Atomic models and Planck's quantum theory Questions in Gujarati

(B) લાયમેન શ્રેણી માટે,ન્યુનત્તમ તરંગ લંબાઈ ત્યારે મળે જ્યારે $n_1 = 1$ અને $n_2 = \infty$ હોય. સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$ છે.
લાયમેન શ્રેણી માટે: $\frac{1}{\lambda_{L}} = R (\frac{1}{1^2} - 0) = R$,તેથી $\lambda_{L} = \frac{1}{R}$.
બાલ્મર શ્રેણી માટે: $n_1 = 2$ અને $n_2 = \infty$. તેથી,$\frac{1}{\lambda_{B}} = R (\frac{1}{2^2} - 0) = \frac{R}{4}$,તેથી $\lambda_{B} = \frac{4}{R}$.
ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{L}}{\lambda_{B}} = \frac{1/R}{4/R} = \frac{1}{4} = 0.25$.

(C) તરંગલંબાઈ માટેનું રિડબર્ગ સૂત્ર: $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
અહીં,$n_1 = 1$ અને $n_2 = \infty$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^{7} \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right)$.
$\frac{1}{\infty} = 0$ હોવાથી,$\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^{7} \ m^{-1}$.
તેથી,$\lambda = \frac{1}{1.097 \times 10^{7}} \ m = 0.9115 \times 10^{-7} \ m$.
નેનોમીટરમાં ફેરવતા: $\lambda = 0.9115 \times 10^{-7} \times 10^{9} \ nm = 91.15 \ nm \approx 91 \ nm$.

(C) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝમાં કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$H$ $(Z=1)$ ની બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,ઇલેક્ટ્રોન $n=3$ કક્ષામાં છે:
$r_{H(n=3)} = 0.529 \times \frac{3^2}{1} = 0.529 \times 9 \ \mathring{A}$.
$Li^{2+}$ $(Z=3)$ ની પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,ઇલેક્ટ્રોન $n=2$ કક્ષામાં છે:
$r_{Li^{2+}(n=2)} = 0.529 \times \frac{2^2}{3} = 0.529 \times \frac{4}{3} \ \mathring{A}$.
$Li^{2+}$ ની પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા અને $H$ ની બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થાની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર:
$\frac{r_{Li^{2+}(n=2)}}{r_{H(n=3)}} = \frac{0.529 \times \frac{4}{3}}{0.529 \times 9} = \frac{4}{27}$.
જોકે,આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $27:4$ છે.

(B) હાઇડ્રોજનની વર્ણપટ રેખાઓ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R_H \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$ છે.
બામર શ્રેણી માટે,સંક્રમણ $n_1 = 2$ પર પૂર્ણ થાય છે.
બામર શ્રેણીમાં રેખાઓ $n_2 = 3, 4, 5, \dots$ થી $n_1 = 2$ ના સંક્રમણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
- પ્રથમ રેખા $(H_\alpha)$ એ $n = 3 \to n = 2$ ને અનુરૂપ છે.
- બીજી રેખા $(H_\beta)$ એ $n = 4 \to n = 2$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,$n = 4$ થી $n = 2$ નું સંક્રમણ એ બામર શ્રેણીની બીજી રેખા દર્શાવે છે.

(B) હાઈડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર: $r_n = a_0 \times \frac{n^2}{Z}$ છે,જ્યાં $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે,$n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
$n = 1$ અવસ્થામાં હાઈડ્રોજન પરમાણુ માટે,$r = a_0 \times \frac{1^2}{1} = a_0$.
આપણે એવી સ્પીસીઝ શોધવાની છે જેના માટે $\frac{n^2}{Z} = 1$ થાય,એટલે કે $n^2 = Z$.
$Be^{3+}$ $(Z = 4)$ માટે,$n^2 = 4$,તેથી $n = 2$.
આમ,$n = 2$ ધરાવતા $Be^{3+}$ માટે,ત્રિજ્યા $a_0 \times \frac{2^2}{4} = a_0$ થાય છે.

(B) સાચું છે કારણ કે,બોહરના મોડેલ મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન નિશ્ચિત ઊર્જા ધરાવતી સ્થિર કક્ષાઓમાં ફરે છે,જે તેમને કેન્દ્રમાં પડતા અટકાવે છે.
$R$ સાચું છે કારણ કે આ સ્થિર અવસ્થાઓમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનને કક્ષકીય ઇલેક્ટ્રોન કહેવામાં આવે છે.
જોકે,તે કક્ષકીય ઇલેક્ટ્રોન છે તે હકીકત તે કેન્દ્રમાં કેમ પડતો નથી તેની સીધી ભૌતિક સમજૂતી નથી (તેનું કારણ કોણીય વેગમાનનું ક્વોન્ટાઈઝેશન અને સ્થિર અવસ્થાઓ છે).
તેથી,બંને સાચા છે,પરંતુ $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(D) જ્યારે ઈલેક્ટ્રોન $n_2$ થી $n_1$ માં સંક્રમણ કરે ત્યારે મળતી કુલ વર્ણપટ્ટ રેખાઓની સંખ્યાનું સૂત્ર: $N = \frac{(n_2 - n_1)(n_2 - n_1 + 1)}{2}$ છે.
અહીં $n_2 = 6$ અને $n_1 = 2$ આપેલ છે,તેથી કુલ રેખાઓ $N = \frac{(6 - 2)(6 - 2 + 1)}{2} = \frac{4 \times 5}{2} = 10$ થાય.
આ તમામ રેખાઓ બાલ્મર શ્રેણીમાં આવે છે કારણ કે સંક્રમણ $n_1 = 2$ પર પૂર્ણ થાય છે.
પ્રશ્નમાં બાલ્મર શ્રેણી સિવાયની રેખાઓ પૂછી છે,તેથી બાલ્મર શ્રેણી સિવાયની રેખાઓની સંખ્યા $10 - 10 = 0$ થાય.

(C) $n$ ફોટોનની ઊર્જાનું સૂત્ર: $E = \frac{nhc}{\lambda}$.
$n$ માટે સૂત્ર: $n = \frac{E \times \lambda}{hc}$.
આપેલ છે: $E = 1 \, J$,$\lambda = 5000 \, \mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \, m$,$h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \, m/s$.
કિંમતો મૂકતા: $n = \frac{1 \times 5000 \times 10^{-10}}{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$.
$n = \frac{5 \times 10^{-7}}{1.9878 \times 10^{-25}} \approx 2.515 \times 10^{18}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) હાઈડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝ માટે $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઈલેક્ટ્રોનની ઊર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -2.18 \times 10^{-18} \ J \times \frac{Z^2}{n^2}$ છે.
$He^+$ માટે,$Z = 2$ અને $n = 1$,તેથી $E_{1, He^+} = E_{1, H} \times Z^2$.
આપેલ છે કે $E_{1, He^+} = -871.6 \times 10^{-20} \ J$.
તેથી,$-871.6 \times 10^{-20} = E_{1, H} \times (2)^2$.
$-871.6 \times 10^{-20} = E_{1, H} \times 4$.
$E_{1, H} = \frac{-871.6 \times 10^{-20}}{4} = -217.9 \times 10^{-20} \ J$.

(B) હાઇડ્રોજન જેવી પ્રજાતિની $n$ મી કક્ષકમાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $V_n = V_0 \times \frac{Z}{n}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ પ્રજાતિ માટે $V_0$ અને $Z$ અચળ હોવાથી,વેગ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(V \propto \frac{1}{n})$.
તેથી,પ્રથમ,દ્વિતીય અને તૃતીય કક્ષકો માટે વેગનો ગુણોત્તર $V_1 : V_2 : V_3 = \frac{1}{1} : \frac{1}{2} : \frac{1}{3}$ થશે.

(D) હાઈડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝ માટે $n$ મી કક્ષામાં ઈલેક્ટ્રોનની ઊર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ છે.
હાઈડ્રોજન પરમાણુ $(Z=1)$ માટે ભૂમિ અવસ્થામાં $(n=1)$,$E_1 = -13.6 \ eV$ થાય.
બંધન ઊર્જા એટલે ઈલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઊર્જા,જે $|E_1| = 13.6 \ eV$ છે.
$He^+$ આયન માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z=2$ છે.
ભૂમિ અવસ્થામાં $(n=1)$,ઊર્જા $E_1 = -13.6 \times \frac{2^2}{1^2} = -13.6 \times 4 = -54.4 \ eV$ થાય.
ઈલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઊર્જા (બંધન ઊર્જા) $|-54.4 \ eV| = 54.4 \ eV$ છે.
આથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુ માટે,$n^{th}$ કક્ષકની ઉર્જા $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ $n$ વધે છે,તેમ $E_n$ ઓછું ઋણ બને છે,એટલે કે $E_1 < E_2 < E_3$.
તેથી,વિધાન $E_1 > E_2 > E_3$ ખોટું છે.
સ્થિતિ ઉર્જા $(PE)$ એ $PE_n = -27.2 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ છે,તેથી $PE_1 < PE_2 < PE_3$ સાચું છે.
ગતિ ઉર્જા $(KE)$ એ $KE_n = 13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ છે,તેથી $KE_1 > KE_2 > KE_3$ સાચું છે.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ છે.
$H$ $(Z=1, n=1)$ ની ધરા અવસ્થા માટે: $E_1 = -13.6 \times \frac{1^2}{1^2} = -13.6 \text{ eV}$.
$He^+$ $(Z=2, n=2)$ ની $n=2$ અવસ્થા માટે: $E_2 = -13.6 \times \frac{2^2}{2^2} = -13.6 \text{ eV}$.
$Li^{2+}$ $(Z=3, n=3)$ ની $n=3$ અવસ્થા માટે: $E_3 = -13.6 \times \frac{3^2}{3^2} = -13.6 \text{ eV}$.
$Be^{3+}$ $(Z=4, n=4)$ ની $n=4$ અવસ્થા માટે: $E_4 = -13.6 \times \frac{4^2}{4^2} = -13.6 \text{ eV}$.
આમ,$E_1(H) = E_2(He^+) = E_3(Li^{2+}) = E_4(Be^{3+})$.

(B) પારજાંબલી વિસ્તાર લાયમેન શ્રેણી $(n_1 = 1)$ ને અનુરૂપ છે.
$n_2$ થી $n_1 = 1$ ના સંક્રમણ માટે,વર્ણપટ્ટ રેખાઓની સંખ્યા $n_2 - n_1 = 5$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$n_2 - 1 = 5$,જે $n_2 = 6$ આપે છે.
હવે,$n_2 = 6$ થી પારરક્ત વિસ્તાર (પાસ્કન,બ્રેકેટ અને ફુન્ડ શ્રેણી) માટેના સંક્રમણો:
$1$. પાસ્કન શ્રેણી $(n_1 = 3)$: સંક્રમણો $6 \to 3, 5 \to 3, 4 \to 3$ ($3$ રેખાઓ).
$2$. બ્રેકેટ શ્રેણી $(n_1 = 4)$: સંક્રમણો $6 \to 4, 5 \to 4$ ($2$ રેખાઓ).
$3$. ફુન્ડ શ્રેણી $(n_1 = 5)$: સંક્રમણ $6 \to 5$ ($1$ રેખા).
પારરક્ત વિસ્તારમાં રેખાઓની કુલ સંખ્યા = $3 + 2 + 1 = 6$.

(B) હાઈડ્રોજન પરમાણુમાં ઈલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = \frac{-1312}{n^2} \ kJ \ mol^{-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,અચળ મૂલ્ય $1312 \ kJ \ mol^{-1}$ એ ઈલેક્ટ્રોનને ધરા સ્થિતિ $(n=1)$ માંથી અનંત સુધી દૂર કરવા માટે જરૂરી ઊર્જા દર્શાવે છે,જેને હાઈડ્રોજન પરમાણુની આયનીકરણ ઊર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સમીકરણમાં રહેલ અચળાંક હાઈડ્રોજન પરમાણુ માટે વિશિષ્ટ હોવાથી,હાઈડ્રોજન પરમાણુ માટે આયનીકરણ ઊર્જા અચળ રહે છે.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુ માટે બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \,\mathring{A}$ છે.
હાઇડ્રોજન માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 1$ છે,તેથી સૂત્ર $r_n = 0.529 \times n^2 \,\mathring{A}$ થાય છે.
For $n = 1$: $r_1 = 0.529 \times 1^2 = 0.529 \,\mathring{A}$.
For $n = 2$: $r_2 = 0.529 \times 2^2 = 0.529 \times 4 = 2.116 \,\mathring{A}$.
For $n = 3$: $r_3 = 0.529 \times 3^2 = 0.529 \times 9 = 4.761 \,\mathring{A}$.
For $n = 4$: $r_4 = 0.529 \times 4^2 = 0.529 \times 16 = 8.464 \,\mathring{A}$.
આમ,ત્રિજ્યાઓ $0.529 \,\mathring{A}, 4.761 \,\mathring{A}, 2.116 \,\mathring{A}, 8.464 \,\mathring{A}$ છે.

(A) લાયમન શ્રેણીની અંતિમ રેખા માટે $n_1 = 1$ અને $n_2 = \infty$ છે.
રીડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
હાઈડ્રોજન $(Z=1)$ માટે,$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R$.
રીડબર્ગ અચળાંક $R \approx 1.097 \times 10^7 \, \text{m}^{-1} = 1.097 \times 10^5 \, \text{cm}^{-1}$ છે.
આવૃત્તિ $\nu = \frac{c}{\lambda} = c \times R$.
$c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s} = 3 \times 10^{10} \, \text{cm/s}$ લેતા:
$\nu = (3 \times 10^{10} \, \text{cm/s}) \times (1.097 \times 10^5 \, \text{cm}^{-1}) \approx 3.29 \times 10^{15} \, \text{sec}^{-1}$.

(D) બ્હોર કક્ષામાં ઈલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2\pi}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$H$ પરમાણુની $2^{nd}$ કક્ષા માટે $n = 2$,તેથી $x = \frac{2h}{2\pi} = \frac{h}{\pi}$.
$Li^{+2}$ ની $1^{st}$ ઉત્તેજીત અવસ્થા $n = 2$ દર્શાવે છે (કારણ કે ભૂમિ અવસ્થા $n = 1$ છે).
તેથી,$n = 2$ માટે કોણીય વેગમાન $L = \frac{2h}{2\pi} = \frac{h}{\pi} = x$.
આમ,કોણીય વેગમાન $x$ રહેશે.

(B) બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = a_0 n^2$ છે,જ્યાં $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે અને $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $r_1 : r_2 = 4 : 1$ આપેલ છે,તેથી $\frac{n_1^2}{n_2^2} = \frac{4}{1}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{n_1}{n_2} = \frac{2}{1}$.
આમ,$n_1 = 2$ અને $n_2 = 1$.
$n=1$ વાળી કક્ષાને $K$ અને $n=2$ વાળી કક્ષાને $L$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
તેથી,તેમની સંજ્ઞાઓ $L$ અને $K$ છે.

(C) અવશોષણ વર્ણપટમાં,સંક્રમણ ધરાવતા સ્તર (સૌથી નીચા ઉર્જા સ્તર) થી ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરો તરફ થાય છે.
આપેલ ઉર્જા સ્તરની આકૃતિ જોતા,સંક્રમણ $1, 2, 3$ એ સૌથી નીચા ઉર્જા સ્તર $A$ થી અનુક્રમે ઉચ્ચ સ્તરો $X, B, C$ તરફ થાય છે.
તેથી,સંક્રમણ $1, 2, 3$ અવશોષણ વર્ણપટમાં દેખાઈ શકે છે.
સંક્રમણ $4, 5, 6$ ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરોથી નીચા ઉર્જા સ્તરો તરફ થાય છે,જે ઉત્સર્જન દર્શાવે છે,અવશોષણ નહીં.
આમ,રેખાઓ $4, 5, 6$ અવશોષણ વર્ણપટમાં દેખાતી નથી.

(A) પરમાણુનું સૌ પ્રથમ ક્વોન્ટમ યાંત્રિક મોડેલ $Niels \ Bohr$ દ્વારા $1913$ માં આપવામાં આવ્યું હતું.
આ મોડેલ વિકિરણના ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંત પર આધારિત હતું,જે સૂચવે છે કે ઇલેક્ટ્રોન ક્વોન્ટાઈઝ્ડ ઉર્જા સ્તરો સાથે ચોક્કસ કક્ષાઓમાં પરિભ્રમણ કરે છે.

(A) $H$ પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = -13.6 / n^2 \, eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n=3 \rightarrow n=2$ માટે: $\Delta E = E_3 - E_2 = -13.6(1/9 - 1/4) = -13.6(-5/36) \approx 1.89 \, eV$.
$n=4 \rightarrow n=3$ માટે: $\Delta E = E_4 - E_3 = -13.6(1/16 - 1/9) = -13.6(-7/144) \approx 0.66 \, eV$.
$n=5 \rightarrow n=4$ માટે: $\Delta E = E_5 - E_4 = -13.6(1/25 - 1/16) = -13.6(-9/400) \approx 0.31 \, eV$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$n=3 \rightarrow n=2$ સંક્રમણ મહત્તમ ઊર્જા મુક્ત કરે છે.

(D) ઉત્સર્જિત વિકિરણની આવૃત્તિ $\nu = \frac{\Delta E}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરથી નીચા ઉર્જા સ્તરમાં કૂદકો મારે ત્યારે ઉત્સર્જન થાય છે.
ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E$ એ આવૃત્તિ $\nu$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ઉત્સર્જન માટે,આપણે ઉચ્ચથી નીચા સ્તરના સંક્રમણો જોઈએ છીએ ($n=3 \to n=1$ અથવા $n=5 \to n=2$).
$n=5 \to n=2$ માટે ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E = 13.6 \times (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{5^2}) = 2.856 \ eV$ છે.
$n=3 \to n=1$ માટે ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E = 13.6 \times (1 - \frac{1}{9}) = 12.08 \ eV$ છે.
$2.856 \ eV < 12.08 \ eV$ હોવાથી,$n=5 \to n=2$ સંક્રમણમાં ઉર્જાનો તફાવત સૌથી ઓછો છે અને તેથી તેની આવૃત્તિ સૌથી ઓછી હશે.

(C) હાઈડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષાની ઊર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \, eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ભૂમિ અવસ્થા $(n=1)$ માટે,$E_1 = -13.6 \, eV$.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=2)$ માટે,$E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \, eV$.
ઉત્તેજન માટે જરૂરી ઊર્જા $\Delta E = E_2 - E_1$ છે.
$\Delta E = -3.4 \, eV - (-13.6 \, eV) = 10.2 \, eV$.

(D) તરંગલંબાઈ $(\lambda)$,પ્રકાશનો વેગ $(c)$ અને આવૃત્તિ $(\nu)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{c}{\nu}$ છે.
આપેલ છે: $c = 3.0 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$ અને $\nu = 8 \times 10^{15} \ s^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{3.0 \times 10^8}{8 \times 10^{15}} = 0.375 \times 10^{-7} \ m = 3.75 \times 10^{-8} \ m$.
મીટરને નેનોમીટર $(nm)$ માં ફેરવવા માટે $10^9$ વડે ગુણતા: $\lambda = 3.75 \times 10^{-8} \times 10^9 \ nm = 37.5 \ nm$.
આમ,નજીકની કિંમત $4 \times 10^1 \ nm$ છે.

(B) જ્યારે ઈલેક્ટ્રોન ઉત્તેજિત અવસ્થા $n_2$ માંથી નીચી અવસ્થા $n_1$ માં સંક્રમણ કરે ત્યારે મળતી વર્ણપટ રેખાઓની કુલ સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર: $\frac{(n_2 - n_1)(n_2 - n_1 + 1)}{2}$ છે.
અહીં,$n_2 = 6$ અને $n_1 = 3$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{(6 - 3)(6 - 3 + 1)}{2} = \frac{3 \times 4}{2} = 6$.
તેથી,વર્ણપટ રેખાઓની કુલ સંખ્યા $6$ છે.

(C) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝ માટે $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{Z^2}{n^2} \ J \ atom^{-1}$ છે.
$He^+$ $(Z = 2)$ માટે,આયનીકરણ ઊર્જા એ $n = 1$ થી $n = \infty$ સુધી ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઊર્જા છે,જે $-E_1$ જેટલી છે. આપેલ $IE = 19.6 \times 10^{-18} \ J \ atom^{-1}$ હોવાથી,$E_1(He^+) = -19.6 \times 10^{-18} \ J \ atom^{-1}$ થાય.
સૂત્ર $E_n = -R_H \times \frac{Z^2}{n^2}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે આ એકમ પદ્ધતિ માટે અચળાંક $R_H$ શોધી શકીએ: $19.6 \times 10^{-18} = R_H \times \frac{2^2}{1^2} \implies R_H = 4.9 \times 10^{-18} \ J \ atom^{-1}$.
હવે,$Li^{2+}$ $(Z = 3)$ માટે,પ્રથમ સ્થાયી અવસ્થા $(n = 1)$ ની ઊર્જા: $E_1(Li^{2+}) = -R_H \times \frac{Z^2}{n^2} = -4.9 \times 10^{-18} \times \frac{3^2}{1^2} = -4.9 \times 10^{-18} \times 9 = -44.1 \times 10^{-18} \ J \ atom^{-1} = -4.41 \times 10^{-17} \ J \ atom^{-1}$.

(C) પ્લાન્કના ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જાતી ઊર્જા $E = \frac{nhc}{\lambda}$ છે,જ્યાં $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જાતા ફોટોનની સંખ્યા છે.
બલ્બનો પાવર $150 \ \text{W}$ છે,અને તેની $8\%$ ઊર્જા પ્રકાશ સ્વરૂપે ઉત્સર્જાય છે:
$E = \frac{150 \times 8}{100} = 12 \ \text{J s}^{-1}$ (કારણ કે $1 \ \text{W} = 1 \ \text{J s}^{-1}$).
આપેલ મૂલ્યો:
$\lambda = 4500 \ \mathring{A} = 4500 \times 10^{-10} \ \text{m}$
$c = 3 \times 10^8 \ \text{m s}^{-1}$
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ \text{J s}$
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$12 = \frac{n \times (6.626 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8)}{4500 \times 10^{-10}}$
$n$ માટે ઉકેલતા:
$n = \frac{12 \times 4500 \times 10^{-10}}{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$
$n \approx 2.72 \times 10^{19} \ \text{s}^{-1}$.

(D) હાઈડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઈલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ માટે $n = 1$ છે.
બીજી ઉત્તેજીત અવસ્થા $n = 3$ ને અનુરૂપ છે.
બીજી ઉત્તેજીત અવસ્થામાં ઈલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_3 = -\frac{13.6}{3^2} = -\frac{13.6}{9} \approx -1.51 \ eV$ છે.
આ અવસ્થામાંથી પરમાણુને આયનિત કરવા માટે જરૂરી ઊર્જા એ ઈલેક્ટ્રોનને $n = \infty$ સુધી લઈ જવા માટે જરૂરી ઊર્જા છે,જે $E_{\infty} - E_3 = 0 - (-1.51) = 1.51 \ eV$ થાય છે.

(D) $Bohr$ ના અભિધારણા મુજબ,સ્થિર કક્ષામાં ઈલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $(L)$ ક્વોન્ટાઈઝ્ડ હોય છે અને તે $\frac{h}{2 \pi}$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $L = mvr = \frac{n h}{2 \pi}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, .....$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે,$h$ એ $Planck$ નો અચળાંક છે અને $m$ એ ઈલેક્ટ્રોનનું દળ છે.

(C) આપેલ સૂત્ર: $E_n = -313.6/n^2$
$E_n$ ની કિંમત મૂકતા: $-34.84 = -313.6/n^2$
$n^2$ માટે ગોઠવતા: $n^2 = -313.6 / -34.84$
$n^2 = 9$
વર્ગમૂળ લેતા: $n = 3$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) હાઈડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝમાં ઈલેક્ટ્રોનનો વેગ $v = 2.188 \times 10^6 \times \frac{Z}{n} \, m \cdot s^{-1}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Be^{3+}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 4$ છે.
ત્રીજી ઉત્તેજીત અવસ્થા એટલે $n = 4$ (કારણ કે ભૂમિ અવસ્થા $n=1$ છે,પ્રથમ ઉત્તેજીત $n=2$,દ્વિતીય $n=3$,અને ત્રીજી $n=4$ છે).
કિંમતો મૂકતા: $v = 2.188 \times 10^6 \times \frac{4}{4} = 2.188 \times 10^6 \, m \cdot s^{-1}$.
$km \cdot s^{-1}$ માં ફેરવવા માટે $1000$ $(10^3)$ વડે ભાગતા: $v = 2.188 \times 10^3 \, km \cdot s^{-1}$.

(D) આપેલ ઊર્જા $E = 2 \ eV = 2 \times 1.602 \times 10^{-19} \ J = 3.204 \times 10^{-19} \ J$.
તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ માટે: $E = \frac{hc}{\lambda} \implies \lambda = \frac{hc}{E}$.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s \times 3 \times 10^8 \ m \cdot s^{-1}}{3.204 \times 10^{-19} \ J} = 6.204 \times 10^{-7} \ m$.
આવૃત્તિ $(\nu)$ માટે: $\nu = \frac{c}{\lambda} = \frac{3 \times 10^8 \ m \cdot s^{-1}}{6.204 \times 10^{-7} \ m} = 0.4835 \times 10^{15} \ s^{-1} \approx 4.8 \times 10^{14} \ s^{-1}$.

(A) $H$ પરમાણુની આયનીકરણ ઊર્જા $(I.P.)$ $I.P. = E_{\infty} - E_1 = 0 - E_1 = -E_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઈલેક્ટ્રોનને પ્રથમ કક્ષા $(n=1)$ થી બીજી કક્ષા $(n=2)$ માં ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઊર્જા $\Delta E = E_2 - E_1$ છે.
$E_n = E_1 / n^2$ હોવાથી,$E_2 = E_1 / 4$ મળે છે.
તેથી,$\Delta E = (E_1 / 4) - E_1 = -3/4 E_1$.
$E_1 = -I.P.$ મૂકતા,આપણને $\Delta E = 3/4 I.P.$ મળે છે.

(B) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝમાં કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$ છે.
હાઇડ્રોજનની બીજી કક્ષા માટે $(n=2, Z=1)$: $(r_2)_H = 0.529 \times \frac{2^2}{1} = 0.529 \times 4 \ \mathring{A}$.
$Li^{+2}$ ની ત્રીજી કક્ષા માટે $(n=3, Z=3)$: $(r_3)_{Li^{+2}} = 0.529 \times \frac{3^2}{3} = 0.529 \times 3 \ \mathring{A}$.
ગુણોત્તર $\frac{(r_2)_H}{(r_3)_{Li^{+2}}} = \frac{0.529 \times 4}{0.529 \times 3} = \frac{4}{3}$ છે.
આમ,ગુણોત્તર $4 : 3$ છે.

(C) ઉત્સર્જિત ફોટોનની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ એ બે ઊર્જા સ્તરો વચ્ચેના ઊર્જા તફાવત $(\Delta E)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,જે $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ સંબંધ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઈ મેળવવા માટે,ઊર્જા તફાવત $(\Delta E)$ મહત્તમ હોવો જોઈએ.
હાઈડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ઈલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = -13.6 \ \text{eV} / n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n_2$ થી $n_1$ સંક્રમણ માટે ઊર્જા તફાવત $\Delta E = 13.6 \ \text{eV} \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$ છે.
આપેલા સંક્રમણોની સરખામણી કરતા:
$(A)$ $n = 2 \rightarrow n = 1$: $\Delta E \propto 0.75$
$(B)$ $n = 3 \rightarrow n = 1$: $\Delta E \propto 0.889$
$(C)$ $n = 4 \rightarrow n = 1$: $\Delta E \propto 0.9375$
$(D)$ $n = 4 \rightarrow n = 3$: $\Delta E \propto 0.0485$
આમ,$n = 4 \rightarrow n = 1$ સંક્રમણ સૌથી વધુ ઊર્જા તફાવત ધરાવે છે,અને તેથી તે સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઈને અનુરૂપ છે.

(B) $n$ મી કક્ષામાં ઈલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધરા અવસ્થા $(n=1)$ માટે,$E_1 = -13.6 \ eV$.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=2)$ માટે,$E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -3.4 \ eV$.
ઉત્તેજન માટે જરૂરી ઊર્જાનો તફાવત $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \ eV$ છે.
પ્રતિ પરમાણુ જરૂરી ઊર્જા શોધવા માટે,આપણે એવોગેડ્રો અંક વડે ભાગાકાર કરીએ છીએ:
જરૂરી ઊર્જા = $\frac{10.2 \ eV}{6.022 \times 10^{23}} \approx 1.69 \times 10^{-23} \ eV$.

(B) હાઈડ્રોજન પરમાણુની ભૂમિ અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_1 = -13.6 \, eV$ છે.
ઉત્તેજિત અવસ્થાની આયનીકરણ-ઊર્જા $+0.85 \, eV$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે તે ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = -0.85 \, eV$ છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉત્તેજિત અવસ્થામાંથી ભૂમિ અવસ્થામાં પાછો ફરે છે,ત્યારે ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા ઊર્જાના તફાવત જેટલી હોય છે:
$\Delta E = E_n - E_1 = -0.85 \, eV - (-13.6 \, eV) = 12.75 \, eV$.

(D) ઇલેક્ટ્રોન જ્યારે ઉત્તેજિત અવસ્થા $n$ માંથી નીચલા ઊર્જા સ્તરોમાં સંક્રમણ કરે છે,ત્યારે ઉત્સર્જન રેખાઓની કુલ સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર: $\frac{n(n - 1)}{2}$ છે.
અહીં આકૃતિમાં દર્શાવેલ મહત્તમ ઊર્જા સ્તર $n = 4$ છે,તેથી સૂત્રમાં $n = 4$ મૂકતા:
$\text{રેખાઓની સંખ્યા} = \frac{4(4 - 1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$.
આમ,ઉત્સર્જન રેખાઓની કુલ સંખ્યા $6$ થશે.

(B) ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંત મેક્સ પ્લાન્ક દ્વારા આપવામાં આવ્યો હતો. જોકે,નીલ્સ બ્હોરે સૌપ્રથમ ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને પરમાણુના બંધારણ અને હાઈડ્રોજન પરમાણુની સ્થિરતા સમજાવી હતી. તેથી,સાચો જવાબ $B$ છે.

(B) રુથરફોર્ડના $\alpha$-કણ પ્રકિર્ણન પ્રયોગમાં,ન્યુક્લિયસ એ પરમાણુના કેન્દ્રમાં આવેલો ખૂબ જ નાનો,ઘટ્ટ અને ધન વીજભારિત ભાગ છે.
ન્યુક્લિયસનું કદ પરમાણુના કદની સરખામણીમાં અત્યંત નાનું હોવાથી,$\alpha$-કણો ન્યુક્લિયસમાંથી પસાર થતા નથી.
તેના બદલે,તેઓ કાં તો ધન વીજભારના અપાકર્ષણને કારણે વિચલિત થાય છે અથવા ન્યુક્લિયસની આસપાસની ખાલી જગ્યામાંથી પસાર થાય છે.
તેથી,'થોડા $\alpha$-કણો ન્યુક્લિયસમાંથી પસાર થાય છે' તે અવલોકન ખોટું છે.

(A) ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રાંતિ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$ હોવાથી,સૌથી ઓછી તરંગલંબાઈ સૌથી વધુ ઊર્જાના તફાવત $(\Delta E)$ સાથે સંકળાયેલ છે.
આપેલ સંક્રાંતિઓ તપાસતા:
$(A)$ $n_4 \to n_1$: સૌથી વધુ ઊર્જાનો તફાવત.
તેથી,$n_4 \to n_1$ સંક્રાંતિમાં સૌથી વધુ ઊર્જાનો ફેરફાર થાય છે,પરિણામે સૌથી ઓછી તરંગલંબાઈ મળે છે.

(C) જ્યારે ઈલેક્ટ્રોન ઉત્તેજિત અવસ્થા $n_2$ માંથી નીચલી અવસ્થા $n_1$ માં સંક્રમણ કરે ત્યારે ઉત્સર્જિત થતી વર્ણપટ રેખાઓની કુલ સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર: $N = \frac{(n_2 - n_1)(n_2 - n_1 + 1)}{2}$ છે.
અહીં ઈલેક્ટ્રોન ધરાસ્થિતિમાં $(n_1 = 1)$ સંક્રમણ કરે છે અને રેખાઓની કુલ સંખ્યા $N = 10$ છે,તેથી:
$10 = \frac{(n_2 - 1)(n_2 - 1 + 1)}{2}$
$10 = \frac{(n_2 - 1)(n_2)}{2}$
$20 = n_2^2 - n_2$
$n_2^2 - n_2 - 20 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(n_2 - 5)(n_2 + 4) = 0$.
$n_2$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $n_2 = 5$.

(A) હાઈડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝની $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = \frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 m Z e^2 k}$ છે,જ્યાં $m$ એ ઈલેક્ટ્રોનનું દળ છે.
હાઈડ્રોજન અને ડ્યુટેરિયમ બંનેનો પરમાણુ ક્રમાંક $(Z = 1)$ સમાન છે અને ઈલેક્ટ્રોનનું દળ $(m)$ પણ સમાન છે,તેથી પ્રથમ કક્ષાની ત્રિજ્યા ન્યુક્લિયસના દળ પર આધારિત નથી.
તેથી,હાઈડ્રોજન $(r_H)$ અને ડ્યુટેરિયમ $(r_D)$ માં પ્રથમ કક્ષાની ત્રિજ્યા સમાન છે.
આમ,ગુણોત્તર $r_H : r_D$ એ $1 : 1$ થશે.

(C) $H$ પરમાણુની ધરા-સ્થિતિની ઊર્જા $-13.6 \,eV$ છે. $n=1$ થી $n=2$ અવસ્થામાં ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઊર્જા $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 \,eV - (-13.6 \,eV) = 10.2 \,eV$ છે.
આપેલ ઈલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $10.8 \,eV$ હોવાથી,$H$ પરમાણુ $10.2 \,eV$ ઊર્જાનું શોષણ કરીને ઉત્તેજિત થશે અને બાકી રહેલી ઊર્જા $(10.8 \,eV - 10.2 \,eV = 0.6 \,eV)$ ઈલેક્ટ્રોન પાસે ગતિઊર્જા તરીકે રહેશે.

(D) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝ માટે,$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \mathring{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 3$ ઉર્જા સ્તરને અનુરૂપ છે.
$Li^{2+}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 3$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $r_3 = 0.529 \times \frac{3^2}{3} \mathring{A} = 0.529 \times 3 \mathring{A} = 1.587 \mathring{A}$.

(A) હાઈડ્રોજન વર્ણપટમાં દ્રશ્યમાન વિસ્તાર બામર શ્રેણીને અનુરૂપ છે,જ્યાં સંક્રમણ $n = 2$ ઉર્જા સ્તર પર થાય છે.
અહીં ઈલેક્ટ્રોન $6^{th}$ કક્ષામાંથી $3^{rd}$ કક્ષામાં સંક્રમણ કરે છે,તેથી તે $n = 2$ સ્તર સુધી પહોંચતું નથી.
તેથી,દ્રશ્યમાન વિસ્તારમાં વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા $0$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$H$ પરમાણુ $(Z=1)$ માટે,ઊર્જાનો તફાવત $\Delta E = 13.6 \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}) = 13.6 \times 1^2 \times (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}) = 13.6 \times \frac{3}{4} = 10.2 \ eV$.
$Be^{3+}$ આયન માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 4$ છે.
તે જ સંક્રમણ ($n=1$ થી $n=2$) માટે ઊર્જાનો તફાવત $\Delta E' = 13.6 \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
$\Delta E' = 13.6 \times 4^2 \times (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}) = 13.6 \times 16 \times \frac{3}{4} = 13.6 \times 4 \times 3 = 163.2 \ eV$.

(C) આવૃત્તિ $\nu = \frac{c}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂનતમ આવૃત્તિ માટે,તરંગલંબાઇ $\lambda$ મહત્તમ હોવી જોઈએ.
લાયમન શ્રેણી $(n_1 = 1)$ માટે,મહત્તમ તરંગલંબાઇ $n_2 = 2$ થી $n_1 = 1$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે: $\frac{1}{\lambda_{L, \text{max}}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( \frac{3}{4} \right) \implies \lambda_{L, \text{max}} = \frac{4}{3R}$.
બાલ્મર શ્રેણી $(n_1 = 2)$ માટે,મહત્તમ તરંગલંબાઇ $n_2 = 3$ થી $n_1 = 2$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે: $\frac{1}{\lambda_{B, \text{max}}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right) \implies \lambda_{B, \text{max}} = \frac{36}{5R}$.
ન્યૂનતમ આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $\frac{\nu_{L, \text{min}}}{\nu_{B, \text{min}}} = \frac{\lambda_{B, \text{max}}}{\lambda_{L, \text{max}}} = \frac{36 / 5R}{4 / 3R} = \frac{36}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{27}{5} = 5.4$.

(D) હાઈડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝની $n$ મી બોહર કક્ષકમાં ઈલેક્ટ્રોનની ઊર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ છે.
$He^{+}$ ની પ્રથમ બોહર કક્ષક માટે,$n = 1$ અને પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $E_1 = -13.6 \times \frac{2^2}{1^2} \ eV = -13.6 \times 4 \ eV = -54.4 \ eV$.