Mathematical induction Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $f(n) = 3^{2n} - 2n + 1$.
$n = 1$ માટે,$f(1) = 3^{2(1)} - 2(1) + 1 = 8$.
$n = 2$ માટે,$f(2) = 3^{2(2)} - 2(2) + 1 = 78$.
બંને કિંમતો $2$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $2$ છે.

(B) સાચી અસમતા નક્કી કરવા માટે,આપણે પ્રથમ થોડી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$ માટે ચકાસણી કરીએ.
$n = 1$ માટે: $1 < 2^1$ એટલે કે $1 < 2$,જે સત્ય છે.
$n = 2$ માટે: $2 < 2^2$ એટલે કે $2 < 4$,જે સત્ય છે.
$n = 3$ માટે: $3 < 2^3$ એટલે કે $3 < 8$,જે સત્ય છે.
જેમ જેમ $n$ વધે છે,$2^n$ ઘાતાંકીય રીતે વધે છે જ્યારે $n$ રેખીય રીતે વધે છે,તેથી દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n \ge 1$ માટે $2^n$ હંમેશા $n$ કરતા મોટું રહેશે.
આમ,અસમતા $n < 2^n$ દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે સાચી છે.

(C) ચાલો $n = 1$ માટે વિકલ્પો તપાસીએ:
$(a)$ $2^1 < 1 \implies 2 < 1$ (ખોટું)
$(b)$ $1^2 > 2(1) \implies 1 > 2$ (ખોટું)
$(c)$ $1^4 < 10^1 \implies 1 < 10$ (સાચું)
$(d)$ $2^{3(1)} > 7(1) + 1 \implies 8 > 8$ (ખોટું)
આમ,$n \in N$ માટે સાચું વિધાન $n^4 < 10^n$ છે.

(B) ${2^n} < n!$ ક્યારે સાચું છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે $n = 1$ થી કિંમતો ચકાસીએ:
$n = 1$ માટે: ${2^1} = 2$,$1! = 1$. $2 > 1$ હોવાથી,શરત ખોટી છે.
$n = 2$ માટે: ${2^2} = 4$,$2! = 2$. $4 > 2$ હોવાથી,શરત ખોટી છે.
$n = 3$ માટે: ${2^3} = 8$,$3! = 6$. $8 > 6$ હોવાથી,શરત ખોટી છે.
$n = 4$ માટે: ${2^4} = 16$,$4! = 24$. $16 < 24$ હોવાથી,શરત સાચી છે.
$n = 5$ માટે: ${2^5} = 32$,$5! = 120$. $32 < 120$ હોવાથી,શરત સાચી છે.
આમ,અસમતા ${2^n} < n!$ એ તમામ પૂર્ણાંકો $n \geq 4$ માટે સાચી છે.

(C) $n$ ના કયા મૂલ્યો માટે ${3^n} > {n^3}$ થાય છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે નાના ધન પૂર્ણાંકો ચકાસીએ:
$n = 1$ માટે: ${3^1} = 3$ અને ${1^3} = 1$. $3 > 1$ હોવાથી,શરત સાચી છે.
$n = 2$ માટે: ${3^2} = 9$ અને ${2^3} = 8$. $9 > 8$ હોવાથી,શરત સાચી છે.
$n = 3$ માટે: ${3^3} = 27$ અને ${3^3} = 27$. અહીં $27 = 27$ છે,તેથી શરત ${3^n} > {n^3}$ સાચી નથી.
$n = 4$ માટે: ${3^4} = 81$ અને ${4^3} = 64$. $81 > 64$ હોવાથી,શરત સાચી છે.
$n = 5$ માટે: ${3^5} = 243$ અને ${5^3} = 125$. $243 > 125$ હોવાથી,શરત સાચી છે.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,તે સાબિત કરી શકાય છે કે તમામ $n \geq 4$ માટે,અસમતા ${3^n} > {n^3}$ સાચી છે.

(D) વિધાન $P(n)$ એ $n^2 + n$ એકી સંખ્યા છે તે છે.
આપણે $n^2 + n = n(n + 1)$ લખી શકીએ.
કારણ કે $n$ અને $n + 1$ ક્રમિક પૂર્ણાંકો છે,તેમાંથી એક બેકી અને બીજી એકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
બેકી સંખ્યા અને એકી સંખ્યાનો ગુણાકાર હંમેશા બેકી હોય છે.
તેથી,તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ માટે $n^2 + n$ હંમેશા બેકી હોય છે.
વિધાન દાવો કરે છે કે $n^2 + n$ એકી છે,તેથી વિધાન $P(n)$ તમામ $n \in \mathbb{N}$ માટે ખોટું છે.
આમ,એવું કોઈ $n$ નથી જેના માટે $P(n)$ સાચું હોય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(D) આપેલ વિધાન $P(n) = 2 + 4 + 6 + \dots + 2n$ એ $S_n = n(n + 1)$ સરવાળા સાથેની સમાંતર શ્રેણી છે.
આપેલ ઇન્ડક્ટિવ સ્ટેપ $P(k) = k(k + 1) + 2 \implies P(k + 1) = (k + 1)(k + 2) + 2$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $P(n) = n(n + 1) + 2$ સૂત્રની સત્યતા ચકાસી રહ્યા છીએ.
પ્રથમ $n$ બેકી સંખ્યાઓનો વાસ્તવિક સરવાળો $n(n + 1)$ હોવાથી,$P(n) = n(n + 1) + 2$ સૂત્ર તમામ $n \in N$ માટે ખોટું છે.
તેથી,આપેલ ઇન્ડક્ટિવ સ્ટેપ કોઈપણ $n$ માટે સૂત્ર સાબિત કરતું નથી,અને તેથી આપેલી માહિતી પરથી $P(n) = n(n + 1) + 2$ સૂત્રની માન્યતા વિશે કંઈ કહી શકાય નહીં.

(C) આપણે $n = 1$ માટે વિધાન $P(n)$ ચકાસીએ:
$LHS = 1 \times 1! = 1$.
$RHS = (1 + 1)! - 1 = 2! - 1 = 2 - 1 = 1$.
$LHS = RHS$ હોવાથી,વિધાન $n = 1$ માટે સત્ય છે.
ધારો કે વિધાન $n = k$ માટે સત્ય છે,એટલે કે $1 \times 1! + 2 \times 2! + \dots + k \times k! = (k + 1)! - 1$.
$n = k + 1$ માટે,આપણી પાસે છે:
$(1 \times 1! + 2 \times 2! + \dots + k \times k!) + (k + 1) \times (k + 1)! = ((k + 1)! - 1) + (k + 1) \times (k + 1)!$.
$= (k + 1)! \times (1 + k + 1) - 1 = (k + 1)! \times (k + 2) - 1 = (k + 2)! - 1$.
આ $n = k + 1$ માટે $(n + 1)! - 1$ સ્વરૂપ સાથે મેળ ખાય છે.
આમ,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,વિધાન બધા $n \in \mathbb{N}$ માટે સત્ય છે.

(A) આપણે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n = 1, 2, 3, 4, \dots$ માટે અસમતા $2^n > 2n + 1$ ચકાસીએ.
$n = 1$ માટે: $2^1 = 2$ અને $2(1) + 1 = 3$. $2 > 3$ ખોટું હોવાથી,$n = 1$ માટે અસમતા સાચી નથી.
$n = 2$ માટે: $2^2 = 4$ અને $2(2) + 1 = 5$. $4 > 5$ ખોટું હોવાથી,$n = 2$ માટે અસમતા સાચી નથી.
$n = 3$ માટે: $2^3 = 8$ અને $2(3) + 1 = 7$. $8 > 7$ સાચું હોવાથી,$n = 3$ માટે અસમતા સાચી છે.
$n = 4$ માટે: $2^4 = 16$ અને $2(4) + 1 = 9$. $16 > 9$ સાચું હોવાથી,$n = 4$ માટે અસમતા સાચી છે.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,તે સાબિત કરી શકાય છે કે આ અસમતા તમામ $n \ge 3$ માટે સાચી છે.

(D) ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,વિધાન $P(n)$ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ માટે સત્ય હોવા માટે બે શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. $P(1)$ સત્ય હોવું જોઈએ.
$2$. જો $P(k)$ સત્ય હોય,તો $P(k+1)$ સત્ય હોવું જોઈએ.
આપેલ પ્રશ્નમાં,માત્ર $P(n) \implies P(n+1)$ શરત આપેલી છે. પાયાની શરત (એટલે કે $P(1)$ સત્ય છે) વગર,આપણે કહી શકતા નથી કે $P(n)$ કોઈ પણ $n$ માટે સત્ય છે. તેથી,$P(n)$ ની સત્યતા વિશે કંઈ કહી શકાય નહીં.

(C) આપેલ છે $S(k) = 1 + 3 + 5 + \dots + (2k - 1) = 3 + k^2$.
$k = 1$ માટે,$S(1) \Rightarrow 1 = 3 + 1^2 = 4$,જે ખોટું છે.
$k = 2$ માટે,$S(2) \Rightarrow 1 + 3 = 3 + 2^2 = 7$,જે ખોટું છે.
હવે,ધારો કે $S(k)$ સાચું છે,એટલે કે $1 + 3 + 5 + \dots + (2k - 1) = 3 + k^2$.
બંને બાજુ $(2(k + 1) - 1) = 2k + 1$ ઉમેરતા:
$1 + 3 + 5 + \dots + (2k - 1) + (2k + 1) = 3 + k^2 + 2k + 1 = 3 + (k + 1)^2$.
આ દર્શાવે છે કે $S(k) \Rightarrow S(k + 1)$ સાચું છે,ભલે પાયાનું સ્ટેપ $S(1)$ ખોટું હોય.

(C) $n = 1$ માટે,આપણને મળે છે,
${P^{1 + 1}} + {(P + 1)^{2(1) - 1}} = {P^2} + {(P + 1)^1} = {P^2} + P + 1$.
આ પદ ${P^2} + P + 1$ વડે વિભાજ્ય છે.
ધારો કે આપેલ પરિણામ $n = m \in N$ માટે સાચું છે,એટલે કે,${P^{m + 1}} + {(P + 1)^{2m - 1}} = k({P^2} + P + 1)$ કોઈ $k \in N$ માટે .....$(i)$
હવે,$n = m + 1$ માટે:
${P^{(m + 1) + 1}} + {(P + 1)^{2(m + 1) - 1}} = {P^{m + 2}} + {(P + 1)^{2m + 1}} = {P^{m + 2}} + {(P + 1)^2}{(P + 1)^{2m - 1}}$.
સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરીને,${(P + 1)^{2m - 1}} = k({P^2} + P + 1) - {P^{m + 1}}$ મૂકતા:
$= {P^{m + 2}} + {(P + 1)^2}[k({P^2} + P + 1) - {P^{m + 1}}]
= {P^{m + 2}} + {(P + 1)^2} \cdot k({P^2} + P + 1) - {(P + 1)^2}{P^{m + 1}}
= {P^{m + 1}}[P - {(P + 1)^2}] + {(P + 1)^2} \cdot k({P^2} + P + 1)
= {P^{m + 1}}[P - ({P^2} + 2P + 1)] + {(P + 1)^2} \cdot k({P^2} + P + 1)
= {P^{m + 1}}[-{P^2} - P - 1] + {(P + 1)^2} \cdot k({P^2} + P + 1)
= -{P^{m + 1}}({P^2} + P + 1) + {(P + 1)^2} \cdot k({P^2} + P + 1)
= ({P^2} + P + 1)[k{(P + 1)^2} - {P^{m + 1}}]$.
આ ${P^2} + P + 1$ નો ગુણક હોવાથી,પરિણામ $n = m + 1$ માટે સાચું છે.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,પરિણામ તમામ $n \in N$ માટે સાચું છે.

(A) પગલું $I$: આપેલ સંબંધ ${U_{n + 1}} = 3{U_n} - 2{U_{n - 1}}$ જ્યાં ${U_0} = 2$ અને ${U_1} = 3$ છે.
$n = 1$ માટે,${U_2} = 3{U_1} - 2{U_0} = 3(3) - 2(2) = 5$ મળે.
વિકલ્પ $(A)$ ${U_n} = {2^n} + 1$ ચકાસતા:
$n = 0$ માટે,${U_0} = {2^0} + 1 = 2$ (સાચું).
$n = 1$ માટે,${U_1} = {2^1} + 1 = 3$ (સાચું).
$n = 2$ માટે,${U_2} = {2^2} + 1 = 5$ (સાચું).
પગલું $II$: ધારો કે ${U_k} = {2^k} + 1$ અને ${U_{k - 1}} = {2^{k - 1}} + 1$ સત્ય છે.
પગલું $III$: $n = k$ માટે સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
${U_{k + 1}} = 3({2^k} + 1) - 2({2^{k - 1}} + 1) = 3 \cdot {2^k} + 3 - {2^k} - 2 = 2 \cdot {2^k} + 1 = {2^{k + 1}} + 1$.
આમ,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,તમામ $n \in N \cup \{0\}$ માટે ${U_n} = {2^n} + 1$ સત્ય છે.

(A) આપણે $\lambda \in N$ ની એવી ન્યૂનતમ કિંમત શોધવી છે કે જેથી તમામ $n \geq \lambda$ માટે $3^n < n!$ થાય.
$n$ ની કિંમતો તપાસતા:
$n=1$ માટે: $3^1 = 3, 1! = 1$. ($3 < 1$ અસત્ય છે)
$n=6$ માટે: $3^6 = 729, 6! = 720$. ($729 < 720$ અસત્ય છે)
$n=7$ માટે: $3^7 = 2187, 7! = 5040$. ($2187 < 5040$ સત્ય છે)
આમ,$\lambda$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $7$ છે.

(A) આપેલ વિધાન $P(n) = n^2 - n + 41$ છે.
$n = 3$ માટે:
$P(3) = 3^2 - 3 + 41 = 9 - 3 + 41 = 47$.
$47$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાથી,$P(3)$ સાચું છે.
$n = 5$ માટે:
$P(5) = 5^2 - 5 + 41 = 25 - 5 + 41 = 61$.
$61$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાથી,$P(5)$ સાચું છે.
તેથી,$P(3)$ અને $P(5)$ બંને સાચા છે.

(N/A) ધારો કે આપેલ વિધાન $P(n)$ છે,એટલે કે
$P(n): 1^{2}+2^{2}+\ldots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$n=1$ માટે,$P(1): 1^{2} = \frac{1(1+1)(2 \times 1+1)}{6} = \frac{1 \times 2 \times 3}{6} = 1,$ જે સત્ય છે.
ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે
$1^{2}+2^{2}+\ldots+k^{2}=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \quad \dots(1)$
હવે આપણે સાબિત કરીશું કે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
પ્રથમ $(k+1)$ પદોનો સરવાળો ધ્યાનમાં લો:
$(1^{2}+2^{2}+\ldots+k^{2})+(k+1)^{2} = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^{2} \quad [(1) \text{ નો ઉપયોગ કરતા}]$
$= \frac{(k+1)[k(2k+1) + 6(k+1)]}{6}$
$= \frac{(k+1)[2k^{2}+7k+6]}{6}$
$= \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$
$= \frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6}$
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,વિધાન $P(n)$ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n \ge 1$ માટે સત્ય છે.

ધારો કે $P(n): 2^n > n$.
પગલું $1$: $n = 1$ માટે,$2^1 = 2 > 1$. તેથી,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે $2^k > k$ ..............$(1)$.
પગલું $3$: હવે આપણે સાબિત કરીશું કે જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
$(1)$ ની બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$2 \cdot 2^k > 2k$
$2^{k+1} > 2k$
કારણ કે $k \geq 1$,તેથી $k + k \geq k + 1$.
આમ,$2k = k + k > k + 1$.
તેથી,$2^{k+1} > k + 1$.
નિષ્કર્ષ: જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ સત્ય છે. તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,દરેક ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $P(n)$ સત્ય છે.

ધારો કે $P(n)$ એ વિધાન છે: $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1}$.
પગલું $1$: $n = 1$ માટે,ડાબી બાજુ $\frac{1}{1 \times 2} = \frac{1}{2}$ છે અને જમણી બાજુ $\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$ છે. ડાબી બાજુ = જમણી બાજુ હોવાથી,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \ldots + \frac{1}{k(k+1)} = \frac{k}{k+1}$ $(1)$.
પગલું $3$: આપણે સાબિત કરવું છે કે $P(k+1)$ સત્ય છે,એટલે કે $\frac{1}{1 \times 2} + \ldots + \frac{1}{k(k+1)} + \frac{1}{(k+1)(k+2)} = \frac{k+1}{k+2}$.
$P(k+1)$ ની ડાબી બાજુથી શરૂ કરતા:
$= \left[ \frac{1}{1 \times 2} + \ldots + \frac{1}{k(k+1)} \right] + \frac{1}{(k+1)(k+2)}$
$= \frac{k}{k+1} + \frac{1}{(k+1)(k+2)}$ ($(1)$ નો ઉપયોગ કરતા)
$= \frac{k(k+2) + 1}{(k+1)(k+2)} = \frac{k^2 + 2k + 1}{(k+1)(k+2)} = \frac{(k+1)^2}{(k+1)(k+2)} = \frac{k+1}{k+2}$.
આમ,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,$P(n)$ એ બધા $n \ge 1$ માટે સત્ય છે.

(N/A) ધારો કે વિધાન $P(n): 7^{n} - 3^{n}$ એ $4$ વડે વિભાજ્ય છે.
પગલું $1$: $n = 1$ માટે ચકાસો.
$P(1): 7^{1} - 3^{1} = 4,$ જે $4$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે.
$P(k): 7^{k} - 3^{k} = 4d,$ જ્યાં $d \in \mathbb{N}.$
પગલું $3$: સાબિત કરો કે $P(k+1)$ સત્ય છે.
$7^{k+1} - 3^{k+1} = 7 \cdot 7^{k} - 3 \cdot 3^{k}$
$= 7 \cdot 7^{k} - 7 \cdot 3^{k} + 7 \cdot 3^{k} - 3 \cdot 3^{k}$
$= 7(7^{k} - 3^{k}) + (7 - 3) \cdot 3^{k}$
$= 7(4d) + 4 \cdot 3^{k}$
$= 4(7d + 3^{k})$
આમ,$4(7d + 3^{k})$ એ $4$ નો ગુણક હોવાથી,$P(k+1)$ સત્ય છે.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,દરેક ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $7^{n} - 3^{n}$ એ $4$ વડે વિભાજ્ય છે.

(N/A) ધારો કે $P(n)$ એ આપેલ વિધાન છે,એટલે કે $P(n): (1 + x)^n \ge (1 + nx)$ જ્યાં $x > -1.$
આપણે નોંધીએ છીએ કે જ્યારે $n = 1$ હોય ત્યારે $P(n)$ સત્ય છે,કારણ કે $x > -1$ માટે $(1 + x) \ge (1 + x).$
ધારો કે $P(k): (1 + x)^k \ge (1 + kx)$ જ્યાં $x > -1$ સત્ય છે. $(1)$
આપણે સાબિત કરવા માંગીએ છીએ કે જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $x > -1$ માટે $P(k + 1)$ સત્ય છે. $(2)$
નિત્યસમ $(1 + x)^{k+1} = (1 + x)^k(1 + x)$ ધ્યાનમાં લો.
આપેલ છે કે $x > -1,$ તેથી $(1 + x) > 0.$
તેથી,$(1 + x)^k \ge (1 + kx)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણને મળે છે $(1 + x)^{k+1} \ge (1 + kx)(1 + x).$
એટલે કે,$(1 + x)^{k+1} \ge (1 + x + kx + kx^2).$ $(3)$
અહીં $k$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે અને $x^2 \ge 0,$ તેથી $kx^2 \ge 0.$ તેથી,$(1 + x + kx + kx^2) \ge (1 + x + kx).$
અને તેથી આપણને મળે છે $(1 + x)^{k+1} \ge (1 + (1 + k)x).$
આમ,$(2)$ માંનું વિધાન સાબિત થાય છે. તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$P(n)$ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ માટે સત્ય છે.

(N/A) ધારો કે વિધાન $P(n)$ આ મુજબ છે: $P(n): 2 \cdot 7^{n} + 3 \cdot 5^{n} - 5$ એ $24$ વડે વિભાજ્ય છે.
પગલું $1$: $n=1$ માટે,$2 \cdot 7^{1} + 3 \cdot 5^{1} - 5 = 14 + 15 - 5 = 24$,જે $24$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે $P(k)$ કોઈ $k \in N$ માટે સત્ય છે,એટલે કે $2 \cdot 7^{k} + 3 \cdot 5^{k} - 5 = 24q$,જ્યાં $q \in N$. આથી $2 \cdot 7^{k} = 24q - 3 \cdot 5^{k} + 5$.
પગલું $3$: આપણે સાબિત કરવું છે કે $P(k+1)$ સત્ય છે,એટલે કે $2 \cdot 7^{k+1} + 3 \cdot 5^{k+1} - 5$ એ $24$ વડે વિભાજ્ય છે.
$2 \cdot 7^{k+1} + 3 \cdot 5^{k+1} - 5 = 7(2 \cdot 7^{k}) + 15 \cdot 5^{k} - 5$ લો.
$2 \cdot 7^{k} = 24q - 3 \cdot 5^{k} + 5$ મૂકતા:
$= 7(24q - 3 \cdot 5^{k} + 5) + 15 \cdot 5^{k} - 5$
$= 168q - 21 \cdot 5^{k} + 35 + 15 \cdot 5^{k} - 5$
$= 168q - 6 \cdot 5^{k} + 30$
$= 168q - 6(5^{k} - 5)$.
$5^{k} - 5$ એ $4$ નો ગુણક હોવાથી,$5^{k} - 5 = 4m$ લેતા:
$= 168q - 6(4m) = 168q - 24m = 24(7q - m)$,જે $24$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,$P(n)$ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.

ધારો કે $P(n)$ એ વિધાન છે: $1^{2} + 2^{2} + \ldots + n^{2} > \frac{n^{3}}{3}$.
પગલું $1$: $n = 1$ માટે,$1^{2} = 1$ અને $\frac{1^{3}}{3} = \frac{1}{3}$. $1 > \frac{1}{3}$ હોવાથી,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે $P(k)$ કોઈ $k \in N$ માટે સત્ય છે,એટલે કે $1^{2} + 2^{2} + \ldots + k^{2} > \frac{k^{3}}{3}$ $(1)$.
પગલું $3$: આપણે સાબિત કરવું છે કે $P(k+1)$ સત્ય છે,એટલે કે $1^{2} + 2^{2} + \ldots + k^{2} + (k+1)^{2} > \frac{(k+1)^{3}}{3}$.
ડાબી બાજુથી શરૂ કરતા:
$1^{2} + 2^{2} + \ldots + k^{2} + (k+1)^{2} > \frac{k^{3}}{3} + (k+1)^{2}$ ($(1)$ નો ઉપયોગ કરતા)
$= \frac{k^{3} + 3(k^{2} + 2k + 1)}{3} = \frac{k^{3} + 3k^{2} + 6k + 3}{3}$
$= \frac{(k^{3} + 3k^{2} + 3k + 1) + 3k + 2}{3} = \frac{(k+1)^{3} + 3k + 2}{3}$
$k \in N$ માટે $3k + 2 > 0$ હોવાથી,$\frac{(k+1)^{3} + 3k + 2}{3} > \frac{(k+1)^{3}}{3}$.
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$P(n)$ દરેક $n \in N$ માટે સત્ય છે.

ધારો કે $P(n)$ એ આપેલ વિધાન છે:
$P(n) : (ab)^{n} = a^{n}b^{n}$
પગલું $1$: $n = 1$ માટે,$(ab)^{1} = ab$ અને $a^{1}b^{1} = ab$. તેથી $ab = ab$,એટલે કે $P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે $(ab)^{k} = a^{k}b^{k}$ .......... $(1)$
પગલું $3$: આપણે સાબિત કરવું છે કે $P(k+1)$ સત્ય છે,એટલે કે $(ab)^{k+1} = a^{k+1}b^{k+1}$.
$(ab)^{k+1} = (ab)^{k} \cdot (ab)$ લો.
ધારણા $(1)$ નો ઉપયોગ કરતા,$(ab)^{k+1} = (a^{k}b^{k}) \cdot (ab)$.
ગુણાકારના જૂથના અને ક્રમના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$(ab)^{k+1} = (a^{k} \cdot a) \cdot (b^{k} \cdot b) = a^{k+1}b^{k+1}$.
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે. ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$P(n)$ એ તમામ $n \in \mathbb{N}$ માટે સત્ય છે.

(N/A) ધારો કે આપેલ વિધાન $P(n)$ છે,એટલે કે
$P(n): 1+3+3^{2}+\ldots+3^{n-1}=\frac{3^{n}-1}{2}$
$n=1$ માટે,
$P(1): 1 = \frac{3^{1}-1}{2} = \frac{2}{2} = 1,$ જે સત્ય છે.
ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે
$1+3+3^{2}+\ldots+3^{k-1} = \frac{3^{k}-1}{2}$ $(i)$
હવે આપણે સાબિત કરીશું કે $P(k+1)$ સત્ય છે.
$(k+1)$ પદો સુધીનો સરવાળો ધ્યાનમાં લો:
$1+3+3^{2}+\ldots+3^{k-1}+3^{(k+1)-1}$
$= (1+3+3^{2}+\ldots+3^{k-1}) + 3^{k}$
$= \frac{3^{k}-1}{2} + 3^{k}$ [$(i)$ નો ઉપયોગ કરતા]
$= \frac{3^{k}-1 + 2 \cdot 3^{k}}{2}$
$= \frac{(1+2) \cdot 3^{k} - 1}{2}$
$= \frac{3 \cdot 3^{k} - 1}{2}$
$= \frac{3^{k+1}-1}{2}$
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,વિધાન $P(n)$ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n \in N$ માટે સત્ય છે.

ધારો કે આપેલ વિધાન $P(n)$ છે,એટલે કે
$P(n): 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+n^{3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}$
$n=1$ માટે,આપણી પાસે છે
$P(1): 1^{3}=1=\left(\frac{1(1+1)}{2}\right)^{2}=\left(\frac{2}{2}\right)^{2}=1^{2}=1,$ જે સત્ય છે.
ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે
$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+k^{3}=\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^{2}$ ........$(i)$
હવે આપણે સાબિત કરીશું કે $P(k+1)$ સત્ય છે.
વિચારો
$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+k^{3}+(k+1)^{3}$
$= \left(1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+k^{3}\right)+(k+1)^{3}$
$= \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^{2}+(k+1)^{3}$ [$(i)$ નો ઉપયોગ કરતા]
$= \frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}+(k+1)^{3}$
$= \frac{k^{2}(k+1)^{2}+4(k+1)^{3}}{4}$
$= \frac{(k+1)^{2}\{k^{2}+4(k+1)\}}{4}$
$= \frac{(k+1)^{2}\{k^{2}+4k+4\}}{4}$
$= \frac{(k+1)^{2}(k+2)^{2}}{4}$
$= \left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^{2}$
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ સત્ય છે.
તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,વિધાન $P(n)$ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n \in N$ માટે સત્ય છે.

(N/A) ધારો કે આપેલ વિધાન $P(n)$ છે,એટલે કે
$P(n): 1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\ldots+\frac{1}{1+2+3+\ldots+n}=\frac{2n}{n+1}$
$n=1$ માટે,
$P(1): 1=\frac{2(1)}{1+1}=\frac{2}{2}=1$,જે સત્ય છે.
ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે
$1+\frac{1}{1+2}+\ldots+\frac{1}{1+2+3+\ldots+k}=\frac{2k}{k+1}$ .........$(i)$
હવે આપણે સાબિત કરીશું કે $P(k+1)$ સત્ય છે.
$(k+1)$ પદો સુધીનો સરવાળો ધ્યાનમાં લો:
$S_{k+1} = \left(1+\frac{1}{1+2}+\ldots+\frac{1}{1+2+3+\ldots+k}\right)+\frac{1}{1+2+3+\ldots+k+(k+1)}$
$(i)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_{k+1} = \frac{2k}{k+1} + \frac{1}{\frac{(k+1)(k+2)}{2}}$ [કારણ કે $1+2+\ldots+n = \frac{n(n+1)}{2}$]
$S_{k+1} = \frac{2k}{k+1} + \frac{2}{(k+1)(k+2)}$
$S_{k+1} = \frac{2}{(k+1)} \left(k + \frac{1}{k+2}\right)$
$S_{k+1} = \frac{2}{(k+1)} \left(\frac{k^2+2k+1}{k+2}\right)$
$S_{k+1} = \frac{2}{(k+1)} \left(\frac{(k+1)^2}{k+2}\right)$
$S_{k+1} = \frac{2(k+1)}{k+2}$
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,વિધાન $P(n)$ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.

ધારો કે આપેલ વિધાન $P(n)$ છે,એટલે કે,
$P(n): 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \ldots + n(n+1)(n+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$
$n=1$ માટે,આપણી પાસે છે
$P(1): 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6 = \frac{1(1+1)(1+2)(1+3)}{4} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{4} = 6$,જે સત્ય છે.
ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે
$1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \ldots + k(k+1)(k+2) = \frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4}$ ........$(i)$
હવે આપણે સાબિત કરીશું કે $P(k+1)$ સત્ય છે.
વિચારો
$1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \ldots + k(k+1)(k+2) + (k+1)(k+2)(k+3)$
$= \{1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \ldots + k(k+1)(k+2)\} + (k+1)(k+2)(k+3)$
$= \frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4} + (k+1)(k+2)(k+3)$ [$(i)$ નો ઉપયોગ કરતા]
$= (k+1)(k+2)(k+3) \left( \frac{k}{4} + 1 \right)$
$= \frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4}$
$= \frac{(k+1)((k+1)+1)((k+1)+2)((k+1)+3)}{4}$
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,વિધાન $P(n)$ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n \in N$ માટે સત્ય છે.

ધારો કે આપેલ વિધાન $P(n)$ છે,એટલે કે,
$P(n): 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3^{3} + \ldots + n \cdot 3^{n} = \frac{(2n - 1) 3^{n+1} + 3}{4}$
$n = 1$ માટે,
$P(1): 1 \cdot 3 = 3 = \frac{(2 \cdot 1 - 1) 3^{1+1} + 3}{4} = \frac{3^{2} + 3}{4} = \frac{12}{4} = 3$,જે સત્ય છે.
ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે,
$1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3^{3} + \ldots + k \cdot 3^{k} = \frac{(2k - 1) 3^{k+1} + 3}{4}$ $(i)$
હવે આપણે સાબિત કરીશું કે $P(k+1)$ સત્ય છે.
$(k+1)$ પદો સુધીનો સરવાળો ધ્યાનમાં લો:
$(1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^{2} + \ldots + k \cdot 3^{k}) + (k+1) \cdot 3^{k+1}$
$= \frac{(2k - 1) 3^{k+1} + 3}{4} + (k+1) 3^{k+1}$ [$(i)$ નો ઉપયોગ કરતા]
$= \frac{(2k - 1) 3^{k+1} + 3 + 4(k+1) 3^{k+1}}{4}$
$= \frac{3^{k+1} \{2k - 1 + 4k + 4\} + 3}{4}$
$= \frac{3^{k+1} \{6k + 3\} + 3}{4}$
$= \frac{3^{k+1} \cdot 3 \{2k + 1\} + 3}{4}$
$= \frac{3^{(k+1)+1} \{2(k+1) - 1\} + 3}{4}$
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,વિધાન $P(n)$ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.

(N/A) ધારો કે આપેલ વિધાન $P(n)$ છે,એટલે કે,
$P(n): 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \ldots + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$
$n=1$ માટે,આપણી પાસે છે:
$P(1): 1 \cdot 2 = 2 = \frac{1(1+1)(1+2)}{3} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3} = 2$,જે સત્ય છે.
ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે,
$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \ldots + k(k+1) = \frac{k(k+1)(k+2)}{3}$ $(i)$
હવે આપણે સાબિત કરીશું કે $P(k+1)$ સત્ય છે.
$(k+1)$ પદો સુધીનો સરવાળો ધ્યાનમાં લો:
$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \ldots + k(k+1) + (k+1)(k+2)$
$= \frac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)(k+2)$ [$(i)$ નો ઉપયોગ કરતા]
$= (k+1)(k+2) \left( \frac{k}{3} + 1 \right)$
$= (k+1)(k+2) \left( \frac{k+3}{3} \right)$
$= \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$
આ $P(k+1)$ નું સ્વરૂપ છે.
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,વિધાન $P(n)$ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n \in N$ માટે સત્ય છે.

(N/A) ધારો કે આપેલ વિધાન $P(n)$ છે,એટલે કે
$P(n): 1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + \ldots + (2n - 1)(2n + 1) = \frac{n(4n^2 + 6n - 1)}{3}$
$n = 1$ માટે,
$P(1): 1 \cdot 3 = 3 = \frac{1(4(1)^2 + 6(1) - 1)}{3} = \frac{4 + 6 - 1}{3} = \frac{9}{3} = 3$,જે સત્ય છે.
ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે
$1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + \ldots + (2k - 1)(2k + 1) = \frac{k(4k^2 + 6k - 1)}{3}$ $(i)$
હવે આપણે સાબિત કરીશું કે $P(k + 1)$ સત્ય છે.
$(k + 1)$ પદો સુધીનો સરવાળો ધ્યાનમાં લો:
$(1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + \ldots + (2k - 1)(2k + 1)) + (2(k + 1) - 1)(2(k + 1) + 1)$
$= \frac{k(4k^2 + 6k - 1)}{3} + (2k + 1)(2k + 3)$ [$(i)$ નો ઉપયોગ કરતા]
$= \frac{4k^3 + 6k^2 - k + 3(4k^2 + 8k + 3)}{3}$
$= \frac{4k^3 + 18k^2 + 23k + 9}{3}$
$= \frac{(k + 1)(4(k + 1)^2 + 6(k + 1) - 1)}{3}$
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k + 1)$ પણ સત્ય છે.
તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,વિધાન $P(n)$ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.

(N/A) ધારો કે આપેલ વિધાન $P(n)$ છે,એટલે કે
$P(n): 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2^{3} + \ldots + n \cdot 2^{n} = (n-1) 2^{n+1} + 2$
$n=1$ માટે,આપણી પાસે છે
$P(1): 1 \cdot 2 = 2 = (1-1) 2^{1+1} + 2 = 0 + 2 = 2$,જે સત્ય છે.
ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે
$1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2^{3} + \ldots + k \cdot 2^{k} = (k-1) 2^{k+1} + 2$ ........$(i)$
હવે આપણે સાબિત કરીશું કે $P(k+1)$ સત્ય છે.
વિચારો
$\{1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2^{3} + \ldots + k \cdot 2^{k}\} + (k+1) \cdot 2^{k+1}$
$= (k-1) 2^{k+1} + 2 + (k+1) 2^{k+1}$
$= 2^{k+1} \{(k-1) + (k+1)\} + 2$
$= 2^{k+1} \cdot (2k) + 2$
$= k \cdot 2^{(k+1)+1} + 2$
$= \{(k+1)-1\} 2^{(k+1)+1} + 2$
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,વિધાન $P(n)$ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n \in N$ માટે સત્ય છે.

ધારો કે આપેલ વિધાન $P(n)$ છે,એટલે કે
$P(n): \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots+\frac{1}{2^{n}}=1-\frac{1}{2^{n}}$
$n=1$ માટે,આપણી પાસે છે
$P(1): \frac{1}{2}=1-\frac{1}{2^{1}}=\frac{1}{2}$,જે સત્ય છે.
ધારો કે $P(k)$ કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે સત્ય છે,એટલે કે
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots+\frac{1}{2^{k}}=1-\frac{1}{2^{k}}$ $(i)$
હવે આપણે સાબિત કરીશું કે $P(k+1)$ સત્ય છે.
વિચારો
$\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots+\frac{1}{2^{k}}\right)+\frac{1}{2^{k+1}}$
$= \left(1-\frac{1}{2^{k}}\right)+\frac{1}{2^{k+1}}$ [$(i)$ નો ઉપયોગ કરીને]
$= 1 - \frac{1}{2^{k}} + \frac{1}{2^{k+1}}$
$= 1 - \left(\frac{2}{2^{k+1}} - \frac{1}{2^{k+1}}\right)$
$= 1 - \frac{1}{2^{k+1}}$
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,વિધાન $P(n)$ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n \in N$ માટે સત્ય છે.

ધારો કે આપેલ વિધાન $P(n)$ છે,એટલે કે
$P(n): \frac{1}{2 \times 5} + \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \ldots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{n}{6n+4}$
$n=1$ માટે,
$P(1): \frac{1}{2 \times 5} = \frac{1}{10} = \frac{1}{6(1)+4} = \frac{1}{10}$,જે સત્ય છે.
ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે
$P(k): \frac{1}{2 \times 5} + \frac{1}{5 \times 8} + \ldots + \frac{1}{(3k-1)(3k+2)} = \frac{k}{6k+4}$ ..........$(i)$
હવે આપણે સાબિત કરીશું કે $P(k+1)$ સત્ય છે.
$(k+1)$ પદો સુધીનો સરવાળો ધ્યાનમાં લો:
$\frac{1}{2 \times 5} + \ldots + \frac{1}{(3k-1)(3k+2)} + \frac{1}{\{3(k+1)-1\}\{3(k+1)+2\}}$
$= \frac{k}{6k+4} + \frac{1}{(3k+2)(3k+5)}$ [$(i)$ નો ઉપયોગ કરતા]
$= \frac{k}{2(3k+2)} + \frac{1}{(3k+2)(3k+5)}$
$= \frac{1}{3k+2} \left( \frac{k}{2} + \frac{1}{3k+5} \right)$
$= \frac{1}{3k+2} \left( \frac{k(3k+5) + 2}{2(3k+5)} \right)$
$= \frac{1}{3k+2} \left( \frac{3k^2 + 5k + 2}{2(3k+5)} \right)$
$= \frac{1}{3k+2} \left( \frac{(3k+2)(k+1)}{2(3k+5)} \right)$
$= \frac{k+1}{2(3k+5)} = \frac{k+1}{6k+10}$
$= \frac{k+1}{6(k+1)+4}$
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,વિધાન $P(n)$ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.

(N/A) ધારો કે આપેલ વિધાન $P(n)$ છે,એટલે કે
$P(n): \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$
$n=1$ માટે,
$P(1): \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{1(1+3)}{4(1+1)(1+2)} = \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3},$ જે સત્ય છે.
ધારો કે $P(k)$ કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે સત્ય છે,એટલે કે
$\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{k(k+3)}{4(k+1)(k+2)}$ ........$(i)$
હવે આપણે સાબિત કરીશું કે $P(k+1)$ સત્ય છે.
$(k+1)$ પદો સુધીનો સરવાળો ધ્યાનમાં લો:
$= \frac{k(k+3)}{4(k+1)(k+2)} + \frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}$ [$(i)$ નો ઉપયોગ કરતા]
$= \frac{1}{(k+1)(k+2)} \left\{ \frac{k(k+3)^2 + 4}{4(k+3)} \right\} = \frac{(k+1)(k+4)}{4(k+2)(k+3)}$
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$P(n)$ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.

(N/A) ધારો કે આપેલ વિધાન $P(n)$ છે,એટલે કે
$P(n): a + ar + ar^{2} + \ldots + ar^{n-1} = \frac{a(r^{n} - 1)}{r - 1}$
$n = 1$ માટે,આપણી પાસે છે
$P(1): a = \frac{a(r^{1} - 1)}{r - 1} = a$,જે સત્ય છે.
ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે
$a + ar + ar^{2} + \ldots + ar^{k-1} = \frac{a(r^{k} - 1)}{r - 1}$ $(i)$
હવે આપણે સાબિત કરીશું કે $P(k+1)$ સત્ય છે.
પ્રથમ $(k+1)$ પદોનો સરવાળો ધ્યાનમાં લો:
$(a + ar + ar^{2} + \ldots + ar^{k-1}) + ar^{(k+1)-1}$
$= \frac{a(r^{k} - 1)}{r - 1} + ar^{k}$ [$(i)$ નો ઉપયોગ કરતા]
$= \frac{a(r^{k} - 1) + ar^{k}(r - 1)}{r - 1}$
$= \frac{ar^{k} - a + ar^{k+1} - ar^{k}}{r - 1}$
$= \frac{ar^{k+1} - a}{r - 1}$
$= \frac{a(r^{k+1} - 1)}{r - 1}$
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,વિધાન $P(n)$ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n \in N$ માટે સત્ય છે.

ધારો કે આપેલ વિધાન $P(n)$ છે,એટલે કે
$P(n): \left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{9}\right) \dots \left(1+\frac{2n+1}{n^{2}}\right)=(n+1)^{2}$
$n=1$ માટે,
$P(1): \left(1+\frac{3}{1}\right) = 4 = (1+1)^{2} = 2^{2} = 4$,જે સત્ય છે.
ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે
$\left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{9}\right) \dots \left(1+\frac{2k+1}{k^{2}}\right)=(k+1)^{2}$ $(i)$
હવે આપણે સાબિત કરીશું કે $P(k+1)$ સત્ય છે.
$(k+1)$ પદો સુધીનો ગુણાકાર ધ્યાનમાં લો:
$\left[\left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right) \dots \left(1+\frac{2k+1}{k^{2}}\right)\right] \left\{1+\frac{2(k+1)+1}{(k+1)^{2}}\right\}$
$= (k+1)^{2} \left(1+\frac{2k+3}{(k+1)^{2}}\right)$ [$(i)$ નો ઉપયોગ કરતા]
$= (k+1)^{2} \left[\frac{(k+1)^{2} + 2k + 3}{(k+1)^{2}}\right]$
$= (k+1)^{2} + 2k + 3$
$= k^{2} + 2k + 1 + 2k + 3 = k^{2} + 4k + 4$
$= (k+2)^{2} = \{(k+1)+1\}^{2}$
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,વિધાન $P(n)$ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.

ધારો કે આપેલ વિધાન $P(n)$ છે,એટલે કે
$P(n): \left(1+\frac{1}{1}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right) \dots\left(1+\frac{1}{n}\right)=(n+1)$
$n=1$ માટે,આપણી પાસે છે
$P(1): \left(1+\frac{1}{1}\right) = 2 = (1+1)$,જે સત્ય છે.
ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે
$P(k): \left(1+\frac{1}{1}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right) \dots\left(1+\frac{1}{k}\right)=(k+1)$ .........$(i)$
હવે આપણે સાબિત કરીશું કે $P(k+1)$ સત્ય છે.
વિચારો
$\left[\left(1+\frac{1}{1}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right) \dots\left(1+\frac{1}{k}\right)\right]\left(1+\frac{1}{k+1}\right)$
$= (k+1)\left(1+\frac{1}{k+1}\right)$ [$(i)$ નો ઉપયોગ કરતા]
$= (k+1)\left[\frac{(k+1)+1}{k+1}\right]$
$= (k+1)+1$
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,વિધાન $P(n)$ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n \in N$ માટે સત્ય છે.

ધારો કે આપેલ વિધાન $P(n)$ છે,એટલે કે
$P(n): 1^{2}+3^{2}+5^{2}+\ldots+(2n-1)^{2}=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$
$n=1$ માટે,આપણી પાસે છે
$P(1)=1^{2}=1=\frac{1(2(1)-1)(2(1)+1)}{3}=\frac{1 \times 1 \times 3}{3}=1$,જે સત્ય છે.
ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે
$P(k): 1^{2}+3^{2}+5^{2}+\ldots+(2k-1)^{2}=\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}$ $(i)$
હવે આપણે સાબિત કરીશું કે $P(k+1)$ સત્ય છે.
$(k+1)$ પદો સુધીનો સરવાળો ધ્યાનમાં લો:
$\left\{1^{2}+3^{2}+5^{2}+\ldots+(2k-1)^{2}\right\}+\{2(k+1)-1\}^{2}$
$= \frac{k(2k-1)(2k+1)}{3} + (2k+1)^{2}$ [$(i)$ નો ઉપયોગ કરતા]
$= \frac{k(2k-1)(2k+1) + 3(2k+1)^{2}}{3}$
$= \frac{(2k+1)\{k(2k-1) + 3(2k+1)\}}{3}$
$= \frac{(2k+1)\{2k^{2}-k+6k+3\}}{3}$
$= \frac{(2k+1)\{2k^{2}+5k+3\}}{3}$
$= \frac{(2k+1)\{2k^{2}+2k+3k+3\}}{3}$
$= \frac{(2k+1)\{2k(k+1)+3(k+1)\}}{3}$
$= \frac{(2k+1)(k+1)(2k+3)}{3}$
$= \frac{(k+1)\{2(k+1)-1\}\{2(k+1)+1\}}{3}$
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,વિધાન $P(n)$ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n \in N$ માટે સત્ય છે.

(N/A) ધારો કે આપેલ વિધાન $P(n)$ છે:
$P(n): \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \ldots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{n}{3n+1}$
$n=1$ માટે,આપણી પાસે છે:
$P(1): \frac{1}{1 \cdot 4} = \frac{1}{4}$ અને $\frac{1}{3(1)+1} = \frac{1}{4}$.
$\frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ હોવાથી,$P(1)$ સત્ય છે.
ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે
$P(k): \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \ldots + \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{k}{3k+1}$ $(i)$
હવે આપણે સાબિત કરીશું કે $P(k+1)$ સત્ય છે.
$(k+1)$ પદો સુધીનો સરવાળો ધ્યાનમાં લો:
$\left\{ \frac{1}{1 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} \right\} + \frac{1}{\{3(k+1)-2\}\{3(k+1)+1\}}$
$= \frac{k}{3k+1} + \frac{1}{(3k+1)(3k+4)}$ [$(i)$ નો ઉપયોગ કરતા]
$= \frac{1}{3k+1} \left\{ k + \frac{1}{3k+4} \right\}$
$= \frac{1}{3k+1} \left\{ \frac{k(3k+4) + 1}{3k+4} \right\}$
$= \frac{3k^2 + 4k + 1}{(3k+1)(3k+4)}$
$= \frac{(3k+1)(k+1)}{(3k+1)(3k+4)}$
$= \frac{k+1}{3k+4} = \frac{k+1}{3(k+1)+1}$
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$P(n)$ એ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.

ધારો કે આપેલ વિધાન $P(n)$ છે:
$P(n): \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \frac{1}{7 \times 9} + \ldots + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{n}{3(2n+3)}$
$n=1$ માટે,આપણી પાસે છે:
$P(1): \frac{1}{3 \times 5} = \frac{1}{3(2(1)+3)} = \frac{1}{3 \times 5}$,જે સત્ય છે.
ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે
$P(k): \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \ldots + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{k}{3(2k+3)}$
હવે આપણે સાબિત કરીશું કે $P(k+1)$ સત્ય છે.
$(k+1)$ પદો સુધીનો સરવાળો ધ્યાનમાં લો:
$\left[\frac{1}{3 \times 5} + \ldots + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}\right] + \frac{1}{(2(k+1)+1)(2(k+1)+3)}$
$= \frac{k}{3(2k+3)} + \frac{1}{(2k+3)(2k+5)}$
$= \frac{1}{2k+3} \left[ \frac{k}{3} + \frac{1}{2k+5} \right]$
$= \frac{1}{2k+3} \left[ \frac{k(2k+5) + 3}{3(2k+5)} \right]$
$= \frac{2k^2 + 5k + 3}{3(2k+3)(2k+5)}$
$= \frac{(k+1)(2k+3)}{3(2k+3)(2k+5)}$
$= \frac{k+1}{3(2k+5)} = \frac{k+1}{3(2(k+1)+3)}$
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,વિધાન $P(n)$ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.

ધારો કે આપેલ વિધાન $P(n)$ છે,એટલે કે,
$P(n): 1+2+3+\ldots+n < \frac{1}{8}(2n+1)^{2}$
પગલું $1$: $n=1$ માટે ચકાસો:
$1 < \frac{1}{8}(2(1)+1)^{2} = \frac{9}{8} = 1.125$
$1 < 1.125$ હોવાથી,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે,
$1+2+\ldots+k < \frac{1}{8}(2k+1)^{2}$ ...........$(i)$
પગલું $3$: સાબિત કરો કે $P(k+1)$ સત્ય છે:
$(k+1)$ સુધીનો સરવાળો ધ્યાનમાં લો:
$(1+2+\ldots+k) + (k+1) < \frac{1}{8}(2k+1)^{2} + (k+1)$
$= \frac{1}{8} \left\{ (2k+1)^{2} + 8(k+1) \right\}$
$= \frac{1}{8} \left\{ 4k^{2} + 4k + 1 + 8k + 8 \right\}$
$= \frac{1}{8} \left\{ 4k^{2} + 12k + 9 \right\}$
$= \frac{1}{8} (2k+3)^{2}$
$= \frac{1}{8} \{2(k+1)+1\}^{2}$
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$P(n)$ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.

(N/A) ધારો કે આપેલ વિધાન $P(n)$ છે,એટલે કે
$P(n): n(n+1)(n+5)$ એ $3$ નો ગુણક છે.
પગલું $1$: $n=1$ માટે,$1(1+1)(1+5) = 1(2)(6) = 12$,જે $3$ નો ગુણક છે. આમ,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે $k(k+1)(k+5) = 3m$,જ્યાં $m \in N$.
પગલું $3$: આપણે સાબિત કરવું છે કે $P(k+1)$ સત્ય છે,એટલે કે $(k+1)(k+2)(k+6)$ એ $3$ નો ગુણક છે.
$(k+1)(k+2)(k+6) = (k^2+3k+2)(k+6) = k^3 + 9k^2 + 20k + 12$
$= (k^3 + 6k^2 + 5k) + (3k^2 + 15k + 12)$
$= k(k+1)(k+5) + 3(k^2 + 5k + 4)$
અહીં $k(k+1)(k+5)$ એ $3$ નો ગુણક છે (ધારણા મુજબ) અને $3(k^2+5k+4)$ પણ $3$ નો ગુણક છે,તેથી તેમનો સરવાળો પણ $3$ નો ગુણક થાય.
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,$P(n)$ એ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.

(N/A) ધારો કે આપેલ વિધાન $P(n)$ છે,એટલે કે
$P(n): 10^{2n-1} + 1$ એ $11$ વડે વિભાજ્ય છે.
પગલું $1$: $n = 1$ માટે ચકાસો.
$P(1) = 10^{2(1)-1} + 1 = 10^1 + 1 = 11$,જે $11$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે.
$10^{2k-1} + 1 = 11m$,જ્યાં $m \in N$ --- $(i)$
પગલું $3$: સાબિત કરો કે $P(k+1)$ સત્ય છે.
$10^{2(k+1)-1} + 1 = 10^{2k+2-1} + 1 = 10^{2k+1} + 1$ ધ્યાનમાં લો.
$= 10^2 \cdot 10^{2k-1} + 1$
$= 100 \cdot (11m - 1) + 1$ [$(i)$ પરથી,$10^{2k-1} = 11m - 1$]
$= 1100m - 100 + 1$
$= 1100m - 99$
$= 11(100m - 9)$.
$11(100m - 9)$ એ $11$ નો ગુણક હોવાથી,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
આમ,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$P(n)$ એ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.

(N/A) ધારો કે આપેલ વિધાન $P(n)$ છે,એટલે કે $P(n): x^{2n}-y^{2n}$ એ $x+y$ વડે વિભાજ્ય છે.
પગલું $1$: $n=1$ માટે ચકાસો.
$P(1): x^{2(1)}-y^{2(1)} = x^2-y^2 = (x+y)(x-y)$,જે સ્પષ્ટપણે $(x+y)$ વડે વિભાજ્ય છે. આમ,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે $x^{2k}-y^{2k} = m(x+y)$ કોઈ પૂર્ણાંક $m$ માટે. .......$(i)$
પગલું $3$: સાબિત કરો કે $P(k+1)$ સત્ય છે.
$x^{2(k+1)}-y^{2(k+1)} = x^{2k} \cdot x^2 - y^{2k} \cdot y^2$ ધ્યાનમાં લો.
$= x^2(x^{2k} - y^{2k} + y^{2k}) - y^{2k} \cdot y^2$
$= x^2(x^{2k} - y^{2k}) + y^{2k}(x^2 - y^2)$
$= x^2[m(x+y)] + y^{2k}(x+y)(x-y)$ [$(i)$ નો ઉપયોગ કરતા]
$= (x+y)[m x^2 + y^{2k}(x-y)]$.
કારણ કે $(x+y)$ એક અવયવ છે,તેથી જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
આમ,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$P(n)$ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.

(N/A) ધારો કે આપેલ વિધાન $P(n)$ છે,એટલે કે $P(n): 3^{2n+2} - 8n - 9$ એ $8$ વડે વિભાજ્ય છે.
પગલું $1$: $n = 1$ માટે,$3^{2(1)+2} - 8(1) - 9 = 81 - 17 = 64$. $64$ એ $8$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે $3^{2k+2} - 8k - 9 = 8m$ કોઈ $m \in N$ માટે. તેથી,$3^{2k+2} = 8m + 8k + 9$.
પગલું $3$: આપણે દર્શાવવું છે કે $P(k+1)$ સત્ય છે,એટલે કે $3^{2(k+1)+2} - 8(k+1) - 9$ એ $8$ વડે વિભાજ્ય છે.
$3^{2k+4} - 8k - 8 - 9 = 3^2 \cdot 3^{2k+2} - 8k - 17$ ધ્યાનમાં લો.
$3^{2k+2} = 8m + 8k + 9$ મૂકતા:
$= 9(8m + 8k + 9) - 8k - 17$
$= 72m + 72k + 81 - 8k - 17$
$= 72m + 64k + 64$
$= 8(9m + 8k + 8)$.
આ $8$ નો ગુણક હોવાથી,$P(k+1)$ સત્ય છે.
આમ,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$P(n)$ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.

(N/A) ધારો કે આપેલ વિધાન $P(n)$ છે,એટલે કે
$P(n): 41^{n}-14^{n}$ એ $27$ નો ગુણક છે.
$n=1$ માટે:
$41^{1}-14^{1} = 27$,જે $27$ નો ગુણક છે.
આમ,$P(1)$ સત્ય છે.
ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે
$41^{k}-14^{k} = 27m$,જ્યાં $m \in N$ ........$(i)$
હવે આપણે સાબિત કરીશું કે જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
$41^{k+1}-14^{k+1}$ ધ્યાનમાં લો:
$= 41 \cdot 41^{k} - 14 \cdot 14^{k}$
$= 41(41^{k} - 14^{k} + 14^{k}) - 14 \cdot 14^{k}$
$= 41(27m) + 41 \cdot 14^{k} - 14 \cdot 14^{k}$
$= 41 \cdot 27m + 14^{k}(41 - 14)$
$= 41 \cdot 27m + 27 \cdot 14^{k}$
$= 27(41m + 14^{k})$
$= 27r$,જ્યાં $r = (41m + 14^{k})$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.
તેથી,$41^{k+1}-14^{k+1}$ એ $27$ નો ગુણક છે.
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$P(n)$ એ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.

(N/A) ધારો કે આપેલ વિધાન $P(n)$ છે,એટલે કે,
$P(n): (2n + 7) < (n + 3)^{2}$
પગલું $1$: $n = 1$ માટે ચકાસો.
$2(1) + 7 = 9$ અને $(1 + 3)^{2} = 16$.
$9 < 16$ હોવાથી,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે,
$(2k + 7) < (k + 3)^{2}$ ..........$(i)$
પગલું $3$: હવે આપણે સાબિત કરીશું કે જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k + 1)$ પણ સત્ય છે.
$n = k + 1$ માટે પદાવલિ ધ્યાનમાં લો:
$2(k + 1) + 7 = (2k + 7) + 2$
$(i)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2(k + 1) + 7 < (k + 3)^{2} + 2$
$2(k + 1) + 7 < k^{2} + 6k + 9 + 2$
$2(k + 1) + 7 < k^{2} + 6k + 11$
તમામ $k \in N$ માટે $k^{2} + 6k + 11 < k^{2} + 8k + 16$ હોવાથી (કારણ કે $k \geq 1$ માટે $2k + 5 > 0$),
$2(k + 1) + 7 < (k + 4)^{2}$
$2(k + 1) + 7 < \{(k + 1) + 3\}^{2}$
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k + 1)$ પણ સત્ય છે.
તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,વિધાન $P(n)$ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n \in N$ માટે સત્ય છે.

(N/A) ધારો કે $P(n)$ એ વિધાન છે: $\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \ldots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{n}{2n+1}$.
પગલું $1$: $n = 1$ માટે,$LHS$ $= \frac{1}{1 \cdot 3} = \frac{1}{3}$ અને $RHS$ $= \frac{1}{2(1)+1} = \frac{1}{3}$. $LHS$ $=$ $RHS$ હોવાથી,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે કોઈ $k \in N$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે $\frac{1}{1 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{k}{2k+1}$.
પગલું $3$: $n = k+1$ માટે,આપણે સાબિત કરવું છે કે $P(k+1)$ સત્ય છે,એટલે કે $\frac{1}{1 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{k+1}{2k+3}$.
$LHS$ $= \left(\frac{1}{1 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}\right) + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$
$= \frac{k}{2k+1} + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$
$= \frac{k(2k+3) + 1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{2k^2 + 3k + 1}{(2k+1)(2k+3)}$
$= \frac{(2k+1)(k+1)}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{k+1}{2k+3} = \text{RHS}$.
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે. ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$P(n)$ એ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.

(N/A) ધારો કે $P(n): 1+2+2^2+\ldots+2^n = 2^{n+1}-1$ તમામ $n \in N$ માટે.
પગલું $I$: $n=1$ માટે,
$LHS$ $= 1+2^1 = 3$.
$RHS$ $= 2^{1+1}-1 = 2^2-1 = 4-1 = 3$.
$LHS$ $= RHS$ હોવાથી,વિધાન $n=1$ માટે સત્ય છે.
પગલું $II$: ધારો કે $P(k)$ કોઈ $k \in N$ માટે સત્ય છે,એટલે કે $1+2+2^2+\ldots+2^k = 2^{k+1}-1$.
પગલું $III$: $n=k+1$ માટે,આપણે સાબિત કરવું છે કે $P(k+1)$ સત્ય છે,એટલે કે $1+2+2^2+\ldots+2^k+2^{k+1} = 2^{k+2}-1$.
$LHS$ $= (1+2+2^2+\ldots+2^k) + 2^{k+1}$.
પગલું $II$ ની ધારણાનો ઉપયોગ કરતા,$LHS$ $= (2^{k+1}-1) + 2^{k+1}$.
$= 2 \times 2^{k+1} - 1 = 2^{k+2}-1$.
$LHS$ $= RHS$ હોવાથી,વિધાન $n=k+1$ માટે પણ સત્ય છે.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,આ વિધાન તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.

ધારો કે $P(n)$ એ વિધાન છે: $\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right) \ldots \left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)=\frac{n+1}{2n}$.
પગલું $1$: $n=2$ માટે,ડાબી બાજુ $(LHS)$ = $\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right) = 1-\frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
જમણી બાજુ $(RHS)$ = $\frac{2+1}{2(2)} = \frac{3}{4}$.
$LHS$ = $RHS$ હોવાથી,$P(2)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે $k \geq 2$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે $\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right) \ldots \left(1-\frac{1}{k^{2}}\right) = \frac{k+1}{2k}$.
પગલું $3$: આપણે સાબિત કરવું છે કે $P(k+1)$ સત્ય છે,એટલે કે $\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right) \ldots \left(1-\frac{1}{(k+1)^{2}}\right) = \frac{k+2}{2(k+1)}$.
પગલું $2$ ની ધારણાનો ઉપયોગ કરતા:
$LHS$ = $\left(\frac{k+1}{2k}\right) \left(1-\frac{1}{(k+1)^{2}}\right) = \left(\frac{k+1}{2k}\right) \left(\frac{(k+1)^{2}-1}{(k+1)^{2}}\right)$.
$= \left(\frac{k+1}{2k}\right) \left(\frac{k^{2}+2k}{(k+1)^{2}}\right) = \left(\frac{k+1}{2k}\right) \left(\frac{k(k+2)}{(k+1)^{2}}\right)$.
$= \frac{k+2}{2(k+1)}$.
આમ,$P(k+1)$ સત્ય છે. ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,$P(n)$ એ તમામ $n \geq 2$ માટે સત્ય છે.