सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in N$ के लिए,$3^{2n+2} - 8n - 9$,$8$ से विभाज्य है,गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके।
(N/A) माना दिया गया कथन $P(n)$ है,अर्थात $P(n): 3^{2n+2} - 8n - 9$,$8$ से विभाज्य है।
चरण $1$: $n = 1$ के लिए,$3^{2(1)+2} - 8(1) - 9 = 81 - 17 = 64$। चूंकि $64$,$8$ से विभाज्य है,इसलिए $P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $3^{2k+2} - 8k - 9 = 8m$ किसी $m \in N$ के लिए। अतः,$3^{2k+2} = 8m + 8k + 9$।
चरण $3$: हमें दिखाना है कि $P(k+1)$ सत्य है,अर्थात $3^{2(k+1)+2} - 8(k+1) - 9$,$8$ से विभाज्य है।
$3^{2k+4} - 8k - 8 - 9 = 3^2 \cdot 3^{2k+2} - 8k - 17$ पर विचार करें।
$3^{2k+2} = 8m + 8k + 9$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= 9(8m + 8k + 9) - 8k - 17$
$= 72m + 72k + 81 - 8k - 17$
$= 72m + 64k + 64$
$= 8(9m + 8k + 8)$।
चूंकि यह $8$ का गुणज है,इसलिए $P(k+1)$ सत्य है।
अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।
चरण $1$: $n = 1$ के लिए,$3^{2(1)+2} - 8(1) - 9 = 81 - 17 = 64$। चूंकि $64$,$8$ से विभाज्य है,इसलिए $P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $3^{2k+2} - 8k - 9 = 8m$ किसी $m \in N$ के लिए। अतः,$3^{2k+2} = 8m + 8k + 9$।
चरण $3$: हमें दिखाना है कि $P(k+1)$ सत्य है,अर्थात $3^{2(k+1)+2} - 8(k+1) - 9$,$8$ से विभाज्य है।
$3^{2k+4} - 8k - 8 - 9 = 3^2 \cdot 3^{2k+2} - 8k - 17$ पर विचार करें।
$3^{2k+2} = 8m + 8k + 9$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= 9(8m + 8k + 9) - 8k - 17$
$= 72m + 72k + 81 - 8k - 17$
$= 72m + 64k + 64$
$= 8(9m + 8k + 8)$।
चूंकि यह $8$ का गुणज है,इसलिए $P(k+1)$ सत्य है।
अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।
Explore More
Similar Questions
गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in N$ के लिए जहाँ $n \geq 2$:
$\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{4^{2}}\right) \ldots \left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)=\frac{n+1}{2n}$
$\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{4^{2}}\right) \ldots \left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)=\frac{n+1}{2n}$
Difficult
View Solutionगणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि $\cos \theta \cos 2 \theta \cos 2^{2} \theta \ldots \cos 2^{n-1} \theta = \frac{\sin 2^{n} \theta}{2^{n} \sin \theta}$ सभी $n \in N$ के लिए।
Difficult
View Solutionयदि $n \in N$ है,तो कथन $8n + 16 \leq 2^n$ किसके लिए सत्य है?
गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित असमिका सत्य है:
$(2n + 7) < (n + 3)^{2}$
$(2n + 7) < (n + 3)^{2}$
Difficult
View Solutionगणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए $1+2+2^{2}+\ldots+2^{n}=2^{n+1}-1$.
Medium
View SolutionVedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo