गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in N$ के लिए,$x^{2n}-y^{2n}$,$x+y$ से विभाज्य है।

(N/A) माना कि दिया गया कथन $P(n)$ है,अर्थात $P(n): x^{2n}-y^{2n}$,$x+y$ से विभाज्य है।
चरण $1$: $n=1$ के लिए जाँचें।
$P(1): x^{2(1)}-y^{2(1)} = x^2-y^2 = (x+y)(x-y)$,जो स्पष्ट रूप से $(x+y)$ से विभाज्य है। अतः,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $x^{2k}-y^{2k} = m(x+y)$ किसी पूर्णांक $m$ के लिए। .......$(i)$
चरण $3$: सिद्ध करें कि $P(k+1)$ सत्य है।
$x^{2(k+1)}-y^{2(k+1)} = x^{2k} \cdot x^2 - y^{2k} \cdot y^2$ पर विचार करें।
$= x^2(x^{2k} - y^{2k} + y^{2k}) - y^{2k} \cdot y^2$
$= x^2(x^{2k} - y^{2k}) + y^{2k}(x^2 - y^2)$
$= x^2[m(x+y)] + y^{2k}(x+y)(x-y)$ [$(i)$ का उपयोग करते हुए]
$= (x+y)[m x^2 + y^{2k}(x-y)]$.
चूँकि $(x+y)$ एक गुणनखंड है,इसलिए जब भी $P(k)$ सत्य है,$P(k+1)$ भी सत्य है।
अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।