$n$ के सभी धनात्मक पूर्णांक मानों के लिए,${3^{2n}} - 2n + 1$ किससे विभाज्य है?

निम्नलिखित चार कथनों में से,वह कथन जो सभी $n \in N$ के लिए सत्य नहीं है,वह है

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए $n(n^{2}+5)$,$6$ से विभाज्य है।

यदि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है,तो $2 \cdot 4^{2n+1} + 3^{3n+1}$ किससे विभाज्य है?

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित सिद्ध कीजिए:
$3 \times 6 + 6 \times 9 + 9 \times 12 + \ldots + (3n)(3n + 3) = 3n(n + 1)(n + 2)$

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए $2^{3n} - 1$,$7$ से विभाज्य है।