Mix Examples - Triangles Questions in Gujarati

(N/A) આપેલ છે કે $\triangle ABC \sim \triangle DEF$.
તેથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD}$
આપેલ પદોને મૂકતા:
$\frac{2x - 1}{18} = \frac{2x + 2}{3x + 9} = \frac{3x}{6x}$
પ્રથમ અને ત્રીજો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{2x - 1}{18} = \frac{3x}{6x}$
$\frac{2x - 1}{18} = \frac{1}{2}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$2(2x - 1) = 18$
$4x - 2 = 18$
$4x = 20$
$x = 5$
હવે,બાજુઓની લંબાઈ ગણતા:
$\triangle ABC$ માટે:
$AB = 2(5) - 1 = 9 \, cm$
$BC = 2(5) + 2 = 12 \, cm$
$CA = 3(5) = 15 \, cm$
$\triangle DEF$ માટે:
$DE = 18 \, cm$
$EF = 3(5) + 9 = 24 \, cm$
$FD = 6(5) = 30 \, cm$

(D) આપેલ છે કે,$\angle A = \angle C$,$AB = 6 \, cm$,$BP = 15 \, cm$,$AP = 12 \, cm$ અને $CP = 4 \, cm$.
$\triangle APB$ અને $\triangle CPD$ માં:
$\angle A = \angle C$ [આપેલ છે]
$\angle APB = \angle CPD$ [અભિકોણો]
તેથી,$\triangle APB \sim \triangle CPD$ [$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ]
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AP}{CP} = \frac{BP}{PD} = \frac{AB}{CD}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{12}{4} = \frac{15}{PD} = \frac{6}{CD}$
પ્રથમ બે પદો લેતા:
$\frac{12}{4} = \frac{15}{PD} \implies 3 = \frac{15}{PD} \implies PD = \frac{15}{3} = 5 \, cm$
પ્રથમ અને છેલ્લું પદ લેતા:
$\frac{12}{4} = \frac{6}{CD} \implies 3 = \frac{6}{CD} \implies CD = \frac{6}{3} = 2 \, cm$
આમ,$PD$ ની લંબાઈ $5 \, cm$ અને $CD$ ની લંબાઈ $2 \, cm$ છે.

(N/A) આપેલ છે કે,$\triangle ABC \sim \triangle EDF$. ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓ સમાન ગુણોત્તરમાં હોય છે.
એટલે કે,$\frac{AB}{ED} = \frac{AC}{EF} = \frac{BC}{DF}$ ...... $(i)$
આપેલ કિંમતો $AB = 5 \, cm$,$AC = 7 \, cm$,$DF = 15 \, cm$ અને $DE = 12 \, cm$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{5}{12} = \frac{7}{EF} = \frac{BC}{15}$
પ્રથમ અને બીજા પદને લેતા:
$\frac{5}{12} = \frac{7}{EF}$
$\Rightarrow EF = \frac{7 \times 12}{5} = \frac{84}{5} = 16.8 \, cm$
પ્રથમ અને ત્રીજા પદને લેતા:
$\frac{5}{12} = \frac{BC}{15}$
$\Rightarrow BC = \frac{5 \times 15}{12} = \frac{75}{12} = 6.25 \, cm$
આમ,બાકીની બાજુઓની લંબાઈ $EF = 16.8 \, cm$ અને $BC = 6.25 \, cm$ છે.

(N/A) ધારો કે એક $\triangle ABC$ છે જેમાં $BC$ ને સમાંતર રેખા $DE$ એ $AB$ ને $D$ માં અને $AC$ ને $E$ માં છેદે છે. સાબિત કરવાનું છે કે: $DE$ એ બંને બાજુઓને સમાન ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,એટલે કે,$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$.
રચના: $BE$ અને $CD$ ને જોડો અને $EF \perp AB$ તથા $DG \perp AC$ દોરો.
સાબિતી: અહીં,$\frac{\text{ar}(\triangle ADE)}{\text{ar}(\triangle BDE)} = \frac{\frac{1}{2} \times AD \times EF}{\frac{1}{2} \times DB \times EF} = \frac{AD}{DB}$ ......$(i)$ [કારણ કે,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$]
તે જ રીતે,$\frac{\text{ar}(\triangle ADE)}{\text{ar}(\triangle DEC)} = \frac{\frac{1}{2} \times AE \times DG}{\frac{1}{2} \times EC \times DG} = \frac{AE}{EC}$ ......$(ii)$
હવે,$\triangle BDE$ અને $\triangle DEC$ એ એક જ સમાંતર રેખાઓ $DE$ અને $BC$ ની વચ્ચે આવેલા છે અને એક જ પાયા $DE$ પર આવેલા છે,તેથી,$\text{ar}(\triangle BDE) = \text{ar}(\triangle DEC)$ ......$(iii)$
સમીકરણ $(i), (ii)$ અને $(iii)$ પરથી,આપણને મળે છે $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: $PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે,તેથી $PQ \parallel SR$ અને $PS \parallel QR$. વળી,$AB \parallel PS$.
સાબિત કરવાનું છે: $OC \parallel SR$.
સાબિતી: $\triangle OPS$ અને $\triangle OAB$ માં,કારણ કે $PS \parallel AB$:
$\angle POS = \angle AOB$ (સામાન્ય ખૂણો)
$\angle OSP = \angle OBA$ (અનુકોણ)
તેથી,$\triangle OPS \sim \triangle OAB$ ($AAA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ).
આમ,$\frac{PS}{AB} = \frac{OS}{OB}$ ..........$(i)$
$\triangle CQR$ અને $\triangle CAB$ માં,કારણ કે $QR \parallel PS \parallel AB$:
$\angle QCR = \angle ACB$ (સામાન્ય ખૂણો)
$\angle CQR = \angle CAB$ (અનુકોણ)
તેથી,$\triangle CQR \sim \triangle CAB$ ($AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ).
આમ,$\frac{QR}{AB} = \frac{CR}{CB}$.
$PQRS$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$PS = QR$. આ કિંમત મૂકતા:
$\frac{PS}{AB} = \frac{CR}{CB}$ ..........$(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ પરથી:
$\frac{OS}{OB} = \frac{CR}{CB} \Rightarrow \frac{OB}{OS} = \frac{CB}{CR}$.
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા:
$\frac{OB}{OS} - 1 = \frac{CB}{CR} - 1$
$\frac{OB - OS}{OS} = \frac{CB - CR}{CR}$
$\frac{BS}{OS} = \frac{BR}{CR}$.
પ્રમેય $6.2$ (થેલ્સના પ્રમેયનું પ્રતિપ) મુજબ,$SR \parallel OC$ (અથવા $OC \parallel SR$). આમ સાબિત થાય છે.

(D) ધારો કે $AC$ એ $5\,m$ લાંબી સીડી છે અને $BC = 4\,m$ એ દીવાલની ઊંચાઈ છે જ્યાં સીડી ટેકવેલી છે. જો સીડીના પાયાને $1.6\,m$ દીવાલ તરફ ખસેડવામાં આવે,એટલે કે $AD = 1.6\,m$,તો સીડી ઉપરની તરફ $ED$ નવી સ્થિતિમાં સરકે છે.
કાટકોણ $\triangle ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$5^2 = AB^2 + 4^2$
$25 = AB^2 + 16$
$AB^2 = 9 \Rightarrow AB = 3\,m$.
હવે,દીવાલથી પાયાનું નવું અંતર $DB = AB - AD = 3 - 1.6 = 1.4\,m$ છે.
કાટકોણ $\triangle EBD$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$ED^2 = EB^2 + DB^2$
$5^2 = EB^2 + (1.4)^2$
$25 = EB^2 + 1.96$
$EB^2 = 25 - 1.96 = 23.04$
$EB = \sqrt{23.04} = 4.8\,m$.
સીડીનો ઉપરનો ભાગ જેટલા અંતરે ઉપરની તરફ સરકે છે તે $EC = EB - BC = 4.8 - 4 = 0.8\,m$ છે.

(A) આપેલ છે કે,$AC \perp CB$,$AC = 2x \, km$,$CB = 2(x+7) \, km$ અને $AB = 26 \, km$.
આકૃતિ પરથી,આપણને કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ACB$ મળે છે જે $C$ આગળ કાટખૂણો ધરાવે છે.
હવે,$\triangle ACB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
$(26)^2 = (2x)^2 + \{2(x+7)\}^2$
$676 = 4x^2 + 4(x^2 + 49 + 14x)$
$676 = 4x^2 + 4x^2 + 196 + 56x$
$676 = 8x^2 + 56x + 196$
$8x^2 + 56x - 480 = 0$
$8$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $x^2 + 7x - 60 = 0$
$x^2 + 12x - 5x - 60 = 0$
$x(x + 12) - 5(x + 12) = 0$
$(x + 12)(x - 5) = 0$
$x = -12$ અથવા $x = 5$.
અંતર ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 5$ (કારણ કે $x \neq -12$).
હવે,$AC = 2x = 2(5) = 10 \, km$ અને $BC = 2(x+7) = 2(5+7) = 24 \, km$.
શહેર $C$ થઈને શહેર $A$ થી શહેર $B$ પહોંચવા માટે કાપેલું અંતર $= AC + BC = 10 + 24 = 34 \, km$.
હાઈવેના નિર્માણ પછી શહેર $A$ થી શહેર $B$ પહોંચવા માટે કાપેલું અંતર $= AB = 26 \, km$.
તેથી,બચેલું અંતર $= 34 - 26 = 8 \, km$ છે.

(B) ધારો કે $BC = 18 \, m$ એ ધ્વજદંડ છે અને તેનો પડછાયો $AB = 9.6 \, m$ છે. ધ્વજદંડની ટોચ $(C)$ નું પડછાયાના દૂરના છેડા $(A)$ થી અંતર $AC$ છે.
કાટકોણ $\triangle ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = (9.6)^2 + (18)^2$
$AC^2 = 92.16 + 324$
$AC^2 = 416.16$
$AC = \sqrt{416.16} = 20.4 \, m$
આમ,જરૂરી અંતર $20.4 \, m$ છે.

(C) ધારો કે $A$ એ થાંભલા પર લગાવેલા સ્ટ્રીટ લાઈટના બલ્બનું સ્થાન છે,જ્યાં $AB = 6 \, m$ છે અને $CD = 1.5 \, m$ એ સ્ત્રીની ઊંચાઈ છે અને તેનો પડછાયો $ED = 3 \, m$ છે. ધારો કે થાંભલા અને સ્ત્રી વચ્ચેનું અંતર $x \, m$ છે.
અહીં,સ્ત્રી અને થાંભલો બંને શિરોલંબ ઉભા છે.
તેથી,$CD \parallel AB$.
$\triangle CDE$ અને $\triangle ABE$ માં,$\angle E = \angle E$ [સામાન્ય ખૂણો].
$\angle ABE = \angle CDE = 90^{\circ}$ [દરેક $90^{\circ}$ છે].
તેથી,$\triangle CDE \sim \triangle ABE$ [$AAA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ].
તેથી,$\frac{ED}{EB} = \frac{CD}{AB}$.
$\frac{3}{3 + x} = \frac{1.5}{6}$.
$3 \times 6 = 1.5(3 + x)$.
$18 = 4.5 + 1.5x$.
$1.5x = 18 - 4.5$.
$1.5x = 13.5$.
$x = \frac{13.5}{1.5} = 9 \, m$.
આમ,તે થાંભલાના પાયાથી $9 \, m$ ના અંતરે છે.

(N/A) આપેલ છે કે,$\triangle ABC$ માં $\angle B = 90^{\circ}$ અને $BD \perp AC$ છે.
વળી,$AD = 4 \, cm$ અને $CD = 5 \, cm$ છે.
$\triangle ADB$ અને $\triangle CDB$ માં,$\angle ADB = \angle CDB = 90^{\circ}$ છે.
વળી,$\angle BAD = \angle DBC$ (કારણ કે બંને $90^{\circ} - \angle C$ ને સમાન છે).
તેથી,$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ $\triangle ADB \sim \triangle CDB$ થાય.
આમ,$\frac{BD}{AD} = \frac{CD}{BD}$ મળે.
$\Rightarrow BD^2 = AD \times CD = 4 \times 5 = 20$.
$\Rightarrow BD = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \, cm$.
હવે,કાટકોણ $\triangle ADB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AB^2 = AD^2 + BD^2 = 4^2 + (2\sqrt{5})^2 = 16 + 20 = 36$.
$\Rightarrow AB = \sqrt{36} = 6 \, cm$.
આમ,$BD = 2\sqrt{5} \, cm$ અને $AB = 6 \, cm$ થાય.

(N/A) આપેલ છે કે,$\Delta PQR$ માં $\angle Q = 90^{\circ}$,$QS \perp PR$,$PQ = 6 \, cm$ અને $PS = 4 \, cm$ છે.
કાટકોણ $\Delta PSQ$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$PQ^2 = PS^2 + QS^2$
$6^2 = 4^2 + QS^2$
$36 = 16 + QS^2$
$QS^2 = 20$
$QS = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \, cm$.
કારણ કે $\Delta PSQ \sim \Delta QSR$,તેથી:
$\frac{PS}{QS} = \frac{QS}{RS}$
$QS^2 = PS \times RS$
$20 = 4 \times RS$
$RS = 5 \, cm$.
કાટકોણ $\Delta QSR$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$QR^2 = QS^2 + RS^2$
$QR^2 = 20 + 5^2$
$QR^2 = 20 + 25 = 45$
$QR = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \, cm$.
આમ,$QS = 2\sqrt{5} \, cm$,$RS = 5 \, cm$ અને $QR = 3\sqrt{5} \, cm$ છે.

(N/A) આપેલ છે: $\triangle PQR$ માં,$PD \perp QR$,$PQ = a$,$PR = b$,$QD = c$ અને $DR = d$.
સાબિત કરવાનું છે: $(a+b)(a-b) = (c+d)(c-d)$.
સાબિતી: કાટકોણ $\triangle PDQ$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$PQ^2 = PD^2 + QD^2$
$a^2 = PD^2 + c^2$
$PD^2 = a^2 - c^2$ ...... $(i)$
કાટકોણ $\triangle PDR$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$PR^2 = PD^2 + DR^2$
$b^2 = PD^2 + d^2$
$PD^2 = b^2 - d^2$ ...... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ પરથી:
$a^2 - c^2 = b^2 - d^2$
$a^2 - b^2 = c^2 - d^2$
$(a - b)(a + b) = (c - d)(c + d)$
આમ,$(a + b)(a - b) = (c + d)(c - d)$ સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: એક ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેમાં $\angle A + \angle D = 90^{\circ}$ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $AC^{2} + BD^{2} = AD^{2} + BC^{2}$.
રચના: $AB$ અને $DC$ ને લંબાવો જેથી તેઓ બિંદુ $E$ પર મળે.
સાબિતી: $\triangle AED$ માં,$\angle A + \angle D = 90^{\circ}$ (આપેલ છે).
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$\angle E = 180^{\circ} - (\angle A + \angle D) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.
કાટકોણ $\triangle AED$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AD^{2} = AE^{2} + DE^{2}$ ... $(i)$
કાટકોણ $\triangle BEC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $BC^{2} = BE^{2} + CE^{2}$ ... $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા: $AD^{2} + BC^{2} = AE^{2} + DE^{2} + BE^{2} + CE^{2}$ ... $(iii)$
કાટકોણ $\triangle AEC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AC^{2} = AE^{2} + CE^{2}$ ... $(iv)$
કાટકોણ $\triangle BED$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $BD^{2} = BE^{2} + DE^{2}$ ... $(v)$
$(iv)$ અને $(v)$ નો સરવાળો કરતા: $AC^{2} + BD^{2} = AE^{2} + CE^{2} + BE^{2} + DE^{2}$ ... $(vi)$
$(iii)$ અને $(vi)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે: $AC^{2} + BD^{2} = AD^{2} + BC^{2}$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે કે $l \parallel m$ અને રેખાખંડો $AB, CD$ અને $EF$ બિંદુ $P$ માં સંગામી છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\frac{AE}{BF} = \frac{AC}{BD} = \frac{CE}{FD}$.
સાબિતી:
$\triangle APC$ અને $\triangle BPD$ માં,
$\angle APC = \angle BPD$ [અભિકોણો]
$\angle PAC = \angle PBD$ [યુગ્મકોણો,કારણ કે $l \parallel m$]
તેથી,$\triangle APC \sim \triangle BPD$ [$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ]
તેથી,$\frac{AP}{PB} = \frac{AC}{BD} = \frac{PC}{PD}$ ......$(i)$
$\triangle APE$ અને $\triangle BPF$ માં,
$\angle APE = \angle BPF$ [અભિકોણો]
$\angle PAE = \angle PBF$ [યુગ્મકોણો]
તેથી,$\triangle APE \sim \triangle BPF$ [$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ]
તેથી,$\frac{AP}{PB} = \frac{AE}{BF} = \frac{PE}{PF}$ ......$(ii)$
$\triangle PEC$ અને $\triangle PFD$ માં,
$\angle EPC = \angle FPD$ [અભિકોણો]
$\angle PCE = \angle PDF$ [યુગ્મકોણો]
તેથી,$\triangle PEC \sim \triangle PFD$ [$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ]
તેથી,$\frac{PE}{PF} = \frac{PC}{PD} = \frac{CE}{FD}$ ......$(iii)$
સમીકરણ $(i), (ii)$ અને $(iii)$ પરથી,
$\frac{AP}{PB} = \frac{AC}{BD} = \frac{AE}{BF} = \frac{PE}{PF} = \frac{CE}{FD}$
આમ,$\frac{AE}{BF} = \frac{AC}{BD} = \frac{CE}{FD}$. જે સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: $AB = 6 \, cm$,$BC = 9 \, cm$,$CD = 12 \, cm$ અને $PS = 36 \, cm$.
વળી,$PA$,$QB$,$RC$ અને $SD$ એ રેખા $l$ પરના લંબ છે,જેનો અર્થ છે કે $PA \parallel QB \parallel RC \parallel SD$.
અંત:ખંડ પ્રમેય (intercept theorem) મુજબ,એક છેદિકા પરના અંત:ખંડોનો ગુણોત્તર બીજી છેદિકા પરના અંત:ખંડોના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે:
$PQ : QR : RS = AB : BC : CD$
$PQ : QR : RS = 6 : 9 : 12$
ધારો કે $PQ = 6x$,$QR = 9x$ અને $RS = 12x$.
કુલ લંબાઈ $PS = 36 \, cm$ હોવાથી:
$PQ + QR + RS = 36$
$6x + 9x + 12x = 36$
$27x = 36$
$x = \frac{36}{27} = \frac{4}{3}$
હવે,લંબાઈની ગણતરી કરતા:
$PQ = 6x = 6 \times \frac{4}{3} = 8 \, cm$
$QR = 9x = 9 \times \frac{4}{3} = 12 \, cm$
$RS = 12x = 12 \times \frac{4}{3} = 16 \, cm$

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેમાં $AB \parallel DC$ છે. વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે. $PQ \parallel AB \parallel DC$.
સાબિત કરવાનું છે: $PO = QO$.
સાબિતી: $\triangle ADC$ માં,$PO \parallel DC$ (કારણ કે $PQ \parallel DC$).
પ્રમેય $6.1$ (થેલ્સનું પ્રમેય) મુજબ:
$\frac{AP}{PD} = \frac{AO}{OC}$ ........$(i)$
$\triangle ABC$ માં,$OQ \parallel AB$.
પ્રમેય $6.1$ મુજબ:
$\frac{BQ}{QC} = \frac{AO}{OC}$ ........$(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\frac{AP}{PD} = \frac{BQ}{QC}$
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા:
$\frac{AP}{PD} + 1 = \frac{BQ}{QC} + 1$
$\frac{AP + PD}{PD} = \frac{BQ + QC}{QC}$
$\frac{AD}{PD} = \frac{BC}{QC}$
$\Rightarrow \frac{PD}{AD} = \frac{QC}{BC}$ ........$(iii)$
હવે,$\triangle ABD$ માં,$PO \parallel AB$. તેથી,$\triangle POD \sim \triangle ABD$ ($AA$ સમરૂપતા).
તેથી,$\frac{PO}{AB} = \frac{PD}{AD}$ ........$(iv)$
$\triangle ABC$ માં,$OQ \parallel AB$. તેથી,$\triangle OQC \sim \triangle ABC$ ($AA$ સમરૂપતા).
તેથી,$\frac{OQ}{AB} = \frac{QC}{BC}$ ........$(v)$
$(iii)$,$(iv)$ અને $(v)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\frac{PO}{AB} = \frac{OQ}{AB}$
$\Rightarrow PO = OQ$. આમ સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: $\triangle ABC$ માં,$E$ એ $CA$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $\angle AEF = \angle AFE$ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\frac{BD}{CD} = \frac{BF}{CE}$.
રચના: $AB$ પર એક બિંદુ $G$ લો જેથી $CG \parallel EF$ થાય.
સાબિતી: કારણ કે $E$ એ $CA$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $CE = AE$ $(i)$.
$\triangle ACG$ માં,$CG \parallel EF$ અને $E$ એ $CA$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$F$ એ $AG$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$GF = AF$ $(ii)$.
$\triangle AEF$ માં,$\angle AEF = \angle AFE$ હોવાથી,$AE = AF$ થાય.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ પરથી,$CE = AE = AF = GF$. તેથી,$CE = GF$.
હવે,$\triangle BDF$ માં,$CG \parallel EF$ હોવાથી,પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેય $(BPT)$ મુજબ,$\frac{BD}{CD} = \frac{BF}{GF}$ મળે.
$GF = CE$ મૂકતા,આપણને $\frac{BD}{CD} = \frac{BF}{CE}$ મળે છે.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) ધારો કે $ABC$ એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે,જેમાં $\angle B = 90^\circ$ છે અને $AB = y, BC = x$ છે.
ત્રણ અર્ધવર્તુળો અનુક્રમે $AB, BC$ અને $AC$ બાજુઓ પર દોરવામાં આવ્યા છે,જેના વ્યાસ $AB, BC$ અને $AC$ છે.
ધારો કે $AB, BC$ અને $AC$ વ્યાસવાળા અર્ધવર્તુળોના ક્ષેત્રફળ અનુક્રમે $A_1, A_2$ અને $A_3$ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $A_3 = A_1 + A_2$.
સાબિતી: $\triangle ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = y^2 + x^2$
$AC = \sqrt{y^2 + x^2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $d$ વ્યાસવાળા અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\pi}{2} \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{8}$ થાય છે.
તેથી,$AC$ પર દોરેલા અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ:
$A_3 = \frac{\pi (AC)^2}{8} = \frac{\pi (y^2 + x^2)}{8}$ .....$(i)$
હવે,$AB$ પર દોરેલા અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ:
$A_1 = \frac{\pi (AB)^2}{8} = \frac{\pi y^2}{8}$ .....$(ii)$
અને $BC$ પર દોરેલા અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ:
$A_2 = \frac{\pi (BC)^2}{8} = \frac{\pi x^2}{8}$ .....$(iii)$
સમીકરણ $(ii)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા:
$A_1 + A_2 = \frac{\pi y^2}{8} + \frac{\pi x^2}{8} = \frac{\pi (y^2 + x^2)}{8}$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $A_1 + A_2 = A_3$.
આમ,કર્ણ પર દોરેલા અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ એ બાકીની બે બાજુઓ પર દોરેલા અર્ધવર્તુળોના ક્ષેત્રફળના સરવાળા બરાબર છે.

(N/A) ધારો કે $\triangle ABC$ એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle A = 90^\circ$,$AC = y$ અને $AB = x$ છે.
ત્રણ સમબાજુ ત્રિકોણો $\triangle AEC$,$\triangle AFB$ અને $\triangle CBD$ અનુક્રમે બાજુઓ $AC$,$AB$ અને $BC$ પર દોરવામાં આવ્યા છે.
ધારો કે આ સમબાજુ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળ અનુક્રમે $A_1$,$A_2$ અને $A_3$ છે.
આપણે સાબિત કરવાનું છે કે $A_3 = A_1 + A_2$.
$\triangle ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $BC^2 = AC^2 + AB^2 = y^2 + x^2$.
$s$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4} s^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A_1 = \text{Area}(\triangle AEC) = \frac{\sqrt{3}}{4} AC^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} y^2$ ... $(i)$
$A_2 = \text{Area}(\triangle AFB) = \frac{\sqrt{3}}{4} AB^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$ ... $(ii)$
$A_3 = \text{Area}(\triangle CBD) = \frac{\sqrt{3}}{4} BC^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (y^2 + x^2)$ ... $(iii)$
$(i)$,$(ii)$ અને $(iii)$ પરથી:
$A_3 = \frac{\sqrt{3}}{4} y^2 + \frac{\sqrt{3}}{4} x^2 = A_1 + A_2$.
આમ,કર્ણ પરના સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ એ બાકીની બે બાજુઓ પરના સમબાજુ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળના સરવાળા બરાબર છે.

(N/A) $\Delta ABC$ માં,ખૂણાઓનો ગુણોત્તર $m \angle A : m \angle B : m \angle C = 15 : 8 : 7$ છે.
ધારો કે ખૂણાઓ અનુક્રમે $15t$,$8t$ અને $7t$ છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ હોવાથી,$15t + 8t + 7t = 180^\circ$ થાય.
$30t = 180^\circ$,તેથી $t = 6^\circ$ મળે.
આથી,$m \angle A = 15 \times 6^\circ = 90^\circ$,$m \angle B = 8 \times 6^\circ = 48^\circ$ અને $m \angle C = 7 \times 6^\circ = 42^\circ$ થાય.
આપેલ સમરૂપતા સંગતતા $ABC \leftrightarrow QPR$ મુજબ,અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
તેથી,$m \angle Q = m \angle A = 90^\circ$,$m \angle P = m \angle B = 48^\circ$ અને $m \angle R = m \angle C = 42^\circ$ થાય.
આમ,$\Delta PQR$ ના ખૂણાઓ $m \angle P = 48^\circ$,$m \angle Q = 90^\circ$ અને $m \angle R = 42^\circ$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ અને $\Delta XYZ$ વચ્ચેની સંગતતા $ABC \leftrightarrow XYZ$ એ સમરૂપતા છે.
તેથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ} = \frac{AC}{XZ}$
આપેલ સમીકરણ $4AB = 5XY$ પરથી,આપણે લખી શકીએ:
$\frac{AB}{XY} = \frac{5}{4}$
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ}$
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા:
$\frac{5}{4} = \frac{12}{YZ}$
$YZ$ માટે ઉકેલતા:
$YZ = \frac{12 \times 4}{5} = \frac{48}{5} = 9.6$
આમ,$YZ = 9.6$.

(D) આપેલ છે કે $\Delta ABC \sim \Delta PQR$,તેથી અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન થાય: $m \angle A = m \angle P$,$m \angle B = m \angle Q$,અને $m \angle C = m \angle R = 100^{\circ}$.
$\Delta ABC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય,તેથી $m \angle A + m \angle B + m \angle C = 180^{\circ}$.
$m \angle C = 100^{\circ}$ મૂકતા,આપણને $m \angle A + m \angle B = 80^{\circ}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $2 m \angle P = 3 m \angle Q$,અને $m \angle P = m \angle A$ તથા $m \angle Q = m \angle B$ હોવાથી,$2 m \angle A = 3 m \angle B$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $m \angle A = 1.5 m \angle B$.
આ કિંમત $m \angle A + m \angle B = 80^{\circ}$ માં મૂકતા:
$1.5 m \angle B + m \angle B = 80^{\circ}$
$2.5 m \angle B = 80^{\circ}$
$m \angle B = 80 / 2.5 = 32^{\circ}$.

(A) આપેલ છે કે પત્રવ્યવહાર $PQR \leftrightarrow ZYX$ એ સમરૂપતા છે,તેથી $\Delta PQR \sim \Delta ZYX$ થાય.
સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{PQ}{ZY} = \frac{QR}{YX} = \frac{PR}{ZX}$.
આપણને $\frac{PQ}{ZY} = \frac{5}{3}$ અને $PR = 10$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને $\frac{PQ}{ZY} = \frac{PR}{ZX}$ ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{5}{3} = \frac{10}{ZX}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$5 \times ZX = 3 \times 10$ મળે.
$5 \times ZX = 30$.
$ZX = \frac{30}{5} = 6$.
તેથી,$ZX$ ની લંબાઈ $6$ છે.

(A) આપેલ છે કે સંગતતા $ABC \leftrightarrow QRP$ માટે $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન છે:
$m \angle A = m \angle Q$
$m \angle B = m \angle R$
$m \angle C = m \angle P$
આપેલ છે કે $m \angle A = 80^{\circ}, m \angle B = 40^{\circ}, m \angle C = 60^{\circ}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$m \angle Q = 80^{\circ}$
$m \angle R = 40^{\circ}$
$m \angle P = 60^{\circ}$
આમ,$\Delta PQR$ ના ખૂણાઓ $m \angle P = 60^{\circ}, m \angle Q = 80^{\circ}, m \angle R = 40^{\circ}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\Delta XYZ \sim \Delta DEF$ સંગતતા $XYZ \leftrightarrow EDF$ સાથે છે.
આનો અર્થ એ છે કે અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન છે: $\frac{XY}{ED} = \frac{YZ}{DF} = \frac{ZX}{FE} = k$.
આપેલ છે કે $XY = 3, YZ = 4, ZX = 6$ અને $DF = 12$.
ગુણોત્તર $\frac{YZ}{DF} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ પરથી,સ્કેલ ફેક્ટર $k = \frac{1}{3}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{XY}{ED} = \frac{1}{3} \implies \frac{3}{ED} = \frac{1}{3} \implies ED = 9$.
અને $\frac{ZX}{FE} = \frac{1}{3} \implies \frac{6}{FE} = \frac{1}{3} \implies FE = 18$.
$\Delta DEF$ ની પરિમિતિ $= ED + DF + FE = 9 + 12 + 18 = 39$.

(D) આપેલ છે કે $ABC \leftrightarrow ZYX$ સંગતતા હેઠળ $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન છે: $\frac{AB}{ZY} = \frac{BC}{YX} = \frac{CA}{XZ} = k$.
આપેલ કિંમતો પરથી,$AB = 3, BC = 5, CA = 6$ અને $XY = 6$ છે.
$ABC \leftrightarrow ZYX$ સંગતતાનો ઉપયોગ કરતા,આપણને ગુણોત્તર મળે છે: $\frac{AB}{ZY} = \frac{BC}{YX} = \frac{CA}{XZ}$.
જાણીતી કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{ZY} = \frac{5}{6} = \frac{6}{XZ}$.
$\frac{5}{6} = \frac{3}{ZY}$ પરથી,$ZY = \frac{3 \times 6}{5} = \frac{18}{5} = 3.6$ મળે છે.
$\frac{5}{6} = \frac{6}{XZ}$ પરથી,$XZ = \frac{6 \times 6}{5} = \frac{36}{5} = 7.2$ મળે છે.
$\Delta XYZ$ ની પરિમિતિ $= XY + YZ + ZX = 6 + 3.6 + 7.2 = 16.8$.

(A) $\Delta ABC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $m \angle A + m \angle B + m \angle C = 180^{\circ}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $m \angle A + m \angle B = 130^{\circ}$,આ કિંમત સરવાળામાં મૂકતા $130^{\circ} + m \angle C = 180^{\circ}$ મળે,તેથી $m \angle C = 50^{\circ}$.
આપેલ છે કે $m \angle B + m \angle C = 125^{\circ}$,$m \angle C = 50^{\circ}$ મૂકતા $m \angle B + 50^{\circ} = 125^{\circ}$ મળે,તેથી $m \angle B = 75^{\circ}$.
$m \angle A + m \angle B = 130^{\circ}$ હોવાથી,$m \angle A + 75^{\circ} = 130^{\circ}$ મળે,તેથી $m \angle A = 55^{\circ}$.
$ABC \leftrightarrow QPR$ સંગતતા મુજબ,અનુરૂપ ખૂણાઓ $\angle A \leftrightarrow \angle Q$,$\angle B \leftrightarrow \angle P$,અને $\angle C \leftrightarrow \angle R$ છે.
તેથી,$m \angle Q = m \angle A = 55^{\circ}$ થાય.

(N/A) બે ત્રિકોણો સમરૂપ ત્યારે કહેવાય છે જો:
$1$. તેમના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોય.
$2$. તેમની અનુરૂપ બાજુઓ સમાન ગુણોત્તરમાં (અથવા પ્રમાણમાં) હોય.

(C) આપેલ છે કે $\Delta ABC \sim \Delta RPQ$.
સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,તેમના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
સંગતતા $A \leftrightarrow R$,$B \leftrightarrow P$,અને $C \leftrightarrow Q$ છે.
તેથી,$m\angle A = m\angle R = 35^{\circ}$ અને $m\angle B = m\angle P = 50^{\circ}$.
$\Delta ABC$ માં,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
$m\angle C = 180^{\circ} - (m\angle A + m\angle B) = 180^{\circ} - (35^{\circ} + 50^{\circ}) = 180^{\circ} - 85^{\circ} = 95^{\circ}$.
કારણ કે $C \leftrightarrow Q$ છે,તેથી $m\angle C = m\angle Q$.
આમ,$m\angle Q = 95^{\circ}$.

(D) આપેલ છે કે $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ એ $ABC \leftrightarrow XZY$ સંગતતા હેઠળ છે.
આનો અર્થ એ છે કે અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર તેમની પરિમિતિના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે.
તેથી,$\frac{AB}{XZ} = \frac{BC}{ZY} = \frac{AC}{XY} = \frac{\Delta ABC \text{ ની પરિમિતિ}}{\Delta XYZ \text{ ની પરિમિતિ}}$.
આપેલ છે: $\Delta ABC \text{ ની પરિમિતિ} = 45$,$\Delta XYZ \text{ ની પરિમિતિ} = 30$ અને $AB = 21$.
કિંમતોને ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{21}{XZ} = \frac{45}{30}$.
$\frac{45}{30}$ અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{3}{2}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{21}{XZ} = \frac{3}{2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $3 \times XZ = 21 \times 2$.
$3 \times XZ = 42$.
$XZ = \frac{42}{3} = 14$.
આમ,$XZ$ ની લંબાઈ $14$ છે.

(A) કારણ કે $\Delta PQR \sim \Delta XYZ$,તેથી તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{PQ}{XY} = \frac{QR}{YZ} = \frac{PR}{XZ}$.
આપેલ સમીકરણ $\frac{PQ}{3} = \frac{XY}{5}$ પરથી,આપણે તેને $\frac{PQ}{XY} = \frac{3}{5}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ ગુણોત્તરને સમરૂપતાની શરત $\frac{PQ}{XY} = \frac{QR}{YZ}$ માં મૂકતા:
$\frac{3}{5} = \frac{9}{YZ}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$3 \times YZ = 5 \times 9$,જેનું સાદું રૂપ $3 \times YZ = 45$ થાય છે.
તેથી,$YZ = \frac{45}{3} = 15$.

(A) આપેલ છે કે $\Delta ABC \sim \Delta PQR$.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{3}{PQ} = \frac{4}{6} = \frac{5}{PR}$.
પ્રથમ,$PQ$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{3}{PQ} = \frac{4}{6} \implies \frac{3}{PQ} = \frac{2}{3} \implies 2 \cdot PQ = 9 \implies PQ = 4.5$.
ત્યારબાદ,$PR$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{4}{6} = \frac{5}{PR} \implies \frac{2}{3} = \frac{5}{PR} \implies 2 \cdot PR = 15 \implies PR = 7.5$.
આમ,$PQ = 4.5$ અને $PR = 7.5$ મળે છે.

(C) કારણ કે $\Delta ABC \sim \Delta DEF$,તેથી તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = \frac{BC}{EF} = k$
અહીં $AB = 8$,$DE = 12$,$AC = 10$,અને $EF = 18$ આપેલ છે.
સમરૂપતાનો ગુણોત્તર $k = \frac{AB}{DE} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ છે.
હવે,$\Delta DEF$ ની બાકીની બાજુઓ શોધો:
$\frac{AC}{DF} = \frac{2}{3} \implies \frac{10}{DF} = \frac{2}{3} \implies DF = \frac{10 \times 3}{2} = 15$.
$\frac{BC}{EF} = \frac{2}{3} \implies \frac{BC}{18} = \frac{2}{3} \implies BC = \frac{18 \times 2}{3} = 12$.
હવે,$\Delta DEF$ ની પરિમિતિ = $DE + EF + DF = 12 + 18 + 15 = 45$.

(D) આપેલ સંગતતા $ABC \leftrightarrow XZY$ મુજબ,ત્રિકોણો સમરૂપ છે,એટલે કે $\Delta ABC \sim \Delta XZY$.
સમરૂપ ત્રિકોણોના ગુણધર્મ મુજબ,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{AB}{XZ} = \frac{BC}{ZY} = \frac{AC}{XY}$.
આપેલ છે કે $AB = 6$,$XY = 12$,$YZ = 6$,અને $ZX = 9$.
સંગતતા $ABC \leftrightarrow XZY$ નો ઉપયોગ કરતા,બાજુઓ નીચે મુજબ પ્રમાણમાં છે:
$\frac{AB}{XZ} = \frac{BC}{ZY} = \frac{AC}{XY}$
$\frac{6}{9} = \frac{BC}{6} = \frac{AC}{12}$
પ્રથમ,$BC$ શોધો: $\frac{6}{9} = \frac{BC}{6} \implies BC = \frac{6 \times 6}{9} = \frac{36}{9} = 4$.
ત્યારબાદ,$AC$ શોધો: $\frac{6}{9} = \frac{AC}{12} \implies AC = \frac{6 \times 12}{9} = \frac{72}{9} = 8$.
$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ $= AB + BC + AC = 6 + 4 + 8 = 18$.

(A) આપેલ છે કે $\Delta ABC \sim \Delta PQR.$
સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મો મુજબ,તેમની પરિમિતિનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે.
તેથી,$\frac{\Delta ABC \text{ ની પરિમિતિ}}{\Delta PQR \text{ ની પરિમિતિ}} = \frac{AB}{PQ}.$
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{16}{24} = \frac{6}{PQ}.$
$\frac{16}{24}$ નો ગુણોત્તર સાદું રૂપ આપતા $\frac{2}{3}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{2}{3} = \frac{6}{PQ}.$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $2 \times PQ = 18$ મળે છે.
આમ,$PQ = \frac{18}{2} = 9.$
સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) $\Delta PQR$ માં,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
$m \angle P + m \angle Q + m \angle R = 180^{\circ}$.
$80^{\circ} + 40^{\circ} + m \angle R = 180^{\circ}$.
$120^{\circ} + m \angle R = 180^{\circ} \implies m \angle R = 60^{\circ}$.
આપેલ સંગતતા $PQR \leftrightarrow YZX$ મુજબ,અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોય છે:
$m \angle P = m \angle Y = 80^{\circ}$,
$m \angle Q = m \angle Z = 40^{\circ}$,
$m \angle R = m \angle X = 60^{\circ}$.
તેથી,$m \angle Z = m \angle Q = 40^{\circ}$.

(C) આપેલ છે કે $\Delta XYZ \sim \Delta DEF$,તેથી અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન થાય: $m \angle X = m \angle D$,$m \angle Y = m \angle E$,અને $m \angle Z = m \angle F$.
$\Delta XYZ$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય,તેથી $m \angle X + m \angle Y + m \angle Z = 180^{\circ}$.
આપેલ છે કે $2 m \angle X = 3 m \angle Y$,તેથી $m \angle X = 1.5 m \angle Y$.
આ કિંમતોને સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા: $1.5 m \angle Y + m \angle Y + 30^{\circ} = 180^{\circ}$.
$2.5 m \angle Y = 150^{\circ}$.
$m \angle Y = 150^{\circ} / 2.5 = 60^{\circ}$.
$\Delta XYZ \sim \Delta DEF$ હોવાથી,$m \angle E = m \angle Y = 60^{\circ}$.

(D) આપેલ છે કે $PQR \leftrightarrow ZYX$ સંગતતા હેઠળ $\Delta PQR \sim \Delta XYZ$ છે,તેથી તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{PQ}{ZY} = \frac{QR}{YX} = \frac{PR}{ZX}$.
અહીં $PQ = 6$,$QR = 8$ અને $XY = 12$ આપેલ છે.
$PQR \leftrightarrow ZYX$ સંગતતા મુજબ,બાજુ $QR$ એ $YX$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,$\frac{PQ}{ZY} = \frac{QR}{YX}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{6}{YZ} = \frac{8}{12}$.
$\frac{8}{12}$ નું સાદું રૂપ આપતા $\frac{2}{3}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{6}{YZ} = \frac{2}{3}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $2 \times YZ = 6 \times 3$,એટલે કે $2 \times YZ = 18$.
તેથી,$YZ = \frac{18}{2} = 9$.

(N/A) આપેલ છે કે $\Delta PQR \sim \Delta DEF$.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{PQ}{DE} = \frac{QR}{EF} = \frac{PR}{DF}$.
આપેલ સમીકરણ $3 PQ = 2 DE$ પરથી,આપણને $\frac{PQ}{DE} = \frac{2}{3}$ મળે છે.
હવે,$\frac{PQ}{DE} = \frac{QR}{EF}$ ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2}{3} = \frac{QR}{6} \implies QR = \frac{2 \times 6}{3} = 4$.
ત્યારબાદ,$\frac{PQ}{DE} = \frac{PR}{DF}$ ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2}{3} = \frac{8}{DF} \implies DF = \frac{8 \times 3}{2} = 12$.
આમ,$QR = 4$ અને $DF = 12$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $\Delta ABC \sim \Delta PQR$.
સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મો મુજબ,તેમની પરિમિતિનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે.
તેથી,$\frac{\Delta ABC \text{ ની પરિમિતિ}}{\Delta PQR \text{ ની પરિમિતિ}} = \frac{AB}{PQ}$.
આપણને આપેલ છે કે $\frac{AB}{PQ} = \frac{3}{4}$ અને $\Delta PQR$ ની પરિમિતિ $= 24$.
ધારો કે $\Delta ABC$ ની પરિમિતિ $x$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{x}{24} = \frac{3}{4}$.
$x = \frac{3}{4} \times 24$.
$x = 3 \times 6 = 18$.
આમ,$\Delta ABC$ ની પરિમિતિ $18$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\Delta PQR \sim \Delta XYZ$,તેથી તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે.
તેથી,$\frac{PQ}{XY} = \frac{QR}{YZ} = \frac{PR}{XZ}$.
આપેલ સમીકરણ $3 QR = 4 YZ$ પરથી,આપણે ગુણોત્તર $\frac{QR}{YZ} = \frac{4}{3}$ લખી શકીએ છીએ.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન રહે છે,તેથી $\frac{PR}{XZ} = \frac{QR}{YZ} = \frac{4}{3}$.
આપેલ કિંમત $PR = 8$ ને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{8}{XZ} = \frac{4}{3}$ મળે છે.
$XZ$ માટે ઉકેલતા: $4 XZ = 8 \times 3$,જેનો અર્થ છે કે $4 XZ = 24$.
આમ,$XZ = \frac{24}{4} = 6$.

(D) આપેલ છે કે $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$,તેથી તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે.
તેથી,$\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ} = \frac{AC}{XZ}$.
અહીં $\frac{AB}{XY} = \frac{4}{5}$ અને $YZ = 20$ આપેલ છે.
ગુણોત્તર $\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ}$ માં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{4}{5} = \frac{BC}{20}$.
બંને બાજુ $20$ વડે ગુણતા:
$BC = \frac{4}{5} \times 20$.
$BC = 4 \times 4 = 16$.
આમ,$BC$ ની લંબાઈ $16$ છે.

(A) કારણ કે $\Delta ABC \sim \Delta PQR$,તેથી તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે.
તેથી,$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR} = k$ (જ્યાં $k$ એ પ્રમાણ માપ છે).
ગુણોત્તરના ગુણધર્મ મુજબ,જો $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$ હોય,તો $\frac{a+c}{b+d} = k$ થાય.
આમ,$\frac{AB + BC}{PQ + QR} = \frac{AC}{PR}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{12}{15} = \frac{8}{PR}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{4}{5} = \frac{8}{PR}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $4 \times PR = 5 \times 8$.
$4 \times PR = 40$.
$PR = \frac{40}{4} = 10$.
આમ,$PR$ ની લંબાઈ $10$ છે.

(D) સંગતતા $ABC \leftrightarrow EFD$ સાથે $\Delta ABC \sim \Delta DEF$ આપેલ હોવાથી,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન થાય.
તેથી,$\frac{AB}{EF} = \frac{BC}{FD} = \frac{CA}{DE} = k$.
$AB : BC : CA = 4 : 3 : 5$ આપેલ છે,તેથી ધારો કે $AB = 4x, BC = 3x, CA = 5x$.
સંગતતા $ABC \leftrightarrow EFD$ પરથી,$EF = BC = 3x$,$FD = CA = 5x$,અને $DE = AB = 4x$ મળે.
$\Delta DEF$ ની પરિમિતિ $= EF + FD + DE = 3x + 5x + 4x = 12x$.
પરિમિતિ $36$ આપેલ હોવાથી,$12x = 36$,જેનો અર્થ છે કે $x = 3$.
તેથી,બાજુઓ $EF = 3(3) = 9$,$FD = 5(3) = 15$,અને $DE = 4(3) = 12$ થાય.
આમ,$\Delta DEF$ ની બાજુઓ $12, 9, 15$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\Delta ABC \sim \Delta PQR$,તેથી તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર તેમની પરિમિતિના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે.
ધારો કે $\Delta ABC$ ની પરિમિતિ $P_1 = 48$ અને $\Delta PQR$ ની પરિમિતિ $P_2 = 60$ છે.
અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર $\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR} = \frac{P_1}{P_2} = \frac{48}{60} = \frac{4}{5}$ થાય.
આમ,$\frac{AB}{PQ} = \frac{4}{5}$.
બીજા ગુણોત્તર માટે,સમાન ગુણોત્તરના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા: જો $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$ હોય,તો $\frac{a+c}{b+d} = k$ થાય.
તેથી,$\frac{AB + BC}{PQ + QR} = \frac{AB}{PQ} = \frac{4}{5}$.
બંને ગુણોત્તર $\frac{4}{5}$ છે.

(N/A) બે ત્રિકોણો સમરૂપ ત્યારે કહેવાય જો:
$1$. તેમના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોય.
$2$. તેમની અનુરૂપ બાજુઓ સમાન ગુણોત્તરમાં (પ્રમાણમાં) હોય.
ધારો કે બે સમબાજુ ત્રિકોણો $\triangle ABC$ અને $\triangle PQR$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં,બધા ખૂણાઓ $60^{\circ}$ હોય છે અને બધી બાજુઓ સમાન હોય છે.
તેથી,$\triangle ABC$ માટે: $\angle A = \angle B = \angle C = 60^{\circ}$ અને $AB = BC = CA = a$.
$\triangle PQR$ માટે: $\angle P = \angle Q = \angle R = 60^{\circ}$ અને $PQ = QR = RP = b$.
પગલું $1$: ખૂણાઓની સરખામણી કરતા:
$\angle A = \angle P = 60^{\circ}$,$\angle B = \angle Q = 60^{\circ}$,અને $\angle C = \angle R = 60^{\circ}$.
આમ,અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન છે.
પગલું $2$: બાજુઓની સરખામણી કરતા:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{a}{b}$,$\frac{BC}{QR} = \frac{a}{b}$,અને $\frac{CA}{RP} = \frac{a}{b}$.
આમ,$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{CA}{RP} = \frac{a}{b}$.
જેથી,અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોવાથી અને અનુરૂપ બાજુઓ સમાન ગુણોત્તરમાં હોવાથી,સમરૂપતાની વ્યાખ્યા મુજબ,$\triangle ABC \sim \triangle PQR$.
આમ,તમામ સમબાજુ ત્રિકોણો સમરૂપ છે.

(N/A) $\Delta ABC$ માં,$A-P-B$,$A-Q-C$ અને $\overleftrightarrow{PQ} \parallel \overleftrightarrow{BC}$ છે.
પ્રમેય (થેલ્સના પ્રમેય) મુજબ:
$\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$
અહીં $AP = 3$,$PB = 5$,$AQ = 6$ આપેલ છે.
$\frac{3}{5} = \frac{6}{QC}$
$QC = \frac{6 \times 5}{3} = 10$.
હવે,$AC$ શોધવા માટે:
$AC = AQ + QC = 6 + 10 = 16$.
વૈકલ્પિક રીતે,$\frac{AP}{AB} = \frac{AQ}{AC}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{3}{3+5} = \frac{6}{AC}$
$\frac{3}{8} = \frac{6}{AC}$
$AC = \frac{6 \times 8}{3} = 16$.

(B) $\Delta XYZ$ માં,$XM$ એ $\angle X$ નો દ્વિભાજક છે,જે $\overline{YZ}$ ને $M$ માં છેદે છે.
ત્રિકોણના ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,ખૂણો બનાવતી બાજુઓનો ગુણોત્તર એ સામેની બાજુના રેખાખંડોના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે.
$\therefore \frac{XY}{XZ} = \frac{YM}{MZ}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\therefore \frac{6}{8} = \frac{4.2}{MZ}$
$\therefore MZ = \frac{4.2 \times 8}{6}$
$\therefore MZ = 0.7 \times 8 = 5.6$
હવે,$YZ = YM + MZ$ (કારણ કે $Y-M-Z$ સમરેખ છે).
$YZ = 4.2 + 5.6 = 9.8$.

(C) $\Delta ABC$ માં,$\angle A$ નો દ્વિભાજક $\overline{BC}$ ને $D$ માં છેદે છે. ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ:
$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$
આપેલ છે કે $\frac{AB}{5} = \frac{AC}{3}$,તેથી $\frac{AB}{AC} = \frac{5}{3}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{5}{3} = \frac{4.5}{DC}$
$DC = \frac{4.5 \times 3}{5} = 0.9 \times 3 = 2.7$
અહીં $D$ એ $BC$ પર આવેલું હોવાથી,$BC = BD + DC$.
$BC = 4.5 + 2.7 = 7.2$.

(N/A) $\Delta ABC$ માં,$\angle A$ નો દ્વિભાજક $\overline{BC}$ ને $D$ માં છેદે છે.
ત્રિકોણના ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ:
$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$
$BD$ શોધવા માટે:
$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$
યોગ પ્રમાણના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{AB}{AB + AC} = \frac{BD}{BD + DC} = \frac{BD}{BC}$
$\therefore BD = \frac{BC \times AB}{AB + AC}$
$DC$ શોધવા માટે:
$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \implies \frac{AC}{AB} = \frac{DC}{BD}$
યોગ પ્રમાણનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{AC + AB}{AB} = \frac{DC + BD}{BD} = \frac{BC}{BD}$
$\implies \frac{AC}{AC + AB} = \frac{DC}{BC}$
$\therefore DC = \frac{BC \times AC}{AB + AC}$