Atomic models and Planck's quantum theory Questions in Gujarati

(C) હાઈડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝ માટે તરંગ સંખ્યા $\bar{\nu}$ નું સૂત્ર: $\bar{\nu} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
બાલ્મર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$ અને પ્રથમ રેખા માટે,$n_2 = 3$.
હાઈડ્રોજન $(H)$ માટે,$Z = 1$,તેથી $\bar{\nu}_H = R(1)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 15200 \, cm^{-1}$.
$Li^{2+}$ આયન માટે,$Z = 3$. બાલ્મર શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે તરંગ સંખ્યા $\bar{\nu}_{Li^{2+}} = R(3)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right)$.
હાઈડ્રોજનના સમીકરણમાંથી $R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right)$ ની કિંમત મૂકતા:
$\bar{\nu}_{Li^{2+}} = 3^2 \times \bar{\nu}_H = 9 \times 15200 = 136800 \, cm^{-1}$.

(B) હાઈડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઈલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રીજી ઉત્તેજીત અવસ્થા માટે,$n_2 = 4$.
પ્રથમ ઉત્તેજીત અવસ્થા માટે,$n_1 = 2$.
ઉત્સર્જીત ફોટોનની ઊર્જા $\Delta E = E_{n_2} - E_{n_1} = -13.6 \left( \frac{1}{n_2^2} - \frac{1}{n_1^2} \right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right)$.
$\Delta E = 13.6 \left( \frac{4-1}{16} \right) = 13.6 \times \frac{3}{16} = 2.55 \ eV$.

(A) હાઈડ્રોજન પરમાણુમાં ઈલેક્ટ્રોન સંક્રમણ માટે ઊર્જાનો તફાવત રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta E = 13.6 \ eV \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
વિકલ્પ $A$ ($n=1$ થી $n=2$) માટે: $\Delta E = 13.6 \times (1 - 0.25) = 10.2 \ eV$.
વિકલ્પ $B$ ($n=2$ થી $n=3$) માટે: $\Delta E = 13.6 \times (0.25 - 0.111) \approx 1.89 \ eV$.
વિકલ્પ $C$ ($n=2$ થી $n=1$) માટે: આ ઉત્સર્જન પ્રક્રિયા છે (ઊર્જા મુક્ત થાય છે),શોષણ નથી.
વિકલ્પ $D$ ($n=3$ થી $n=5$) માટે: $\Delta E = 13.6 \times (0.111 - 0.04) \approx 0.96 \ eV$.
શોષણ માટે જરૂરી ઊર્જાના મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$n=1$ થી $n=2$ નું સંક્રમણ સૌથી વધુ ઊર્જા માંગે છે.

(A) ફોટોનની ઊર્જા શોધવાનું સૂત્ર: $E = \frac{hc}{\lambda}$
આપેલ છે:
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.626 \times 10^{-27} \ erg \cdot s$
પ્રકાશની ગતિ $c = 3 \times 10^{10} \ cm/s$
તરંગલંબાઈ $\lambda = 5.89 \times 10^{-5} \ cm$
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{6.626 \times 10^{-27} \times 3 \times 10^{10}}{5.89 \times 10^{-5}}$
$E = \frac{19.878 \times 10^{-17}}{5.89 \times 10^{-5}}$
$E \approx 3.37 \times 10^{-12} \ erg$

(A) ઇલેક્ટ્રોન માટે ધરા-સ્થિતિ $(n=1)$ થી ઉત્તેજિત સ્થિતિ $(n=4)$ માં સંક્રમણ માટે અવશોષણ રેખાઓની સંખ્યા $n-1$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ અંતિમ ઉર્જા સ્તર છે.
અહીં,$n=4$.
તેથી,અવશોષણ રેખાઓની સંખ્યા $= 4 - 1 = 3$.

(A) ફંડ (Pfund) શ્રેણી માટે,નીચલી ઉર્જા સ્તર $n_1 = 5$ છે.
આવૃત્તિ $\nu = R_H c [\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $n_2 = 6$ લેતા,$\nu = 3.29 \times 10^{15} \times (\frac{1}{25} - \frac{1}{36}) \approx 2.340 \times 10^{14} \ Hz$ મળે છે.
તેથી,$n_2 = 6$.

(C) હાઈડ્રોજન જેવી સ્પીસીસ માટે $n$ મી કક્ષાની ઊર્જાનું સૂત્ર $E_n = \frac{E_1}{n^2}$ છે,જ્યાં $E_1$ એ ધરા અવસ્થાની ઊર્જા છે.
આપેલ છે કે આયનીકરણ ઊર્જા $(I.P.)$ $960 \ eV$ છે,તેથી ધરા અવસ્થાની ઊર્જા $E_1 = -960 \ eV$ થાય.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $-60 \ eV = \frac{-960 \ eV}{n^2}$.
$n^2$ માટે ગણતરી કરતા: $n^2 = \frac{960}{60} = 16$.
તેથી,$n = \sqrt{16} = 4$.

(D) આવૃત્તિ $(\nu)$,પ્રકાશનો વેગ $(c)$ અને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\nu = \frac{c}{\lambda}$.
તરંગલંબાઈ માટે સૂત્ર: $\lambda = \frac{c}{\nu}$.
આપેલ છે: $c = 3.0 \times 10^8 \, m \cdot s^{-1}$ અને $\nu = 8 \times 10^{15} \, s^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{3.0 \times 10^8}{8 \times 10^{15}} = 0.375 \times 10^{-7} \, m = 3.75 \times 10^{-8} \, m$.

(A) હાઈડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં રહેલા ઈલેક્ટ્રોનની ઊર્જાનું સૂત્ર $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ (મૂળ અવસ્થા) માટે $n = 1$ છે,તેથી $E_1 = -13.6 \ eV$.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે $n = 2$ લેવામાં આવે છે.
સૂત્રમાં $n = 2$ મૂકતા: $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \ eV$.
આમ,ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઈલેક્ટ્રોન માટે શક્ય ઊર્જા $-3.4 \ eV$ છે.

(A) રુથરફોર્ડના $\alpha$-કણ પ્રકીર્ણન પ્રયોગે દર્શાવ્યું કે મોટાભાગના $\alpha$-કણો સોનાના વરખમાંથી વિચલિત થયા વગર પસાર થઈ ગયા,જ્યારે ખૂબ જ નાનો અંશ મોટા ખૂણે વિચલિત થયો હતો.
આના પરથી તારણ નીકળ્યું કે પરમાણુનો સમગ્ર ધનભાર અને મોટાભાગનું દળ કેન્દ્રમાં ખૂબ જ નાના કદમાં કેન્દ્રિત હોય છે,જેને તેમણે ન્યુક્લિયસ (કેન્દ્ર) નામ આપ્યું.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચું વિધાન છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -13.6 / n^2 \, eV$ છે.
ભૂમિ અવસ્થા $(n=1)$ માટે,$E_1 = -13.6 / 1^2 = -13.6 \, eV$.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=2)$ માટે,$E_2 = -13.6 / 2^2 = -13.6 / 4 = -3.4 \, eV$.
ઉત્તેજન માટે જરૂરી ઊર્જા $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \, eV$ છે.

(A) $H$-જેવી સ્પીસીસ માટે,$n$ કક્ષાની ઉર્જા $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉર્જાનો તફાવત ગણતા:
$(E_2 - E_1) = -13.6 Z^2 (\frac{1}{4} - 1) = 13.6 Z^2 (\frac{3}{4}) = 10.2 Z^2$.
$(E_3 - E_2) = -13.6 Z^2 (\frac{1}{9} - \frac{1}{4}) = 13.6 Z^2 (\frac{5}{36}) \approx 1.89 Z^2$.
$(E_4 - E_3) = -13.6 Z^2 (\frac{1}{16} - \frac{1}{9}) = 13.6 Z^2 (\frac{7}{144}) \approx 0.66 Z^2$.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $(E_2 - E_1) > (E_3 - E_2) > (E_4 - E_3)$.

(A) પ્લાન્કના ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંત મુજબ,ફોટોનની ઊર્જા $(E)$ એ વિકિરણની આવૃત્તિ $(\nu)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
આ સંબંધ સમીકરણ $E = h \nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.

(A) હાઈડ્રોજન પરમાણુમાં ઈલેક્ટ્રોન સંક્રાંતિ માટે ઊર્જાનો ફેરફાર $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિકલ્પ $A$ માટે: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = 13.6 \text{ eV}$.
વિકલ્પ $B$ માટે: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 13.6 \left( \frac{5}{36} \right) \approx 1.89 \text{ eV}$.
વિકલ્પ $C$ માટે: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 13.6 \left( 1 - 0.25 \right) = 13.6 \times 0.75 = 10.2 \text{ eV}$.
વિકલ્પ $D$ માટે: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{5^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{25} \right) = 13.6 \left( \frac{16}{225} \right) \approx 0.97 \text{ eV}$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$n = \infty$ થી $n = 1$ ની સંક્રાંતિમાં સૌથી વધુ ઊર્જાનો ફેરફાર થાય છે.

(C) બ્હોરના અભિધારણા મુજબ,કક્ષકમાં ઈલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $(mvr)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $mvr = \frac{nh}{2\pi}$.
અહીં કક્ષકનો ક્રમ $n = 5$ આપેલ છે,તેથી કિંમત મૂકતા:
$mvr = \frac{5h}{2\pi} = 2.5 \frac{h}{\pi}$.

(C) રીડબર્ગ સૂત્ર: $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
અહીં,$n_1 = 1$ અને $n_2 = \infty$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \ m^{-1} \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right)$
$\frac{1}{\infty} = 0$ હોવાથી: $\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$
$\lambda = \frac{1}{1.097 \times 10^7} \ m \approx 0.9116 \times 10^{-7} \ m = 91.16 \ nm$.
આમ,તરંગલંબાઈ $91 \ nm$ મળે છે.

(B) લાયમન શ્રેણી માટે,ટૂંકી તરંગ લંબાઈ $n_2 = \infty$ થી $n_1 = 1$ ના સંક્રમણ માટે મળે છે.
રાઈડબર્ગ સૂત્ર મુજબ: $\frac{1}{x} = R \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
$H$ પરમાણુ માટે $(Z=1)$: $\frac{1}{x} = R \times (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2}) = R$.
તેથી,$R = \frac{1}{x}$.
$H$ પરમાણુની પ્રથમ ઉત્તેજીત અવસ્થા $n = 2$ છે.
કુલ ઊર્જા $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 2$ માટે,$E_2 = -13.6 \times \frac{1^2}{2^2} = -3.4 \text{ eV}$.

(B) બોહરના નમૂના મુજબ,$n$ મી કક્ષામાં ઈલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = -\frac{2.179 \times 10^{-11}}{n^2} \ erg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n_1 = 1$ થી $n_2 = 3$ માં સંક્રાંતિ માટે ઊર્જાનો ફેરફાર $\Delta E = E_3 - E_1$ છે.
$\Delta E = -2.179 \times 10^{-11} \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{1^2} \right) \ erg$.
$\Delta E = -2.179 \times 10^{-11} \left( \frac{1}{9} - 1 \right) \ erg$.
$\Delta E = -2.179 \times 10^{-11} \left( -\frac{8}{9} \right) \ erg$.
$\Delta E = 2.179 \times 10^{-11} \times 0.8888 \ erg \approx 1.936 \times 10^{-11} \ erg$.
આપેલ ફોર્મેટમાં રૂપાંતરિત કરતા: $1.936 \times 10^{-11} \ erg = 0.1936 \times 10^{-10} \ erg$.
આપેલ વિકલ્પોમાંથી,$0.1911 \times 10^{-10} \ erg$ સૌથી નજીકનું મૂલ્ય છે.

(A) હાઈડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષકમાં ઈલેક્ટ્રોનની ઊર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -13.6 / n^2 \, eV$ છે.
પ્રથમ કક્ષક $(n = 1)$ માટે,$E_1 = -13.6 / 1^2 = -13.6 \, eV$ થાય.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 2$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઊર્જા $E_2 = -13.6 / 2^2 = -13.6 / 4 = -3.4 \, eV$ થાય.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા આયન માટે ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ છે.
$Li^{2+}$ આયન માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 3$ છે.
બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા એટલે ત્રીજી કક્ષા,તેથી $n = 3$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$E_3 = -13.6 \times \frac{3^2}{3^2} \ eV = -13.6 \ eV$.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુ માટે બોહરના મોડેલ મુજબ,કુલ ઊર્જા $(E)$,ગતિ ઊર્જા $(K.E.)$ અને સ્થિતિ ઊર્જા $(P.E.)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$E = -K.E.$
$P.E. = 2 \times E$
સ્થિતિ ઊર્જાના સમીકરણમાં $E = -K.E.$ મૂકતા:
$P.E. = 2 \times (-K.E.)$
$P.E. = -2 \times K.E.$
તેથી,$K.E. = -\frac{1}{2} P.E.$
મૂલ્યની દ્રષ્ટિએ,ગતિ ઊર્જા એ સ્થિતિ ઊર્જાથી અડધી હોય છે.

(A) કક્ષકની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર: $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$ છે.
$He^+$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે.
ત્રીજી કક્ષક $(n = 3)$ માટે: $r_3 = 0.529 \times \frac{3^2}{2} = 0.529 \times \frac{9}{2} \ \mathring{A}$.
પાંચમી કક્ષક $(n = 5)$ માટે: $r_5 = 0.529 \times \frac{5^2}{2} = 0.529 \times \frac{25}{2} \ \mathring{A}$.
ગુણોત્તર $\frac{r_3}{r_5} = \frac{0.529 \times \frac{9}{2}}{0.529 \times \frac{25}{2}} = \frac{9}{25}$.
તેથી,પ્રમાણ $9 : 25$ છે.

(A) બામર શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે $(n_1 = 2, n_2 = 3)$:
$\frac{1}{\lambda_B} = Z^2 R_H \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = Z^2 R_H \left( \frac{5}{36} \right) \implies \lambda_B = \frac{36}{5 Z^2 R_H}$
લાયમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે $(n_1 = 1, n_2 = 2)$:
$\frac{1}{\lambda_L} = Z^2 R_H \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = Z^2 R_H \left( \frac{3}{4} \right) \implies \lambda_L = \frac{4}{3 Z^2 R_H}$
આપેલ તફાવત $\lambda_B - \lambda_L = 59.3 \ nm = 59.3 \times 10^{-7} \ cm$:
$\frac{36}{5 Z^2 R_H} - \frac{4}{3 Z^2 R_H} = 59.3 \times 10^{-7}$
$\frac{88}{15 Z^2 R_H} = 59.3 \times 10^{-7}$
$Z^2 = \frac{88}{15 \times 109678 \times 59.3 \times 10^{-7}} \approx 9$
$Z = 3$. તેથી,આયન $Li^{2+}$ છે.

(D) આવૃત્તિની ગણતરી:
$\lambda = 4000 \ \mathring{A} = 4000 \times 10^{-10} \ m = 4 \times 10^{-7} \ m$
$\because \nu = \frac{c}{\lambda}$
$\therefore \nu = \frac{3 \times 10^8 \ m/s}{4 \times 10^{-7} \ m} = 0.75 \times 10^{15} \ s^{-1} = 7.5 \times 10^{14} \ s^{-1}$
ઊર્જાની ગણતરી:
$E = h\nu = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s \times 7.5 \times 10^{14} \ s^{-1} = 4.96 \times 10^{-19} \ J$

(D) હાઈડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઈલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = -\frac{1.312 \times 10^6}{n^2} \, J \, mol^{-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 1$ માટે,$E_1 = -1.312 \times 10^6 \, J \, mol^{-1}$.
$n = 2$ માટે,$E_2 = -\frac{1.312 \times 10^6}{4} = -0.328 \times 10^6 \, J \, mol^{-1}$.
ઉત્તેજના માટે જરૂરી ઊર્જા $\Delta E = E_2 - E_1$.
$\Delta E = (-0.328 \times 10^6) - (-1.312 \times 10^6) = 0.984 \times 10^6 \, J \, mol^{-1} = 9.84 \times 10^5 \, J \, mol^{-1}$.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$Z = 1$,તેથી $E_n(H) = -13.6 \times \frac{1^2}{n^2} = -13.6 \times \frac{1}{n^2}$.
$A^{(+z-1)}$ સ્પીસીઝ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ છે. તેથી,$E_n(A^{(+z-1)}) = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2}$.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $E_n(A^{(+z-1)}) = Z^2 \times E_n(H)$ મળે છે.

(B) હાઈડ્રોજન પરમાણુ માટે,સ્થિતિ ઊર્જા $(P.E.)$ અને કુલ ઊર્જા $(T.E.)$ વચ્ચેનો સંબંધ $P.E. = 2 \times T.E.$ છે.
આપેલ છે કે $P.E. = -3.02 \ eV$,તેથી $T.E. = \frac{-3.02}{2} = -1.51 \ eV$.
$n^{th}$ કક્ષામાં ઈલેક્ટ્રોનની કુલ ઊર્જા $E_n = -13.6 / n^2 \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$-13.6 / n^2 = -1.51$ લેતા,$n^2 = 13.6 / 1.51 \approx 9$ મળે,તેથી $n = 3$.
ઈલેક્ટ્રોન $n = 3$ કક્ષામાં હોવાથી,તે $2^{nd}$ ઉત્તેજિત અવસ્થા દર્શાવે છે (કારણ કે $n=1$ એ ધરા અવસ્થા છે,$n=2$ એ $1^{st}$ ઉત્તેજિત અવસ્થા છે,અને $n=3$ એ $2^{nd}$ ઉત્તેજિત અવસ્થા છે).

(C) રધરફોર્ડના $\alpha$-કણ પ્રકીર્ણન પ્રયોગમાં,થોડા $\alpha$-કણોનું મોટા ખૂણે વિચલન થવું તે દર્શાવે છે કે પરમાણુનો ધન વીજભાર અને દળ ખૂબ જ નાના કદમાં કેન્દ્રિત હોય છે,જેને કેન્દ્ર (ન્યુક્લિયસ) કહેવાય છે. આ વિચલન ધન વીજભારિત $\alpha$-કણ અને ધન વીજભારિત,ગીચ અને ભારે કેન્દ્ર વચ્ચેના સ્થિત-વિદ્યુતીય અપાકર્ષણને કારણે થાય છે. તેથી,કેન્દ્રનું ભારે હોવું અને તેનું કદમાં સૂક્ષ્મ હોવું બંને આ અવલોકન માટે જવાબદાર છે. આમ,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(A) થોમસને પ્રસ્તાવ મૂક્યો હતો કે પરમાણુ એ ધનભારિત ગોળો છે જેમાં ઇલેક્ટ્રોન જડિત હોય છે,જે તરબૂચમાં રહેલા બીજ અથવા પુડિંગમાં રહેલા પ્લમ જેવું લાગે છે.
તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે કારણ કે તેને ઐતિહાસિક રીતે 'પ્લમ પુડિંગ' મોડલ કહેવામાં આવે છે.
વિધાન $R$ આ મોડલની રચનાનું યોગ્ય વર્ણન કરે છે,જે વિધાન $A$ માં આપેલા નામનું કારણ છે.
આમ,$A$ અને $R$ બંને સાચા છે અને $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) બ્રેકેટ શ્રેણી માટે,સંક્રમણ $n_1 = 4$ પર થાય છે.
ત્રીજી રેખા માટે,ઈલેક્ટ્રોન $n_2 = 4 + 3 = 7$ થી કૂદકો મારે છે.
રિડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
હાઈડ્રોજન માટે,$Z = 1$,તેથી $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{4^2} - \frac{1}{7^2} \right]$.
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{16} - \frac{1}{49} \right] = R \left[ \frac{49 - 16}{16 \times 49} \right]$.
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{33}{784} \right]$.
તેથી,$\lambda = \frac{784}{33R}$.

(A) બામર શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,$n_1 = 2$ અને $n_2 = 3$ છે.
રિડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
$\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R_H \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R_H \left( \frac{5}{36} \right)$.
$\lambda = \frac{36}{5R_H}$.
આપેલ $R_H \approx 1.097 \times 10^7 \ m^{-1} = 1.097 \times 10^{-2} \ nm^{-1}$.
$\lambda = \frac{36}{5 \times 1.097 \times 10^{-2} \ nm^{-1}} \approx 656.3 \ nm = 6563 \ \mathring{A}$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી નજીકની કિંમત લેતા,સાચો જવાબ $6566 \ \mathring{A}$ છે.

(C) હાઈડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઈલેક્ટ્રોનની ઊર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -13.6 / n^2 \, eV$ છે.
ભૂમિ અવસ્થા માટે,$n = 1$.
પ્રથમ ઉત્તેજીત અવસ્થા માટે,$n = 2$.
બીજી ઉત્તેજીત અવસ્થા માટે,$n = 3$.
સૂત્રમાં $n = 3$ મૂકતા:
$E_3 = -13.6 / (3)^2 \, eV$
$E_3 = -13.6 / 9 \, eV$
$E_3 \approx -1.51 \, eV$.

(C) $n$-મી કક્ષકમાં ઇલેક્ટ્રોનની પોટેન્શિયલ ઊર્જા $(PE)$ નું સૂત્ર $PE = -27.2 \times \frac{Z^2}{n^2} \, eV$ છે.
$He^+$ માટે $Z = 2$ અને $n = 2$ લેતા,$PE = -27.2 \times \frac{2^2}{2^2} = -27.2 \, eV$ મળે છે,જે આપેલ માહિતી સાથે સુસંગત છે.
હાઈડ્રોજન પરમાણુ $(Z = 1)$ માટે $n$-મી કક્ષકની ઊર્જા $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \, eV = -13.6 \times \frac{1^2}{n^2} \, eV$ થાય.
હાઈડ્રોજન પરમાણુની પ્રથમ ઉત્તેજીત અવસ્થા $n = 2$ દર્શાવે છે. તેથી,$E_2 = -13.6 \times \frac{1}{2^2} = -13.6 \times \frac{1}{4} = -3.4 \, eV$.
પ્રશ્ન મુજબ આ ઊર્જાનું બમણું મૂલ્ય: $2 \times (-3.4 \, eV) = -6.8 \, eV$ થાય.

(B) $Li$ $(Z=3)$ ની ઇલેક્ટ્રોન રચના $1s^2 2s^1$ છે. ત્રીજો ઇલેક્ટ્રોન $2s$ કક્ષકમાં દાખલ થાય છે,તેથી $n = 2$.
કોણીય વેગમાન $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $n=2$ માટે,કોણીય વેગમાન = $\frac{2h}{2\pi} = \frac{h}{\pi}$.
હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = \frac{-2\pi^2 m e^4 Z^2}{n^2 h^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Z=3$ અને $n=2$ મૂકતા: $E = \frac{-2\pi^2 m e^4 (3)^2}{(2)^2 h^2} = \frac{-2\pi^2 m e^4 (9)}{4 h^2} = \frac{-9\pi^2 m e^4}{2h^2}$.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુના ઊર્જા સ્તરો $E_n = -13.6 / n^2 \, eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n=1$ માટે,$E_1 = -13.6 \, eV$.
$n=2$ માટે,$E_2 = -3.4 \, eV$.
ઇલેક્ટ્રોનને $n=1$ થી $n=2$ માં ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઊર્જા $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \, eV$ છે.
અહીં આપેલી ઊર્જા $9 \, eV$ છે,જે $10.2 \, eV$ કરતા ઓછી હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોન કોઈ પણ ઉચ્ચ ઊર્જા સ્તરમાં ઉત્તેજિત થઈ શકશે નહીં.
તેથી,કોઈ પણ વર્ણપટ્ટ રેખા ઉત્સર્જિત થશે નહીં.
સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) $U.V.$ વિભાગ (લાયમન શ્રેણી) એ $n = 1$ ઉર્જા સ્તર પર પૂર્ણ થતા સંક્રમણોને અનુરૂપ છે.
અહીં ઈલેક્ટ્રોન $6^{th}$ કક્ષામાંથી $3^{rd}$ કક્ષામાં સંક્રમણ કરે છે,તેથી તમામ સંભવિત સંક્રમણો $n = 6$ અને $n = 3$ ની વચ્ચે થાય છે.
આમાંથી કોઈ પણ સંક્રમણ $n = 1$ સ્તર સુધી પહોંચતું નથી.
તેથી,$U.V.$ વિભાગમાં રેખાઓની સંખ્યા $0$ થશે.

(A) હાઈડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષાની ઊર્જા $E_n = -13.6 / n^2 \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ભૂમિ અવસ્થા $(n=1)$ માટે,$E_1 = -13.6 \ eV$.
જ્યારે પરમાણુ $8.4 \ eV$ દ્વારા ઉત્તેજિત થાય છે,ત્યારે નવી ઊર્જા $E_{new} = -13.6 + 8.4 = -5.2 \ eV$ થાય છે.
કારણ કે $-5.2 \ eV$ એ હાઈડ્રોજન પરમાણુના કોઈ પણ માન્ય ઊર્જા સ્તરને અનુરૂપ નથી (દા.ત.,$E_2 = -3.4 \ eV$,$E_3 = -1.51 \ eV$),તેથી પરમાણુ આ ઊર્જા દ્વારા ઉચ્ચ અવસ્થામાં ઉત્તેજિત થઈ શકતો નથી.
તેથી,કોઈ સંક્રમણ થતું નથી અને ઉત્સર્જિત થતી વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા $0$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝ માટે,$n^{th}$ કક્ષકમાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઊર્જા $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$He^+$ માટે,$Z = 2$ અને ધરા અવસ્થા માટે,$n = 1$.
આમ,$E_1 = -13.6 \times \frac{2^2}{1^2} = -54.4 \ eV$.
આયનીકરણ ઊર્જા $(IE)$ એ ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઊર્જા છે,જે $-E_1 = 54.4 \ eV$ છે.
બોહરના મોડેલ મુજબ,$n^{th}$ કક્ષકમાં ઇલેક્ટ્રોનની ગતિકી ઊર્જા $(KE)$ તેની કુલ ઊર્જાના મૂલ્ય $(|E_n|)$ જેટલી હોય છે.
તેથી,$IE = |E_1| = KE_1$.

(C) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉત્તેજિત અવસ્થા $n_2$ માંથી નીચલી અવસ્થા $n_1$ માં સંક્રમણ કરે છે,ત્યારે વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા $\frac{n(n-1)}{2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ ઊર્જા સ્તરોની સંખ્યા છે.
$x$ ઊર્જા સ્તરો માટે,સંક્રમણ $x$ સ્તરથી તમામ નીચલા સ્તરો $(x-1, x-2, \dots, 1)$ સુધી થાય છે.
રેખાઓની કુલ સંખ્યા એ પ્રથમ $(x-1)$ પૂર્ણાંકોનો સરવાળો છે: $1 + 2 + 3 + \dots + (x - 1)$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝ માટે કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર: $r_n = a_0 \times \frac{n^2}{Z}$ છે,જ્યાં $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે,$n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
$Li^{2+}$ માટે,$Z = 3$ છે.
$n = 2$ અને $n = 5$ માટે ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર:
$\frac{r_2}{r_5} = \frac{n_2^2 / Z}{n_5^2 / Z} = \frac{n_2^2}{n_5^2} = \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25}$.
આમ,$r_2 : r_5$ નો ગુણોત્તર $4 : 25$ થાય.

(D) બોહરના મોડેલ મુજબ,$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n \propto n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
તેથી,$A_n \propto (n^2)^2 = n^4$.
બીજી કક્ષા $(n_2 = 2)$ અને પ્રથમ કક્ષા $(n_1 = 1)$ માટે:
$\frac{A_2}{A_1} = \frac{n_2^4}{n_1^4} = \frac{2^4}{1^4} = \frac{16}{1} = 16:1$.

(C) હાઈડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝ માટે $n$ મી કક્ષકમાં ઈલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n \propto Z^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$He^{+}$ માટે,$Z = 2$ અને $n = 1$.
$E_{He^+} = k \times (2)^2 = 4k = -871.6 \times 10^{-20} \ J$.
$H$ માટે,$Z = 1$ અને $n = 1$.
$E_H = k \times (1)^2 = k$.
તેથી,$E_H = \frac{E_{He^+}}{4} = \frac{-871.6 \times 10^{-20}}{4} \ J = -217.9 \times 10^{-20} \ J$.

(C) હાઈડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝ માટે $n^{th}$ કક્ષામાં ઈલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$3^{rd}$ અને $2^{nd}$ કક્ષા વચ્ચેનો ઊર્જા તફાવત $\Delta E = E_3 - E_2 = -13.6 \times Z^2 \times (\frac{1}{3^2} - \frac{1}{2^2})$ છે.
$\Delta E = -13.6 \times Z^2 \times (\frac{1}{9} - \frac{1}{4}) = -13.6 \times Z^2 \times (\frac{4-9}{36}) = -13.6 \times Z^2 \times (-\frac{5}{36})$
$\Delta E = 13.6 \times Z^2 \times \frac{5}{36} = 1.888 \times Z^2 \approx 1.89 \times Z^2$
આપેલ છે કે $\Delta E = 47.2 \ eV$,તેથી $47.2 = 1.89 \times Z^2$
$Z^2 = \frac{47.2}{1.89} \approx 25$
તેથી,$Z = 5$.

(D) હાઈડ્રોજન પરમાણુ માટે,રીડબર્ગ સૂત્ર: $\frac{1}{\lambda} = R_H \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
અહીં,$n_1 = 1$,$n_2 = \infty$,$Z = 1$ અને $R_H = 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \times 1^2 \times (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2})$.
$\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \times (1 - 0) = 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$.
$\lambda = \frac{1}{1.097 \times 10^7} \approx 9.116 \times 10^{-8} \ m = 91.16 \ nm$.
આમ,તરંગલંબાઈ આશરે $91 \ nm$ છે.

(C) વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઇ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
લાયમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,$n_1 = 1$ અને $n_2 = 2$,તેથી $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{3}{4} \right)$.
હાઇડ્રોજન $(Z = 1)$ માટે,$\lambda_H = 1216 \ \mathring{A} = \frac{4}{3R}$.
$10$ વખત આયનીકૃત સોડિયમ $(Na^{10+})$ માટે,$Z = 11$. તરંગલંબાઇ $\lambda_{Na}$ આ મુજબ મળે: $\frac{1}{\lambda_{Na}} = R (11)^2 \left( \frac{3}{4} \right)$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\lambda_{Na}}{\lambda_H} = \frac{R(1)^2(3/4)}{R(11)^2(3/4)} = \frac{1}{121}$.
તેથી,$\lambda_{Na} = \frac{1216}{121} \approx 10 \ \mathring{A}$.

(B) હાઈડ્રોજન પરમાણુમાં ઈલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = -13.6 / n^2 \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,$n_1 = 2$.
દ્વિતીય ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,$n_2 = 3$.
ઊર્જાનો ગુણોત્તર $E_1 / E_2 = (1 / n_1^2) / (1 / n_2^2) = n_2^2 / n_1^2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $E_1 / E_2 = 3^2 / 2^2 = 9 / 4$.

(A) તરંગ સંખ્યા માટેનું રિડબર્ગ સૂત્ર $\bar{\nu} = RZ^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$ છે.
પ્રથમ ઉત્સર્જીત રેખા $n_2 = 3$ થી $n_1 = 2$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
$H$ પરમાણુ માટે $(Z = 1)$ કિંમતો મૂકતા:
$\bar{\nu} = R(1)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right)$.
$\bar{\nu} = R \left( \frac{9 - 4}{36} \right) = \frac{5R}{36} \ cm^{-1}$.

(D) બ્હોર કક્ષકની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = a_0 \times n^2$ છે,જ્યાં $a_0 = 0.529 \, \mathring{A}$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજીત અવસ્થા માટે,$n = 2$.
તેથી,$r_2 = 0.529 \times (2)^2 = 0.529 \times 4 = 2.116 \, \mathring{A}$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $2.12 \, \mathring{A}$ મળે છે.

(D) ફોટોનની ઊર્જા $E$ તેની તરંગલંબાઈ $\lambda$ સાથે સમીકરણ $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
આપેલ મૂલ્યો: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \ s$,$c = 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$,અને $\lambda = 45 \ nm = 45 \times 10^{-9} \ m$.
સમીકરણમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{(6.63 \times 10^{-34} \ J \ s) \times (3 \times 10^8 \ m \ s^{-1})}{45 \times 10^{-9} \ m}$
$E = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{45 \times 10^{-9}} \ J$
$E = 0.442 \times 10^{-17} \ J = 4.42 \times 10^{-18} \ J$.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E = - 2.178 \times 10^{-18} \ J \left( \frac{Z^2}{n^2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ $n$ વધે છે,તેમ ઉર્જા ઓછી ઋણ (શૂન્યની નજીક) બને છે.
$n = 1$ માટે,ઉર્જા $-2.178 \times 10^{-18} \ J$ છે,અને $n = 6$ માટે,તે $-2.178 \times 10^{-18} \ J \times (1/36)$ છે,જે નાનું ઋણ મૂલ્ય છે.
વધુ ઋણ ઉર્જાનો અર્થ એ છે કે ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસ સાથે વધુ મજબૂતીથી બંધાયેલ છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ માં આપેલ વિધાન ખોટું છે કારણ કે તે દાવો કરે છે કે ઇલેક્ટ્રોન સૌથી નાની કક્ષા $(n=1)$ માં વધુ છૂટથી બંધાયેલ છે,જ્યારે વાસ્તવમાં તે વધુ મજબૂતીથી બંધાયેલ હોય છે.