऐसे घोषणात्मक वाक्य के रूप में परिभाषित किया जाता है जो या तो सत्य है या असत्य,लेकिन दोनों नहीं।
यह एक वैज्ञानिक रूप से स्थापित प्राकृतिक घटना है कि बारिश होने के लिए बादलों का होना आवश्यक है। इसलिए,वाक्य 'बादलों के बिना बारिश नहीं होती है' हमेशा सत्य है।
चूंकि वाक्य का एक निश्चित सत्य मान है (यह सत्य है),इसलिए यह एक कथन है।

(N/A) तर्कशास्त्र में,एक वाक्य को कथन तब माना जाता है यदि वह या तो सत्य हो या असत्य,लेकिन दोनों न हो।
दिया गया वाक्य,"यहाँ से चेन्नई कितनी दूर है?",एक प्रश्नवाचक वाक्य है।
इसके अतिरिक्त,"यहाँ" शब्द अस्पष्ट है क्योंकि यह वक्ता के स्थान पर निर्भर करता है।
चूँकि इसे सत्य या असत्य का मान नहीं दिया जा सकता है,इसलिए यह एक कथन नहीं है।

(A) तर्कशास्त्र में एक वाक्य को कथन तब माना जाता है यदि वह या तो सत्य हो या असत्य,लेकिन दोनों न हो।
चूंकि किसी भी महीने में दिनों की संख्या अधिकतम $31$ होती है,इसलिए 'एक महीने में $35$ दिन होते हैं' एक असत्य वाक्य है।
अतः,यह एक कथन है।

(N/A) तर्कशास्त्र में किसी वाक्य को कथन तब माना जाता है यदि वह या तो सत्य हो या असत्य,लेकिन दोनों न हो।
यह वाक्य व्यक्तिपरक है क्योंकि गणित की कठिनाई व्यक्ति-दर-व्यक्ति भिन्न होती है।
चूंकि इसे सार्वभौमिक रूप से सत्य या असत्य के रूप में वर्गीकृत नहीं किया जा सकता है,इसलिए यह एक कथन नहीं है।

(N/A) $5$ और $7$ का योग $12$ है। चूँकि $12 > 10,$ यह वाक्य सदैव सत्य है। तर्कशास्त्र में,वह वाक्य जो सदैव सत्य या सदैव असत्य हो,उसे कथन कहा जाता है। अतः,यह वाक्य एक कथन है।

(N/A) तर्कशास्त्र में किसी वाक्य को कथन तब माना जाता है यदि वह या तो हमेशा सत्य हो या हमेशा असत्य हो।
दिए गए वाक्य के लिए,$2$ का वर्ग $4$ है,जो एक सम संख्या है।
हालाँकि,$3$ का वर्ग $9$ है,जो एक विषम संख्या है।
चूंकि वाक्य का सत्य मान चुनी गई संख्या पर निर्भर करता है,इसलिए यह न तो हमेशा सत्य है और न ही हमेशा असत्य।
अतः,यह एक कथन नहीं है।

(N/A) गणितीय तर्क में एक वाक्य को कथन तब माना जाता है यदि वह या तो हमेशा सत्य हो या हमेशा असत्य हो।
दिया गया वाक्य,"एक चतुर्भुज की भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं," अस्पष्ट है क्योंकि इसका सत्य मान चतुर्भुज के विशिष्ट प्रकार पर निर्भर करता है।
उदाहरण के लिए,एक वर्ग या समचतुर्भुज में,सभी भुजाएँ समान होती हैं,जिससे यह कथन सत्य हो जाता है।
हालाँकि,एक आयत या समलंब चतुर्भुज में,भुजाएँ आवश्यक रूप से समान नहीं होती हैं,जिससे यह कथन असत्य हो जाता है।
चूँकि वाक्य संदर्भ के आधार पर सत्य या असत्य हो सकता है,इसलिए यह एक गणितीय कथन नहीं है।

(N/A) कथन एक ऐसा घोषणात्मक वाक्य है जो या तो सत्य होता है या असत्य,लेकिन दोनों नहीं हो सकता।
दिया गया वाक्य,"इस प्रश्न का उत्तर दें," एक आज्ञावाचक वाक्य (आदेश या अनुरोध) है।
चूंकि इसे सत्य या असत्य के रूप में वर्गीकृत नहीं किया जा सकता है,इसलिए यह एक कथन नहीं है।

(N/A) तर्कशास्त्र में किसी वाक्य को कथन तब माना जाता है यदि वह या तो सत्य हो या असत्य,लेकिन दोनों न हो।
$(-1)$ और $8$ का गुणनफल $(-8)$ होता है।
चूंकि यह वाक्य दावा करता है कि गुणनफल $8$ है,जो कि असत्य है,इसलिए यह एक कथन है।

(A) तर्कशास्त्र में किसी वाक्य को कथन तब माना जाता है यदि वह या तो सत्य हो या असत्य,लेकिन दोनों न हो।
त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,यह एक सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत ज्यामितीय तथ्य है,जो हमेशा सत्य है।
अतः,यह वाक्य एक कथन है।

(N/A) तर्कशास्त्र में किसी वाक्य को कथन तब माना जाता है यदि वह या तो सत्य हो या असत्य,लेकिन दोनों न हो।
वाक्य "$Today$ (आज) हवादार दिन है" उस विशिष्ट दिन पर निर्भर करता है जिसका उल्लेख किया जा रहा है,जो स्पष्ट नहीं है।
चूंकि विशिष्ट दिन को जाने बिना वाक्य का सत्य मान निर्धारित नहीं किया जा सकता है,इसलिए यह एक कथन नहीं है।

(A) एक सम्मिश्र संख्या को $a + bi$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $i = \sqrt{-1}$ है।
किसी भी वास्तविक संख्या $x$ को $x + 0i$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
चूँकि प्रत्येक वास्तविक संख्या को $a + bi$ के रूप में लिखा जा सकता है,इसलिए 'सभी वास्तविक संख्याएँ सम्मिश्र संख्याएँ होती हैं' वाक्य हमेशा सत्य है।
अतः,यह एक कथन है।

(N/A) ऐसे वाक्यों के तीन उदाहरण जो कथन नहीं हैं,निम्नलिखित हैं:
$(i)$ $He$ (वह) एक डॉक्टर है।
यह एक कथन नहीं है क्योंकि यह स्पष्ट नहीं है कि '$He$' किसे संदर्भित करता है,जिससे इसका सत्य मान अस्पष्ट हो जाता है।
$(ii)$ ज्यामिति कठिन है।
यह एक कथन नहीं है क्योंकि किसी विषय की कठिनाई व्यक्तिपरक होती है और व्यक्ति-दर-व्यक्ति भिन्न होती है।
$(iii)$ वह कहाँ जा रही है?
यह एक प्रश्नवाचक वाक्य है। गणितीय तर्क में प्रश्नवाचक वाक्यों,विस्मयादिबोधक वाक्यों और आदेशात्मक वाक्यों को कथन नहीं माना जाता है।

(N/A) दिया गया कथन है: $P$: एक आयत के दोनों विकर्णों की लंबाई समान होती है।
कथन $P$ के निषेध को $\sim P$ द्वारा दर्शाया जाता है।
"एक आयत के दोनों विकर्णों की लंबाई समान होती है" कथन का निषेध है:
"यह असत्य है कि एक आयत के दोनों विकर्णों की लंबाई समान होती है।"
वैकल्पिक रूप से,इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
"कम से कम एक ऐसा आयत मौजूद है जिसके दोनों विकर्णों की लंबाई समान नहीं है।"

(N/A) कथन का निषेध इस प्रकार लिखा जा सकता है:
यह सत्य नहीं है कि $\sqrt{7}$ एक परिमेय संख्या है।
इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:
$\sqrt{7}$ एक परिमेय संख्या नहीं है।

(N/A) कथन का निषेध इस प्रकार है:
यह असत्य है कि ऑस्ट्रेलिया एक महाद्वीप है।
इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:
ऑस्ट्रेलिया एक महाद्वीप नहीं है।
चूँकि हम जानते हैं कि ऑस्ट्रेलिया वास्तव में एक महाद्वीप है,इसलिए मूल कथन सत्य है और निषेध कथन असत्य है।

(N/A) कथन का निषेध है:
ऐसा नहीं है कि ऐसा कोई चतुर्भुज नहीं है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर हों।
इसका अर्थ यह भी है:
ऐसा एक चतुर्भुज अस्तित्व में है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर हैं।
यह कथन सत्य है क्योंकि वर्ग एक ऐसा चतुर्भुज है जिसकी चारों भुजाएँ बराबर होती हैं।

(N/A) कथन का निषेध है:
यह असत्य है कि प्रत्येक प्राकृत संख्या $0$ से बड़ी है।
इसे इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:
एक ऐसी प्राकृत संख्या का अस्तित्व है जो $0$ से बड़ी नहीं है।
चूंकि सभी प्राकृत संख्याएँ $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$ के रूप में परिभाषित हैं,इसलिए प्रत्येक प्राकृत संख्या वास्तव में $0$ से बड़ी होती है। अतः,निषेध कथन असत्य है।

(N/A) कथन का निषेध है:
यह असत्य है कि $3$ और $4$ का योग $9$ है।
इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:
$3$ और $4$ का योग $9$ के बराबर नहीं है।
चूँकि $3 + 4 = 7$ और $7 \neq 9$,इसलिए परिणामी कथन सत्य है।

(N/A) दिया गया संयुक्त कथन 'और' तार्किक संयोजक द्वारा जुड़ा हुआ है।
घटक कथन इस प्रकार हैं:
$p: \text{आकाश नीला है.}$
$q: \text{घास हरी है.}$

(N/A) दिया गया संयुक्त कथन 'और' (and) तार्किक संयोजक द्वारा जुड़ा हुआ है।
घटक कथन निम्नलिखित हैं:
$p:$ वर्षा हो रही है।
$q:$ ठंड है।

(N/A) संयुक्त कथन 'और' शब्द द्वारा जुड़ा हुआ है।
घटक कथन निम्नलिखित हैं:
$p:$ सभी परिमेय संख्याएँ वास्तविक हैं।
$q:$ सभी वास्तविक संख्याएँ सम्मिश्र हैं।

(N/A) घटक कथन इस प्रकार हैं:
$p: 0$ एक धनात्मक संख्या है।
$q: 0$ एक ऋणात्मक संख्या है।
संयोजक शब्द 'या' है।

(A) घटक कथन इस प्रकार हैं:
$p:$ एक वर्ग एक चतुर्भुज है।
$q:$ एक वर्ग की चारों भुजाएँ बराबर होती हैं।
हम जानते हैं कि ये दोनों कथन सत्य हैं। यहाँ,संयोजक शब्द 'और' है।

(B) दिया गया कथन 'या' (or) से जुड़ा एक संयुक्त कथन है।
घटक कथन निम्नलिखित हैं:
$p:$ सभी अभाज्य संख्याएँ विषम संख्याएँ हैं।
$q:$ सभी अभाज्य संख्याएँ सम संख्याएँ हैं।
मूल्यांकन:
$p$ असत्य है क्योंकि $2$ एक अभाज्य संख्या है और यह सम है।
$q$ असत्य है क्योंकि $3$ एक अभाज्य संख्या है और यह विषम है।
अतः,दोनों घटक कथन असत्य हैं।

(N/A) घटक कथन निम्नलिखित हैं:
$p:$ एक व्यक्ति जिसने $Mathematics$ लिया है,वह $MCA$ के लिए जा सकता है।
$q:$ एक व्यक्ति जिसने $Computer Science$ लिया है,वह $MCA$ के लिए जा सकता है।
ये दोनों कथन सत्य हैं। यहाँ,संयोजक शब्द 'या' है।

(N/A) घटक कथन इस प्रकार हैं:
$p:$ चंडीगढ़ हरियाणा की राजधानी है।
$q:$ चंडीगढ़ यूपी की राजधानी है।
पहला कथन $p$ सत्य है,क्योंकि चंडीगढ़ हरियाणा की राजधानी है।
दूसरा कथन $q$ असत्य है,क्योंकि यूपी की राजधानी लखनऊ है।
चूंकि संयोजक शब्द 'और' है,इसलिए संयुक्त कथन असत्य है।