गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
$\frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \frac{1}{7 \times 9} + \ldots + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{n}{3(2n+3)}$
$\frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \frac{1}{7 \times 9} + \ldots + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{n}{3(2n+3)}$
माना दिया गया कथन $P(n)$ है:
$P(n): \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \frac{1}{7 \times 9} + \ldots + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{n}{3(2n+3)}$
$n=1$ के लिए,हमारे पास है:
$P(1): \frac{1}{3 \times 5} = \frac{1}{3(2(1)+3)} = \frac{1}{3 \times 5}$,जो सत्य है।
माना किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात
$P(k): \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \ldots + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{k}{3(2k+3)}$
अब हम सिद्ध करेंगे कि $P(k+1)$ सत्य है।
$(k+1)$ पदों तक का योग लें:
$\left[\frac{1}{3 \times 5} + \ldots + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}\right] + \frac{1}{(2(k+1)+1)(2(k+1)+3)}$
$= \frac{k}{3(2k+3)} + \frac{1}{(2k+3)(2k+5)}$
$= \frac{1}{2k+3} \left[ \frac{k}{3} + \frac{1}{2k+5} \right]$
$= \frac{1}{2k+3} \left[ \frac{k(2k+5) + 3}{3(2k+5)} \right]$
$= \frac{2k^2 + 5k + 3}{3(2k+3)(2k+5)}$
$= \frac{(k+1)(2k+3)}{3(2k+3)(2k+5)}$
$= \frac{k+1}{3(2k+5)} = \frac{k+1}{3(2(k+1)+3)}$
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,कथन $P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।
$P(n): \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \frac{1}{7 \times 9} + \ldots + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{n}{3(2n+3)}$
$n=1$ के लिए,हमारे पास है:
$P(1): \frac{1}{3 \times 5} = \frac{1}{3(2(1)+3)} = \frac{1}{3 \times 5}$,जो सत्य है।
माना किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात
$P(k): \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \ldots + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{k}{3(2k+3)}$
अब हम सिद्ध करेंगे कि $P(k+1)$ सत्य है।
$(k+1)$ पदों तक का योग लें:
$\left[\frac{1}{3 \times 5} + \ldots + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}\right] + \frac{1}{(2(k+1)+1)(2(k+1)+3)}$
$= \frac{k}{3(2k+3)} + \frac{1}{(2k+3)(2k+5)}$
$= \frac{1}{2k+3} \left[ \frac{k}{3} + \frac{1}{2k+5} \right]$
$= \frac{1}{2k+3} \left[ \frac{k(2k+5) + 3}{3(2k+5)} \right]$
$= \frac{2k^2 + 5k + 3}{3(2k+3)(2k+5)}$
$= \frac{(k+1)(2k+3)}{3(2k+3)(2k+5)}$
$= \frac{k+1}{3(2k+5)} = \frac{k+1}{3(2(k+1)+3)}$
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,कथन $P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।
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तो,$a_n$ का मान क्या है?
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