प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक n के लिए,{2^n}

Question

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि ${2^n}  1$,स्थित

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$n \geq 4$

Vedclass · Answer

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि ${2^n} $n = 1$ के लिए: ${2^1} = 2$,$1! = 1$. चूँकि $2 > 1$,स्थिति असत्य है।$n = 2$ के लिए: ${2^2} = 4$,$2! = 2$. चूँकि $4 > 2$,स्थिति असत्य है।$n = 3$ के लिए: ${2^3} = 8$,$3! = 6$. चूँकि $8 > 6$,स्थिति असत्य है।$n = 4$ के लिए: ${2^4} = 16$,$4! = 24$. चूँकि $16 $n = 5$ के लिए: ${2^5} = 32$,$5! = 120$. चूँकि $32 अतः,असमिका ${2^n} < n!$ सभी पूर्णांकों $n \geq 4$ के लिए सत्य है।

प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,${2^n} < n!$ कब होता है?

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मान लीजिए $P(n) : 3^n < n!$ जहाँ $n \in N$,$n \geq \lambda$ के लिए सत्य है। $\lambda$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in N$ के लिए:
$7^{n}-3^{n}$,$4$ से विभाज्य है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
$a+(a+d)+(a+2d)+\ldots+(a+(n-1)d) = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
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गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए $3^{2n} - 1$,$8$ से विभाज्य है।

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