Mathematical induction Questions in Hindi

(A) माना $f(n) = 3^{2n} - 2n + 1$.
$n = 1$ के लिए,$f(1) = 3^{2(1)} - 2(1) + 1 = 8$.
$n = 2$ के लिए,$f(2) = 3^{2(2)} - 2(2) + 1 = 78$.
दोनों मान $2$ से विभाज्य हैं,इसलिए सही विकल्प $2$ है।

(B) सही असमिका निर्धारित करने के लिए,हम पहली कुछ प्राकृतिक संख्याओं $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$ के लिए परीक्षण करते हैं।
$n = 1$ के लिए: $1 < 2^1$ अर्थात $1 < 2$,जो सत्य है।
$n = 2$ के लिए: $2 < 2^2$ अर्थात $2 < 4$,जो सत्य है।
$n = 3$ के लिए: $3 < 2^3$ अर्थात $3 < 8$,जो सत्य है।
चूंकि $2^n$ घातांकीय रूप से बढ़ता है जबकि $n$ रैखिक रूप से बढ़ता है,इसलिए सभी प्राकृतिक संख्याओं $n \ge 1$ के लिए $2^n$ हमेशा $n$ से बड़ा होगा।
अतः,असमिका $n < 2^n$ प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए सत्य है।

(C) आइए $n = 1$ के लिए विकल्पों की जाँच करें:
$(a)$ $2^1 < 1 \implies 2 < 1$ (असत्य)
$(b)$ $1^2 > 2(1) \implies 1 > 2$ (असत्य)
$(c)$ $1^4 < 10^1 \implies 1 < 10$ (सत्य)
$(d)$ $2^{3(1)} > 7(1) + 1 \implies 8 > 8$ (असत्य)
अतः,$n \in N$ के लिए सही कथन $n^4 < 10^n$ है।

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि ${2^n} < n!$ कब सत्य है,हम $n = 1$ से मानों की जाँच करते हैं:
$n = 1$ के लिए: ${2^1} = 2$,$1! = 1$. चूँकि $2 > 1$,स्थिति असत्य है।
$n = 2$ के लिए: ${2^2} = 4$,$2! = 2$. चूँकि $4 > 2$,स्थिति असत्य है।
$n = 3$ के लिए: ${2^3} = 8$,$3! = 6$. चूँकि $8 > 6$,स्थिति असत्य है।
$n = 4$ के लिए: ${2^4} = 16$,$4! = 24$. चूँकि $16 < 24$,स्थिति सत्य है।
$n = 5$ के लिए: ${2^5} = 32$,$5! = 120$. चूँकि $32 < 120$,स्थिति सत्य है।
अतः,असमिका ${2^n} < n!$ सभी पूर्णांकों $n \geq 4$ के लिए सत्य है।

(C) यह निर्धारित करने के लिए कि $n$ के किन मानों के लिए ${3^n} > {n^3}$ है,हम छोटे धनात्मक पूर्णांकों की जाँच करते हैं:
$n = 1$ के लिए: ${3^1} = 3$ और ${1^3} = 1$। चूँकि $3 > 1$,शर्त सत्य है।
$n = 2$ के लिए: ${3^2} = 9$ और ${2^3} = 8$। चूँकि $9 > 8$,शर्त सत्य है।
$n = 3$ के लिए: ${3^3} = 27$ और ${3^3} = 27$। यहाँ $27 = 27$ है,इसलिए शर्त ${3^n} > {n^3}$ सत्य नहीं है।
$n = 4$ के लिए: ${3^4} = 81$ और ${4^3} = 64$। चूँकि $81 > 64$,शर्त सत्य है।
$n = 5$ के लिए: ${3^5} = 243$ और ${5^3} = 125$। चूँकि $243 > 125$,शर्त सत्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,यह दिखाया जा सकता है कि सभी $n \geq 4$ के लिए,असमिका ${3^n} > {n^3}$ सत्य है।

(D) कथन $P(n)$ यह है कि $n^2 + n$ विषम है।
हम $n^2 + n = n(n + 1)$ लिख सकते हैं।
चूंकि $n$ और $n + 1$ क्रमागत पूर्णांक हैं,उनमें से एक सम और दूसरा विषम होना चाहिए।
एक सम संख्या और एक विषम संख्या का गुणनफल हमेशा सम होता है।
इसलिए,सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए $n^2 + n$ हमेशा सम होता है।
चूंकि कथन का दावा है कि $n^2 + n$ विषम है,इसलिए कथन $P(n)$ सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए गलत है।
अतः,ऐसा कोई $n$ नहीं है जिसके लिए $P(n)$ सत्य हो।
इसलिए,सही विकल्प $(d)$ है।

(D) दिया गया कथन $P(n) = 2 + 4 + 6 + \dots + 2n$ एक समांतर श्रेणी है जिसका योग $S_n = n(n + 1)$ है।
दिए गए आगमनात्मक चरण $P(k) = k(k + 1) + 2 \implies P(k + 1) = (k + 1)(k + 2) + 2$ का उपयोग करते हुए,हम $P(n) = n(n + 1) + 2$ सूत्र की वैधता का परीक्षण कर रहे हैं।
चूंकि पहली $n$ सम संख्याओं का वास्तविक योग $n(n + 1)$ है,इसलिए $P(n) = n(n + 1) + 2$ सूत्र सभी $n \in N$ के लिए गलत है।
इसलिए,प्रदान किया गया आगमनात्मक चरण किसी भी $n$ के लिए सूत्र को सिद्ध नहीं करता है,और इस प्रकार दी गई जानकारी से $P(n) = n(n + 1) + 2$ सूत्र की वैधता के बारे में कुछ नहीं कहा जा सकता है।

(C) हम $n = 1$ के लिए कथन $P(n)$ की जाँच करते हैं:
$LHS = 1 \times 1! = 1$.
$RHS = (1 + 1)! - 1 = 2! - 1 = 2 - 1 = 1$.
चूँकि $LHS = RHS$,कथन $n = 1$ के लिए सत्य है।
मान लीजिए कि कथन $n = k$ के लिए सत्य है,अर्थात $1 \times 1! + 2 \times 2! + \dots + k \times k! = (k + 1)! - 1$.
$n = k + 1$ के लिए,हमारे पास है:
$(1 \times 1! + 2 \times 2! + \dots + k \times k!) + (k + 1) \times (k + 1)! = ((k + 1)! - 1) + (k + 1) \times (k + 1)!$.
$= (k + 1)! \times (1 + k + 1) - 1 = (k + 1)! \times (k + 2) - 1 = (k + 2)! - 1$.
यह $n = k + 1$ के लिए $(n + 1)! - 1$ के रूप से मेल खाता है।
अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,कथन सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए सत्य है।

(A) हम प्राकृत संख्याओं $n = 1, 2, 3, 4, \dots$ के लिए असमिका $2^n > 2n + 1$ की जाँच करते हैं।
$n = 1$ के लिए: $2^1 = 2$ और $2(1) + 1 = 3$। चूँकि $2 > 3$ असत्य है,इसलिए $n = 1$ के लिए असमिका मान्य नहीं है।
$n = 2$ के लिए: $2^2 = 4$ और $2(2) + 1 = 5$। चूँकि $4 > 5$ असत्य है,इसलिए $n = 2$ के लिए असमिका मान्य नहीं है।
$n = 3$ के लिए: $2^3 = 8$ और $2(3) + 1 = 7$। चूँकि $8 > 7$ सत्य है,इसलिए $n = 3$ के लिए असमिका मान्य है।
$n = 4$ के लिए: $2^4 = 16$ और $2(4) + 1 = 9$। चूँकि $16 > 9$ सत्य है,इसलिए $n = 4$ के लिए असमिका मान्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,यह दिखाया जा सकता है कि यह असमिका सभी $n \ge 3$ के लिए मान्य है।

(D) गणितीय आगमन के सिद्धांत के अनुसार,किसी कथन $P(n)$ के सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए सत्य होने हेतु दो शर्तों का पूरा होना आवश्यक है:
$1$. $P(1)$ सत्य होना चाहिए।
$2$. यदि $P(k)$ सत्य है,तो $P(k+1)$ भी सत्य होना चाहिए।
दिए गए प्रश्न में,केवल $P(n) \implies P(n+1)$ का निहितार्थ दिया गया है। आधार स्थिति (अर्थात $P(1)$ के सत्य होने) के बिना,हम यह निष्कर्ष नहीं निकाल सकते कि $P(n)$ किसी भी $n$ के लिए सत्य है। अतः,$P(n)$ की सत्यता के बारे में कुछ नहीं कहा जा सकता है।

(C) दिया गया है $S(k) = 1 + 3 + 5 + \dots + (2k - 1) = 3 + k^2$.
$k = 1$ के लिए,$S(1) \Rightarrow 1 = 3 + 1^2 = 4$,जो असत्य है।
$k = 2$ के लिए,$S(2) \Rightarrow 1 + 3 = 3 + 2^2 = 7$,जो असत्य है।
अब,मान लें कि $S(k)$ सत्य है,अर्थात $1 + 3 + 5 + \dots + (2k - 1) = 3 + k^2$.
दोनों पक्षों में $(2(k + 1) - 1) = 2k + 1$ जोड़ने पर:
$1 + 3 + 5 + \dots + (2k - 1) + (2k + 1) = 3 + k^2 + 2k + 1 = 3 + (k + 1)^2$.
यह दर्शाता है कि $S(k) \Rightarrow S(k + 1)$ सत्य है,भले ही आधार चरण $S(1)$ असत्य हो।

(C) $n = 1$ के लिए,हमें प्राप्त होता है,
${P^{1 + 1}} + {(P + 1)^{2(1) - 1}} = {P^2} + {(P + 1)^1} = {P^2} + P + 1$.
यह व्यंजक ${P^2} + P + 1$ से विभाज्य है।
मान लीजिए कि दिया गया परिणाम $n = m \in N$ के लिए सत्य है,अर्थात,${P^{m + 1}} + {(P + 1)^{2m - 1}} = k({P^2} + P + 1)$ किसी $k \in N$ के लिए .....$(i)$
अब,$n = m + 1$ के लिए:
${P^{(m + 1) + 1}} + {(P + 1)^{2(m + 1) - 1}} = {P^{m + 2}} + {(P + 1)^{2m + 1}} = {P^{m + 2}} + {(P + 1)^2}{(P + 1)^{2m - 1}}$.
समीकरण $(i)$ का उपयोग करते हुए,${(P + 1)^{2m - 1}} = k({P^2} + P + 1) - {P^{m + 1}}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= {P^{m + 2}} + {(P + 1)^2}[k({P^2} + P + 1) - {P^{m + 1}}]
= {P^{m + 2}} + {(P + 1)^2} \cdot k({P^2} + P + 1) - {(P + 1)^2}{P^{m + 1}}
= {P^{m + 1}}[P - {(P + 1)^2}] + {(P + 1)^2} \cdot k({P^2} + P + 1)
= {P^{m + 1}}[P - ({P^2} + 2P + 1)] + {(P + 1)^2} \cdot k({P^2} + P + 1)
= {P^{m + 1}}[-{P^2} - P - 1] + {(P + 1)^2} \cdot k({P^2} + P + 1)
= -{P^{m + 1}}({P^2} + P + 1) + {(P + 1)^2} \cdot k({P^2} + P + 1)
= ({P^2} + P + 1)[k{(P + 1)^2} - {P^{m + 1}}]$.
चूंकि यह ${P^2} + P + 1$ का एक गुणज है,इसलिए परिणाम $n = m + 1$ के लिए सत्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,परिणाम सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।

(A) चरण $I$: दिया गया संबंध ${U_{n + 1}} = 3{U_n} - 2{U_{n - 1}}$ है,जहाँ ${U_0} = 2$ और ${U_1} = 3$ है।
$n = 1$ के लिए,${U_2} = 3{U_1} - 2{U_0} = 3(3) - 2(2) = 5$ प्राप्त होता है।
विकल्प $(A)$ ${U_n} = {2^n} + 1$ की जाँच करने पर:
$n = 0$ के लिए,${U_0} = {2^0} + 1 = 2$ (सत्य)।
$n = 1$ के लिए,${U_1} = {2^1} + 1 = 3$ (सत्य)।
$n = 2$ के लिए,${U_2} = {2^2} + 1 = 5$ (सत्य)।
चरण $II$: मान लीजिए कि ${U_k} = {2^k} + 1$ और ${U_{k - 1}} = {2^{k - 1}} + 1$ सत्य है।
चरण $III$: $n = k$ के लिए संबंध का उपयोग करने पर:
${U_{k + 1}} = 3({2^k} + 1) - 2({2^{k - 1}} + 1) = 3 \cdot {2^k} + 3 - {2^k} - 2 = 2 \cdot {2^k} + 1 = {2^{k + 1}} + 1$।
अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,सभी $n \in N \cup \{0\}$ के लिए ${U_n} = {2^n} + 1$ सत्य है।

(A) हमें $\lambda \in N$ का वह न्यूनतम मान ज्ञात करना है जिसके लिए सभी $n \geq \lambda$ के लिए $3^n < n!$ सत्य हो।
$n$ के मानों की जाँच करने पर:
$n=1$ के लिए: $3^1 = 3, 1! = 1$. ($3 < 1$ असत्य है)
$n=6$ के लिए: $3^6 = 729, 6! = 720$. ($729 < 720$ असत्य है)
$n=7$ के लिए: $3^7 = 2187, 7! = 5040$. ($2187 < 5040$ सत्य है)
अतः,$\lambda$ का न्यूनतम मान $7$ है।

(A) दिया गया कथन $P(n) = n^2 - n + 41$ है।
$n = 3$ के लिए:
$P(3) = 3^2 - 3 + 41 = 9 - 3 + 41 = 47$.
चूंकि $47$ एक अभाज्य संख्या है,इसलिए $P(3)$ सत्य है।
$n = 5$ के लिए:
$P(5) = 5^2 - 5 + 41 = 25 - 5 + 41 = 61$.
चूंकि $61$ एक अभाज्य संख्या है,इसलिए $P(5)$ सत्य है।
अतः,$P(3)$ और $P(5)$ दोनों सत्य हैं।

(N/A) माना कि दिया गया कथन $P(n)$ है,अर्थात
$P(n): 1^{2}+2^{2}+\ldots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$n=1$ के लिए,$P(1): 1^{2} = \frac{1(1+1)(2 \times 1+1)}{6} = \frac{1 \times 2 \times 3}{6} = 1,$ जो सत्य है।
माना कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात
$1^{2}+2^{2}+\ldots+k^{2}=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \quad \dots(1)$
अब हम सिद्ध करेंगे कि $P(k+1)$ भी सत्य है।
प्रथम $(k+1)$ पदों का योग लें:
$(1^{2}+2^{2}+\ldots+k^{2})+(k+1)^{2} = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^{2} \quad [(1) \text{ का उपयोग करने पर}]$
$= \frac{(k+1)[k(2k+1) + 6(k+1)]}{6}$
$= \frac{(k+1)[2k^{2}+7k+6]}{6}$
$= \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$
$= \frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6}$
अतः,जब $P(k)$ सत्य है,तब $P(k+1)$ भी सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,कथन $P(n)$ सभी प्राकृतिक संख्याओं $n \ge 1$ के लिए सत्य है।

माना $P(n): 2^n > n$.
चरण $1$: $n = 1$ के लिए,$2^1 = 2 > 1$. अतः,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $2^k > k$ ..............$(1)$.
चरण $3$: अब हम सिद्ध करेंगे कि जब भी $P(k)$ सत्य है,तब $P(k+1)$ भी सत्य है।
$(1)$ के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2 \cdot 2^k > 2k$
$2^{k+1} > 2k$
चूंकि $k \geq 1$,इसलिए $k + k \geq k + 1$.
अतः,$2k = k + k > k + 1$.
इसलिए,$2^{k+1} > k + 1$.
निष्कर्ष: जब भी $P(k)$ सत्य है,तब $P(k+1)$ सत्य है। अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $P(n)$ सत्य है।

माना $P(n)$ कथन है: $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1}$.
चरण $1$: $n = 1$ के लिए,बायां पक्ष $\frac{1}{1 \times 2} = \frac{1}{2}$ है और दायां पक्ष $\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$ है। चूंकि बायां पक्ष = दायां पक्ष,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी प्राकृतिक संख्या $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \ldots + \frac{1}{k(k+1)} = \frac{k}{k+1}$ $(1)$.
चरण $3$: हमें सिद्ध करना है कि $P(k+1)$ सत्य है,अर्थात $\frac{1}{1 \times 2} + \ldots + \frac{1}{k(k+1)} + \frac{1}{(k+1)(k+2)} = \frac{k+1}{k+2}$.
$P(k+1)$ के बाएं पक्ष से शुरू करते हुए:
$= \left[ \frac{1}{1 \times 2} + \ldots + \frac{1}{k(k+1)} \right] + \frac{1}{(k+1)(k+2)}$
$= \frac{k}{k+1} + \frac{1}{(k+1)(k+2)}$ ($(1)$ का उपयोग करते हुए)
$= \frac{k(k+2) + 1}{(k+1)(k+2)} = \frac{k^2 + 2k + 1}{(k+1)(k+2)} = \frac{(k+1)^2}{(k+1)(k+2)} = \frac{k+1}{k+2}$.
अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \ge 1$ के लिए सत्य है।

(N/A) माना कथन $P(n): 7^{n} - 3^{n}$ संख्या $4$ से विभाज्य है।
चरण $1$: $n = 1$ के लिए जाँच करें।
$P(1): 7^{1} - 3^{1} = 4,$ जो $4$ से विभाज्य है। अतः,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी प्राकृत संख्या $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है।
$P(k): 7^{k} - 3^{k} = 4d,$ जहाँ $d \in \mathbb{N}.$
चरण $3$: सिद्ध करें कि $P(k+1)$ सत्य है।
$7^{k+1} - 3^{k+1} = 7 \cdot 7^{k} - 3 \cdot 3^{k}$
$= 7 \cdot 7^{k} - 7 \cdot 3^{k} + 7 \cdot 3^{k} - 3 \cdot 3^{k}$
$= 7(7^{k} - 3^{k}) + (7 - 3) \cdot 3^{k}$
$= 7(4d) + 4 \cdot 3^{k}$
$= 4(7d + 3^{k})$
चूँकि $4(7d + 3^{k})$ संख्या $4$ का एक गुणज है,इसलिए $P(k+1)$ सत्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $7^{n} - 3^{n}$ संख्या $4$ से विभाज्य है।

(N/A) माना $P(n)$ दिया गया कथन है,अर्थात $P(n): (1 + x)^n \ge (1 + nx)$ जहाँ $x > -1.$
हम देखते हैं कि जब $n = 1$ है तो $P(n)$ सत्य है,क्योंकि $x > -1$ के लिए $(1 + x) \ge (1 + x).$
माना कि $P(k): (1 + x)^k \ge (1 + kx)$ जहाँ $x > -1$ सत्य है। $(1)$
हम सिद्ध करना चाहते हैं कि जब भी $P(k)$ सत्य है,तो $x > -1$ के लिए $P(k + 1)$ सत्य है। $(2)$
सर्वसमिका $(1 + x)^{k+1} = (1 + x)^k(1 + x)$ पर विचार करें।
दिया गया है कि $x > -1,$ इसलिए $(1 + x) > 0.$
अतः,$(1 + x)^k \ge (1 + kx)$ का उपयोग करके,हमारे पास $(1 + x)^{k+1} \ge (1 + kx)(1 + x)$ है।
अर्थात,$(1 + x)^{k+1} \ge (1 + x + kx + kx^2).$ $(3)$
यहाँ $k$ एक प्राकृतिक संख्या है और $x^2 \ge 0,$ इसलिए $kx^2 \ge 0.$ अतः,$(1 + x + kx + kx^2) \ge (1 + x + kx).$
और इस प्रकार हमें $(1 + x)^{k+1} \ge (1 + (1 + k)x)$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$(2)$ में दिया गया कथन सिद्ध होता है। अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सत्य है।

(N/A) माना कथन $P(n)$ इस प्रकार है: $P(n): 2 \cdot 7^{n} + 3 \cdot 5^{n} - 5$,$24$ से विभाज्य है।
चरण $1$: $n=1$ के लिए,$2 \cdot 7^{1} + 3 \cdot 5^{1} - 5 = 14 + 15 - 5 = 24$,जो $24$ से विभाज्य है। अतः,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: माना $P(k)$ किसी $k \in N$ के लिए सत्य है,अर्थात $2 \cdot 7^{k} + 3 \cdot 5^{k} - 5 = 24q$,जहाँ $q \in N$ है। इससे $2 \cdot 7^{k} = 24q - 3 \cdot 5^{k} + 5$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: हमें सिद्ध करना है कि $P(k+1)$ सत्य है,अर्थात $2 \cdot 7^{k+1} + 3 \cdot 5^{k+1} - 5$,$24$ से विभाज्य है।
$2 \cdot 7^{k+1} + 3 \cdot 5^{k+1} - 5 = 7(2 \cdot 7^{k}) + 15 \cdot 5^{k} - 5$ लें।
$2 \cdot 7^{k} = 24q - 3 \cdot 5^{k} + 5$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= 7(24q - 3 \cdot 5^{k} + 5) + 15 \cdot 5^{k} - 5$
$= 168q - 21 \cdot 5^{k} + 35 + 15 \cdot 5^{k} - 5$
$= 168q - 6 \cdot 5^{k} + 30$
$= 168q - 6(5^{k} - 5)$।
चूँकि $5^{k} - 5$,$4$ का गुणज है,अतः $5^{k} - 5 = 4m$ लेने पर:
$= 168q - 6(4m) = 168q - 24m = 24(7q - m)$,जो $24$ से विभाज्य है।
अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।

माना $P(n)$ कथन है: $1^{2} + 2^{2} + \ldots + n^{2} > \frac{n^{3}}{3}$.
चरण $1$: $n = 1$ के लिए,$1^{2} = 1$ और $\frac{1^{3}}{3} = \frac{1}{3}$. चूंकि $1 > \frac{1}{3}$,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए $P(k)$ किसी $k \in N$ के लिए सत्य है,अर्थात $1^{2} + 2^{2} + \ldots + k^{2} > \frac{k^{3}}{3}$ $(1)$.
चरण $3$: हमें सिद्ध करना है कि $P(k+1)$ सत्य है,अर्थात $1^{2} + 2^{2} + \ldots + k^{2} + (k+1)^{2} > \frac{(k+1)^{3}}{3}$.
बाएँ पक्ष से शुरू करते हुए:
$1^{2} + 2^{2} + \ldots + k^{2} + (k+1)^{2} > \frac{k^{3}}{3} + (k+1)^{2}$ ($(1)$ का उपयोग करते हुए)
$= \frac{k^{3} + 3(k^{2} + 2k + 1)}{3} = \frac{k^{3} + 3k^{2} + 6k + 3}{3}$
$= \frac{(k^{3} + 3k^{2} + 3k + 1) + 3k + 2}{3} = \frac{(k+1)^{3} + 3k + 2}{3}$
चूंकि $k \in N$ के लिए $3k + 2 > 0$,इसलिए $\frac{(k+1)^{3} + 3k + 2}{3} > \frac{(k+1)^{3}}{3}$.
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।

माना $P(n)$ दिया गया कथन है:
$P(n) : (ab)^{n} = a^{n}b^{n}$
चरण $1$: $n = 1$ के लिए,$(ab)^{1} = ab$ और $a^{1}b^{1} = ab$. चूँकि $ab = ab$,इसलिए $P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी प्राकृतिक संख्या $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $(ab)^{k} = a^{k}b^{k}$ .......... $(1)$
चरण $3$: हमें सिद्ध करना है कि $P(k+1)$ सत्य है,अर्थात $(ab)^{k+1} = a^{k+1}b^{k+1}$.
$(ab)^{k+1} = (ab)^{k} \cdot (ab)$ पर विचार करें।
मान्यता $(1)$ का उपयोग करने पर,$(ab)^{k+1} = (a^{k}b^{k}) \cdot (ab)$.
गुणा के साहचर्य और क्रमविनिमेय गुणों का उपयोग करने पर,$(ab)^{k+1} = (a^{k} \cdot a) \cdot (b^{k} \cdot b) = a^{k+1}b^{k+1}$.
अतः,जब भी $P(k)$ सत्य है,तब $P(k+1)$ भी सत्य है। गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए सत्य है।

(N/A) माना कि दिया गया कथन $P(n)$ है,अर्थात
$P(n): 1+3+3^{2}+\ldots+3^{n-1}=\frac{3^{n}-1}{2}$
$n=1$ के लिए,
$P(1): 1 = \frac{3^{1}-1}{2} = \frac{2}{2} = 1,$ जो सत्य है।
माना कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात
$1+3+3^{2}+\ldots+3^{k-1} = \frac{3^{k}-1}{2}$ $(i)$
अब हम सिद्ध करेंगे कि $P(k+1)$ सत्य है।
$(k+1)$ पदों तक के योग पर विचार करें:
$1+3+3^{2}+\ldots+3^{k-1}+3^{(k+1)-1}$
$= (1+3+3^{2}+\ldots+3^{k-1}) + 3^{k}$
$= \frac{3^{k}-1}{2} + 3^{k}$ [$(i)$ का उपयोग करते हुए]
$= \frac{3^{k}-1 + 2 \cdot 3^{k}}{2}$
$= \frac{(1+2) \cdot 3^{k} - 1}{2}$
$= \frac{3 \cdot 3^{k} - 1}{2}$
$= \frac{3^{k+1}-1}{2}$
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,कथन $P(n)$ सभी प्राकृतिक संख्याओं $n \in N$ के लिए सत्य है।

माना कि दिया गया कथन $P(n)$ है,अर्थात
$P(n): 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+n^{3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}$
$n=1$ के लिए,हमारे पास है
$P(1): 1^{3}=1=\left(\frac{1(1+1)}{2}\right)^{2}=\left(\frac{2}{2}\right)^{2}=1^{2}=1,$ जो सत्य है।
माना कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात
$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+k^{3}=\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^{2}$ ........$(i)$
अब हम सिद्ध करेंगे कि $P(k+1)$ सत्य है।
विचार कीजिए
$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+k^{3}+(k+1)^{3}$
$= \left(1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+k^{3}\right)+(k+1)^{3}$
$= \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^{2}+(k+1)^{3}$ [$(i)$ का उपयोग करते हुए]
$= \frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}+(k+1)^{3}$
$= \frac{k^{2}(k+1)^{2}+4(k+1)^{3}}{4}$
$= \frac{(k+1)^{2}\{k^{2}+4(k+1)\}}{4}$
$= \frac{(k+1)^{2}\{k^{2}+4k+4\}}{4}$
$= \frac{(k+1)^{2}(k+2)^{2}}{4}$
$= \left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^{2}$
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,कथन $P(n)$ सभी प्राकृतिक संख्याओं $n \in N$ के लिए सत्य है।

(N/A) माना कि दिया गया कथन $P(n)$ है,अर्थात
$P(n): 1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\ldots+\frac{1}{1+2+3+\ldots+n}=\frac{2n}{n+1}$
$n=1$ के लिए,
$P(1): 1=\frac{2(1)}{1+1}=\frac{2}{2}=1$,जो सत्य है।
माना कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात
$1+\frac{1}{1+2}+\ldots+\frac{1}{1+2+3+\ldots+k}=\frac{2k}{k+1}$ .........$(i)$
अब हम सिद्ध करेंगे कि $P(k+1)$ सत्य है।
$(k+1)$ पदों तक का योग लें:
$S_{k+1} = \left(1+\frac{1}{1+2}+\ldots+\frac{1}{1+2+3+\ldots+k}\right)+\frac{1}{1+2+3+\ldots+k+(k+1)}$
$(i)$ का उपयोग करने पर:
$S_{k+1} = \frac{2k}{k+1} + \frac{1}{\frac{(k+1)(k+2)}{2}}$ [चूंकि $1+2+\ldots+n = \frac{n(n+1)}{2}$]
$S_{k+1} = \frac{2k}{k+1} + \frac{2}{(k+1)(k+2)}$
$S_{k+1} = \frac{2}{(k+1)} \left(k + \frac{1}{k+2}\right)$
$S_{k+1} = \frac{2}{(k+1)} \left(\frac{k^2+2k+1}{k+2}\right)$
$S_{k+1} = \frac{2}{(k+1)} \left(\frac{(k+1)^2}{k+2}\right)$
$S_{k+1} = \frac{2(k+1)}{k+2}$
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,कथन $P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।

माना कि दिया गया कथन $P(n)$ है,अर्थात,
$P(n): 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \ldots + n(n+1)(n+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$
$n=1$ के लिए,हमारे पास है
$P(1): 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6 = \frac{1(1+1)(1+2)(1+3)}{4} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{4} = 6$,जो सत्य है।
माना कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात
$1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \ldots + k(k+1)(k+2) = \frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4}$ ........$(i)$
अब हम सिद्ध करेंगे कि $P(k+1)$ सत्य है।
विचार कीजिए
$1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \ldots + k(k+1)(k+2) + (k+1)(k+2)(k+3)$
$= \{1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \ldots + k(k+1)(k+2)\} + (k+1)(k+2)(k+3)$
$= \frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4} + (k+1)(k+2)(k+3)$ [$(i)$ का उपयोग करते हुए]
$= (k+1)(k+2)(k+3) \left( \frac{k}{4} + 1 \right)$
$= \frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4}$
$= \frac{(k+1)((k+1)+1)((k+1)+2)((k+1)+3)}{4}$
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,कथन $P(n)$ सभी प्राकृतिक संख्याओं $n \in N$ के लिए सत्य है।

माना कि दिया गया कथन $P(n)$ है,अर्थात,
$P(n): 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3^{3} + \ldots + n \cdot 3^{n} = \frac{(2n - 1) 3^{n+1} + 3}{4}$
$n = 1$ के लिए,
$P(1): 1 \cdot 3 = 3 = \frac{(2 \cdot 1 - 1) 3^{1+1} + 3}{4} = \frac{3^{2} + 3}{4} = \frac{12}{4} = 3$,जो सत्य है।
माना कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात,
$1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3^{3} + \ldots + k \cdot 3^{k} = \frac{(2k - 1) 3^{k+1} + 3}{4}$ $(i)$
अब हम सिद्ध करेंगे कि $P(k+1)$ सत्य है।
$(k+1)$ पदों तक का योग लीजिए:
$(1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^{2} + \ldots + k \cdot 3^{k}) + (k+1) \cdot 3^{k+1}$
$= \frac{(2k - 1) 3^{k+1} + 3}{4} + (k+1) 3^{k+1}$ [$(i)$ का उपयोग करते हुए]
$= \frac{(2k - 1) 3^{k+1} + 3 + 4(k+1) 3^{k+1}}{4}$
$= \frac{3^{k+1} \{2k - 1 + 4k + 4\} + 3}{4}$
$= \frac{3^{k+1} \{6k + 3\} + 3}{4}$
$= \frac{3^{k+1} \cdot 3 \{2k + 1\} + 3}{4}$
$= \frac{3^{(k+1)+1} \{2(k+1) - 1\} + 3}{4}$
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,कथन $P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।

(N/A) माना दिया गया कथन $P(n)$ है,अर्थात,
$P(n): 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \ldots + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$
$n=1$ के लिए,हमारे पास है:
$P(1): 1 \cdot 2 = 2 = \frac{1(1+1)(1+2)}{3} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3} = 2$,जो सत्य है।
माना कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात,
$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \ldots + k(k+1) = \frac{k(k+1)(k+2)}{3}$ $(i)$
अब हम सिद्ध करेंगे कि $P(k+1)$ सत्य है।
$(k+1)$ पदों तक के योग पर विचार करें:
$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \ldots + k(k+1) + (k+1)(k+2)$
$= \frac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)(k+2)$ [$(i)$ का उपयोग करते हुए]
$= (k+1)(k+2) \left( \frac{k}{3} + 1 \right)$
$= (k+1)(k+2) \left( \frac{k+3}{3} \right)$
$= \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$
यह $P(k+1)$ का रूप है।
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,कथन $P(n)$ सभी प्राकृतिक संख्याओं $n \in N$ के लिए सत्य है।

(N/A) माना दिया गया कथन $P(n)$ है,अर्थात
$P(n): 1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + \ldots + (2n - 1)(2n + 1) = \frac{n(4n^2 + 6n - 1)}{3}$
$n = 1$ के लिए,
$P(1): 1 \cdot 3 = 3 = \frac{1(4(1)^2 + 6(1) - 1)}{3} = \frac{4 + 6 - 1}{3} = \frac{9}{3} = 3$,जो सत्य है।
माना किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात
$1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + \ldots + (2k - 1)(2k + 1) = \frac{k(4k^2 + 6k - 1)}{3}$ $(i)$
अब हम सिद्ध करेंगे कि $P(k + 1)$ सत्य है।
$(k + 1)$ पदों तक का योग लें:
$(1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + \ldots + (2k - 1)(2k + 1)) + (2(k + 1) - 1)(2(k + 1) + 1)$
$= \frac{k(4k^2 + 6k - 1)}{3} + (2k + 1)(2k + 3)$ [$(i)$ का उपयोग करते हुए]
$= \frac{4k^3 + 6k^2 - k + 3(4k^2 + 8k + 3)}{3}$
$= \frac{4k^3 + 18k^2 + 23k + 9}{3}$
$= \frac{(k + 1)(4(k + 1)^2 + 6(k + 1) - 1)}{3}$
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k + 1)$ भी सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,कथन $P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।

(N/A) माना कि दिया गया कथन $P(n)$ है,अर्थात
$P(n): 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2^{3} + \ldots + n \cdot 2^{n} = (n-1) 2^{n+1} + 2$
$n=1$ के लिए,हमारे पास है
$P(1): 1 \cdot 2 = 2 = (1-1) 2^{1+1} + 2 = 0 + 2 = 2$,जो सत्य है।
माना कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात
$1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2^{3} + \ldots + k \cdot 2^{k} = (k-1) 2^{k+1} + 2$ ........$(i)$
अब हम सिद्ध करेंगे कि $P(k+1)$ सत्य है।
विचार कीजिए
$\{1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2^{3} + \ldots + k \cdot 2^{k}\} + (k+1) \cdot 2^{k+1}$
$= (k-1) 2^{k+1} + 2 + (k+1) 2^{k+1}$
$= 2^{k+1} \{(k-1) + (k+1)\} + 2$
$= 2^{k+1} \cdot (2k) + 2$
$= k \cdot 2^{(k+1)+1} + 2$
$= \{(k+1)-1\} 2^{(k+1)+1} + 2$
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,कथन $P(n)$ सभी प्राकृतिक संख्याओं $n \in N$ के लिए सत्य है।

माना कि दिया गया कथन $P(n)$ है,अर्थात
$P(n): \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots+\frac{1}{2^{n}}=1-\frac{1}{2^{n}}$
$n=1$ के लिए,हमारे पास है
$P(1): \frac{1}{2}=1-\frac{1}{2^{1}}=\frac{1}{2}$,जो सत्य है।
माना कि $P(k)$ किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए सत्य है,अर्थात
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots+\frac{1}{2^{k}}=1-\frac{1}{2^{k}}$ $(i)$
अब हम सिद्ध करेंगे कि $P(k+1)$ सत्य है।
विचार कीजिए
$\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots+\frac{1}{2^{k}}\right)+\frac{1}{2^{k+1}}$
$= \left(1-\frac{1}{2^{k}}\right)+\frac{1}{2^{k+1}}$ [$(i)$ का उपयोग करते हुए]
$= 1 - \frac{1}{2^{k}} + \frac{1}{2^{k+1}}$
$= 1 - \left(\frac{2}{2^{k+1}} - \frac{1}{2^{k+1}}\right)$
$= 1 - \frac{1}{2^{k+1}}$
अतः,जब भी $P(k)$ सत्य है,तब $P(k+1)$ भी सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,कथन $P(n)$ सभी प्राकृतिक संख्याओं $n \in N$ के लिए सत्य है।

माना दिया गया कथन $P(n)$ है,अर्थात
$P(n): \frac{1}{2 \times 5} + \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \ldots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{n}{6n+4}$
$n=1$ के लिए,
$P(1): \frac{1}{2 \times 5} = \frac{1}{10} = \frac{1}{6(1)+4} = \frac{1}{10}$,जो सत्य है।
माना किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात
$P(k): \frac{1}{2 \times 5} + \frac{1}{5 \times 8} + \ldots + \frac{1}{(3k-1)(3k+2)} = \frac{k}{6k+4}$ ..........$(i)$
अब हम सिद्ध करेंगे कि $P(k+1)$ सत्य है।
$(k+1)$ पदों तक का योग लीजिए:
$\frac{1}{2 \times 5} + \ldots + \frac{1}{(3k-1)(3k+2)} + \frac{1}{\{3(k+1)-1\}\{3(k+1)+2\}}$
$= \frac{k}{6k+4} + \frac{1}{(3k+2)(3k+5)}$ [$(i)$ का उपयोग करते हुए]
$= \frac{k}{2(3k+2)} + \frac{1}{(3k+2)(3k+5)}$
$= \frac{1}{3k+2} \left( \frac{k}{2} + \frac{1}{3k+5} \right)$
$= \frac{1}{3k+2} \left( \frac{k(3k+5) + 2}{2(3k+5)} \right)$
$= \frac{1}{3k+2} \left( \frac{3k^2 + 5k + 2}{2(3k+5)} \right)$
$= \frac{1}{3k+2} \left( \frac{(3k+2)(k+1)}{2(3k+5)} \right)$
$= \frac{k+1}{2(3k+5)} = \frac{k+1}{6k+10}$
$= \frac{k+1}{6(k+1)+4}$
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,कथन $P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।

(N/A) माना दिया गया कथन $P(n)$ है,अर्थात
$P(n): \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$
$n=1$ के लिए,
$P(1): \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{1(1+3)}{4(1+1)(1+2)} = \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3},$ जो सत्य है।
माना $P(k)$ किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए सत्य है,अर्थात
$\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{k(k+3)}{4(k+1)(k+2)}$ ........$(i)$
अब हम सिद्ध करेंगे कि $P(k+1)$ सत्य है।
$(k+1)$ पदों तक का योग लेने पर:
$= \frac{k(k+3)}{4(k+1)(k+2)} + \frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}$ [$(i)$ का उपयोग करते हुए]
$= \frac{1}{(k+1)(k+2)} \left\{ \frac{k(k+3)^2 + 4}{4(k+3)} \right\} = \frac{(k+1)(k+4)}{4(k+2)(k+3)}$
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।

(N/A) माना कि दिया गया कथन $P(n)$ है,अर्थात
$P(n): a + ar + ar^{2} + \ldots + ar^{n-1} = \frac{a(r^{n} - 1)}{r - 1}$
$n = 1$ के लिए,हमारे पास है
$P(1): a = \frac{a(r^{1} - 1)}{r - 1} = a$,जो सत्य है।
माना कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात
$a + ar + ar^{2} + \ldots + ar^{k-1} = \frac{a(r^{k} - 1)}{r - 1}$ $(i)$
अब हम सिद्ध करेंगे कि $P(k+1)$ सत्य है।
प्रथम $(k+1)$ पदों का योग लीजिए:
$(a + ar + ar^{2} + \ldots + ar^{k-1}) + ar^{(k+1)-1}$
$= \frac{a(r^{k} - 1)}{r - 1} + ar^{k}$ [$(i)$ का उपयोग करते हुए]
$= \frac{a(r^{k} - 1) + ar^{k}(r - 1)}{r - 1}$
$= \frac{ar^{k} - a + ar^{k+1} - ar^{k}}{r - 1}$
$= \frac{ar^{k+1} - a}{r - 1}$
$= \frac{a(r^{k+1} - 1)}{r - 1}$
अतः,जब भी $P(k)$ सत्य है,तब $P(k+1)$ भी सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,कथन $P(n)$ सभी प्राकृतिक संख्याओं $n \in N$ के लिए सत्य है।

माना कि दिया गया कथन $P(n)$ है,अर्थात
$P(n): \left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{9}\right) \dots \left(1+\frac{2n+1}{n^{2}}\right)=(n+1)^{2}$
$n=1$ के लिए,
$P(1): \left(1+\frac{3}{1}\right) = 4 = (1+1)^{2} = 2^{2} = 4$,जो सत्य है।
माना कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात
$\left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{9}\right) \dots \left(1+\frac{2k+1}{k^{2}}\right)=(k+1)^{2}$ $(i)$
अब हम सिद्ध करेंगे कि $P(k+1)$ सत्य है।
$(k+1)$ पदों तक का गुणनफल लीजिए:
$\left[\left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right) \dots \left(1+\frac{2k+1}{k^{2}}\right)\right] \left\{1+\frac{2(k+1)+1}{(k+1)^{2}}\right\}$
$= (k+1)^{2} \left(1+\frac{2k+3}{(k+1)^{2}}\right)$ [$(i)$ का उपयोग करते हुए]
$= (k+1)^{2} \left[\frac{(k+1)^{2} + 2k + 3}{(k+1)^{2}}\right]$
$= (k+1)^{2} + 2k + 3$
$= k^{2} + 2k + 1 + 2k + 3 = k^{2} + 4k + 4$
$= (k+2)^{2} = \{(k+1)+1\}^{2}$
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,कथन $P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।

माना कि दिया गया कथन $P(n)$ है,अर्थात
$P(n): \left(1+\frac{1}{1}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right) \dots\left(1+\frac{1}{n}\right)=(n+1)$
$n=1$ के लिए,हमारे पास है
$P(1): \left(1+\frac{1}{1}\right) = 2 = (1+1)$,जो सत्य है।
माना कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात
$P(k): \left(1+\frac{1}{1}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right) \dots\left(1+\frac{1}{k}\right)=(k+1)$ .........$(i)$
अब हम सिद्ध करेंगे कि $P(k+1)$ सत्य है।
विचार करें
$\left[\left(1+\frac{1}{1}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right) \dots\left(1+\frac{1}{k}\right)\right]\left(1+\frac{1}{k+1}\right)$
$= (k+1)\left(1+\frac{1}{k+1}\right)$ [$(i)$ का उपयोग करते हुए]
$= (k+1)\left[\frac{(k+1)+1}{k+1}\right]$
$= (k+1)+1$
अतः,जब भी $P(k)$ सत्य है,तब $P(k+1)$ भी सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,कथन $P(n)$ सभी प्राकृतिक संख्याओं $n \in N$ के लिए सत्य है।

माना कि दिया गया कथन $P(n)$ है,अर्थात
$P(n): 1^{2}+3^{2}+5^{2}+\ldots+(2n-1)^{2}=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$
$n=1$ के लिए,हमारे पास है
$P(1)=1^{2}=1=\frac{1(2(1)-1)(2(1)+1)}{3}=\frac{1 \times 1 \times 3}{3}=1$,जो सत्य है।
माना कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात
$P(k): 1^{2}+3^{2}+5^{2}+\ldots+(2k-1)^{2}=\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}$ $(i)$
अब हम सिद्ध करेंगे कि $P(k+1)$ सत्य है।
$(k+1)$ पदों तक का योग लीजिए:
$\left\{1^{2}+3^{2}+5^{2}+\ldots+(2k-1)^{2}\right\}+\{2(k+1)-1\}^{2}$
$= \frac{k(2k-1)(2k+1)}{3} + (2k+1)^{2}$ [$(i)$ का उपयोग करते हुए]
$= \frac{k(2k-1)(2k+1) + 3(2k+1)^{2}}{3}$
$= \frac{(2k+1)\{k(2k-1) + 3(2k+1)\}}{3}$
$= \frac{(2k+1)\{2k^{2}-k+6k+3\}}{3}$
$= \frac{(2k+1)\{2k^{2}+5k+3\}}{3}$
$= \frac{(2k+1)\{2k^{2}+2k+3k+3\}}{3}$
$= \frac{(2k+1)\{2k(k+1)+3(k+1)\}}{3}$
$= \frac{(2k+1)(k+1)(2k+3)}{3}$
$= \frac{(k+1)\{2(k+1)-1\}\{2(k+1)+1\}}{3}$
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,कथन $P(n)$ सभी प्राकृतिक संख्याओं $n \in N$ के लिए सत्य है।

(N/A) माना कि दिया गया कथन $P(n)$ है:
$P(n): \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \ldots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{n}{3n+1}$
$n=1$ के लिए,हमारे पास है:
$P(1): \frac{1}{1 \cdot 4} = \frac{1}{4}$ और $\frac{1}{3(1)+1} = \frac{1}{4}$.
चूंकि $\frac{1}{4} = \frac{1}{4}$,इसलिए $P(1)$ सत्य है।
मान लीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात
$P(k): \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \ldots + \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{k}{3k+1}$ $(i)$
अब हम सिद्ध करेंगे कि $P(k+1)$ सत्य है।
$(k+1)$ पदों तक का योग लें:
$\left\{ \frac{1}{1 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} \right\} + \frac{1}{\{3(k+1)-2\}\{3(k+1)+1\}}$
$= \frac{k}{3k+1} + \frac{1}{(3k+1)(3k+4)}$ [$(i)$ का उपयोग करते हुए]
$= \frac{1}{3k+1} \left\{ k + \frac{1}{3k+4} \right\}$
$= \frac{1}{3k+1} \left\{ \frac{k(3k+4) + 1}{3k+4} \right\}$
$= \frac{3k^2 + 4k + 1}{(3k+1)(3k+4)}$
$= \frac{(3k+1)(k+1)}{(3k+1)(3k+4)}$
$= \frac{k+1}{3k+4} = \frac{k+1}{3(k+1)+1}$
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।

माना दिया गया कथन $P(n)$ है:
$P(n): \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \frac{1}{7 \times 9} + \ldots + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{n}{3(2n+3)}$
$n=1$ के लिए,हमारे पास है:
$P(1): \frac{1}{3 \times 5} = \frac{1}{3(2(1)+3)} = \frac{1}{3 \times 5}$,जो सत्य है।
माना किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात
$P(k): \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \ldots + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{k}{3(2k+3)}$
अब हम सिद्ध करेंगे कि $P(k+1)$ सत्य है।
$(k+1)$ पदों तक का योग लें:
$\left[\frac{1}{3 \times 5} + \ldots + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}\right] + \frac{1}{(2(k+1)+1)(2(k+1)+3)}$
$= \frac{k}{3(2k+3)} + \frac{1}{(2k+3)(2k+5)}$
$= \frac{1}{2k+3} \left[ \frac{k}{3} + \frac{1}{2k+5} \right]$
$= \frac{1}{2k+3} \left[ \frac{k(2k+5) + 3}{3(2k+5)} \right]$
$= \frac{2k^2 + 5k + 3}{3(2k+3)(2k+5)}$
$= \frac{(k+1)(2k+3)}{3(2k+3)(2k+5)}$
$= \frac{k+1}{3(2k+5)} = \frac{k+1}{3(2(k+1)+3)}$
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,कथन $P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।

माना दिया गया कथन $P(n)$ है,अर्थात,
$P(n): 1+2+3+\ldots+n < \frac{1}{8}(2n+1)^{2}$
चरण $1$: $n=1$ के लिए जाँचें:
$1 < \frac{1}{8}(2(1)+1)^{2} = \frac{9}{8} = 1.125$
चूँकि $1 < 1.125$,इसलिए $P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात,
$1+2+\ldots+k < \frac{1}{8}(2k+1)^{2}$ ...........$(i)$
चरण $3$: सिद्ध कीजिए कि $P(k+1)$ सत्य है:
$(k+1)$ तक के योग पर विचार करें:
$(1+2+\ldots+k) + (k+1) < \frac{1}{8}(2k+1)^{2} + (k+1)$
$= \frac{1}{8} \left\{ (2k+1)^{2} + 8(k+1) \right\}$
$= \frac{1}{8} \left\{ 4k^{2} + 4k + 1 + 8k + 8 \right\}$
$= \frac{1}{8} \left\{ 4k^{2} + 12k + 9 \right\}$
$= \frac{1}{8} (2k+3)^{2}$
$= \frac{1}{8} \{2(k+1)+1\}^{2}$
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।

(N/A) माना कि दिया गया कथन $P(n)$ है,अर्थात
$P(n): n(n+1)(n+5)$ संख्या $3$ का एक गुणज है।
चरण $1$: $n=1$ के लिए,$1(1+1)(1+5) = 1(2)(6) = 12$,जो $3$ का गुणज है। अतः,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: माना कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $k(k+1)(k+5) = 3m$,जहाँ $m \in N$.
चरण $3$: हमें सिद्ध करना है कि $P(k+1)$ सत्य है,अर्थात $(k+1)(k+2)(k+6)$ संख्या $3$ का एक गुणज है।
$(k+1)(k+2)(k+6) = (k^2+3k+2)(k+6) = k^3 + 9k^2 + 20k + 12$
$= (k^3 + 6k^2 + 5k) + (3k^2 + 15k + 12)$
$= k(k+1)(k+5) + 3(k^2 + 5k + 4)$
चूँकि $k(k+1)(k+5)$ संख्या $3$ का गुणज है (मान्यता के अनुसार) और $3(k^2+5k+4)$ भी $3$ का गुणज है,इसलिए इनका योग भी $3$ का गुणज होगा।
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।

(N/A) माना कि दिया गया कथन $P(n)$ है,अर्थात
$P(n): 10^{2n-1} + 1$,$11$ से विभाज्य है।
चरण $1$: $n = 1$ के लिए जाँचें।
$P(1) = 10^{2(1)-1} + 1 = 10^1 + 1 = 11$,जो $11$ से विभाज्य है।
अतः,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है।
$10^{2k-1} + 1 = 11m$,जहाँ $m \in N$ --- $(i)$
चरण $3$: सिद्ध कीजिए कि $P(k+1)$ सत्य है।
$10^{2(k+1)-1} + 1 = 10^{2k+2-1} + 1 = 10^{2k+1} + 1$ पर विचार करें।
$= 10^2 \cdot 10^{2k-1} + 1$
$= 100 \cdot (11m - 1) + 1$ [$(i)$ से,$10^{2k-1} = 11m - 1$]
$= 1100m - 100 + 1$
$= 1100m - 99$
$= 11(100m - 9)$.
चूँकि $11(100m - 9)$,$11$ का एक गुणज है,इसलिए जब भी $P(k)$ सत्य है,तब $P(k+1)$ भी सत्य है।
अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।

(N/A) माना कि दिया गया कथन $P(n)$ है,अर्थात $P(n): x^{2n}-y^{2n}$,$x+y$ से विभाज्य है।
चरण $1$: $n=1$ के लिए जाँचें।
$P(1): x^{2(1)}-y^{2(1)} = x^2-y^2 = (x+y)(x-y)$,जो स्पष्ट रूप से $(x+y)$ से विभाज्य है। अतः,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $x^{2k}-y^{2k} = m(x+y)$ किसी पूर्णांक $m$ के लिए। .......$(i)$
चरण $3$: सिद्ध करें कि $P(k+1)$ सत्य है।
$x^{2(k+1)}-y^{2(k+1)} = x^{2k} \cdot x^2 - y^{2k} \cdot y^2$ पर विचार करें।
$= x^2(x^{2k} - y^{2k} + y^{2k}) - y^{2k} \cdot y^2$
$= x^2(x^{2k} - y^{2k}) + y^{2k}(x^2 - y^2)$
$= x^2[m(x+y)] + y^{2k}(x+y)(x-y)$ [$(i)$ का उपयोग करते हुए]
$= (x+y)[m x^2 + y^{2k}(x-y)]$.
चूँकि $(x+y)$ एक गुणनखंड है,इसलिए जब भी $P(k)$ सत्य है,$P(k+1)$ भी सत्य है।
अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।

(N/A) माना दिया गया कथन $P(n)$ है,अर्थात $P(n): 3^{2n+2} - 8n - 9$,$8$ से विभाज्य है।
चरण $1$: $n = 1$ के लिए,$3^{2(1)+2} - 8(1) - 9 = 81 - 17 = 64$। चूंकि $64$,$8$ से विभाज्य है,इसलिए $P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $3^{2k+2} - 8k - 9 = 8m$ किसी $m \in N$ के लिए। अतः,$3^{2k+2} = 8m + 8k + 9$।
चरण $3$: हमें दिखाना है कि $P(k+1)$ सत्य है,अर्थात $3^{2(k+1)+2} - 8(k+1) - 9$,$8$ से विभाज्य है।
$3^{2k+4} - 8k - 8 - 9 = 3^2 \cdot 3^{2k+2} - 8k - 17$ पर विचार करें।
$3^{2k+2} = 8m + 8k + 9$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= 9(8m + 8k + 9) - 8k - 17$
$= 72m + 72k + 81 - 8k - 17$
$= 72m + 64k + 64$
$= 8(9m + 8k + 8)$।
चूंकि यह $8$ का गुणज है,इसलिए $P(k+1)$ सत्य है।
अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।

(N/A) माना कि दिया गया कथन $P(n)$ है,अर्थात
$P(n): 41^{n}-14^{n}$,$27$ का एक गुणज है।
$n=1$ के लिए:
$41^{1}-14^{1} = 27$,जो $27$ का एक गुणज है।
अतः,$P(1)$ सत्य है।
माना कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात
$41^{k}-14^{k} = 27m$,जहाँ $m \in N$ ........$(i)$
अब हम सिद्ध करेंगे कि जब भी $P(k)$ सत्य है,तब $P(k+1)$ भी सत्य है।
$41^{k+1}-14^{k+1}$ पर विचार करें:
$= 41 \cdot 41^{k} - 14 \cdot 14^{k}$
$= 41(41^{k} - 14^{k} + 14^{k}) - 14 \cdot 14^{k}$
$= 41(27m) + 41 \cdot 14^{k} - 14 \cdot 14^{k}$
$= 41 \cdot 27m + 14^{k}(41 - 14)$
$= 41 \cdot 27m + 27 \cdot 14^{k}$
$= 27(41m + 14^{k})$
$= 27r$,जहाँ $r = (41m + 14^{k})$ एक प्राकृत संख्या है।
अतः,$41^{k+1}-14^{k+1}$,$27$ का एक गुणज है।
इस प्रकार,जब भी $P(k)$ सत्य है,तब $P(k+1)$ भी सत्य है।
अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।

(N/A) माना कि दिया गया कथन $P(n)$ है,अर्थात,
$P(n): (2n + 7) < (n + 3)^{2}$
चरण $1$: $n = 1$ के लिए जाँच करें।
$2(1) + 7 = 9$ और $(1 + 3)^{2} = 16$।
चूँकि $9 < 16$,इसलिए $P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात,
$(2k + 7) < (k + 3)^{2}$ ..........$(i)$
चरण $3$: अब हम सिद्ध करेंगे कि जब भी $P(k)$ सत्य है,तब $P(k + 1)$ भी सत्य है।
$n = k + 1$ के लिए व्यंजक पर विचार करें:
$2(k + 1) + 7 = (2k + 7) + 2$
$(i)$ का उपयोग करते हुए:
$2(k + 1) + 7 < (k + 3)^{2} + 2$
$2(k + 1) + 7 < k^{2} + 6k + 9 + 2$
$2(k + 1) + 7 < k^{2} + 6k + 11$
चूँकि सभी $k \in N$ के लिए $k^{2} + 6k + 11 < k^{2} + 8k + 16$ (क्योंकि $k \geq 1$ के लिए $2k + 5 > 0$),
$2(k + 1) + 7 < (k + 4)^{2}$
$2(k + 1) + 7 < \{(k + 1) + 3\}^{2}$
अतः,जब भी $P(k)$ सत्य है,तब $P(k + 1)$ भी सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,कथन $P(n)$ सभी प्राकृतिक संख्याओं $n \in N$ के लिए सत्य है।

(N/A) माना $P(n)$ कथन है: $\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \ldots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{n}{2n+1}$.
चरण $1$: $n = 1$ के लिए,$LHS$ $= \frac{1}{1 \cdot 3} = \frac{1}{3}$ और $RHS$ $= \frac{1}{2(1)+1} = \frac{1}{3}$. चूँकि $LHS$ $=$ $RHS$,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी $k \in N$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $\frac{1}{1 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{k}{2k+1}$.
चरण $3$: $n = k+1$ के लिए,हमें सिद्ध करना है कि $P(k+1)$ सत्य है,अर्थात $\frac{1}{1 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{k+1}{2k+3}$.
$LHS$ $= \left(\frac{1}{1 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}\right) + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$
$= \frac{k}{2k+1} + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$
$= \frac{k(2k+3) + 1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{2k^2 + 3k + 1}{(2k+1)(2k+3)}$
$= \frac{(2k+1)(k+1)}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{k+1}{2k+3} = \text{RHS}$.
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है। गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।

(N/A) माना $P(n): 1+2+2^2+\ldots+2^n = 2^{n+1}-1$ सभी $n \in N$ के लिए।
चरण $I$: $n=1$ के लिए,
$LHS$ $= 1+2^1 = 3$.
$RHS$ $= 2^{1+1}-1 = 2^2-1 = 4-1 = 3$.
चूंकि $LHS$ $= RHS$,कथन $n=1$ के लिए सत्य है।
चरण $II$: मान लीजिए $P(k)$ किसी $k \in N$ के लिए सत्य है,अर्थात $1+2+2^2+\ldots+2^k = 2^{k+1}-1$.
चरण $III$: $n=k+1$ के लिए,हमें सिद्ध करना है कि $P(k+1)$ सत्य है,अर्थात $1+2+2^2+\ldots+2^k+2^{k+1} = 2^{k+2}-1$.
$LHS$ $= (1+2+2^2+\ldots+2^k) + 2^{k+1}$.
चरण $II$ की धारणा का उपयोग करने पर,$LHS$ $= (2^{k+1}-1) + 2^{k+1}$.
$= 2 \times 2^{k+1} - 1 = 2^{k+2}-1$.
चूंकि $LHS$ $= RHS$,कथन $n=k+1$ के लिए भी सत्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,यह कथन सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।

माना $P(n)$ कथन है: $\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right) \ldots \left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)=\frac{n+1}{2n}$.
चरण $1$: $n=2$ के लिए,$LHS$ = $\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right) = 1-\frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
$RHS$ = $\frac{2+1}{2(2)} = \frac{3}{4}$.
चूँकि $LHS$ = $RHS$,$P(2)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि $k \geq 2$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right) \ldots \left(1-\frac{1}{k^{2}}\right) = \frac{k+1}{2k}$.
चरण $3$: हमें सिद्ध करना है कि $P(k+1)$ सत्य है,अर्थात $\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right) \ldots \left(1-\frac{1}{(k+1)^{2}}\right) = \frac{k+2}{2(k+1)}$.
चरण $2$ की धारणा का उपयोग करते हुए:
$LHS$ = $\left(\frac{k+1}{2k}\right) \left(1-\frac{1}{(k+1)^{2}}\right) = \left(\frac{k+1}{2k}\right) \left(\frac{(k+1)^{2}-1}{(k+1)^{2}}\right)$.
$= \left(\frac{k+1}{2k}\right) \left(\frac{k^{2}+2k}{(k+1)^{2}}\right) = \left(\frac{k+1}{2k}\right) \left(\frac{k(k+2)}{(k+1)^{2}}\right)$.
$= \frac{k+2}{2(k+1)}$.
अतः,$P(k+1)$ सत्य है। गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \geq 2$ के लिए सत्य है।