Atomic models and Planck's quantum theory Questions in Gujarati

(D) તરંગલંબાઇ $(\lambda)$,પ્રકાશની ગતિ $(c)$ અને આવૃત્તિ $(\nu)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\lambda = \frac{c}{\nu}$.
આપેલ છે:
$c = 3 \times 10^{17} \ nm \ s^{-1}$
$\nu = 6 \times 10^{18} \ s^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{3 \times 10^{17} \ nm \ s^{-1}}{6 \times 10^{18} \ s^{-1}} = 0.5 \times 10^{-1} \ nm = 0.05 \ nm$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E = \Delta E = 13.6 \ eV \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ છે.
જેમ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ વધે છે,તેમ ક્રમિક કક્ષાઓ વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત ઘટે છે.
સંક્રમણ $n=6$ થી $n=5$ એ સૌથી વધુ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક ધરાવતી કક્ષાઓ વચ્ચે થાય છે,તેથી તે સૌથી ઓછો ઉર્જા તફાવત ધરાવે છે અને સૌથી ઓછી ઉર્જાનો ફોટોન આપે છે.

(B) ઇલેક્ટ્રોનના કોણીય વેગમાન $(L)$ માટેનું સૂત્ર બોહરના અભિધારણા મુજબ છે:
$L = mvr = \frac{nh}{2\pi}$
અહીં કક્ષાનો ક્રમ $n = 5$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$L = \frac{5h}{2\pi}$
ગણતરી કરતા:
$L = 2.5 \frac{h}{\pi}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = -\frac{1.312 \times 10^6}{n^2} \ J \ mol^{-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n=1$ માટે,$E_1 = -1.312 \times 10^6 \ J \ mol^{-1}$.
$n=2$ માટે,$E_2 = -\frac{1.312 \times 10^6}{2^2} = -\frac{1.312 \times 10^6}{4} = -0.328 \times 10^6 \ J \ mol^{-1}$.
ઇલેક્ટ્રોનને $n=1$ થી $n=2$ માં ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઊર્જા $\Delta E = E_2 - E_1$ છે.
$\Delta E = (-0.328 \times 10^6) - (-1.312 \times 10^6) \ J \ mol^{-1}$.
$\Delta E = (1.312 - 0.328) \times 10^6 \ J \ mol^{-1} = 0.984 \times 10^6 \ J \ mol^{-1} = 9.84 \times 10^5 \ J \ mol^{-1}$.

(B) આયનીકરણ ઉર્જા $(IE)$ એટલે ઇલેક્ટ્રોનને ધરા અવસ્થામાંથી અનંત સુધી લઈ જવા માટે જરૂરી ઉર્જા.
$IE = E_{\infty} - E_{1} = 0 - E_{1} = -E_{1}$
તેથી,$He^{+}$ માટે $E_{1} = -19.6 \times 10^{-18} \, J \, atom^{-1}$.
હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝ માટે $n$ અવસ્થામાં ઉર્જા $(E_{n})_{species} = (E_{1})_{H} \times \frac{Z^{2}}{n^{2}}$ દ્વારા મળે છે.
$He^{+}$ $(Z=2, n=1)$ માટે: $(E_{1})_{He^{+}} = (E_{1})_{H} \times 2^{2} = -19.6 \times 10^{-18} \, J \, atom^{-1}$.
તેથી,$(E_{1})_{H} = \frac{-19.6 \times 10^{-18}}{4} \, J \, atom^{-1}$.
$Li^{2+}$ $(Z=3, n=1)$ માટે: $(E_{1})_{Li^{2+}} = (E_{1})_{H} \times 3^{2} = \frac{-19.6 \times 10^{-18}}{4} \times 9 = -4.41 \times 10^{-17} \, J \, atom^{-1}$.

(A) બે સ્તરો વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત $\Delta E = E_2 - E_1 = 2.178 \times 10^{-18} \times Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \ J$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$Z = 1$,$n_1 = 1$,અને $n_2 = 2$.
$\Delta E = 2.178 \times 10^{-18} \times 1^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 2.178 \times 10^{-18} \times 0.75 = 1.6335 \times 10^{-18} \ J$.
સંબંધ $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$.
$\lambda = \frac{6.62 \times 10^{-34} \times 3.0 \times 10^8}{1.6335 \times 10^{-18}} \approx 1.216 \times 10^{-7} \ m$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $1.214 \times 10^{-7} \ m$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 2$ છે.
સૂત્રમાં $n = 2$ મૂકતા,આપણને $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \ eV$ મળે છે.
તેથી,હાઇડ્રોજનની પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થાની ઉર્જા $-3.4 \ eV$ છે.

(D) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,$n$ મી કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર:
$r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \, \mathring{A}$
હાઇડ્રોજન પરમાણુની બીજી બોહર કક્ષા માટે,$n = 2$ અને $Z = 1$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$r_2 = 0.529 \times \frac{2^2}{1} \, \mathring{A}$
$r_2 = 0.529 \times 4 \, \mathring{A} = 2.116 \, \mathring{A}$
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $2.12 \, \mathring{A}$ મળે છે.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુ માટે,ઉર્જા $E_{n} = -13.6 \times \frac{Z^{2}}{n^{2}} \ \text{eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાઇડ્રોજન $(Z=1)$ માટે:
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n=2$ છે. ભૂમિ અવસ્થા $n=1$ છે.
$n=2$ થી $n=1$ માં ડી-એક્સાઈટેશન દરમિયાન મુક્ત થતી ઉર્જા $\Delta E = E_{2} - E_{1} = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \ \text{eV}$ છે.
$He^{+}$ આયન $(Z=2)$ માટે:
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n=2$ છે. આ અવસ્થાની ઉર્જા $E_{2} = -13.6 \times \frac{2^{2}}{2^{2}} = -13.6 \ \text{eV}$ છે.
જ્યારે $He^{+}$ આયન હાઇડ્રોજન પરમાણુ પાસેથી $10.2 \ \text{eV}$ મેળવે છે,ત્યારે તેની નવી ઉર્જા $E_{new} = -13.6 + 10.2 = -3.4 \ \text{eV}$ થાય છે.
આપણે તેને $He^{+}$ માટેના ઉર્જા સૂત્ર સાથે સરખાવીએ:
$-3.4 = -13.6 \times \frac{2^{2}}{n^{2}}$
$n^{2} = \frac{13.6 \times 4}{3.4} = 16$
$n = 4$.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝમાં ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિ ઉર્જા $(P.E.)$ નું સૂત્ર: $P.E. = -\frac{KZe^2}{r}$ છે.
$He^{+}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે.
$K = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}$ અને $Z = 2$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$P.E. = -\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \times \frac{2e^2}{r} = -\frac{2e^2}{4\pi \epsilon_0 r} = -\frac{e^2}{2\pi \epsilon_0 r}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) પૂરી પાડવામાં આવેલ પાવર $P = 124 \ W = 124 \ J/s$ છે.
દ્રશ્ય પ્રકાશમાં રૂપાંતરિત થતી ઊર્જા $E_{\text{light}} = 124 \times 0.15 = 18.6 \ J$ છે.
એક ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{640 \ nm} = 1.9375 \ eV$ છે.
એક ફોટોનની ઊર્જાને જૂલમાં ફેરવતા: $E = 1.9375 \times 1.602 \times 10^{-19} \ J \approx 3.1 \times 10^{-19} \ J$.
એક સેકન્ડમાં ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા $n = \frac{E_{\text{light}}}{E} = \frac{18.6}{3.1 \times 10^{-19}} = 6 \times 10^{19}$ ફોટોન છે.

(C) તરંગ આંક માટેનું રિડબર્ગ સૂત્ર $\bar{\nu} = R_H Z^2 [\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}]$ છે.
$H$ પરમાણુની બામર શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે $(Z=1, n_1=2, n_2=3)$: $\bar{\nu}_1 = R_H (1)^2 [\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}] = R_H (\frac{5}{36}) = 15200 \ cm^{-1}$.
$Li^{2+}$ ની લાયમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે $(Z=3, n_1=1, n_2=2)$: $\bar{\nu}_2 = R_H (3)^2 [\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}] = R_H (9) (\frac{3}{4}) = R_H (\frac{27}{4})$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\bar{\nu}_2}{15200} = \frac{R_H (27/4)}{R_H (5/36)} = \frac{243}{5} = 48.6$.
તેથી,$\bar{\nu}_2 = 15200 \times 48.6 = 738720 \ cm^{-1}$.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રિજ્યામાં ફેરફાર $\Delta r = r_2 - r_1 = \frac{0.529}{Z} \times (n_2^2 - n_1^2)$ છે.
$H$-પરમાણુ માટે,$Z = 1$,તેથી $\Delta r = 0.529 \times (n_2^2 - n_1^2)$.
દરેક વિકલ્પ માટે $\Delta r$ ની ગણતરી:
$A) \ 4 \rightarrow 1: \Delta r \propto (4^2 - 1^2) = 16 - 1 = 15$
$B) \ 5 \rightarrow 4: \Delta r \propto (5^2 - 4^2) = 25 - 16 = 9$
$C) \ 6 \rightarrow 5: \Delta r \propto (6^2 - 5^2) = 36 - 25 = 11$
$D) \ 4 \rightarrow 2: \Delta r \propto (4^2 - 2^2) = 16 - 4 = 12$
ન્યૂનતમ મૂલ્ય $9$ છે,જે $5 \rightarrow 4$ સંક્રમણને અનુરૂપ છે.

(C) અલ્ટ્રાવાયોલેટ ($U$.$V$.) વિભાગ લાયમન શ્રેણીને અનુરૂપ છે,જ્યાં સંક્રમણ $n_1 = 1$ પર થાય છે. $n = 4$ માટે,શક્ય સંક્રમણો $4 \rightarrow 1$,$3 \rightarrow 1$ અને $2 \rightarrow 1$ છે. આમ,$U$.$V$. વિભાગમાં $3$ રેખાઓ છે.
દ્રશ્યમાન વિભાગ બામર શ્રેણીને અનુરૂપ છે,જ્યાં સંક્રમણ $n_1 = 2$ પર થાય છે. $n = 4$ માટે,શક્ય સંક્રમણો $4 \rightarrow 2$ અને $3 \rightarrow 2$ છે. આમ,દ્રશ્યમાન વિભાગમાં $2$ રેખાઓ છે.
$U$.$V$. વિભાગ અને દ્રશ્યમાન વિભાગમાં રેખાઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $3:2$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = \frac{-13.6 \, eV}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $E_n = -3.4 \, eV$,તેથી $\frac{-13.6}{n^2} = -3.4$,જેનો અર્થ છે કે $n^2 = 4$,તેથી $n = 2$.
બોહરના અભિધારણા મુજબ,કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2\pi}$ છે.
$n = 2$ મૂકતા,આપણને $L = \frac{2h}{2\pi} = \frac{h}{\pi}$ મળે છે.
$h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$ અને $\pi \approx 3.14$ લેતા,$L = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{3.14} \approx 2.11 \times 10^{-34} \, J \cdot s$ મળે છે.

(A) આપાત ફોટોનની ઊર્જા: $E = \frac{12400}{1240} \, eV = 10 \, eV$.
વર્ક ફંક્શન: $W = 4 \, eV$.
ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિજ ઊર્જા: $KE_{max} = E - W = 10 \, eV - 4 \, eV = 6 \, eV$.
$V_{acc} = 7.6 \, V$ નો પ્રવેગક પોટેન્શિયલ લાગુ પાડતા,વધારાની ગતિજ ઊર્જા $q \times V_{acc} = 7.6 \, eV$ મળે છે.
અંતિમ ગતિજ ઊર્જા: $KE_f = 6 \, eV + 7.6 \, eV = 13.6 \, eV$.
$KE_f$ ને જૂલમાં ફેરવતા: $13.6 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = 2.176 \times 10^{-18} \, J$.
$KE = \frac{1}{2}mv^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $(m = 9.1 \times 10^{-31} \, kg)$:
$v = \sqrt{\frac{2 \times 2.176 \times 10^{-18}}{9.1 \times 10^{-31}}} \approx 2.18 \times 10^6 \, m/s$.

(A) ઉત્સર્જિત વિકિરણની આવૃત્તિ $\nu$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\nu = R_H c \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
અહીં,$R_H = 1.097 \times 10^7 \, m^{-1}$,$c = 3 \times 10^8 \, m/s$,$n_1 = 1$,અને $n_2 = 4$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\nu = (1.097 \times 10^7) \times (3 \times 10^8) \times \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{4^2} \right)$.
$\nu = 3.291 \times 10^{15} \times \left( 1 - \frac{1}{16} \right) = 3.291 \times 10^{15} \times \frac{15}{16}$.
$\nu \approx 3.08 \times 10^{15} \, s^{-1}$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $KE_{max} = hv - hv_0$. $KE_{max}$ વિરુદ્ધ $v$ ના આલેખનો ઢાળ $h$ છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ માટે: $V_0 = \frac{hv}{e} - \frac{hv_0}{e}$. $V_0$ વિરુદ્ધ $v$ ના આલેખનો ઢાળ $\frac{h}{e}$ છે.
ઢાળનો ગુણોત્તર = $\frac{h}{h/e} = e$ (ઈલેક્ટ્રોનનો વીજભાર).

(A) ઇલેક્ટ્રોન $5^{th}$ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં છે,તેથી $n_2 = 6$.
ધરાવસ્થિતિ $n_1 = 1$ છે.
બામર શ્રેણી $n = 2$ પર સમાપ્ત થાય છે.
બામર શ્રેણીમાં કોઈ રેખા ન હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોન $n = 2$ સ્તરે સંક્રમણ કરી શકશે નહીં.
શક્ય સંક્રમણો: $6$ $\rightarrow 5, 6$ $\rightarrow 4, 6$ $\rightarrow 3, 5$ $\rightarrow 4, 5$ $\rightarrow 3, 4$ $\rightarrow 3, 3$ $\rightarrow 1$.
કુલ રેખાઓની સંખ્યા $6$ ગણવામાં આવે છે.

(A) બોહરના પરમાણુ મોડેલ મુજબ,હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેની જગ્યા સંપૂર્ણપણે ખાલી (શૂન્યાવકાશ) હોય છે.

(B) $J. J. Thomson$ એ પરમાણુનું વોટરમેલન મોડેલ પ્રસ્તાવિત કર્યું હતું,જેને પ્લમ પુડિંગ મોડેલ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. આ મોડેલમાં,ઇલેક્ટ્રોન ધન વીજભારિત ગોળામાં તરબૂચના બીજની જેમ અથવા પુડિંગમાં પ્લમની જેમ ગોઠવાયેલા હોય છે.

(D) શાસ્ત્રીય વિદ્યુતચુંબકીય સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રવેગિત ગતિ કરતો કોઈપણ વીજભારિત કણ વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરે છે.
વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરતો ઇલેક્ટ્રોન સતત દિશા બદલે છે,તેથી તે પ્રવેગિત ગતિ કરે છે.
જેમ તે ઉર્જાનું ઉત્સર્જન કરે છે,તેમ તેની કક્ષાની ત્રિજ્યા સતત ઘટતી જશે.
પરિણામે,ઇલેક્ટ્રોન સર્પાકાર માર્ગે ગતિ કરશે અને અંતે કેન્દ્રમાં સમાઈ જશે.

(A) $\alpha$-કણ પ્રકીર્ણન પ્રયોગમાં,જેમ $\alpha$-કણો કેન્દ્રની નજીક આવે છે,તેમ તેઓ વધારે વિચલિત થાય છે.
આનું કારણ એ છે કે $\alpha$-કણ અને કેન્દ્ર બંને ધન વીજભારિત છે.
ધન વીજભારો એકબીજાને અપાકર્ષે છે,અને કુલંબના નિયમ મુજબ,આ સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળ એ $\alpha$-કણ અને કેન્દ્ર વચ્ચેના અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(F \propto \frac{1}{r^2})$.
તેથી,જેમ અંતર $(r)$ ઘટે છે,તેમ અપાકર્ષણ બળ વધે છે,જેના પરિણામે વધારે વિચલન જોવા મળે છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુને ધરા અવસ્થા $(n=1)$ માંથી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n)$ માં લઈ જવા માટે જરૂરી ઊર્જા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta E = 13.6 \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right) \ eV$
$n=2$ માટે,$\Delta E = 13.6 \times 0.75 = 10.2 \ eV$.
$n=3$ માટે,$\Delta E = 13.6 \times 0.888 = 12.09 \ eV$.
$8.4 \ eV$ એ ધરા અવસ્થામાંથી કોઈપણ ઉચ્ચ ઊર્જા સ્તર $(n > 1)$ માં સંક્રમણ માટેની ઊર્જા સાથે મેળ ખાતી નથી,તેથી હાઇડ્રોજન પરમાણુ આ ઊર્જાનું શોષણ કરી શકતું નથી.
પરિણામે,કોઈ ઇલેક્ટ્રોનિક ઉત્તેજના થતી નથી અને કોઈ વર્ણપટ રેખાઓ ઉત્સર્જિત થતી નથી.

(B) રધરફોર્ડનું પરમાણુ મોડેલ,જેને પરમાણુનું ન્યુક્લિયર મોડેલ પણ કહેવામાં આવે છે,તે તેમના આલ્ફા-કણ પ્રકીર્ણન પ્રયોગના પરિણામોના આધારે પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યું હતું.
તેમણે પરમાણુની રચનાની સરખામણી સૌર મંડળ સાથે કરી હતી,જ્યાં ન્યુક્લિયસ કેન્દ્રમાં સૂર્ય જેવું કાર્ય કરે છે અને ઇલેક્ટ્રોન તેની આસપાસ કક્ષામાં ફરે છે,જે રીતે ગ્રહો સૂર્યની આસપાસ ફરે છે.

(D) રધરફોર્ડે $ He^{2+} $ આયનોના કિરણોનો ઉપયોગ કર્યો હતો જે હિલિયમ ન્યુક્લિયસ છે અને તે ધાતુની વરખ પર અથડાઈને વિખેરાઈ ગયા હતા.

(C) રધરફોર્ડના $\alpha$-કણ પ્રકીર્ણન પ્રયોગ મુજબ,પરમાણુની અંદરનો મોટાભાગનો અવકાશ ખાલી છે.
પરમાણુનો મોટાભાગનો ભાગ ખાલી હોવાથી,મોટાભાગના $\alpha$-કણો કોઈપણ વિચલન કે અથડામણ અનુભવ્યા વિના ધાતુની વરખમાંથી સીધા પસાર થઈ જાય છે.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણ (ફોટોન સહિત) ની દ્વૈત પ્રકૃતિ સૂચવે છે કે તે તરંગ અને કણ બંને જેવા ગુણધર્મો ધરાવે છે.
$1$. તરંગ પ્રકૃતિ વ્યતિકરણ અને વિવર્તન જેવી ઘટનાઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$2$. કણ પ્રકૃતિ પ્લાન્ક-આઈન્સ્ટાઈન સંબંધ $E = hv$ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ ફોટોનની ઉર્જા છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $v$ એ વિકિરણની આવૃત્તિ છે.
તેથી,સમીકરણ $E = hv$ ફોટોનની ઉર્જા (કણ ગુણધર્મ) ને તેની આવૃત્તિ (તરંગ ગુણધર્મ) સાથે જોડે છે,જે તેની દ્વૈત પ્રકૃતિનું વર્ણન કરે છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણના કણ સ્વભાવ મુજબ,પ્રકાશ $photons$ નામના ઉર્જાના નાના પેકેટોનો બનેલો છે.
આ ખ્યાલ,જે $Einstein$ દ્વારા આપવામાં આવ્યો હતો અને $Planck$ ના ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંત પર આધારિત છે,તે પ્રકાશને કણ જેવા ગુણધર્મો ધરાવતું માને છે,જે તેને ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સના સંદર્ભમાં દ્રવ્યનું એક સ્વરૂપ ગણવાની મંજૂરી આપે છે.

(B) ક્વોન્ટમ (ફોટોન) ની ઉર્જા $E$ એ સમીકરણ $E = h \nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu$ એ વિકિરણની આવૃત્તિ છે.
$E \propto \nu$ હોવાથી,ક્વોન્ટમની ઉર્જા તેની આવૃત્તિના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,જો આવૃત્તિ વધારે હોય તો ક્વોન્ટમ પાસે વધુ ઉર્જા હશે.

(C) ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંત $Max \ Planck$ દ્વારા $1900$ માં બ્લેક બોડી રેડિયેશન અને ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરની ઘટનાને સમજાવવા માટે આપવામાં આવ્યો હતો.

(D) ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $\lambda = 2414 \ \mathring{A} = 2414 \times 10^{-10} \ m$,$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$,અને $c = 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$.
$E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{2414 \times 10^{-10}} \ J = 8.232 \times 10^{-19} \ J$.
આ એક પરમાણુને આયનીકૃત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા છે.
એક મોલ પરમાણુઓ માટે,આયનીકરણ ઉર્જા $E_{mole} = E \times N_A$ છે,જ્યાં $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
$E_{mole} = 8.232 \times 10^{-19} \times 6.022 \times 10^{23} \ J \ mol^{-1} \approx 495751 \ J \ mol^{-1} \approx 495.75 \ kJ \ mol^{-1}$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,મૂલ્ય $497.7 \ kJ \ mol^{-1}$ છે.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝ માટે આયનીકરણ ઉર્જા $(I.E.)$ નું સૂત્ર: $I.E. = 13.6 \times Z^{2} \times (\frac{1}{n_1^{2}} - \frac{1}{n_2^{2}}) \ eV$ છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ થી અનંત $(n=\infty)$ સુધીના આયનીકરણ માટે,$I.E. = 13.6 \times Z^{2} \ eV$.
$Li^{2+}$ માટે,$Z=3$,તેથી $I.E. = 13.6 \times 3^{2} = 13.6 \times 9 = 122.4 \ eV$.
કાર્બન $(Z=6)$ ના $5^{th}$ આયનીકરણ પોટેન્શિયલ માટે,આપણે $C^{4+}$ આયનમાંથી $5^{th}$ ઇલેક્ટ્રોન દૂર કરીએ છીએ.
$C^{4+}$ ની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $1s^{2}$ છે.
$5^{th}$ ઇલેક્ટ્રોન $n=1$ કક્ષામાંથી દૂર થાય છે.
$I.E._{5} = 13.6 \times Z^{2} \times \frac{1}{n^{2}} = 13.6 \times 6^{2} \times \frac{1}{1^{2}} = 13.6 \times 36 = 489.6 \ eV$.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા આયન માટે ઉર્જાનો તફાવત નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta E = 13.6 \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}) \text{ eV}$.
$O^{7+}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 8$ છે. સંક્રમણ $n_1 = 1$ થી $n_2 = 2$ છે.
$\Delta E = 13.6 \times 8^2 \times (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}) = 13.6 \times 64 \times 0.75 = 652.8 \text{ eV}$.
ઉર્જાને જૂલમાં ફેરવતા: $E = 652.8 \times 1.602 \times 10^{-19} \text{ J} \approx 1.0458 \times 10^{-16} \text{ J}$.
તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{hc}{E}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.0458 \times 10^{-16}} \approx 1.9 \times 10^{-9} \text{ m} = 1.9 \text{ nm}$.

(D) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝ માટે $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર: $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$ છે.
$B^{+4}$ (બોરોન આયન) માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 5$ છે.
કક્ષાનો ક્રમાંક $n = 5$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$r_5 = 0.529 \times \frac{5^2}{5} \ \mathring{A}$.
$r_5 = 0.529 \times 5 \ \mathring{A}$.
$r_5 = 2.645 \ \mathring{A}$.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન માટે,સ્થિતિ ઉર્જા $(PE)$,ગતિ ઉર્જા $(KE)$ અને કુલ ઉર્જા $(E)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$PE = -2 \times KE$
$E = -KE$
તેથી,$PE = 2E$.
આપેલ છે કે $PE = -10 \ eV$,તેથી:
$-10 \ eV = 2E$
$E = -10 / 2 \ eV = -5 \ eV$.
કુલ ઉર્જા $-5 \ eV$ છે.

(A) ઉત્તેજન પોટેન્શિયલ એ ઇલેક્ટ્રોનને ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ થી ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરે ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$n^{th}$ સ્તરની ઉર્જા $E_n = -13.6 / n^2 \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ ઉત્તેજન પોટેન્શિયલ માટે,સંક્રમણ $n=1$ થી $n=2$ છે:
$\Delta E_1 = E_2 - E_1 = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \ eV$.
દ્વિતીય ઉત્તેજન પોટેન્શિયલ માટે,સંક્રમણ $n=1$ થી $n=3$ છે:
$\Delta E_2 = E_3 - E_1 = -1.51 - (-13.6) = 12.09 \ eV \approx 12.1 \ eV$.
આમ,મૂલ્યો $10.2 \ eV$ અને $12.1 \ eV$ છે.

(B) પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા એટલે $n = 2$.
હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 3$ માટે,ઊર્જા $E_3 = -1.51 \ eV$ છે.
$n = 2$ માટે,ઊર્જા $E_2 = -13.6 \times \frac{Z^2}{2^2} = -13.6 \times \frac{Z^2}{4}$ થાય.
$E_3 = -13.6 \times \frac{Z^2}{9} = -1.51 \ eV$ હોવાથી,$-13.6 \times Z^2 = -1.51 \times 9 = -13.59 \approx -13.6$ મળે.
તેથી,$E_2 = \frac{-13.6}{4} = -3.4 \ eV$ થાય.

(C) પરમાણુની આયનીકરણ ઊર્જા $(IE)$ એ આપેલ અવસ્થામાંથી ઇલેક્ટ્રોનને અનંત $(n = \infty)$ સુધી દૂર કરવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઊર્જા છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n^{th}$ અવસ્થામાંથી જરૂરી આયનીકરણ ઊર્જા $IE_n = E_{\infty} - E_n = 0 - (-\frac{13.6}{n^2}) = \frac{13.6}{n^2} \ eV$ છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ માટે,$IE_1 = 13.6 \ eV$ છે.
કોઈપણ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n > 1)$ માટે,$n^2$ નું મૂલ્ય $1$ કરતા વધારે હોય છે.
તેથી,તમામ $n > 1$ માટે $IE_n = \frac{13.6}{n^2} < 13.6 \ eV$ થાય છે.

(B) $L$ કક્ષા માટે મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 2$ છે.
બોહરની કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઊર્જા $E_n = -\frac{13.6 \ eV}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિ ઊર્જા $(P.E.)$ અને કુલ ઊર્જા વચ્ચેનો સંબંધ $P.E. = 2 \times E_n$ છે.
તેથી,$P.E. = 2 \times (-\frac{13.6 \ eV}{n^2}) = -\frac{27.2 \ eV}{n^2}$.
$n = 2$ માટે:
$P.E. = -\frac{27.2 \ eV}{4} = -6.8 \ eV$.

(A) પરમાણુની આયનીકરણ ઉર્જા $(IE)$ એ પરમાણુમાંથી ઇલેક્ટ્રોનને અનંત સુધી દૂર કરવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઉર્જા છે.
ભૂમિ અવસ્થા $(n=1)$ માટે,આયનીકરણ ઉર્જા $IE_1 = E_{\infty} - E_1 = 0 - (-13.6 \ eV) = 13.6 \ eV$ છે.
$n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,$n \ge 2$ હોય છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=2)$ માટે,$IE_2 = |E_2| = \frac{13.6}{2^2} = 3.4 \ eV$.
બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=3)$ માટે,$IE_3 = |E_3| = \frac{13.6}{3^2} = 1.51 \ eV$.
જેમ $n$ વધે છે,તેમ આયનીકરણ ઉર્જા ઘટે છે. તેથી,કોઈપણ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n \ge 2)$ માટે,જરૂરી ઉર્જા $3.4 \ eV$ અથવા તેનાથી ઓછી હશે.

(D) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તર $(E_2 = 7.0 \ eV)$ થી નીચા ઉર્જા સ્તર $(E_1 = 5.0 \ eV)$ પર સંક્રમણ કરે છે,ત્યારે ઉર્જાનો તફાવત ફોટોન તરીકે મુક્ત થાય છે.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા,$\Delta E = E_2 - E_1 = 7.0 \ eV - 5.0 \ eV = 2.0 \ eV$.

(A) શોષાયેલા ફોટોનની ઊર્જા $\Delta E = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\nu$ એ આવૃત્તિ છે.
મહત્તમ આવૃત્તિ ધરાવતો ફોટોન શોષવા માટે,સંક્રમણમાં સૌથી મોટો ઊર્જા તફાવત $(\Delta E)$ હોવો જોઈએ.
$H$ પરમાણુ માટે,કક્ષાની ઊર્જા $E_n = -13.6 / n^2 \ eV$ છે.
$(A)$ $n = 1$ થી $n = 4$: $\Delta E = 13.6(1 - 1/16) = 12.75 \ eV$.
$(B)$ $n = 2$ થી $n = 1$: આ ઉત્સર્જન સંક્રમણ છે.
$(C)$ $n = 2$ થી $n = 3$: $\Delta E = 13.6(1/4 - 1/9) \approx 1.89 \ eV$.
$(D)$ $n = 3$ થી $n = 2$: આ ઉત્સર્જન સંક્રમણ છે.
આમ,$n = 1$ થી $n = 4$ ના સંક્રમણમાં સૌથી વધુ ઊર્જા શોષાય છે,તેથી મહત્તમ આવૃત્તિનો ફોટોન શોષાશે.

(B) $M$ સ્તર $(n=3)$ માં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_M = -96 \ a.u.$ તરીકે આપવામાં આવી છે.
$n = \infty$ પર ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_{\infty} = 0 \ a.u.$ તરીકે આપવામાં આવી છે.
ઇલેક્ટ્રોનને $M$ સ્તરથી $n = \infty$ સુધી લઈ જવા માટે જરૂરી ઉત્તેજના ઉર્જા નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\Delta E = E_{\infty} - E_M$
$\Delta E = 0 - (-96) = 96 \ a.u.$

(A) કક્ષાનો પરિઘ $C = 2 \pi r$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$n$ મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = n^2 \alpha _0$ છે,જ્યાં $\alpha _0$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે.
પ્રથમ કક્ષા $(n = 1)$ માટે,ત્રિજ્યા $r = 1^2 \times \alpha _0 = \alpha _0$ થાય.
આ કિંમત પરિઘના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $C = 2 \pi \alpha _0$ મળે છે.
કારણ કે $\sqrt{4} = 2$ થાય છે,તેથી આ પદને $C = \sqrt{4} \pi \alpha _0$ તરીકે પણ લખી શકાય છે.

(A) પરમાણુની ઊર્જા કક્ષાઓ ક્વોન્ટાઈઝ્ડ હોય છે,જેમાં $K$ કોષ $(n=1)$ સૌથી ઓછી ઊર્જા ધરાવે છે,ત્યારબાદ $L$ કોષ $(n=2)$,$M$ કોષ $(n=3)$ વગેરે આવે છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન નીચી ઊર્જા ધરાવતી કક્ષા ($L$,$n=2$) માંથી ઊંચી ઊર્જા ધરાવતી કક્ષા ($M$,$n=3$) માં જાય છે,ત્યારે તેણે બે અવસ્થાઓ વચ્ચેના ઊર્જાના તફાવતને પૂર્ણ કરવા માટે ઊર્જા મેળવવી પડે છે.
તેથી,આ પ્રક્રિયામાં ઊર્જાનું શોષણ થાય છે.

(B) ન્યુક્લિયસની સૌથી નજીકની ઉર્જા અવસ્થા એ ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ છે,જે $n = 1$ ને અનુરૂપ છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન નીચલા ઉર્જા સ્તર $(n = 1)$ માંથી ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તર $(n = 3)$ માં જાય છે,ત્યારે તેણે ઉર્જા મેળવવી પડે છે.
પ્લાન્કના ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંત મુજબ,ઉર્જાનું શોષણ ક્વોન્ટા નામના નાના પેકેટોના સ્વરૂપમાં થાય છે.
આ સંક્રમણમાં ઉર્જા સ્તરો વચ્ચેનો તફાવત હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોન બે સ્તરો વચ્ચેના તફાવતને અનુરૂપ એક ક્વોન્ટમ ઉર્જાનું શોષણ કરે છે,$\Delta E = E_3 - E_1$.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન માટે,ઉર્જા નીચે મુજબ છે:
$K.E. = \frac{Ze^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} r}$
$P.E. = \frac{-Ze^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} r}$
$T.E. = K.E. + P.E. = \frac{-Ze^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} r}$
ગુણોત્તર $1$: $[K.E. : P.E.] = \frac{Ze^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} r} : \frac{-Ze^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} r} = 1 : -2$
ગુણોત્તર $2$: $[T.E. : K.E.] = \frac{-Ze^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} r} : \frac{Ze^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} r} = -1 : 1$

(A) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝની આયનીકરણ ઉર્જા $(I.E.)$ સૂત્ર $I.E. = 13.6 \times Z^2 \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
$He^{+}$ $(Z=2)$ માટે: $I.E. = 13.6 \times (2)^2 = 13.6 \times 4 = 54.4 \ eV$. આ આપેલ મૂલ્ય સાથે મેળ ખાય છે.
$H$ $(Z=1)$ માટે: $I.E. = 13.6 \times (1)^2 = 13.6 \ eV$.
$Li^{2+}$ $(Z=3)$ માટે: $I.E. = 13.6 \times (3)^2 = 13.6 \times 9 = 122.4 \ eV$.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -13.6 / n^2 \ eV$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L$ કક્ષા માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 2$ છે.
તેથી,$L$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_2 = -13.6 / (2)^2 = -13.6 / 4 = -3.4 \ eV$ છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $10.2 \ eV$ ઉર્જા મુક્ત કરે છે,ત્યારે તે નીચી ઉર્જા અવસ્થામાં સંક્રમણ કરે છે.
સિસ્ટમની નવી ઉર્જા $E_{final} = E_{initial} - {\text{મુક્ત થયેલી ઉર્જા}} = -3.4 \ eV - 10.2 \ eV = -13.6 \ eV$ છે.
આ હાઇડ્રોજન પરમાણુની ધરા અવસ્થા $(n = 1)$ ને અનુરૂપ છે.