गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
$1^{2}+3^{2}+5^{2}+\ldots+(2n-1)^{2}=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

माना कि दिया गया कथन $P(n)$ है,अर्थात
$P(n): 1^{2}+3^{2}+5^{2}+\ldots+(2n-1)^{2}=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$
$n=1$ के लिए,हमारे पास है
$P(1)=1^{2}=1=\frac{1(2(1)-1)(2(1)+1)}{3}=\frac{1 \times 1 \times 3}{3}=1$,जो सत्य है।
माना कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात
$P(k): 1^{2}+3^{2}+5^{2}+\ldots+(2k-1)^{2}=\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}$ $(i)$
अब हम सिद्ध करेंगे कि $P(k+1)$ सत्य है।
$(k+1)$ पदों तक का योग लीजिए:
$\left\{1^{2}+3^{2}+5^{2}+\ldots+(2k-1)^{2}\right\}+\{2(k+1)-1\}^{2}$
$= \frac{k(2k-1)(2k+1)}{3} + (2k+1)^{2}$ [$(i)$ का उपयोग करते हुए]
$= \frac{k(2k-1)(2k+1) + 3(2k+1)^{2}}{3}$
$= \frac{(2k+1)\{k(2k-1) + 3(2k+1)\}}{3}$
$= \frac{(2k+1)\{2k^{2}-k+6k+3\}}{3}$
$= \frac{(2k+1)\{2k^{2}+5k+3\}}{3}$
$= \frac{(2k+1)\{2k^{2}+2k+3k+3\}}{3}$
$= \frac{(2k+1)\{2k(k+1)+3(k+1)\}}{3}$
$= \frac{(2k+1)(k+1)(2k+3)}{3}$
$= \frac{(k+1)\{2(k+1)-1\}\{2(k+1)+1\}}{3}$
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,कथन $P(n)$ सभी प्राकृतिक संख्याओं $n \in N$ के लिए सत्य है।