गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
$\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \ldots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{n}{2n+1}$
$\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \ldots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{n}{2n+1}$
(N/A) माना $P(n)$ कथन है: $\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \ldots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{n}{2n+1}$.
चरण $1$: $n = 1$ के लिए,$LHS$ $= \frac{1}{1 \cdot 3} = \frac{1}{3}$ और $RHS$ $= \frac{1}{2(1)+1} = \frac{1}{3}$. चूँकि $LHS$ $=$ $RHS$,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी $k \in N$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $\frac{1}{1 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{k}{2k+1}$.
चरण $3$: $n = k+1$ के लिए,हमें सिद्ध करना है कि $P(k+1)$ सत्य है,अर्थात $\frac{1}{1 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{k+1}{2k+3}$.
$LHS$ $= \left(\frac{1}{1 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}\right) + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$
$= \frac{k}{2k+1} + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$
$= \frac{k(2k+3) + 1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{2k^2 + 3k + 1}{(2k+1)(2k+3)}$
$= \frac{(2k+1)(k+1)}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{k+1}{2k+3} = \text{RHS}$.
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है। गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।
चरण $1$: $n = 1$ के लिए,$LHS$ $= \frac{1}{1 \cdot 3} = \frac{1}{3}$ और $RHS$ $= \frac{1}{2(1)+1} = \frac{1}{3}$. चूँकि $LHS$ $=$ $RHS$,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी $k \in N$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $\frac{1}{1 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{k}{2k+1}$.
चरण $3$: $n = k+1$ के लिए,हमें सिद्ध करना है कि $P(k+1)$ सत्य है,अर्थात $\frac{1}{1 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{k+1}{2k+3}$.
$LHS$ $= \left(\frac{1}{1 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}\right) + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$
$= \frac{k}{2k+1} + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$
$= \frac{k(2k+3) + 1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{2k^2 + 3k + 1}{(2k+1)(2k+3)}$
$= \frac{(2k+1)(k+1)}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{k+1}{2k+3} = \text{RHS}$.
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है। गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।
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गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \ldots + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$
$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \ldots + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$
Medium
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$\cos \alpha + \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha + 2\beta) + \ldots + \cos [\alpha + (n-1)\beta] = \frac{\cos \left[\alpha + \left(\frac{n-1}{2}\right) \beta\right] \sin \left(\frac{n\beta}{2}\right)}{\sin \left(\frac{\beta}{2}\right)}$
$\cos \alpha + \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha + 2\beta) + \ldots + \cos [\alpha + (n-1)\beta] = \frac{\cos \left[\alpha + \left(\frac{n-1}{2}\right) \beta\right] \sin \left(\frac{n\beta}{2}\right)}{\sin \left(\frac{\beta}{2}\right)}$
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$1+\frac{1}{(1+2)}+\frac{1}{(1+2+3)}+\ldots+\frac{1}{(1+2+3+\ldots+n)}=\frac{2n}{n+1}$
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