Atomic models and Planck's quantum theory Questions in Gujarati

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$
અહીં,$n_1 = 1$ અને $n_2 = \infty$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \ m^{-1} \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right]$
$\frac{1}{\infty} = 0$ હોવાથી: $\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$
$\lambda = \frac{1}{1.097 \times 10^7} \ m \approx 9.115 \times 10^{-8} \ m$
નેનોમીટર $(nm)$ માં ફેરવતા: $\lambda = 9.115 \times 10^{-8} \times 10^9 \ nm = 91.15 \ nm \approx 91 \ nm$.

(D) બોહરના મોડેલ મુજબ,$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n \propto n^2$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1^{st}$ કક્ષા $(n=1)$ માટે,ત્રિજ્યા $\gamma$ આપેલ છે.
$3^{rd}$ કક્ષા $(n=3)$ માટે,ત્રિજ્યા $r_3$ એ $3^2 = 9$ ના પ્રમાણમાં હશે.
તેથી,$r_3 = 9 \times r_1 = 9\gamma$.

(B) બોહરના મોડેલ મુજબ,$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$r_n = \frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 m k Z e^2}$
આ સમીકરણમાં,$h$,$\pi$,$m$,$k$,$Z$,અને $e$ આપેલ પરમાણુ માટે અચળાંકો છે.
તેથી,ત્રિજ્યા એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંકના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$r_n \propto n^2$.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર $E_n = \frac{-13.6 \ eV}{n^2}$ છે.
$n = 2$ ઉર્જા સ્તર માટે:
$E_2 = \frac{-13.6}{(2)^2} \ eV$
$E_2 = \frac{-13.6}{4} \ eV$
$E_2 = -3.4 \ eV$.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E_n = \frac{-13.6}{n^2} \ eV$.
આપેલ છે કે ભૂમિ અવસ્થાની ઉર્જા $(n=1)$ $-13.6 \ eV$ છે.
ક્વોન્ટમ નંબર $n = 5$ ને અનુરૂપ ઉર્જા સ્તર માટે:
$E_5 = \frac{-13.6}{5^2} \ eV$
$E_5 = \frac{-13.6}{25} \ eV$
$E_5 = -0.544 \ eV \approx -0.54 \ eV$.

(A) તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ એ ઉર્જા તફાવત $(\Delta E)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,જે $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ માટે,ઉર્જા તફાવત મહત્તમ હોવો જોઈએ.
આપેલા સંક્રમણોમાં,$n_4 \to n_1$ સંક્રમણ માટે ઉર્જાનો તફાવત સૌથી વધુ છે,તેથી તેની તરંગલંબાઇ લઘુત્તમ હશે.

(C) સાચી જોડી $(C)$ છે.
ઉત્સર્જન વર્ણપટ ચોક્કસ તરંગલંબાઇ પર અલગ-અલગ રેખાઓ ધરાવે છે,જે પરમાણુમાં ઉર્જા સ્તરોના ક્વોન્ટાઈઝેશન માટે સીધો પુરાવો પૂરો પાડે છે.
$X$-ray વર્ણપટ પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ સાથે સંબંધિત છે,$\alpha$-કણનું પ્રકીર્ણન નાના,ઘટ્ટ અને ધન વીજભારિત ન્યુક્લિયસનું અસ્તિત્વ દર્શાવે છે,અને ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર પ્રકાશની કણ પ્રકૃતિ (ફોટોન) દર્શાવે છે.

(D) કેન્દ્ર અને ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેના સ્થિર વિદ્યુતીય આકર્ષણને પરિણામે,જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનને અનંત અંતરેથી કક્ષામાં લાવવામાં આવે છે ત્યારે ઉર્જા મુક્ત થાય છે. તેથી,કેન્દ્રથી અનંત અંતરે ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $0$ ગણવામાં આવે છે. જેમ જેમ ઇલેક્ટ્રોન કેન્દ્રની નજીક આવે છે,તેમ તે ઉર્જા ગુમાવે છે,જેના કારણે કોઈપણ બંધિત અવસ્થામાં તેની ઉર્જા ઋણ બને છે. આમ,ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ઉર્જા કેન્દ્રથી અનંત અંતરે હોય છે.

(B) આપેલા વિધાનો સમાન ઉર્જા ધરાવતી કક્ષકો ભરવા માટેની શરતોનું વર્ણન કરે છે.
વિધાન $i$ જોડી બનાવતા પહેલા એકલ ભરાવાની પસંદગીનો ઉલ્લેખ કરે છે.
વિધાન $ii$ સમાન ઉર્જા ધરાવતી કક્ષકોમાં સમાંતર સ્પિન હોવાથી મળતી સ્થિરતાનો ઉલ્લેખ કરે છે.
આ $Hund$ ના મહત્તમ ગુણકતાના નિયમના મૂળભૂત સિદ્ધાંતો છે.

(D) ફોટોનની ઊર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $E \propto \frac{1}{\lambda}$.
તેથી,ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ થાય.
અહીં $\lambda_1 = 2000 \ \mathring{A}$ અને $\lambda_2 = 4000 \ \mathring{A}$ આપેલ છે.
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{4000}{2000} = 2$.

(B) બોહરના મોડેલ મુજબ,$n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{2.179 \times 10^{-11}}{n^2} \ erg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n_1 = 1$ થી $n_2 = 3$ ના સંક્રમણ માટે ઉર્જાનો ફેરફાર $\Delta E = E_3 - E_1$ છે.
$\Delta E = -\frac{2.179 \times 10^{-11}}{3^2} - (-\frac{2.179 \times 10^{-11}}{1^2})$.
$\Delta E = 2.179 \times 10^{-11} \times (1 - \frac{1}{9}) = 2.179 \times 10^{-11} \times \frac{8}{9}$.
$\Delta E = 1.9368 \times 10^{-11} \ erg = 0.19368 \times 10^{-10} \ erg$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સૌથી નજીકની કિંમત $0.1911 \times 10^{-10} \ erg$ (વિકલ્પ $B$) છે.
ઇલેક્ટ્રોન નીચી ઉર્જા સ્તરથી ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરમાં જાય છે,તેથી ઉર્જા શોષાય છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ છે.
ભૂમિ અવસ્થા માટે,$n = 1$,તેથી $E_1 = -13.6 \ eV$.
ઉત્તેજિત અવસ્થાઓ $n > 1$ (એટલે કે $n = 2, 3, 4, \dots$) ને અનુરૂપ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,$n = 2$:
$E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \ eV$.
આમ,$-3.4 \ eV$ એ ઉત્તેજિત અવસ્થા માટેનું એક સંભવિત ઉર્જા મૂલ્ય છે.

(C) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n \propto Z^2$ છે.
પ્રથમ કક્ષા $(n=1)$ માટે,$E_1 \propto Z^2$.
$He^{+}$ $(Z=2)$ માટે આપેલ છે: $E_{1, He^{+}} = -871.6 \times 10^{-20} \ J$.
હાઇડ્રોજન $(Z=1)$ માટે: $E_{1, H} = E_{1, He^{+}} \times \frac{Z_H^2}{Z_{He^{+}}^2}$.
$E_{1, H} = -871.6 \times 10^{-20} \times \frac{1^2}{2^2} = -871.6 \times 10^{-20} \times \frac{1}{4} = -217.9 \times 10^{-20} \ J$.

(D) $n^{th}$ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = r_0 \times n^2$ છે,જ્યાં $r_0 = 0.530 \ \mathring{A}$ એ ધરા અવસ્થા $(n = 1)$ ની ત્રિજ્યા છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,$n = 2$.
કિંમતો મૂકતા: $r_2 = 0.530 \ \mathring{A} \times (2)^2$.
$r_2 = 0.530 \ \mathring{A} \times 4 = 2.12 \ \mathring{A}$.

(C) કોઈપણ શ્રેણીની છેલ્લી રેખાને શ્રેણી મર્યાદા કહેવામાં આવે છે.
બામર શ્રેણી માટે શ્રેણી મર્યાદા $n_2 = \infty$ થી $n_1 = 2$ ના સંક્રમણ દ્વારા મળે છે.
રીડબર્ગ સૂત્ર મુજબ: $\frac{1}{\lambda} = R_H \times (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2}) = \frac{R_H}{4}$.
તેથી,$\lambda = \frac{4}{R_H} = 3646 \ \mathring{A}$.

(B) $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = \frac{-13.6}{n^2} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ માટે,$E_1 = -13.6 \ eV$.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=2)$ માટે,$E_2 = \frac{-13.6}{2^2} = -3.4 \ eV$.
ઉત્તેજના માટે જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \ eV$ છે.
આ ઉર્જાને જ્યુલમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે $1.602 \times 10^{-19} \ J/eV$ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$\Delta E = 10.2 \times 1.602 \times 10^{-19} \ J \approx 1.634 \times 10^{-18} \ J$.

(D) $H^-$ આયનમાં $1s$ કક્ષકમાં બે ઇલેક્ટ્રોન હોય છે.
ઇલેક્ટ્રોન-ઇલેક્ટ્રોન અપાકર્ષણને કારણે,$H^-$ માં ઇલેક્ટ્રોન તટસ્થ $H$ પરમાણુ કરતા ઓછા મજબૂત રીતે જોડાયેલા હોય છે.
$H^-$ ની પ્રથમ આયનીકરણ ઉર્જા $H$ પરમાણુની આયનીકરણ ઉર્જા $(13.6 \ eV)$ કરતા ઘણી ઓછી હોય છે.
પ્રશ્નમાં 'ઉત્તેજિત' $H^-$ આયનનો ઉલ્લેખ હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરમાં હોય છે.
તેથી,જરૂરી ઉર્જા $\le 3.4 \ eV$ હશે.

(B) બામર શ્રેણી એ ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણોને અનુરૂપ છે જ્યાં અંતિમ કક્ષા ${n_1} = 2$ છે.
શ્રેણીમાં રેખાઓ પ્રારંભિક કક્ષા ${n_2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
- પ્રથમ રેખા: ${n_2} = 3 \to {n_1} = 2$
- બીજી રેખા: ${n_2} = 4 \to {n_1} = 2$
- ત્રીજી રેખા: ${n_2} = 5 \to {n_1} = 2$
તેથી,ત્રીજી રેખા $n = 5$ થી $n = 2$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.

(C) પાશ્ચેન શ્રેણી માટે,નીચલી ઉર્જા સ્તર $n_1 = 3$ છે.
આવૃત્તિ $\nu$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\nu = R_H \times c \times \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,પાશ્ચેન શ્રેણી માટે પ્રથમ રેખા $n_2 = 4$ માટે મળે છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન સંક્રમણ માટે જરૂરી ઉર્જા રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta E = 13.6 \times Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$Z = 1$.
$(A)$ $n = 1 \to n = 2$: $\Delta E = 13.6 \times (1 - 1/4) = 10.2 \text{ eV}$.
$(B)$ $n = 2 \to n = 3$: $\Delta E = 13.6 \times (1/4 - 1/9) \approx 1.89 \text{ eV}$.
$(C)$ $n = 1 \to n = \infty$: $\Delta E = 13.6 \times (1/1 - 1/\infty) = 13.6 \text{ eV}$.
$(D)$ $n = 3 \to n = 5$: $\Delta E = 13.6 \times (1/9 - 1/25) \approx 0.97 \text{ eV}$.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$n = 1$ થી $n = \infty$ ના સંક્રમણ માટે સૌથી વધુ ઉર્જાની જરૂર પડે છે.

(B) બામર શ્રેણી $n = 2$ ઉર્જા સ્તરે સમાપ્ત થતા ઇલેક્ટ્રોનિક સંક્રમણોને અનુરૂપ છે.
શ્રેણીમાં રેખાઓ લાલ છેડાથી શરૂ કરીને વધતી ઉર્જા અને ઘટતી તરંગલંબાઇના ક્રમમાં હોય છે.
પ્રથમ રેખા (લાલ છેડો) $n = 3 \to n = 2$ સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
બીજી રેખા $n = 4 \to n = 2$ સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
ત્રીજી રેખા $n = 5 \to n = 2$ સંક્રમણને અનુરૂપ છે.

(D) તરંગલંબાઇ $(\lambda)$,પ્રકાશનો વેગ $(c)$ અને આવૃત્તિ $(\nu)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{c}{\nu}$ છે.
આપેલ મૂલ્યો મૂકતા: $\lambda = \frac{3.0 \times 10^8 \ m \ s^{-1}}{8 \times 10^{15} \ s^{-1}} = 0.375 \times 10^{-7} \ m = 3.75 \times 10^{-8} \ m$.
તરંગલંબાઇને નેનોમીટર $(nm)$ માં ફેરવવા માટે,આપણે $10^9 \ nm/m$ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ: $\lambda = 3.75 \times 10^{-8} \ m \times 10^9 \ nm/m = 37.5 \ nm$.
$37.5 \ nm$ ની સૌથી નજીકનું મૂલ્ય $4 \times 10^1 \ nm$ છે.

(A) પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિ ઊર્જા $(PE)$ નું સૂત્ર $PE = -\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 r}$ છે.
જેમ ન્યુક્લિયસથી અંતર $(r)$ વધે છે,તેમ ઋણ પદનું મૂલ્ય નાનું થતું જાય છે,જેનો અર્થ છે કે સ્થિતિ ઊર્જા વધે છે (ઓછી ઋણ બને છે).
તેથી,જેમ ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસથી દૂર જાય છે,તેમ તેની સ્થિતિ ઊર્જા વધે છે.

(A) કંપન ઊર્જા એ સ્થિતિ ઊર્જા (પરમાણુઓના તેમના સંતુલન સ્થાનથી સ્થાનાંતરને કારણે) અને ગતિ ઊર્જા (પરમાણુઓની ગતિને કારણે) નો સરવાળો છે. તેથી,તે આંશિક રીતે સ્થિતિ ઊર્જા અને આંશિક રીતે ગતિ ઊર્જા છે.

(A) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = a_0 \times \frac{n^2}{Z}$ છે,જ્યાં $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે,$n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
$H$ પરમાણુ માટે: $n = 1, Z = 1$,તેથી $r_H = a_0 \times \frac{1^2}{1} = a_0$.
$He^{+}$ આયન માટે: $n = 1, Z = 2$,તેથી $r_{He^{+}} = a_0 \times \frac{1^2}{2} = 0.5 \times a_0$.
ગુણોત્તર $\frac{r_{He^{+}}}{r_H} = \frac{0.5 \times a_0}{a_0} = 0.5$.

(B) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝ માટે કક્ષાની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \, eV$ છે.
$He^{+}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે.
પ્રથમ કક્ષા $(n = 1)$ માટે: $E_1 = -13.6 \times \frac{2^2}{1^2} = -13.6 \times 4 = -54.4 \, eV$.
બીજી કક્ષા $(n = 2)$ માટે: $E_2 = -13.6 \times \frac{2^2}{2^2} = -13.6 \times \frac{4}{4} = -13.6 \, eV$.

(A) $Li$ ની ઇલેક્ટ્રોન રચના $1s^2 \, 2s^1$ છે,તેથી $Li^{2+}$ ની ઇલેક્ટ્રોન રચના $1s^1$ થાય છે.
બોહરનો મોડેલ અને તેના પરિણામી વર્ણપટ હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝ માટે લાગુ પડે છે,જેમાં માત્ર એક જ ઇલેક્ટ્રોન હોય છે.
$Li^{2+}$ માં માત્ર એક જ ઇલેક્ટ્રોન હોવાથી,તેનો વર્ણપટ હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(H)$ જેવો હોય છે,જેની ઇલેક્ટ્રોન રચના પણ $1s^1$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ માટે,$E_1 = -\frac{13.6}{1^2} = -13.6 \ eV$.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=2)$ માટે,$E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \ eV$.
આ સંક્રમણ માટે જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \ eV$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝ માટે આયનીકરણ ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = 13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$Z = 1$ અને $n = 1$,તેથી $E = 13.6 \ eV$.
$He^+$ આયન માટે,$Z = 2$ અને $n = 1$.
તેથી,$E = 13.6 \times \frac{2^2}{1^2} = 13.6 \times 4 = 54.4 \ eV$.

(A) પરમાણુનું ન્યુક્લિયર મોડેલ $1911$ માં $Ernest \ Rutherford$ દ્વારા તેમના પ્રખ્યાત $\alpha$-કણ પ્રકીર્ણન પ્રયોગના આધારે રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. તેમણે તારણ કાઢ્યું હતું કે પરમાણુનો ધન વીજભાર અને મોટાભાગનું દળ ખૂબ જ નાના વિસ્તારમાં કેન્દ્રિત હોય છે જેને ન્યુક્લિયસ કહેવામાં આવે છે.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ છે.
$He^{+}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ અને ધરા અવસ્થા માટે $n = 1$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $E_1 = -13.6 \times \frac{2^2}{1^2} = -13.6 \times 4 = -54.4 \ eV$.
ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા (આયનીકરણ ઉર્જા) એ ધરા અવસ્થાની ઉર્જાનું વિરોધી મૂલ્ય છે: $IE = -E_1 = -(-54.4) = +54.4 \ eV$.

(C) હાઈડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝમાં સંક્રમણની ઊર્જા $\Delta E = 13.6 \ Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$H$ $(Z=1)$ માં પ્રથમ લાયમન સંક્રમણ માટે: $\Delta E = 13.6 \times 1^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 13.6 \times \frac{3}{4} = 10.2 \ eV$.
દ્વિતીય બામર સંક્રમણ માટે,$n_1 = 2$ અને $n_2 = 4$ (કારણ કે પ્રથમ $2 \to 3$ છે અને દ્વિતીય $2 \to 4$ છે).
ઊર્જાને સમાન લેતા: $10.2 = 13.6 \times Z^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right)$.
$10.2 = 13.6 \times Z^2 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = 13.6 \times Z^2 \left( \frac{3}{16} \right)$.
$10.2 = 2.55 \times Z^2$.
$Z^2 = \frac{10.2}{2.55} = 4$,તેથી $Z = 2$.
પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ ધરાવતી સ્પીસીઝ $He^+$ છે,જે હાઈડ્રોજન જેવો આયન છે.

(D) જ્યારે ઈલેક્ટ્રોન ઉત્તેજિત અવસ્થા $n_2$ માંથી નીચલી અવસ્થા $n_1$ માં સંક્રમણ કરે ત્યારે મળતી વર્ણપટ રેખાઓની કુલ સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર:
$N = \frac{(n_2 - n_1)(n_2 - n_1 + 1)}{2}$
અહીં $n_2 = 7$ અને $n_1 = 1$ આપેલ છે:
$N = \frac{(7 - 1)(7 - 1 + 1)}{2}$
$N = \frac{6 \times 7}{2} = \frac{42}{2} = 21$
આમ,વર્ણપટ રેખાઓની કુલ સંખ્યા $21$ છે.

(B) બામર શ્રેણી માટે,સંક્રમણ $n_2 = \infty$ થી $n_1 = 2$ સુધી થાય છે.
આવૃત્તિ $\nu$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\nu = R_\infty \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
હાઇડ્રોજન માટે,$Z = 1$,$n_1 = 2$,અને $n_2 = \infty$.
$\nu = 3.29 \times 10^{15} \times (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2}) \, s^{-1}$.
$\nu = 3.29 \times 10^{15} \times \frac{1}{4} \, s^{-1}$.
$\nu = 0.8225 \times 10^{15} \, s^{-1} = 8.225 \times 10^{14} \, s^{-1}$.

(B) હાઈડ્રોજન પરમાણુની તેની ધરા અવસ્થામાં આયનીકરણ ઊર્જા $13.6 \, eV$ છે.
જ્યારે $14 \, eV$ ઊર્જા ધરાવતો ફોટોન હાઈડ્રોજન પરમાણુ સાથે આંતરક્રિયા કરે છે,ત્યારે તે આયનીકરણ ઊર્જા કરતાં વધુ ઊર્જા આપે છે.
વધારાની ઊર્જા ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની ગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ગતિ ઊર્જા $(K.E.)$ = $E_{photon} - E_{ionization} = 14 \, eV - 13.6 \, eV = 0.4 \, eV$.
તેથી,પરમાણુનું આયનીકરણ થાય છે અને ઈલેક્ટ્રોન $0.4 \, eV$ ગતિ ઊર્જા ધરાવે છે.

(B) ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -2.18 \times 10^{-18} \,J \times \frac{1}{n^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n = 1$ માટે,$E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \,J$.
$n = 4$ માટે,$E_4 = \frac{-2.18 \times 10^{-18}}{4^2} = -0.13625 \times 10^{-18} \,J$.
ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E = E_4 - E_1 = (-0.13625 \times 10^{-18}) - (-2.18 \times 10^{-18}) = 2.04375 \times 10^{-18} \,J$.
$\Delta E = h \nu$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આવૃત્તિ $\nu = \frac{\Delta E}{h} = \frac{2.04375 \times 10^{-18} \,J}{6.625 \times 10^{-34} \,J \cdot s} \approx 3.08 \times 10^{15} \,s^{-1}$.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝ માટે કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = 0.529 \times \frac{n^2}{Z} \ \mathring{A}$ છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ માટે,$n = 1$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$Z = 1$,તેથી $r_H = 0.529 \times \frac{1^2}{1} = 0.529 \ \mathring{A} \approx 0.53 \ \mathring{A}$.
$Li^{2+}$ આયન માટે,$Z = 3$,તેથી $r_{Li^{2+}} = 0.529 \times \frac{1^2}{3} = \frac{0.529}{3} \ \mathring{A} \approx 0.176 \ \mathring{A}$.

(B) હાઈડ્રોજન ઉત્સર્જન વર્ણપટમાં રીડબર્ગ સૂત્રમાં $n_1$ ના મૂલ્યના આધારે વિવિધ શ્રેણીઓ હોય છે.
પાશ્ચન શ્રેણી માટે,ઈલેક્ટ્રોન ત્રીજા ઊર્જા સ્તરમાં સંક્રમણ કરે છે,જેનો અર્થ છે કે $n_1 = 3$.
$n_2$ માટેના અનુરૂપ મૂલ્યો $n_2 = 4, 5, 6, \dots$ છે.
તેથી,પાશ્ચન શ્રેણી માટે સાચી શરત $n_1 = 3$ અને $n_2 = 4, 5, 6, \dots$ છે.

(A) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉત્તેજિત અવસ્થા $n_2$ થી નીચલી અવસ્થા $n_1$ માં સંક્રમણ કરે ત્યારે મળતી વર્ણપટ્ટ રેખાઓની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર: $\text{રેખાઓની સંખ્યા} = \frac{(n_2 - n_1)(n_2 - n_1 + 1)}{2}$ છે.
અહીં $n_2 = 6$ અને $n_1 = 2$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\text{રેખાઓની સંખ્યા} = \frac{(6 - 2)(6 - 2 + 1)}{2} = \frac{4 \times 5}{2} = \frac{20}{2} = 10$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) ઉત્સર્જિત ફોટોનની આવૃત્તિ $\nu = \frac{\Delta E}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. મહત્તમ આવૃત્તિ મેળવવા માટે,આપણે ઉર્જા સ્તરો વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત $\Delta E$ મહત્તમ કરવો જોઈએ.
લાયમન શ્રેણીમાં $n_1 = 1$ પર સંક્રમણ થાય છે. લાયમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખા $n_2 = 2 \to n_1 = 1$ છે.
આ માટે ઉર્જા તફાવત $\Delta E = 13.6 \times (1 - \frac{1}{4}) = 10.2 \ \text{eV}$ છે.
અન્ય શ્રેણીઓની સરખામણીમાં આ ઉર્જા તફાવત સૌથી વધુ છે,તેથી લાયમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખા મહત્તમ આવૃત્તિ ધરાવે છે.

(C) બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$ અને અંતિમ રેખા માટે,$n_2 = \infty$.
આવૃત્તિ માટેનું રીડબર્ગ સૂત્ર $\nu = R_\infty \times Z^2 \times (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$ છે.
$Z = 1$,$n_1 = 2$,અને $n_2 = \infty$ મૂકતા:
$\nu = 3.29 \times 10^{15} \times (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2}) \text{ s}^{-1}$.
$\nu = 3.29 \times 10^{15} \times \frac{1}{4} \text{ s}^{-1} = 8.225 \times 10^{14} \text{ s}^{-1}$.

(D) હાઈડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝની $n^{th}$ કક્ષકમાં ઈલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Z = 5$ માટે,$4^{th}$ અને $3^{rd}$ કક્ષક વચ્ચેનો ઊર્જા તફાવત $\Delta E = E_4 - E_3$ છે.
$\Delta E = -13.6 \times Z^2 \left( \frac{1}{4^2} - \frac{1}{3^2} \right) = -13.6 \times 25 \left( \frac{1}{16} - \frac{1}{9} \right)$.
$\Delta E = -13.6 \times 25 \left( \frac{9 - 16}{144} \right) = -13.6 \times 25 \left( \frac{-7}{144} \right)$.
$\Delta E = 13.6 \times 25 \times \frac{7}{144} \approx 16.53 \ eV$.

(C) હાઈડ્રોજન પરમાણુ માટે,$n^{th}$ બ્હોર કક્ષકની ત્રિજ્યા $r_n = n^2 a_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a_0$ એ બ્હોર ત્રિજ્યા છે.
બીજી કક્ષક $(n = 2)$ માટે,$r_2 = 2^2 a_0 = 4 a_0$.
$n^{th}$ કક્ષકમાં ઈલેક્ટ્રોનનો વેગ $v_n = \frac{nh}{2\pi m r_n}$ છે.
$r_n = n^2 a_0$ મૂકતા,આપણને $v_n = \frac{nh}{2\pi m (n^2 a_0)} = \frac{h}{2\pi m n a_0}$ મળે છે.
$n = 2$ માટે,$v_2 = \frac{h}{2\pi m (2) a_0} = \frac{h}{4\pi m a_0}$.
ગતિ ઊર્જા $(KE)$ $KE = \frac{1}{2} m v_2^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$KE = \frac{1}{2} m \left( \frac{h}{4\pi m a_0} \right)^2 = \frac{1}{2} m \left( \frac{h^2}{16\pi^2 m^2 a_0^2} \right) = \frac{h^2}{32\pi^2 m a_0^2}$.

(A) હાઈડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝની $n$ મી કક્ષામાં ઈલેક્ટ્રોનની ઊર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ છે.
હાઈડ્રોજન પરમાણુ $(H)$ માટે,$Z = 1$,તેથી $E_n(H) = -13.6 \times \frac{1^2}{n^2} = E_n$.
એક આયનિત હીલિયમ પરમાણુ $(He^+)$ માટે,$Z = 2$,તેથી $E_n(He^+) = -13.6 \times \frac{2^2}{n^2} = -13.6 \times \frac{4}{n^2}$.
$He^+$ માટેના સમીકરણમાં $E_n$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $E_n(He^+) = 4 \times (-13.6 \times \frac{1^2}{n^2}) = 4E_n$ મળે છે.

(D) હાઈડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \, eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ભૂમિ અવસ્થા $(n=1)$ માટે,$E_1 = -13.6 \, eV$ છે.
ઉત્તેજિત અવસ્થાઓ માટે,$n \geq 2$ હોય છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=2)$ માટે,$E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -3.4 \, eV$ થાય.
આયનીકરણ ઊર્જા એટલે ઇલેક્ટ્રોનને તેની વર્તમાન અવસ્થામાંથી $n = \infty$ (જ્યાં $E = 0$) સુધી લઈ જવા માટે જરૂરી ઊર્જા.
$n=2$ માટે,આયનીકરણ ઊર્જા $0 - (-3.4) = 3.4 \, eV$ છે.
ઉચ્ચ ઉત્તેજિત અવસ્થાઓ $(n > 2)$ માટે,ઊર્જા $E_n$ શૂન્યની નજીક જાય છે,તેથી આયનીકરણ ઊર્જા $(0 - E_n)$ $3.4 \, eV$ કરતાં ઓછી હશે.
તેથી,ઉત્તેજિત હાઈડ્રોજન પરમાણુ માટે આયનીકરણ ઊર્જા $3.4 \, eV$ અથવા તેનાથી ઓછી હશે.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા સ્પીસીઝ માટે ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ છે.
$He^{+}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 2$ ને અનુરૂપ છે,અને દ્વિતીય ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 3$ ને અનુરૂપ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઉર્જા $(E_1)$ = $-13.6 \times \frac{2^2}{2^2} = -13.6 \text{ eV}$.
દ્વિતીય ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઉર્જા $(E_2)$ = $-13.6 \times \frac{2^2}{3^2} = -13.6 \times \frac{4}{9} \text{ eV}$.
પ્રથમ અને દ્વિતીય ઉત્તેજિત અવસ્થાની ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{-13.6 \times (4/4)}{-13.6 \times (4/9)} = \frac{1}{4/9} = \frac{9}{4}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $9 : 4$ છે.

(C) હાઈડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = -13.6 / n^2 \, eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધરા-અવસ્થા $(n_1 = 1)$ માટે,ઊર્જા $E_1 = -13.6 \, eV$ છે.
જ્યારે પરમાણુ $12.75 \, eV$ ઊર્જા ધરાવતા ફોટોનનું શોષણ કરે છે,ત્યારે નવી ઊર્જા $E_n$ નીચે મુજબ થાય છે:
$E_n = E_1 + 12.75 \, eV = -13.6 + 12.75 = -0.85 \, eV$.
$E_n = -13.6 / n^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$-0.85 = -13.6 / n^2$
$n^2 = 13.6 / 0.85 = 16$
$n = 4$.
તેથી,ઉત્તેજિત અવસ્થાનો મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $4$ છે.

(D) તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા ઊર્જા સંક્રમણ સાથે સંબંધિત છે: $\frac{1}{\lambda} = RZ^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
મહત્તમ તરંગલંબાઈ માટે,ઊર્જાનો તફાવત ન્યૂનતમ હોવો જોઈએ,જે શ્રેણીની પ્રથમ રેખાને અનુરૂપ છે.
લાયમન શ્રેણી માટે $(n_1 = 1, n_2 = 2)$: $\frac{1}{\lambda_L} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$.
બામર શ્રેણી માટે $(n_1 = 2, n_2 = 3)$: $\frac{1}{\lambda_B} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = \frac{5R}{36}$.
તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_L}{\lambda_B} = \frac{1/\lambda_B}{1/\lambda_L} = \frac{5R/36}{3R/4} = \frac{5}{36} \times \frac{4}{3} = \frac{5}{27}$.

(A) હાઈડ્રોજન પરમાણુ માટે બ્હોરના મોડેલ મુજબ,$n^{th}$ સ્થાયી કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = a_0 \times n^2$ છે,જ્યાં $a_0$ એ બ્હોર ત્રિજ્યા છે અને $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે.
તેથી,સ્થાયી કક્ષાની ત્રિજ્યા મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંકના વર્ગ,એટલે કે $n^2$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(B) હાઈડ્રોજન વર્ણપટ્ટમાં પારરક્ત વિસ્તારમાં પાસ્કન,બ્રેકેટ અને પીફુન્ડ શ્રેણીનો સમાવેશ થાય છે.
$n_2 = 6$ થી $n_1 = 3$ સુધીના સંક્રમણ માટે:
$1$. પાસ્કન શ્રેણી $(n_1 = 3)$: $n_2 = 6, 5, 4$ થી $n_1 = 3$ સુધીના સંક્રમણ. રેખાઓની સંખ્યા = $6 - 3 = 3$.
$2$. બ્રેકેટ શ્રેણી $(n_1 = 4)$: $n_2 = 6, 5$ થી $n_1 = 4$ સુધીના સંક્રમણ. રેખાઓની સંખ્યા = $6 - 4 = 2$.
$3$. પીફુન્ડ શ્રેણી $(n_1 = 5)$: $n_2 = 6$ થી $n_1 = 5$ સુધીનું સંક્રમણ. રેખાઓની સંખ્યા = $6 - 5 = 1$.
પારરક્ત વિસ્તારમાં રેખાઓની કુલ સંખ્યા = $3 + 2 + 1 = 6$.