Mathematical induction Questions in Hindi

(N/A) माना $P(n)$ कथन है: $3 \times 6 + 6 \times 9 + 9 \times 12 + \ldots + (3n)(3n + 3) = 3n(n + 1)(n + 2)$.
चरण $1$: $n = 1$ के लिए,$LHS$ = $3 \times 6 = 18$. $RHS$ = $3(1)(1 + 1)(1 + 2) = 3 \times 2 \times 3 = 18$. चूँकि $LHS$ = $RHS$,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी $k \in N$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $3 \times 6 + 6 \times 9 + \ldots + (3k)(3k + 3) = 3k(k + 1)(k + 2)$.
चरण $3$: हमें सिद्ध करना है कि $P(k + 1)$ सत्य है,अर्थात $3 \times 6 + \ldots + (3k)(3k + 3) + (3(k + 1))(3(k + 1) + 3) = 3(k + 1)(k + 2)(k + 3)$.
मान्यता के दोनों पक्षों में $(3(k + 1))(3(k + 1) + 3)$ जोड़ने पर:
$LHS$ = $3k(k + 1)(k + 2) + (3k + 3)(3k + 6)$
= $3k(k + 1)(k + 2) + 3(k + 1) \times 3(k + 2)$
= $3(k + 1)(k + 2) [k + 3]$
= $3(k + 1)(k + 2)(k + 3)$.
अतः,$P(k + 1)$ सत्य है। गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।

(A) माना $P(n)$ कथन है: $a+(a+d)+(a+2d)+\ldots+(a+(n-1)d) = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$.
चरण $1$: $n=1$ के लिए,बायां पक्ष $a$ है और दायां पक्ष $\frac{1}{2}[2a+(1-1)d] = \frac{1}{2}(2a) = a$ है। चूंकि बायां पक्ष = दायां पक्ष,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी $k \in N$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $a+(a+d)+\ldots+(a+(k-1)d) = \frac{k}{2}[2a+(k-1)d]$.
चरण $3$: हमें दिखाना है कि $P(k+1)$ सत्य है,अर्थात $a+(a+d)+\ldots+(a+(k-1)d) + (a+kd) = \frac{k+1}{2}[2a+kd]$.
$P(k+1)$ के बाएं पक्ष से शुरू करते हुए:
$= \frac{k}{2}[2a+(k-1)d] + (a+kd)$
$= \frac{2ak + k(k-1)d + 2a + 2kd}{2}$
$= \frac{2a(k+1) + (k^2-k+2k)d}{2}$
$= \frac{2a(k+1) + (k^2+k)d}{2}$
$= \frac{2a(k+1) + k(k+1)d}{2}$
$= \frac{k+1}{2}[2a+kd]$.
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है। गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।

माना $P(n)$ कथन $4+8+12+\ldots+4n = 2n(n+1)$ है।
चरण $1$: $n=1$ के लिए,बायां पक्ष $4(1) = 4$ है और दायां पक्ष $2(1)(1+1) = 2(2) = 4$ है।
चूंकि $4=4$,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि $P(k)$ किसी $k \in N$ के लिए सत्य है,अर्थात $4+8+12+\ldots+4k = 2k(k+1)$।
चरण $3$: हमें यह दिखाना है कि $P(k+1)$ सत्य है,अर्थात $4+8+12+\ldots+4k+4(k+1) = 2(k+1)(k+2)$।
बाएं पक्ष से शुरू करते हुए:
$(4+8+12+\ldots+4k) + 4(k+1) = 2k(k+1) + 4(k+1)$
$= 2k^2 + 2k + 4k + 4$
$= 2k^2 + 6k + 4$
$= 2(k^2 + 3k + 2)$
$= 2(k+1)(k+2)$।
यह $n=k+1$ के लिए दाएं पक्ष से मेल खाता है।
अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।

(N/A) माना $P(n): 7^{n}-3^{n}$,$4$ से विभाज्य है।
चरण $1$: $n=1$ के लिए,$7^{1}-3^{1} = 4$,जो $4$ से विभाज्य है। अतः,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी $m \in N$ के लिए $P(m)$ सत्य है,अर्थात $7^{m}-3^{m} = 4k$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए। अतः,$7^{m} = 4k + 3^{m}$।
चरण $3$: $n=m+1$ के लिए,हमारे पास $7^{m+1}-3^{m+1}$ है।
$= 7 \cdot 7^{m} - 3 \cdot 3^{m}$
$= 7(4k + 3^{m}) - 3 \cdot 3^{m}$
$= 28k + 7 \cdot 3^{m} - 3 \cdot 3^{m}$
$= 28k + 4 \cdot 3^{m}$
$= 4(7k + 3^{m})$।
चूंकि $4(7k + 3^{m})$,$4$ का एक गुणज है,इसलिए $P(m+1)$ सत्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$7^{n}-3^{n}$ सभी $n \in N$ के लिए $4$ से विभाज्य है।

(N/A) माना $P(n): 2^{3n}-1$,$7$ से विभाज्य है।
चरण $1$: $n=1$ के लिए आधार स्थिति:
$P(1) = 2^{3(1)} - 1 = 8 - 1 = 7$,जो $7$ से विभाज्य है।
अतः,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी $k \in N$ के लिए $P(k)$ सत्य है:
$P(k) = 2^{3k} - 1 = 7m$,जहाँ $m$ एक पूर्णांक है।
इसलिए,$2^{3k} = 7m + 1$ --- $(1)$
चरण $3$: सिद्ध कीजिए कि $P(k+1)$ सत्य है:
$P(k+1) = 2^{3(k+1)} - 1 = 2^{3k+3} - 1$
$= 2^{3k} \times 2^3 - 1$
$= (7m + 1) \times 8 - 1$ (समीकरण $(1)$ का उपयोग करते हुए)
$= 56m + 8 - 1$
$= 56m + 7$
$= 7(8m + 1)$
चूंकि $7(8m + 1)$,$7$ का एक गुणज है,इसलिए $P(k+1)$,$7$ से विभाज्य है।
अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,सभी $n \in N$ के लिए $2^{3n}-1$,$7$ से विभाज्य है।

माना $P(n)$ वह कथन है कि $3^{2n} - 1$,$8$ से विभाज्य है।
चरण $1$: $n = 1$ के लिए,$3^{2(1)} - 1 = 9 - 1 = 8$,जो $8$ से विभाज्य है। अतः,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी $m \in N$ के लिए $P(m)$ सत्य है,अर्थात $3^{2m} - 1 = 8k$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए। इसलिए,$3^{2m} = 8k + 1$ है।
चरण $3$: हमें यह दिखाना है कि $P(m+1)$ सत्य है,अर्थात $3^{2(m+1)} - 1$,$8$ से विभाज्य है।
$3^{2(m+1)} - 1 = 3^{2m} \times 3^2 - 1$
$= (8k + 1) \times 9 - 1$
$= 72k + 9 - 1$
$= 72k + 8$
$= 8(9k + 1)$।
चूंकि $8(9k + 1)$,$8$ से विभाज्य है,इसलिए $P(m+1)$ सत्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।

माना $P(n): 4^{n}-1$,$3$ से विभाज्य है,सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए।
चरण $1$: $n=1$ के लिए,$P(1) = 4^{1}-1 = 3$,जो $3$ से विभाज्य है। अतः,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी $k \in \mathbb{N}$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $4^{k}-1 = 3m$ किसी पूर्णांक $m \in \mathbb{N}$ के लिए। यह दर्शाता है कि $4^{k} = 3m+1$ $(i)$।
चरण $3$: हमें सिद्ध करना है कि $P(k+1)$ सत्य है,अर्थात $4^{k+1}-1$,$3$ से विभाज्य है।
$4^{k+1}-1 = 4 \cdot 4^{k}-1$ लें।
$(i)$ से मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $4(3m+1)-1 = 12m+4-1 = 12m+3 = 3(4m+1)$।
चूंकि $3(4m+1)$,$3$ का एक गुणज है,इसलिए $4^{k+1}-1$,$3$ से विभाज्य है।
निष्कर्ष: गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए सत्य है।

(N/A) माना $P(n): 2^{3n} - 1$,सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए $7$ से विभाज्य है।
चरण $1$: $n = 1$ के लिए,$P(1): 2^{3(1)} - 1 = 8 - 1 = 7$,जो $7$ से विभाज्य है।
अतः,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी $k \in \mathbb{N}$ के लिए $P(k)$ सत्य है।
अर्थात,$2^{3k} - 1 = 7m$ किसी $m \in \mathbb{N}$ के लिए,जिसका अर्थ है $2^{3k} = 7m + 1$।
चरण $3$: हमें यह दिखाना है कि $P(k+1)$ सत्य है।
$P(k+1): 2^{3(k+1)} - 1 = 2^{3k} \cdot 2^3 - 1$।
$2^{3k} = 7m + 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= (7m + 1) \cdot 8 - 1$
$= 56m + 8 - 1$
$= 56m + 7$
$= 7(8m + 1)$,जो स्पष्ट रूप से $7$ से विभाज्य है।
इस प्रकार,जब भी $P(k)$ सत्य है,तब $P(k+1)$ भी सत्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए सत्य है।

(N/A) माना $P(n): n^{3}-7n+3$,$3$ से विभाज्य है,सभी $n \in N$ के लिए।
चरण $1$: $n=1$ के लिए,$P(1) = (1)^{3}-7(1)+3 = 1-7+3 = -3$.
चूंकि $-3$,$3$ से विभाज्य है,इसलिए $P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी $k \in N$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $k^{3}-7k+3 = 3m$,जहाँ $m$ एक पूर्णांक है।
चरण $3$: हमें सिद्ध करना है कि $P(k+1)$ सत्य है।
$P(k+1) = (k+1)^{3}-7(k+1)+3$
$= (k^{3}+3k^{2}+3k+1) - 7k - 7 + 3$
$= (k^{3}-7k+3) + 3k^{2}+3k-6$
$= 3m + 3(k^{2}+k-2)$
$= 3(m+k^{2}+k-2)$.
चूंकि $3(m+k^{2}+k-2)$,$3$ से विभाज्य है,इसलिए $P(k+1)$ सत्य है।
अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।

(N/A) माना $P(n): 3^{2n} - 1$,$8$ से विभाज्य है।
चरण $1$: $n = 1$ के लिए,$P(1) = 3^{2(1)} - 1 = 9 - 1 = 8$,जो $8$ से विभाज्य है। अतः,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी प्राकृतिक संख्या $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $3^{2k} - 1 = 8m$,जहाँ $m$ एक पूर्णांक है। इससे $3^{2k} = 8m + 1$ $(i)$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: $n = k + 1$ के लिए,हमें यह दिखाना है कि $P(k + 1)$ सत्य है,अर्थात $3^{2(k+1)} - 1$,$8$ से विभाज्य है।
$3^{2(k+1)} - 1 = 3^{2k+2} - 1 = 3^{2k} \cdot 3^2 - 1 = 9 \cdot 3^{2k} - 1$.
$(i)$ का उपयोग करने पर,$9(8m + 1) - 1 = 72m + 9 - 1 = 72m + 8 = 8(9m + 1)$.
चूंकि $8(9m + 1)$,$8$ से विभाज्य है,इसलिए $P(k + 1)$ सत्य है।
अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए $P(n)$ सत्य है।

(N/A) माना $P(n): 7^{n}-2^{n}$,$5$ से विभाज्य है।
$n=1$ के लिए:
$P(1): 7^{1}-2^{1} = 7-2 = 5$,जो $5$ से विभाज्य है।
अतः,$P(1)$ सत्य है।
माना कि किसी $k \in N$ के लिए $P(k)$ सत्य है:
$P(k): 7^{k}-2^{k} = 5m$,जहाँ $m \in N$ (समीकरण $i$)।
हमें सिद्ध करना है कि $P(k+1)$ सत्य है:
$P(k+1): 7^{k+1}-2^{k+1} = 7 \cdot 7^{k} - 2 \cdot 2^{k}$
$= 7 \cdot 7^{k} - 7 \cdot 2^{k} + 7 \cdot 2^{k} - 2 \cdot 2^{k}$
$= 7(7^{k}-2^{k}) + 2^{k}(7-2)$
$= 7(5m) + 2^{k}(5)$
$= 5(7m + 2^{k})$
चूँकि $5(7m + 2^{k})$,$5$ का एक गुणज है,इसलिए $P(k+1)$ सत्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।

(N/A) माना $P(n): x^{n}-y^{n}$,$(x-y)$ से विभाज्य है,सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए।
चरण $1$: $n=1$ के लिए,$P(1): x^{1}-y^{1} = x-y$,जो स्पष्ट रूप से $(x-y)$ से विभाज्य है। अतः,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी $k \in \mathbb{N}$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $x^{k}-y^{k} = m(x-y)$ किसी पूर्णांक $m$ के लिए। (समीकरण $i$)
चरण $3$: $n=k+1$ के लिए,हमें यह दिखाना है कि $P(k+1): x^{k+1}-y^{k+1}$,$(x-y)$ से विभाज्य है।
$x^{k+1}-y^{k+1} = x^{k+1} - x^{k}y + x^{k}y - y^{k+1}$
$= x^{k}(x-y) + y(x^{k}-y^{k})$
समीकरण $i$ से मान रखने पर:
$= x^{k}(x-y) + y(m(x-y))$
$= (x-y)(x^{k} + my)$
चूँकि $(x^{k} + my)$ एक पूर्णांक है,इसलिए $x^{k+1}-y^{k+1}$,$(x-y)$ से विभाज्य है।
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए सत्य है।

(N/A) माना $P(n): n^{3}-n$,सभी $n \geq 2$ के लिए $6$ से विभाज्य है।
चरण $1$: $n=2$ के लिए,
$P(2): 2^{3}-2 = 8-2 = 6$,जो $6$ से विभाज्य है।
अतः,$P(2)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए $P(k)$ किसी $k \geq 2$ के लिए सत्य है,अर्थात $k^{3}-k = 6m$ किसी पूर्णांक $m$ के लिए।
चरण $3$: $P(k+1)$ को सत्य सिद्ध करने के लिए,हमें यह दिखाना होगा कि $(k+1)^{3}-(k+1)$,$6$ से विभाज्य है।
$(k+1)^{3}-(k+1) = (k^{3}+3k^{2}+3k+1) - k - 1$
$= (k^{3}-k) + 3k^{2}+3k$
$= (k^{3}-k) + 3k(k+1)$
चूंकि $k^{3}-k = 6m$ और $k(k+1)$ दो क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है,इसलिए यह $2$ से विभाज्य है। अतः,$3k(k+1)$,$3 \times 2 = 6$ से विभाज्य है।
इसलिए,$(k^{3}-k) + 3k(k+1) = 6m + 6n = 6(m+n)$,जो $6$ से विभाज्य है।
अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \geq 2$ के लिए सत्य है।

(A) माना $P(n): n(n^{2}+5)$,प्रत्येक $n \in N$ के लिए $6$ से विभाज्य है।
चरण $1$: $n=1$ के लिए,$P(1) = 1(1^{2}+5) = 6$,जो $6$ से विभाज्य है। अतः,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: माना किसी $k \in N$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $k(k^{2}+5) = 6m$ किसी पूर्णांक $m$ के लिए। $(i)$
चरण $3$: हमें सिद्ध करना है कि $P(k+1)$ सत्य है,अर्थात $(k+1)((k+1)^{2}+5)$,$6$ से विभाज्य है।
$(k+1)((k+1)^{2}+5) = (k+1)(k^{2}+2k+6) = k(k^{2}+5) + 3k^{2} + 3k + 6$
$= 6m + 3k(k+1) + 6$
चूंकि $k(k+1)$ दो क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है,इसलिए यह हमेशा सम होता है,अर्थात $k(k+1) = 2p$।
$= 6m + 3(2p) + 6 = 6(m+p+1)$,जो $6$ से विभाज्य है।
अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ प्रत्येक $n \in N$ के लिए सत्य है।

(N/A) माना $P(n): n^{2} < 2^{n}$,जहाँ $n \geq 5, n \in \mathbb{N}$ है।
चरण $1$: $n = 5$ के लिए,$P(5): 5^{2} < 2^{5} \implies 25 < 32$,जो सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि $k \geq 5$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $k^{2} < 2^{k}$ है।
हमें यह दिखाना है कि $P(k+1): (k+1)^{2} < 2^{k+1}$ सत्य है।
$(k+1)^{2} = k^{2} + 2k + 1$ पर विचार करें।
चूंकि $k^{2} < 2^{k}$,इसलिए $(k+1)^{2} < 2^{k} + 2k + 1$ है।
$k \geq 5$ के लिए,यह दिखाया जा सकता है कि $2k + 1 < k^{2} < 2^{k}$ है।
अतः,$(k+1)^{2} < 2^{k} + 2^{k} = 2 \cdot 2^{k} = 2^{k+1}$ है।
इसलिए,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \geq 5$ के लिए सत्य है।

(N/A) सिद्ध करना है: $P(n): \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ सभी धनात्मक पूर्णांकों $n$ के लिए।
चरण $1$: $n=1$ के लिए,
$P(1): \frac{d}{dx}(x) = 1 = 1 \cdot x^{1-1}$.
अतः,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है।
अर्थात,$P(k): \frac{d}{dx}(x^k) = kx^{k-1}$.
चरण $3$: हमें सिद्ध करना है कि $P(k+1)$ भी सत्य है।
विचार कीजिए $\frac{d}{dx}(x^{k+1}) = \frac{d}{dx}(x \cdot x^k)$.
गुणन नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$.
$= x^k \cdot \frac{d}{dx}(x) + x \cdot \frac{d}{dx}(x^k)$
$= x^k \cdot 1 + x \cdot (kx^{k-1})$
$= x^k + kx^k$
$= (k+1)x^k$
$= (k+1)x^{(k+1)-1}$.
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,कथन $P(n)$ प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए सत्य है।

(N/A) माना $P(n): 2n < (n+2)!$ सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए।
चरण $1$: $n=1$ के लिए,$P(1): 2(1) < (1+2)! \implies 2 < 3! \implies 2 < 6$,जो सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए $P(k)$ किसी $k \in \mathbb{N}$ के लिए सत्य है,अर्थात $2k < (k+2)!$।
चरण $3$: हमें $P(k+1): 2(k+1) < (k+3)!$ सिद्ध करना है।
मान्यता $2k < (k+2)!$ से शुरू करते हुए,दोनों पक्षों में $2$ जोड़ने पर:
$2k + 2 < (k+2)! + 2$
$2(k+1) < (k+2)! + 2$
चूंकि $(k+2)! + 2 < (k+2)! \times (k+3)$ सभी $k \ge 1$ के लिए सत्य है,
इसलिए $2(k+1) < (k+2)! + 2 < (k+3)!$।
अतः,$2(k+1) < (k+3)!$,जिसका अर्थ है कि $P(k+1)$ सत्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए सत्य है।

(N/A) माना $P(n): \sqrt{n} < \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n}}$,जहाँ $n \geq 2$ है।
$n=2$ के लिए,$P(2): \sqrt{2} < 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 1.707$। चूँकि $\sqrt{2} \approx 1.414$,इसलिए $1.414 < 1.707$ सत्य है।
माना $P(k)$ सत्य है: $\sqrt{k} < \sum_{i=1}^{k} \frac{1}{\sqrt{i}}$।
हमें सिद्ध करना है कि $P(k+1): \sqrt{k+1} < \sum_{i=1}^{k+1} \frac{1}{\sqrt{i}}$।
हम जानते हैं कि $\sqrt{k+1} - \sqrt{k} = \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} < \frac{1}{\sqrt{k+1}}$।
अतः,$\sqrt{k+1} < \sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} < \sum_{i=1}^{k} \frac{1}{\sqrt{i}} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} = \sum_{i=1}^{k+1} \frac{1}{\sqrt{i}}$।
इस प्रकार,$P(k+1)$ सत्य है। गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \geq 2$ के लिए सत्य है।

(N/A) माना $P(n): 2+4+6+\ldots+2n = n^2+n$.
चरण $1$: $n=1$ के लिए,$L.H.S. = 2$ और $R.H.S. = (1)^2+1 = 2$.
चूंकि $L.H.S. = R.H.S.$,इसलिए $P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी प्राकृतिक संख्या $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $2+4+6+\ldots+2k = k^2+k$.
चरण $3$: $n=k+1$ के लिए,हमें यह दिखाना है कि $P(k+1): 2+4+6+\ldots+2k+2(k+1) = (k+1)^2+(k+1)$.
$L.H.S. = (2+4+6+\ldots+2k) + 2(k+1)$
$= (k^2+k) + 2k+2$
$= k^2+3k+2$
$= (k^2+2k+1) + (k+1)$
$= (k+1)^2 + (k+1) = R.H.S.$
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए सत्य है।

(N/A) $P(n): 1+2+2^{2}+\ldots+2^{n}=2^{n+1}-1$
चरण $1$: $n=1$ के लिए,
$L.H.S. = 1+2 = 3$
$R.H.S. = 2^{1+1}-1 = 2^{2}-1 = 4-1 = 3$
चूँकि $L.H.S. = R.H.S.$,इसलिए $P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी प्राकृतिक संख्या $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात,
$1+2+2^{2}+\ldots+2^{k}=2^{k+1}-1 \quad \dots(i)$
चरण $3$: हमें सिद्ध करना है कि $P(k+1)$ सत्य है।
$P(k+1): 1+2+2^{2}+\ldots+2^{k}+2^{k+1} = 2^{(k+1)+1}-1$
$L.H.S. = (1+2+2^{2}+\ldots+2^{k}) + 2^{k+1}$
समीकरण $(i)$ का उपयोग करने पर:
$L.H.S. = (2^{k+1}-1) + 2^{k+1}$
$= 2 \times 2^{k+1} - 1$
$= 2^{k+2} - 1$
$= 2^{(k+1)+1} - 1 = R.H.S.$
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए सत्य है।

(N/A) $P(n): 1+5+9+\ldots+(4 n-3)=n(2 n-1)$
$n=1$ के लिए,$\quad L.H.S.=1$
$R$.$H$.$S$. $=1(2(1)-1) = 1(1) = 1$
$\therefore L.H.S. = R.H.S.$
$\therefore P(1)$ सत्य है।
मान लीजिए कि $P(k)$ किसी $k \in \mathbb{N}$ के लिए सत्य है।
$P(k): 1+5+9+\ldots+(4 k-3)=k(2 k-1) \quad \ldots(i)$
$n=k+1$ के लिए,हमें यह दिखाना है कि $P(k+1)$ सत्य है:
$L.H.S. = [1+5+9+\ldots+(4 k-3)] + (4(k+1)-3)$
$= k(2 k-1) + (4 k+4-3) \quad (\text{समीकरण } (i) \text{ का उपयोग करते हुए})$
$= 2 k^{2}-k+4 k+1$
$= 2 k^{2}+3 k+1$
$= 2 k^{2}+2 k+k+1$
$= 2k(k+1) + 1(k+1)$
$= (k+1)(2 k+1)$
$= (k+1)[2(k+1)-1] = R.H.S.$
$\therefore$ जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए सत्य है।

(A) माना $P(n)$ कथन $a_{n} = 3 \cdot 7^{n-1}$ है,जहाँ $n \in N$.
चरण $1$: $n=1$ के लिए,$a_{1} = 3 \cdot 7^{1-1} = 3 \cdot 7^{0} = 3(1) = 3$. यह दिए गए $a_{1} = 3$ से मेल खाता है। अतः,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी $k \in N$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $a_{k} = 3 \cdot 7^{k-1}$.
चरण $3$: हमें सिद्ध करना है कि $P(k+1)$ सत्य है,अर्थात $a_{k+1} = 3 \cdot 7^{(k+1)-1} = 3 \cdot 7^{k}$.
दिए गए संबंध $a_{k+1} = 7 a_{k}$ से,
मान $a_{k} = 3 \cdot 7^{k-1}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$a_{k+1} = 7 \cdot (3 \cdot 7^{k-1}) = 3 \cdot 7^{1} \cdot 7^{k-1} = 3 \cdot 7^{k}$.
अतः,जब भी $P(k)$ सत्य है,तब $P(k+1)$ भी सत्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$a_{n} = 3 \cdot 7^{n-1}$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।

(N/A) माना $P(n): b_{n}=5+4n$,सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए।
चरण $1$: $n=1$ के लिए आधार स्थिति।
$P(1): b_{1}=5+4(1)=9$.
दिए गए संबंध $b_{k}=4+b_{k-1}$ में $k=1$ रखने पर,$b_{1}=4+b_{0}=4+5=9$.
चूंकि $L.H.S. = R.H.S.$,इसलिए $P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: आगमन परिकल्पना।
माना कि किसी $k \in \mathbb{N}$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $b_{k}=5+4k$.
चरण $3$: आगमन चरण।
हमें सिद्ध करना है कि $P(k+1)$ सत्य है,अर्थात $b_{k+1}=5+4(k+1)$.
$b_{k+1}=4+b_{k}$ (परिभाषा के अनुसार)।
परिकल्पना का उपयोग करने पर: $b_{k+1}=4+(5+4k) = 5+4(k+1)$.
अतः,$P(k+1)$ सत्य है।
निष्कर्ष: गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए सत्य है।

(N/A) माना $P(n)$ कथन $d_{n} = \frac{2}{n!}$ है,जहाँ $n \in N$.
चरण $1$: $n=1$ के लिए,$d_{1} = \frac{2}{1!} = \frac{2}{1} = 2$. यह दिए गए $d_{1}=2$ से मेल खाता है। अतः,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी $k \in N$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $d_{k} = \frac{2}{k!}$.
चरण $3$: हमें सिद्ध करना है कि $P(k+1)$ सत्य है,अर्थात $d_{k+1} = \frac{2}{(k+1)!}$.
दिया गया है $d_{k+1} = \frac{d_{k}}{k+1}$.
$d_{k} = \frac{2}{k!}$ की धारणा का उपयोग करने पर:
$d_{k+1} = \frac{2/k!}{k+1} = \frac{2}{k!(k+1)} = \frac{2}{(k+1)!}$.
इस प्रकार,यदि $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
निष्कर्ष: गणितीय आगमन के सिद्धांत के अनुसार,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।

(A) माना $P(n): \cos \alpha + \cos (\alpha + \beta) + \ldots + \cos [\alpha + (n-1)\beta] = \frac{\cos \left[\alpha + \left(\frac{n-1}{2}\right) \beta\right] \sin \left(\frac{n\beta}{2}\right)}{\sin \left(\frac{\beta}{2}\right)}$
$n=1$ के लिए,$L.H.S. = \cos \alpha$
$R.H.S. = \frac{\cos \left[\alpha + \left(\frac{1-1}{2}\right) \beta\right] \sin \left(\frac{\beta}{2}\right)}{\sin \left(\frac{\beta}{2}\right)} = \cos \alpha$
चूंकि $L.H.S. = R.H.S.$,इसलिए $P(1)$ सत्य है।
माना किसी $k \in N$ के लिए $P(k)$ सत्य है:
$P(k): \cos \alpha + \cos (\alpha + \beta) + \ldots + \cos [\alpha + (k-1)\beta] = \frac{\cos \left[\alpha + \left(\frac{k-1}{2}\right) \beta\right] \sin \left(\frac{k\beta}{2}\right)}{\sin \left(\frac{\beta}{2}\right)} \quad \ldots (i)$
$n=k+1$ के लिए,हमें सिद्ध करना है:
$P(k+1): \sum_{i=0}^{k} \cos(\alpha + i\beta) = \frac{\cos \left[\alpha + \frac{k\beta}{2}\right] \sin \left(\frac{(k+1)\beta}{2}\right)}{\sin \left(\frac{\beta}{2}\right)}$
$L.H.S. = [\cos \alpha + \ldots + \cos(\alpha + (k-1)\beta)] + \cos(\alpha + k\beta)$
$= \frac{\cos \left(\alpha + \frac{k\beta}{2} - \frac{\beta}{2}\right) \sin \left(\frac{k\beta}{2}\right)}{\sin \left(\frac{\beta}{2}\right)} + \cos(\alpha + k\beta)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके सरल करने पर:
$= \frac{\cos(\alpha + \frac{k\beta}{2}) \sin(\frac{(k+1)\beta}{2})}{\sin \frac{\beta}{2}}$
अतः,$P(k+1)$ सत्य है। गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।

(A) $P(n): \cos \theta \cdot \cos 2 \theta \cdot \cos 2^{2} \theta \ldots \cos 2^{n-1} \theta = \frac{\sin 2^{n} \theta}{2^{n} \sin \theta}, \quad \forall n \in N$
$n=1$ के लिए,$L.H.S. = \cos \theta$
$R.H.S. = \frac{\sin 2 \theta}{2 \sin \theta} = \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{2 \sin \theta} = \cos \theta$
$\therefore L.H.S. = R.H.S.$
$\therefore P(1)$ सत्य है।
मान लीजिए कि $P(k)$ किसी $k \in N$ के लिए सत्य है,अर्थात $\cos \theta \cdot \cos 2 \theta \cdot \cos 2^{2} \theta \ldots \cos 2^{k-1} \theta = \frac{\sin 2^{k} \theta}{2^{k} \sin \theta} \quad (i)$
$n=k+1$ के लिए,हमें $P(k+1)$ सिद्ध करना है: $\cos \theta \cdot \cos 2 \theta \ldots \cos 2^{k-1} \theta \cdot \cos 2^{k} \theta = \frac{\sin 2^{k+1} \theta}{2^{k+1} \sin \theta}$
$L.H.S. = \left( \frac{\sin 2^{k} \theta}{2^{k} \sin \theta} \right) \cdot \cos 2^{k} \theta \quad (\text{समीकरण } (i) \text{ का उपयोग करते हुए})$
$= \frac{2 \sin 2^{k} \theta \cos 2^{k} \theta}{2 \cdot 2^{k} \sin \theta} = \frac{\sin 2(2^{k} \theta)}{2^{k+1} \sin \theta} = \frac{\sin 2^{k+1} \theta}{2^{k+1} \sin \theta}$
$\therefore P(k+1)$ सत्य है।
अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।

(N/A) $P(n): \sin \theta + \sin 2\theta + \ldots + \sin n\theta = \frac{\sin \frac{n\theta}{2} \sin \frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}}, n \in N$
$n=1$ के लिए,$L.H.S. = \sin \theta$.
$R.H.S. = \frac{\sin \frac{\theta}{2} \sin \frac{2\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}} = \sin \theta$.
चूँकि $L.H.S. = R.H.S.$,$P(1)$ सत्य है।
मान लीजिए कि $k \in N$ के लिए $P(k)$ सत्य है:
$\sin \theta + \sin 2\theta + \ldots + \sin k\theta = \frac{\sin \frac{k\theta}{2} \sin \frac{(k+1)\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}}$.
$n=k+1$ के लिए,$L.H.S. = (\sin \theta + \ldots + \sin k\theta) + \sin(k+1)\theta$
$= \frac{\sin \frac{k\theta}{2} \sin \frac{(k+1)\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}} + \sin(k+1)\theta$
$= \frac{\sin \frac{k\theta}{2} \sin \frac{(k+1)\theta}{2} + \sin(k+1)\theta \sin \frac{\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}}$
$2\sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{\cos \frac{\theta}{2} - \cos \frac{(2k+3)\theta}{2}}{2 \sin \frac{\theta}{2}}$
$\cos C - \cos D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{D-C}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{\sin \frac{(k+1)\theta}{2} \sin \frac{(k+2)\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}} = R.H.S.$
अतः,$P(k+1)$ सत्य है। गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।

(N/A) $P(n): \frac{n^{5}}{5}+\frac{n^{3}}{3}+\frac{7n}{15}$ एक प्राकृतिक संख्या है,$n \in N$.
$n=1$ के लिए,$P(1) = \frac{1^{5}}{5} + \frac{1^{3}}{3} + \frac{7(1)}{15} = \frac{3+5+7}{15} = \frac{15}{15} = 1$,जो एक प्राकृतिक संख्या है।
अतः,$P(1)$ सत्य है।
मान लीजिए कि $k \in N$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $\frac{k^{5}}{5} + \frac{k^{3}}{3} + \frac{7k}{15} = m$,जहाँ $m \in N$ है।
$n=k+1$ के लिए,$P(k+1) = \frac{(k+1)^{5}}{5} + \frac{(k+1)^{3}}{3} + \frac{7(k+1)}{15}$ है।
पदों का विस्तार करने पर: $P(k+1) = \frac{k^{5}+5k^{4}+10k^{3}+10k^{2}+5k+1}{5} + \frac{k^{3}+3k^{2}+3k+1}{3} + \frac{7k+7}{15}$ प्राप्त होता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $P(k+1) = (\frac{k^{5}}{5} + \frac{k^{3}}{3} + \frac{7k}{15}) + (k^{4} + 2k^{3} + 2k^{2} + k) + (k^{2} + k) + (\frac{1}{5} + \frac{1}{3} + \frac{7}{15})$ है।
$P(k+1) = m + k^{4} + 2k^{3} + 3k^{2} + 2k + (\frac{3+5+7}{15}) = m + k^{4} + 2k^{3} + 3k^{2} + 2k + 1$ है।
चूँकि $m, k \in N$ है,इसलिए $P(k+1)$ भी एक प्राकृतिक संख्या है।
अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।

(A) माना $P(n): \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \ldots + \frac{1}{2n} > \frac{13}{24}$ है।
चरण $1$: $n = 2$ के लिए,व्यंजक $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12} = \frac{14}{24}$ है।
चूंकि $\frac{14}{24} > \frac{13}{24}$,इसलिए $P(2)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए $P(k)$ किसी $k \in N, k > 1$ के लिए सत्य है,अर्थात $\frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2} + \ldots + \frac{1}{2k} > \frac{13}{24}$ है।
चरण $3$: $n = k+1$ के लिए,हमें सिद्ध करना है कि $P(k+1) > \frac{13}{24}$ है।
$P(k+1) = P(k) + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} - \frac{1}{k+1} = P(k) + \frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2(k+1)}$ है।
चूंकि $\frac{1}{2k+1} > \frac{1}{2k+2}$,इसलिए $P(k+1) > P(k) > \frac{13}{24}$ है।
अतः,यदि $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n > 1$ के लिए सत्य है।

(N/A) $P(n):$ $n$ अवयवों वाले एक समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या $2^{n}$ है,जहाँ $n \in N$.
$n=1$ के लिए:
माना $A$ एक अवयव वाला समुच्चय है,$A = \{x\}$.
$A$ के उपसमुच्चय $\phi$ और $A$ हैं।
$A$ के उपसमुच्चयों की संख्या $2 = 2^{1}$ है।
अतः,$P(1)$ सत्य है।
मान लीजिए कि $P(k)$ किसी $k \in N$ के लिए सत्य है,अर्थात $k$ अवयवों वाले समुच्चय के $2^{k}$ उपसमुच्चय हैं।
अब,हम $n = k+1$ के लिए सिद्ध करेंगे।
माना $A = \{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}, a_{k+1}\}$.
$A$ के उपसमुच्चयों को दो प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है: जिनमें $a_{k+1}$ नहीं है और जिनमें $a_{k+1}$ है।
$a_{k+1}$ को न रखने वाले उपसमुच्चयों की संख्या $\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}\}$ के उपसमुच्चयों की संख्या के बराबर है,जो धारणा $P(k)$ के अनुसार $2^{k}$ है।
$a_{k+1}$ को रखने वाले उपसमुच्चयों की संख्या भी $2^{k}$ है (प्रत्येक उपसमुच्चय $\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}\}$ के $2^{k}$ उपसमुच्चयों में $a_{k+1}$ जोड़कर बनाया जाता है)।
इसलिए,$A$ के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^{k} + 2^{k} = 2 \cdot 2^{k} = 2^{k+1}$ है।
अतः,$P(k+1)$ सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।

(B) दिया गया कथन $P(n): n^2 - n + 37$ एक अभाज्य संख्या है।
$n = 3$ के लिए,$P(3) = 3^2 - 3 + 37 = 9 - 3 + 37 = 43$। चूँकि $43$ एक अभाज्य संख्या है,इसलिए $P(3)$ सत्य है।
$n = 5$ के लिए,$P(5) = 5^2 - 5 + 37 = 25 - 5 + 37 = 57$। चूँकि $57 = 3 \times 19$,यह एक अभाज्य संख्या नहीं है,इसलिए $P(5)$ असत्य है।
अतः,$P(3)$ सत्य है लेकिन $P(5)$ असत्य है।

(C) हमें कथन $P(n): 2^{n} < n!$ दिया गया है।
हम $n$ के धनात्मक पूर्णांक मानों के लिए जाँच करते हैं:
$n=1$ के लिए: $2^{1} = 2$ और $1! = 1$। चूँकि $2 < 1$ असत्य है,इसलिए $P(1)$ असत्य है।
$n=2$ के लिए: $2^{2} = 4$ और $2! = 2$। चूँकि $4 < 2$ असत्य है,इसलिए $P(2)$ असत्य है।
$n=3$ के लिए: $2^{3} = 8$ और $3! = 6$। चूँकि $8 < 6$ असत्य है,इसलिए $P(3)$ असत्य है।
$n=4$ के लिए: $2^{4} = 16$ और $4! = 24$। चूँकि $16 < 24$ सत्य है,इसलिए $P(4)$ सत्य है।
अतः,वह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक जिसके लिए $P(n)$ सत्य है,$n=4$ है।

(D) दिया गया कथन $P(n): 2^{n} < n!$ है।
हम धनात्मक पूर्णांकों $n = 1, 2, 3, 4, \dots$ के लिए जाँच करते हैं।
$n = 1$ के लिए: $2^{1} < 1! \implies 2 < 1$,जो असत्य है।
$n = 2$ के लिए: $2^{2} < 2! \implies 4 < 2$,जो असत्य है।
$n = 3$ के लिए: $2^{3} < 3! \implies 8 < 6$,जो असत्य है।
$n = 4$ के लिए: $2^{4} < 4! \implies 16 < 24$,जो सत्य है।
अतः,वह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक जिसके लिए $P(n)$ सत्य है,$4$ है।

(D) माना $P(n) = n^{3} + 2n$.
$n = 1$ के लिए,$P(1) = 1^{3} + 2(1) = 3$.
$n = 2$ के लिए,$P(2) = 2^{3} + 2(2) = 12$.
$n = 3$ के लिए,$P(3) = 3^{3} + 2(3) = 33$.
यहाँ हम देख सकते हैं कि ये सभी संख्याएँ $3$ से विभाज्य हैं।

(C) माना $p(n) = 2 \cdot 4^{2n+1} + 3^{3n+1}$.
$n = 1$ के लिए,$p(1) = 2 \cdot 4^3 + 3^4 = 128 + 81 = 209$.
चूंकि $209 = 11 \times 19$,$p(1)$ $11$ से विभाज्य है।
माना $p(k) = 2 \cdot 4^{2k+1} + 3^{3k+1}$ $11$ से विभाज्य है।
अब,$p(k+1) = 2 \cdot 4^{2k+3} + 3^{3k+4} = 16 \cdot (2 \cdot 4^{2k+1}) + 27 \cdot 3^{3k+1}$.
$p(k+1) = 16 \cdot (2 \cdot 4^{2k+1} + 3^{3k+1}) + 11 \cdot 3^{3k+1}$.
यहाँ $p(k)$ और $11 \cdot 3^{3k+1}$ दोनों $11$ से विभाज्य हैं,इसलिए $p(k+1)$ भी $11$ से विभाज्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$2 \cdot 4^{2n+1} + 3^{3n+1}$ $11$ से विभाज्य है।

(C) दी गई असमिका $8n + 16 \leq 2^n$ है।
हम व्यंजक को $2^3(n + 2) \leq 2^n$ के रूप में लिख सकते हैं।
आइए विकल्पों की जाँच करें:
$n = 5$ के लिए: $8(5) + 16 = 40 + 16 = 56$ और $2^5 = 32$। चूँकि $56 \not\leq 32$,यह गलत है।
$n = 6$ के लिए: $8(6) + 16 = 48 + 16 = 64$ और $2^6 = 64$। चूँकि $64 \leq 64$ सत्य है,इसलिए यह कथन $n = 6$ के लिए सही है।

(C) हम जानते हैं कि प्रथम $n$ वर्गों का योग $1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{2n^3+3n^2+n}{6}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया $P(n): 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2 = \frac{6(n-1)(n-2) \ldots(n-2020) + 2n^3+3n^2+n}{6}$ है।
दिए गए समीकरण में मानक योग सूत्र को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = (n-1)(n-2) \ldots(n-2020) + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$।
यह समानता तभी सत्य है जब $(n-1)(n-2) \ldots(n-2020) = 0$ हो।
यह गुणनफल शून्य होता है जब $n \in \{1, 2, 3, \ldots, 2020\}$ हो।
अतः,$P(n)$ सभी $n \leq 2020$ के लिए सत्य है।

(B) दी गई असमिका: $2^n > n+1$.
$n=1$ के लिए: $2^1 > 1+1 \Rightarrow 2 > 2$,जो असत्य है।
$n=2$ के लिए: $2^2 > 2+1 \Rightarrow 4 > 3$,जो सत्य है।
$n=3$ के लिए: $2^3 > 3+1 \Rightarrow 8 > 4$,जो सत्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,मान लीजिए कि किसी $k \geq 2$ के लिए $2^k > k+1$ सत्य है।
हमें यह दिखाना है कि $2^{k+1} > (k+1)+1 = k+2$ है।
चूंकि $2^k > k+1$,दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर $2^{k+1} > 2k+2$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $2k+2 = (k+2) + k$ है।
चूंकि $k \geq 2$,इसलिए $k > 0$,अतः $2k+2 > k+2$ है।
इस प्रकार,$2^{k+1} > k+2$ सभी $n \geq 2$ के लिए सत्य है।

(B) दिया गया संबंध: $a_0=1$ और $a_{n+1}=3n^2+n+a_n$.
प्रथम कुछ पदों की गणना करने पर:
$n=0$ के लिए: $a_1 = 3(0)^2+0+a_0 = 1$.
$n=1$ के लिए: $a_2 = 3(1)^2+1+a_1 = 3+1+1 = 5$.
$n=2$ के लिए: $a_3 = 3(2)^2+2+a_2 = 12+2+5 = 19$.
अब,$n=3$ के लिए विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $A$: $3^3+3^2+1 = 37$.
विकल्प $B$: $3^3-3^2+1 = 19$.
विकल्प $C$: $3^3-3^2 = 18$.
विकल्प $D$: $3^3+3^2 = 36$.
अतः,$a_3=19$ होने के कारण,विकल्प $B$ सही है।

(A) दिया गया है,$P(n): 2+2^2+2^3+\ldots+2^n = 2^{n+1}-2$.
मान लीजिए $P(m)$ सत्य है,अतः $2+2^2+\ldots+2^m = 2^{m+1}-2$.
अब,$P(m+1)$ पर विचार करें:
$P(m+1) = (2+2^2+\ldots+2^m) + 2^{m+1}$
$= (2^{m+1}-2) + 2^{m+1}$
$= 2 \cdot 2^{m+1} - 2 = 2^{m+2}-2$.
चूंकि $P(m+1)$ सत्य है जब भी $P(m)$ सत्य है,इसलिए $P(m) \Rightarrow P(m+1)$ सही है।

(B) दिया गया है,$a_0 = 1$ और $a_{n+1} = 3n^2 + n + a_n$।
$n = 0$ के लिए: $a_1 = 3(0)^2 + 0 + a_0 = 0 + 0 + 1 = 1$।
$n = 1$ के लिए: $a_2 = 3(1)^2 + 1 + a_1 = 3 + 1 + 1 = 5$।
विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $(B)$ के लिए,$P(n) = n^3 - n^2 + 1$:
$P(0) = 0^3 - 0^2 + 1 = 1 = a_0$।
$P(1) = 1^3 - 1^2 + 1 = 1 = a_1$।
$P(2) = 2^3 - 2^2 + 1 = 8 - 4 + 1 = 5 = a_2$।
चूँकि प्रारंभिक पदों के लिए मान समान हैं,इसलिए सही व्यंजक $a_n = n^3 - n^2 + 1$ है।

(A) हम जानते हैं कि प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$S_n = 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
इस व्यंजक का विस्तार करने पर हमें प्राप्त होता है:
$S_n = \frac{2n^3+3n^2+n}{6} = \frac{n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{6}$
चूंकि $n \in \mathbb{N}$,$n \ge 1$,इसलिए $\frac{n^2}{2} + \frac{n}{6} > 0$ है।
अतः,$S_n = \frac{n^3}{3} + (\text{धनात्मक पद}) > \frac{n^3}{3}$।
दी गई असमिका $S_n > x$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $x = \frac{n^3}{3}$।

(C) प्रत्येक कथन के लिए $n = 1$ की जाँच करते हैं:
$(A)$ $(2(1) + 7) < (1 + 3)^2 \implies 9 < 16$,जो सत्य है।
$(B)$ $1^2 > \frac{1^3}{3} \implies 1 > \frac{1}{3}$,जो सत्य है।
$(C)$ $n = 1$ के लिए,$3 \cdot 5^3 + 2^4 = 375 + 16 = 391$,जो $23$ से विभाज्य है। लेकिन $n = 2$ के लिए,$3 \cdot 5^5 + 2^7 = 9503$ जो $23$ से विभाज्य नहीं है।
$(D)$ $n = 1$ के लिए,$2 = \frac{1(5-1)}{2} = 2$,जो सत्य है।
अतः,वह कथन जो सभी $n \in N$ के लिए सत्य नहीं है,वह $(C)$ है।

(B) माना $P(n)$ कथन $2^{2n+1} + 3^{2n+1}$ है।
$n = 1$ के लिए:
$P(1) = 2^{2(1)+1} + 3^{2(1)+1} = 2^3 + 3^3 = 8 + 27 = 35$.
चूंकि $35$,$5$ से विभाज्य है,इसलिए $P(1)$ सत्य है।
माना किसी $m \in N$ के लिए $P(m)$ सत्य है,अर्थात $2^{2m+1} + 3^{2m+1} = 5k$,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
तब $2^{2m+1} = 5k - 3^{2m+1} \quad (i)$.
अब,$P(m+1)$ के लिए:
$P(m+1) = 2^{2(m+1)+1} + 3^{2(m+1)+1} = 2^{2m+3} + 3^{2m+3}$.
$P(m+1) = 2^2 \cdot 2^{2m+1} + 3^2 \cdot 3^{2m+1}$.
$(i)$ से मान प्रतिस्थापित करने पर:
$P(m+1) = 4(5k - 3^{2m+1}) + 9 \cdot 3^{2m+1}$.
$P(m+1) = 20k - 4 \cdot 3^{2m+1} + 9 \cdot 3^{2m+1}$.
$P(m+1) = 20k + 5 \cdot 3^{2m+1} = 5(4k + 3^{2m+1})$.
चूंकि $5(4k + 3^{2m+1})$,$5$ से विभाज्य है,इसलिए $P(m+1)$ सत्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,सभी $n \in N$ के लिए $2^{2n+1} + 3^{2n+1}$,$5$ से विभाज्य है।

(B) माना $P(n): 4^n+15n-1$,$9$ से विभाज्य है।
$n=1$ के लिए,$P(1)=4^1+15(1)-1=18$,जो $9$ से विभाज्य है।
अतः,$P(1)$ सत्य है।
माना $P(k)$ किसी $k \in N$ के लिए सत्य है। तब,$4^k+15k-1=9\lambda$ किसी $\lambda \in N$ के लिए।
हमें यह दिखाना है कि $P(k+1)$ सत्य है,अर्थात $4^{k+1}+15(k+1)-1$,$9$ से विभाज्य है।
$4^{k+1}+15(k+1)-1 = 4 \cdot 4^k + 15k + 15 - 1$
$4^k = 9\lambda - 15k + 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= 4(9\lambda - 15k + 1) + 15k + 14$
$= 36\lambda - 60k + 4 + 15k + 14$
$= 36\lambda - 45k + 18$
$= 9(4\lambda - 5k + 2)$,जो $9$ से विभाज्य है।
अतः,यदि $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है। गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$4^n+15n-1$ सभी $n \in N$ के लिए $9$ से विभाज्य है।

(A) माना $P(n) = 3(5^{2n+1}) + 2^{3n+1}$.
$n = 1$ के लिए,$P(1) = 3(5^3) + 2^4 = 3(125) + 16 = 375 + 16 = 391$.
चूंकि $391 = 17 \times 23$,इसलिए यह व्यंजक $17$ से विभाज्य है।
वैकल्पिक रूप से,हम लिख सकते हैं:
$3(5^{2n+1}) + 2^{3n+1} = 15(25^n) + 2(8^n)$
$= 15(25^n) - 15(8^n) + 15(8^n) + 2(8^n)$
$= 15(25^n - 8^n) + 17(8^n)$
चूंकि $(25^n - 8^n)$,$(25 - 8) = 17$ से विभाज्य है,इसलिए पूरा व्यंजक $17$ से विभाज्य है।

(B) दिया गया है $P(n) = 3^{2n+1} + 2^{n+2}$।
$n = 1$ के लिए,$P(1) = 3^{2(1)+1} + 2^{1+2} = 3^3 + 2^3 = 27 + 8 = 35$।
चूंकि $35 = 5 \times 7$,$P(1)$ अभाज्य पूर्णांकों $5$ और $7$ से विभाज्य है।
अतः,$n = 1$ के लिए कम से कम एक ऐसा अभाज्य पूर्णांक मौजूद है जो $P(n)$ को विभाजित करता है।
किसी भी $n \in N$ के लिए,$P(n) > 1$,और अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार,$1$ से बड़ी प्रत्येक पूर्णांक संख्या का कम से कम एक अभाज्य गुणनखंड होता है।
इसलिए,ऐसा अभाज्य पूर्णांक मौजूद है जो $P(n)$ को विभाजित करता है।