मान लीजिए $P(n)$ एक कथन है और सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए $P(n) \implies P(n + 1)$ है,तो $P(n)$ सत्य है:

प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,सिद्ध कीजिए कि $7^{n}-3^{n}$ संख्या $4$ से विभाज्य है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए $2+4+6+\ldots+2n = n^2+n$.

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $n \geq 2$ के लिए $n^{3}-n$,$6$ से विभाज्य है।

मान लीजिए $P(n) : 3^n < n!$ जहाँ $n \in N$,$n \geq \lambda$ के लिए सत्य है। $\lambda$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in N$ के लिए जहाँ $n \geq 2$:
$\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{4^{2}}\right) \ldots \left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)=\frac{n+1}{2n}$