$n$ के प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक मान के लिए,${3^n} > {n^3}$ कब होता है?

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
$\frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \frac{1}{7 \times 9} + \ldots + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{n}{3(2n+3)}$

कथन $P(n): 1 \times 1! + 2 \times 2! + 3 \times 3! + \dots + n \times n! = (n + 1)! - 1$ है

प्राकृत संख्याओं $n$ के वे मान जिनके लिए असमिका $2^n > 2n + 1$ मान्य है,हैं:

सिद्ध कीजिए कि $2 \cdot 7^{n} + 3 \cdot 5^{n} - 5$,सभी $n \in N$ के लिए $24$ से विभाज्य है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
$1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3^{3} + \ldots + n \cdot 3^{n} = \frac{(2n - 1) 3^{n+1} + 3}{4}$