कथन $P(n): 1 \times 1! + 2 \times 2! + 3 \times 3! + \dots + n \times n! = (n + 1)! - 1$ है

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित सिद्ध कीजिए:
$4+8+12+\ldots+4n = 2n(n+1)$

मान लीजिए कि $P(n)$ यह कथन दर्शाता है कि $n^2 + n$ विषम है। यह देखा गया है कि $P(n) \Rightarrow P(n + 1)$। $P(n)$ सभी के लिए सत्य है:

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके दर्शाइए कि एक अनुक्रम $b_{0}, b_{1}, b_{2}, \ldots$ के लिए,जो $b_{0}=5$ और $b_{k}=4+b_{k-1}$ द्वारा सभी प्राकृतिक संख्याओं $k$ के लिए परिभाषित है,सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए $b_{n}=5+4n$ है।

प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए,निम्नलिखित में से कौन सी असमिका सत्य है?

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके दर्शाइए कि सभी $n \in N$ के लिए $\frac{n^{5}}{5}+\frac{n^{3}}{3}+\frac{7n}{15}$ एक प्राकृतिक संख्या है।