दिया गया है ${U_{n + 1}} = 3{U_n} - 2{U_{n - 1}}$ और ${U_0} = 2$,${U_1} = 3$,तो सभी $n \in N$ के लिए ${U_n}$ का मान है

सिद्ध कीजिए कि $1^{2} + 2^{2} + \ldots + n^{2} > \frac{n^{3}}{3}$ सभी $n \in N$ के लिए।

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
$1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2^{3} + \ldots + n \cdot 2^{n} = (n-1) 2^{n+1} + 2$

यदि $P(n): 2^{n} < n!$ है,तो वह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक जिसके लिए $P(n)$ सत्य है,है

सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in N$ के लिए,$3^{2n+2} - 8n - 9$,$8$ से विभाज्य है,गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके।

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए $n^{3}-7n+3$,$3$ से विभाज्य है।