Ideal gas equation and Related gas laws Questions in Gujarati

(A) આદર્શ વાયુના નિશ્ચિત દળ $(m)$ માટે,આદર્શ વાયુ સમીકરણ $pV = nRT$ છે,જ્યાં $n$ અચળ છે.
$(A)$ $p$ વિરુદ્ધ $1/V$ માટે (બોઈલનો નિયમ): $p = (nRT) \times (1/V)$. ઢાળ $nRT$ છે. $T_1 > T_2 > T_3$ હોવાથી,ઢાળ $T_1 > T_2 > T_3$ થાય. આ આલેખ સાચો છે.
$(B)$ $p$ વિરુદ્ધ $T$ માટે (ગે-લ્યુસેકનો નિયમ): $p = (nR/V) \times T$. ઢાળ $nR/V$ છે. $V_1 > V_2 > V_3$ હોવાથી,ઢાળ $1/V_1 < 1/V_2 < 1/V_3$ થાય. આમ,ઢાળનો ક્રમ $V_3 > V_2 > V_1$ હોવો જોઈએ. આપેલ આલેખ $V_1 > V_2 > V_3$ દર્શાવે છે,જે ખોટું છે.
$(C)$ $V$ વિરુદ્ધ $p$ માટે (બોઈલનો નિયમ): $V = (nRT) \times (1/p)$. આ લંબચોરસ હાયપરબોલા છે,ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા નથી. આપેલ આલેખ ખોટો છે.
તેથી,સાચું નિરૂપણ $(A)$ છે.

(C) ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ, અચળ દબાણે, $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$.
આપેલ છે: $V_1 = 2 \,L$, $T_1 = 273 \,K$ ($STP$ પર), $V_2 = 4 \,L$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{273} = \frac{4}{T_2}$.
$T_2 = \frac{273 \times 4}{2} = 546 \,K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $546 \,K - 273 = 273^{\circ} C$.

(B) આપેલ છે: $W = 4 \ g$,$V = 5.6035 \ L$,$T = 546 \ K$,$P = 2 \ atm$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $PV = nRT$,જ્યાં $n = \frac{W}{M}$.
$PV = \frac{W}{M} RT$
$M = \frac{WRT}{PV}$
કિંમતો મૂકતા: $M = \frac{4 \times 0.0821 \times 546}{2 \times 5.6035}$
$M = \frac{179.3304}{11.207} \approx 16 \ g/mol$.

(D) વાયુ $A$ માટે પ્રારંભિક સ્થિતિ: $P_1 = 8 \ atm$,$V_1 = 12 \ L$. સ્ટોપ કોક ખોલ્યા પછી કુલ કદ: $V_{total} = 12 \ L + 8 \ L = 20 \ L$.
તાપમાન અચળ હોવાથી,આપણે દરેક વાયુ માટે બોઈલના નિયમ $(P_1V_1 = P_2V_2)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
વાયુ $A$ માટે: $8 \ atm \times 12 \ L = P_A \times 20 \ L \implies P_A = \frac{96}{20} = 4.8 \ atm$.
વાયુ $B$ માટે: $5 \ atm \times 8 \ L = P_B \times 20 \ L \implies P_B = \frac{40}{20} = 2.0 \ atm$.
આમ,$A$ અને $B$ ના આંશિક દબાણ અનુક્રમે $4.8 \ atm$ અને $2.0 \ atm$ છે.

(C) મિશ્રણમાં રહેલા વાયુનું આંશિક દબાણ એટલે તે વાયુ એકલો જ તેટલા જ તાપમાને પાત્રનું સંપૂર્ણ કદ રોકે ત્યારે લાગતું દબાણ.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$N_2$ નું આંશિક દબાણ $(p_{N_2})$ નીચે મુજબ મળે:
$p_{N_2} = \frac{n_{N_2} R T}{V}$
આપેલ છે:
$n_{N_2} = 2.5 \ mol$
$V = 24.6 \ L$
$T = 300 \ K$
$R = 0.0821 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$p_{N_2} = \frac{2.5 \ mol \times 0.0821 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1} \times 300 \ K}{24.6 \ L}$
$p_{N_2} = \frac{61.575}{24.6} \ atm$
$p_{N_2} = 2.5 \ atm$.

(D) વાયુનો $RMS$ વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v_{rms} \propto \sqrt{T}$ હોવાથી,$RMS$ વેગ અડધો કરવા માટે અંતિમ તાપમાન $T_f$ એ પ્રારંભિક તાપમાન $T_i$ ના $\frac{1}{4}$ હોવું જોઈએ $(T_f = \frac{T_i}{4})$.
પ્રતિવર્તી સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,$T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,$\gamma = \frac{7}{5}$,તેથી $\gamma - 1 = \frac{2}{5}$.
કિંમતો મૂકતા: $T_i V_i^{2/5} = (\frac{T_i}{4}) V_f^{2/5}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $4 = (\frac{V_f}{V_i})^{2/5}$ મળે છે.
બંને બાજુ $\frac{5}{2}$ ઘાત લેતા: $4^{5/2} = \frac{V_f}{V_i}$.
$V_f / V_i = (2^2)^{5/2} = 2^5 = 32$.

(B) વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$
આપેલ છે: $P_1 = 203 \ kPa$,$V_1 = 0.5 \ m^3$,$T_1 = 400 \ K$
$P_2 = 304 \ kPa$,$V_2 = 0.2 \ m^3$
કિંમતો મૂકતા: $\frac{203 \times 0.5}{400} = \frac{304 \times 0.2}{T_2}$
$T_2 = \frac{304 \times 0.2 \times 400}{203 \times 0.5} = \frac{24320}{101.5} \approx 239.6 \ K$
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = |T_2 - T_1| = |239.6 - 400| = 160.4 \ K$
નજીકનો પૂર્ણાંક $160 \ K$ છે.

(C) પ્રતિવર્તી સમતાપી કાર્યનું સૂત્ર: $W = -2.303 nRT \log \left(\frac{V_2}{V_1}\right)$
આપેલ છે: $n = 2.5 \ mol$,$V_1 = 2 \ dm^3$,$V_2 = 20 \ dm^3$,$W = -16.5 \ kJ = -16500 \ J$,$R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$
કિંમતો મૂકતા: $-16500 = -2.303 \times 2.5 \times 8.314 \times T \times \log \left(\frac{20}{2}\right)$
$-16500 = -2.303 \times 2.5 \times 8.314 \times T \times \log(10)$
$\log(10) = 1$ હોવાથી: $-16500 = -2.303 \times 2.5 \times 8.314 \times T$
$-16500 = -47.87 \times T$
$T = \frac{16500}{47.87} \approx 344.68 \ K$
નજીકના મૂલ્યમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$T \approx 345 \ K$.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $Pv^{\gamma} = K$ છે.
બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $v^{\gamma} dP + P \gamma v^{\gamma-1} dv = 0$ મળે છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$\frac{dP}{P} = -\gamma \frac{dv}{v}$ મળે છે.
ટકાવારી ફેરફાર શોધવા માટે,બંને બાજુ $100$ વડે ગુણો:
$\frac{dP}{P} \times 100 = -\gamma \left( \frac{dv}{v} \times 100 \right)$.
આપેલ છે કે $\gamma = 1.4$ અને $\frac{dv}{v} \times 100 = 5 \%$,આ કિંમતો મૂકતા:
$\text{દબાણમાં ટકાવારી ફેરફાર} = -1.4 \times 5 = -7 \%$.
ઋણ નિશાની દબાણમાં ઘટાડો સૂચવે છે. આમ,ટકાવારી ફેરફારનું મૂલ્ય $7 \%$ છે.

(D) આલેખ પરથી,બિંદુ $x$ પર: $T_1 = 300 \ K, V_1 = 20 \ L$.
બિંદુ $z$ પર: $T_2 = 600 \ K, V_2 = 40 \ L$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$pV = nRT$,જે સૂચવે છે કે $\frac{pV}{T} = nR$.
$n$ અને $R$ અચળ હોવાથી,$\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{p_1 \times 20}{300} = \frac{p_2 \times 40}{600}$.
$\frac{p_1}{15} = \frac{p_2}{15}$,જે દર્શાવે છે કે $p_1 = p_2$.
$z$ થી $x$ સુધીની પ્રક્રિયા દરમિયાન દબાણ અચળ રહેતું હોવાથી,આ સમદાબી પ્રક્રિયા છે.

(B) એવોગેડ્રોનો નિયમ જણાવે છે કે સમાન તાપમાન અને દબાણે તમામ વાયુઓના સમાન કદમાં અણુઓની સંખ્યા સમાન હોય છે. આ નિયમ માત્ર $ideal$ વાયુઓ માટે જ સખત રીતે લાગુ પડે છે,કારણ કે તે ધારે છે કે વાયુના અણુઓનું કદ નહિવત છે અને તેમની વચ્ચે કોઈ આંતરઆણ્વિય આકર્ષણ બળ નથી,જે વાયુઓના ગતિજ આણ્વિય સિદ્ધાંતના મૂળભૂત પૂર્વધારણાઓ છે.

(D) શરૂઆતમાં ગેસનું દળ $= 30.0 \ kg - 15.0 \ kg = 15.0 \ kg$.
વપરાશ પછી બાકી રહેલ ગેસનું દળ $= 24.2 \ kg - 15.0 \ kg = 9.2 \ kg$.
વપરાયેલ ગેસનું દળ $= 15.0 \ kg - 9.2 \ kg = 5.8 \ kg = 5800 \ g$.
બ્યુટેન $(C_4H_{10})$ નું આણ્વીય દળ $= 4 \times 12 + 10 \times 1 = 58 \ g/mol$.
વપરાયેલ ગેસના મોલની સંખ્યા $(n)$ $= \frac{5800 \ g}{58 \ g/mol} = 100 \ mol$.
$1 \ atm$ અને $27^{\circ}C$ $(300 \ K)$ પર આદર્શ ગેસ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા:
$V = \frac{nRT}{P} = \frac{100 \ mol \times 0.0821 \ L \cdot atm \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1} \times 300 \ K}{1 \ atm} = 2463 \ L$.
$1 \ m^3 = 1000 \ L$ હોવાથી,ઘન મીટરમાં કદ $\frac{2463}{1000} \ m^3 = 2.463 \ m^3$ થાય.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT = \frac{w}{M} RT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘનતા $(d = \frac{w}{V})$ માટે ગોઠવતા,આપણને $d = \frac{PM}{RT}$ મળે છે.
આમ,મોલર દળ $M = \frac{dRT}{P}$.
આપેલ છે: $d = 1.964 \ g \ L^{-1}$,$T = 273 \ K$,$P = 76 \ cm \ Hg = 1 \ atm$,અને $R = 0.0821 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $M = \frac{1.964 \times 0.0821 \times 273}{1} \approx 44 \ g \ mol^{-1}$.
$CO_2$ નું મોલર દળ $12 + 2 \times 16 = 44 \ g \ mol^{-1}$ છે.
તેથી,આ વાયુ $CO_2$ છે.

(A) આદર્શ વાયુ માટે,આદર્શ વાયુ સમીકરણ $pV = \frac{w}{M}RT$ છે,જ્યાં $w$ એ દળ છે,$M$ એ આણ્વીય દળ છે,$R$ એ વાયુ અચળાંક છે અને $T$ એ તાપમાન છે.
$w$,$R$,અને $T$ અચળ હોવાથી,ધારો કે $wRT = K$. તેથી $pV = \frac{K}{M}$,અથવા $V = \frac{K}{Mp}$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા: $\log V = \log \left( \frac{K}{M} \right) - \log p$.
આ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = \log V$,$x = \log p$,$m = -1$,અને આંતરછેદ $c = \log \left( \frac{K}{M} \right)$ છે.
આલેખ પરથી,$M_{2}$ માટેનો આંતરછેદ $M_{1}$ ના આંતરછેદ કરતા વધારે છે.
તેથી,$\log \left( \frac{K}{M_{2}} \right) > \log \left( \frac{K}{M_{1}} \right)$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{K}{M_{2}} > \frac{K}{M_{1}}$,જેનો અર્થ છે કે $M_{1} > M_{2}$.

(A) પ્રતિવર્તી એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $(P)$ અને તાપમાન $(T)$ વચ્ચેનો સંબંધ $P^{1-\gamma} T^\gamma = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને $P \propto T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આપેલ છે: $P \propto T^3$.
તેથી,$\frac{\gamma}{\gamma-1} = 3$.
$\gamma = 3\gamma - 3$.
$2\gamma = 3$.
$\gamma = \frac{3}{2}$.
કારણ કે $\gamma = \frac{C_p}{C_V}$,તેથી ગુણોત્તર $\frac{3}{2}$ છે.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $pV = nRT$ છે.
$n = 1 \ mol$ માટે,સમીકરણ $V = (\frac{R}{p})T$ બને છે.
આને સુરેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = V$ અને $x = T$ છે,ઢાળ $m = \frac{R}{p}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $p = 2 \ atm$ દબાણે ઢાળ $X$ છે,તેથી $X = \frac{R}{2}$.
આમ,$R = 2X \ L \ atm \ mol^{-1} \ K^{-1}$.