Mix Examples - Statistics Questions in Gujarati

(A) સંચયી આવૃત્તિ કોષ્ટક એ એક આંકડાકીય સાધન છે જેનો ઉપયોગ દરેક વર્ગ અંતરાલની આવૃત્તિઓનો સરવાળો કરીને ડેટાને વ્યવસ્થિત કરવા માટે થાય છે.
આ કોષ્ટક ખાસ કરીને વર્ગીકૃત આવૃત્તિ વિતરણના મધ્યસ્થની ગણતરી કરવા માટે જરૂરી છે.
મધ્યસ્થ માટેનું સૂત્ર $Median = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$ છે,જ્યાં $cf$ એ મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ દર્શાવે છે.
જ્યારે મધ્યક અને બહુલકની ગણતરી સાદા આવૃત્તિ કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે,ત્યારે મધ્યસ્થ માટે સંચયી આવૃત્તિ અનિવાર્ય છે.

(B) આપેલ માહિતી 'થી વધુ' પ્રકારનું સંચયી આવૃત્તિ વિતરણ છે.
$16000-19000$ ના આવક ગાળામાં પરિવારોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $16000$ થી વધુ આવક ધરાવતા પરિવારોની સંખ્યામાંથી $19000$ થી વધુ આવક ધરાવતા પરિવારોની સંખ્યા બાદ કરીશું.
$16000$ થી વધુ આવક ધરાવતા પરિવારોની સંખ્યા $= 69$.
$19000$ થી વધુ આવક ધરાવતા પરિવારોની સંખ્યા $= 50$.
$16000-19000$ ના ગાળામાં પરિવારોની સંખ્યા $= 69 - 50 = 19$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) $1$. બહુલક વર્ગ: સૌથી વધુ આવૃત્તિ ધરાવતો વર્ગ એ બહુલક વર્ગ છે. અહીં,સૌથી વધુ આવૃત્તિ $15$ છે,જે $150-155$ વર્ગ અંતરાલને અનુરૂપ છે. તેથી,બહુલક વર્ગની અધઃસીમા $150$ છે.
$2$. મધ્યસ્થ વર્ગ: મધ્યસ્થ વર્ગ શોધવા માટે,આપણે સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ ગણીએ છીએ:
- $150-155$: $cf = 15$
- $155-160$: $cf = 15 + 13 = 28$
- $160-165$: $cf = 28 + 10 = 38$
- $165-170$: $cf = 38 + 8 = 46$
- $170-175$: $cf = 46 + 9 = 55$
- $175-180$: $cf = 55 + 5 = 60$
કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $N = 60$ છે. તેથી,$N/2 = 30$. $30$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ $38$ છે,જે $160-165$ વર્ગ અંતરાલને અનુરૂપ છે. તેથી,મધ્યસ્થ વર્ગની ઉર્ધ્વસીમા $165$ છે.
$3$. અંતિમ ગણતરી: બહુલક વર્ગની અધઃસીમા $(150)$ અને મધ્યસ્થ વર્ગની ઉર્ધ્વસીમા $(165)$ નો સરવાળો $150 + 165 = 315$ થાય છે.

(A) મધ્યક શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ દરેક વર્ગ અંતરાલ માટે મધ્યકિંમત $(x_i)$ ગણીએ છીએ.

વર્ગ	આવૃત્તિ $(f_i)$	મધ્યકિંમત $(x_i)$	$d_i = x_i - A$	$u_i = \frac{x_i - A}{c}$	$f_i x_i$	$f_i d_i$	$f_i u_i$
$50-70$	$10$	$60$	$-20$	$-1$	$600$	$-200$	$-10$
$70-90$	$18$	$80 = A$	$0$	$0$	$1440$	$0$	$0$
$90-110$	$7$	$100$	$20$	$1$	$700$	$140$	$7$
$110-130$	$6$	$120$	$40$	$2$	$720$	$240$	$12$
$130-150$	$5$	$140$	$60$	$3$	$700$	$300$	$15$
$150-170$	$4$	$160$	$80$	$4$	$640$	$320$	$16$
કુલ	$\Sigma f_i = 50$	-	-	-	$\Sigma f_i x_i = 4800$	$\Sigma f_i d_i = 800$	$\Sigma f_i u_i = 40$

અહીં,$A = 80$ અને $c = 20$.
$1$. પ્રત્યક્ષ રીત: $\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} = \frac{4800}{50} = 96$.
$2$. ધારેલા મધ્યકની રીત: $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_i d_i}{\Sigma f_i} = 80 + \frac{800}{50} = 80 + 16 = 96$.
$3$. પદ-વિચલનની રીત: $\bar{x} = A + \left( \frac{\Sigma f_i u_i}{\Sigma f_i} \right) \times c = 80 + \left( \frac{40}{50} \right) \times 20 = 80 + 16 = 96$.
આમ,માહિતીનો મધ્યક $96$ છે.

(A) મધ્યક શોધવા માટે,આપણે ધારેલા મધ્યક $A = 549.5$ અને વર્ગ લંબાઈ $c = 100$ સાથે પદ-વિચલનની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

વર્ગ	આવૃત્તિ $(f_{i})$	મધ્યકિંમત $(x_{i})$	$u_{i} = \frac{x_{i} - A}{c}$	$f_{i} u_{i}$
$200-299$	$3$	$249.5$	$-3$	$-9$
$300-399$	$61$	$349.5$	$-2$	$-122$
$400-499$	$118$	$449.5$	$-1$	$-118$
$500-599$	$139$	$549.5 (A)$	$0$	$0$
$600-699$	$126$	$649.5$	$1$	$126$
$700-799$	$151$	$749.5$	$2$	$302$
$800-899$	$2$	$849.5$	$3$	$6$
કુલ	$\Sigma f_{i} = 600$	-	-	$\Sigma f_{i} u_{i} = 185$

મધ્યકનું સૂત્ર $\bar{x} = A + \left( \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \right) \times c$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\bar{x} = 549.5 + \left( \frac{185}{600} \right) \times 100$
$\bar{x} = 549.5 + \frac{185}{6}$
$\bar{x} = 549.5 + 30.833...$
$\bar{x} \approx 580.33$
આમ,માહિતીનો મધ્યક $580.33$ છે.

(B) ખૂટતી આવૃત્તિ $f$ શોધવા માટે,આપણે મધ્યક માટે પદ-વિચલન રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\bar{x} = A + \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right) \times c$.

વર્ગ	આવૃત્તિ $(f_i)$	મધ્યકિંમત $(x_i)$	$u_i = \frac{x_i - A}{c}$	$f_i u_i$
$0-10$	$8$	$5$	$-4$	$-32$
$10-20$	$4$	$15$	$-3$	$-12$
$20-30$	$20$	$25$	$-2$	$-40$
$30-40$	$45$	$35$	$-1$	$-45$
$40-50$	$64$	$45=A$	$0$	$0$
$50-60$	$32$	$55$	$1$	$32$
$60-70$	$f$	$65$	$2$	$2f$
$70-80$	$8$	$75$	$3$	$24$
$80-90$	$2$	$85$	$4$	$8$
$90-100$	$2$	$95$	$5$	$10$
કુલ	$\sum f_i = 185 + f$	-	-	$\sum f_i u_i = 2f - 55$

અહીં,$A = 45$ અને $c = 10$.
આપેલ છે $\bar{x} = 43.75$.
$43.75 = 45 + \frac{2f - 55}{185 + f} \times 10$
$-1.25 = \frac{10(2f - 55)}{185 + f}$
$-1.25(185 + f) = 20f - 550$
$-231.25 - 1.25f = 20f - 550$
$550 - 231.25 = 20f + 1.25f$
$318.75 = 21.25f$
$f = \frac{318.75}{21.25} = 15$.
આમ,ખૂટતી આવૃત્તિ $f = 15$ છે.

(C) ધારેલા મધ્યકની રીતનો ઉપયોગ કરીને વર્ગીકૃત માહિતીનો મધ્યક શોધવાનું સૂત્ર $\bar{x} = a + \frac{\sum f_{i} d_{i}}{\sum f_{i}}$ છે.
આ સૂત્રમાં,$a$ એ ધારેલો મધ્યક છે.
પદ $d_{i}$ એ ધારેલા મધ્યક $(a)$ થી વર્ગની મધ્યકિંમતો $(x_{i})$ ના વિચલનને દર્શાવે છે.
તેથી,$d_{i} = x_{i} - a$,જ્યાં $x_{i}$ એ વર્ગોની મધ્યકિંમતો છે.

(D) વર્ગીકૃત માહિતીનો મધ્યક શોધતી વખતે,આપણે એવું માનીએ છીએ કે વર્ગમાં રહેલા દરેક અવલોકન તેની મધ્યકિંમત (વર્ગચિહ્ન) જેટલા જ છે. તેથી,આવૃત્તિઓ વર્ગોની મધ્યકિંમત પર કેન્દ્રિત છે તેમ માનવામાં આવે છે.

(A) વર્ગીકૃત માહિતીનો મધ્યક $\bar{x}$ એ સૂત્ર $\bar{x} = \frac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f_{i}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = \sum f_{i}$ છે.
આને $\sum f_{i} x_{i} = n \bar{x}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આપણે $\sum (f_{i} x_{i} - f_{i} \bar{x})$ નો સરવાળો શોધવાનો છે.
સરવાળાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sum f_{i} x_{i} - \sum f_{i} \bar{x}$ મળે છે.
$\bar{x}$ અચળ હોવાથી,આપણે તેને સરવાળાની બહાર લઈ શકીએ છીએ: $\sum f_{i} x_{i} - \bar{x} \sum f_{i}$.
$\sum f_{i} x_{i} = n \bar{x}$ અને $\sum f_{i} = n$ મૂકતા,આપણને $n \bar{x} - \bar{x} (n) = n \bar{x} - n \bar{x} = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ સૂત્ર $\bar{x} = a + h \left( \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \right)$ એ વર્ગીકૃત આવૃત્તિ વિતરણનો મધ્યક શોધવા માટેની પદ-વિચલનની રીતનું સૂત્ર છે.
આ સૂત્રમાં,$a$ એ ધારેલો મધ્યક છે,$h$ એ વર્ગ લંબાઈ છે,$x_{i}$ એ વર્ગની મધ્યકિંમત છે અને $u_{i}$ એ વિચલનને વર્ગ લંબાઈ વડે ભાગતા મળતી કિંમત છે.
તેથી,$u_{i}$ માટેનું સૂત્ર $u_{i} = \frac{x_{i} - a}{h}$ થાય છે.

(C) સંચયી આવૃત્તિ વક્રોને ઓજાઈવ (ogive) તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. 'થી ઓછા' પ્રકારના ઓજાઈવ અને 'થી વધુ' પ્રકારના ઓજાઈવને એક જ આલેખ પર દોરવામાં આવે છે. જે બિંદુએ આ બંને વક્રો એકબીજાને છેદે છે,તે બિંદુ વર્ગીકૃત માહિતીનો મધ્યસ્થ દર્શાવે છે. આ છેદબિંદુનો $x$-યામ (abscissa) એ માહિતીનો મધ્યસ્થ આપે છે.

(D) મધ્યસ્થ વર્ગ અને બહુલક વર્ગ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સંચયી આવૃત્તિ કોષ્ટક તૈયાર કરીએ:

વર્ગ	આવૃત્તિ $(f)$	સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$
$0-5$	$10$	$10$
$5-10$	$15$	$25$
$10-15$	$12$	$37$
$15-20$	$20$	$57$
$20-25$	$9$	$66$

$1$. કુલ આવૃત્તિ $N = 66$. તેથી,$\frac{N}{2} = \frac{66}{2} = 33$.
$2$. $33$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ $37$ છે,જે વર્ગ અંતરાલ $10-15$ ને અનુરૂપ છે. આમ,મધ્યસ્થ વર્ગ $10-15$ છે,અને તેની અધઃસીમા $10$ છે.
$3$. સૌથી મોટી આવૃત્તિ $20$ છે,જે વર્ગ અંતરાલ $15-20$ ને અનુરૂપ છે. આમ,બહુલક વર્ગ $15-20$ છે,અને તેની અધઃસીમા $15$ છે.
$4$. અધઃસીમાઓનો સરવાળો $10 + 15 = 25$ થાય છે.

(A) મધ્યસ્થ વર્ગ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ અસતત વર્ગ અંતરાલોને સતત વર્ગમાં ફેરવીએ છીએ. એક વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમા અને બીજા વર્ગની અધઃ સીમા વચ્ચેનો તફાવત $1$ છે. તેથી,આપણે અધઃ સીમામાંથી $0.5$ બાદ કરીએ છીએ અને ઉર્ધ્વ સીમામાં $0.5$ ઉમેરીએ છીએ.

વર્ગ	આવૃત્તિ $(f)$	સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$
$-0.5-5.5$	$13$	$13$
$5.5-11.5$	$10$	$23$
$11.5-17.5$	$15$	$38$
$17.5-23.5$	$8$	$46$
$23.5-29.5$	$11$	$57$

કુલ આવૃત્તિ $N = 57$. મધ્યસ્થનું સ્થાન $N/2 = 57/2 = 28.5$ છે. $28.5$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ $38$ છે,જે વર્ગ અંતરાલ $11.5-17.5$ ને અનુરૂપ છે. તેથી,મધ્યસ્થ વર્ગ $11.5-17.5$ છે. આ વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમા $17.5$ છે.

(B) બહુલક વર્ગ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સંચયી આવૃત્તિ વિતરણને પ્રમાણિત આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટકમાં ફેરવીએ છીએ:

વર્ગ અંતરાલ	આવૃત્તિ
$0-10$	$3$
$10-20$	$12 - 3 = 9$
$20-30$	$27 - 12 = 15$
$30-40$	$57 - 27 = 30$
$40-50$	$75 - 57 = 18$
$50-60$	$80 - 75 = 5$

બહુલક વર્ગ એ સૌથી વધુ આવૃત્તિ ધરાવતો વર્ગ અંતરાલ છે.
કોષ્ટક પરથી,સૌથી વધુ આવૃત્તિ $30$ છે,જે $30-40$ વર્ગ અંતરાલને અનુરૂપ છે.
તેથી,બહુલક વર્ગ $30-40$ છે.

(C) મધ્યસ્થ વર્ગ અને બહુલક વર્ગ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ ની ગણતરી કરીશું:

વર્ગ	આવૃત્તિ $(f)$	સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$
$65-85$	$4$	$4$
$85-105$	$5$	$9$
$105-125$	$13$	$22$
$125-145$	$20$	$42$
$145-165$	$14$	$56$
$165-185$	$7$	$63$
$185-205$	$4$	$67$

કુલ આવૃત્તિ $N = 67$. તેથી,$\frac{N}{2} = \frac{67}{2} = 33.5$.
$33.5$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ $42$ છે,જે વર્ગ અંતરાલ $125-145$ ને અનુરૂપ છે. તેથી,મધ્યસ્થ વર્ગ $125-145$ છે. મધ્યસ્થ વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમા $145$ છે.
સૌથી વધુ આવૃત્તિ $20$ છે,જે વર્ગ અંતરાલ $125-145$ ને અનુરૂપ છે. તેથી,બહુલક વર્ગ $125-145$ છે. બહુલક વર્ગની અધઃ સીમા $125$ છે.
જરૂરી તફાવત = (મધ્યસ્થ વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમા) - (બહુલક વર્ગની અધઃ સીમા) = $145 - 125 = 20$.

(D) $14.6\, s$ થી ઓછો સમય લઈને રેસ પૂર્ણ કરનાર એથ્લેટ્સની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $14.6$ થી ઓછા તમામ વર્ગોની આવૃત્તિઓનો સરવાળો કરવો પડશે.
$14.6$ થી ઓછા વર્ગો નીચે મુજબ છે:
$13.8-14.0$ (આવૃત્તિ $= 2$)
$14.0-14.2$ (આવૃત્તિ $= 4$)
$14.2-14.4$ (આવૃત્તિ $= 5$)
$14.4-14.6$ (આવૃત્તિ $= 71$)
એથ્લેટ્સની કુલ સંખ્યા $= 2 + 4 + 5 + 71 = 82$.

(A) વર્ગ અંતરાલ $30-40$ ની આવૃત્તિ શોધવા માટે, આપણે $30$ કે તેથી વધુ ગુણ મેળવનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યામાંથી $40$ કે તેથી વધુ ગુણ મેળવનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા બાદ કરીશું.
વર્ગ $30-40$ ની આવૃત્તિ $= (\text{30 કે તેથી વધુ ગુણ મેળવનાર વિદ્યાર્થીઓ}) - (\text{40 કે તેથી વધુ ગુણ મેળવનાર વિદ્યાર્થીઓ})$
વર્ગ $30-40$ ની આવૃત્તિ $= 51 - 48 = 3$.
આમ, વર્ગ $30-40$ ની આવૃત્તિ $3$ છે.

(B) આ વિધાન સાચું નથી.
જ્યારે આપણે વર્ગીકૃત માહિતીનો મધ્યક ગણીએ છીએ,ત્યારે આપણે એવું માની લઈએ છીએ કે દરેક વર્ગની આવૃત્તિ તે વર્ગના મધ્યબિંદુ પર કેન્દ્રિત છે.
વાસ્તવમાં,એક વર્ગની અંદરના વ્યક્તિગત અવલોકનો ભાગ્યે જ બરાબર મધ્યબિંદુ પર વિતરિત થયેલા હોય છે.
તેથી,વર્ગીકૃત માહિતી પરથી ગણવામાં આવેલ મધ્યક એ એક અંદાજ છે,અને તે મૂળ અવર્ગીકૃત માહિતી પરથી ગણવામાં આવેલા મધ્યક જેટલો ભાગ્યે જ હોય છે.

(B) ના,એવું કહેવું યોગ્ય નથી કે ઓજાઈવ એ આવૃત્તિ વિતરણનું આલેખકીય નિરૂપણ છે.
ઓજાઈવ એ ખાસ કરીને સંચયી આવૃત્તિ વિતરણનું આલેખકીય નિરૂપણ છે.
આવૃત્તિ વિતરણને સામાન્ય રીતે સ્તંભાલેખ (histogram),આવૃત્તિ બહુકોણ અથવા આવૃત્તિ વક્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,ઓજાઈવનો ઉપયોગ સંચયી આવૃત્તિ દર્શાવવા માટે થાય છે,સાદા આવૃત્તિ વિતરણ માટે નહીં.

(N/A) ના,આ વિધાન સાચું નથી. અવર્ગીકૃત માહિતીનો મધ્યસ્થ અને વર્ગીકૃત માહિતી પરથી ગણવામાં આવેલ મધ્યસ્થ હંમેશા સમાન હોતા નથી. આનું કારણ એ છે કે વર્ગીકૃત માહિતીના મધ્યસ્થની ગણતરી માટે વપરાતું સૂત્ર,$\text{Median} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$,એ ધારણા પર આધારિત છે કે દરેક વર્ગ અંતરાલની અંદરના અવલોકનો સમાન રીતે (uniformly) વિતરિત થયેલા છે. વાસ્તવમાં,વર્ગોની અંદર ડેટાનું વાસ્તવિક વિતરણ સમાન ન પણ હોય,જેના કારણે બંને મૂલ્યો વચ્ચે થોડો તફાવત જોવા મળે છે.

(N/A) ના,આ વિધાન ખોટું છે. ગણતરી સરળ બનાવવા માટે ધારેલા મધ્યક $a$ તરીકે વર્ગના મધ્યબિંદુઓમાંથી કોઈ એકને પસંદ કરવાની પ્રથા સામાન્ય છે,પરંતુ તે ગાણિતિક રીતે ફરજિયાત નથી. ધારેલો મધ્યક $a$ એ માહિતીના સમૂહમાંથી અથવા તેની બહારની કોઈપણ મનસ્વી કિંમત હોઈ શકે છે,જો તે વિચલનો $d_i = x_i - a$ ની ગણતરીને સરળ બનાવવામાં મદદ કરતી હોય.

(N/A) ના,એવું કહેવું સાચું નથી કે જૂથબદ્ધ માહિતીનો મધ્યક,બહુલક અને મધ્યસ્થ હંમેશા અલગ-અલગ હોય છે.
કેન્દ્રીય સ્થિતિમાનના આ ત્રણ માપદંડો માહિતીના પ્રકાર પર આધારિત હોવાથી સમાન પણ હોઈ શકે છે.
ઉદાહરણ તરીકે,સંપૂર્ણ સંમિત વિતરણમાં (જેમ કે પ્રમાણિત વિતરણ),મધ્યક,મધ્યસ્થ અને બહુલક સમાન હોય છે.
તેથી,આ ત્રણ માપદંડોની કિંમતો સંપૂર્ણપણે માહિતીના વિતરણ પર આધાર રાખે છે.

(N/A) ના,વર્ગીકૃત માહિતીનો મધ્યસ્થ વર્ગ અને બહુલક વર્ગ હંમેશા અલગ હોતા નથી. માહિતીના વિતરણના આધારે તે સમાન હોઈ શકે છે.
સમર્થન:
$1$. બહુલક વર્ગ એ સૌથી વધુ આવૃત્તિ ધરાવતો વર્ગ અંતરાલ છે.
$2$. મધ્યસ્થ વર્ગ એ વર્ગ અંતરાલ છે જ્યાં સંચયી આવૃત્તિ $N/2$ સુધી પહોંચે છે,જ્યાં $N$ એ અવલોકનોની કુલ સંખ્યા છે.
$3$. ઘણા આવૃત્તિ વિતરણોમાં,સૌથી વધુ આવૃત્તિ ધરાવતો વર્ગ ઘણીવાર મધ્યસ્થ અવલોકન ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે,સંમિત વિતરણમાં,મધ્યક,મધ્યસ્થ અને બહુલક ઘણીવાર એક જ હોય છે,અને મધ્યસ્થ વર્ગ અને બહુલક વર્ગ વારંવાર એકબીજા સાથે સુસંગત અથવા સમાન હોય છે.

(N/A) સંચયી આવૃત્તિ વિતરણ તૈયાર કરવા માટે,આપણે દરેક વર્ગની આવૃત્તિને તેના અગાઉના તમામ વર્ગોની આવૃત્તિઓના સરવાળામાં ઉમેરીએ છીએ.

વર્ગ	આવૃત્તિ	સંચયી આવૃત્તિ
$12.5-17.5$	$2$	$2$
$17.5-22.5$	$22$	$2 + 22 = 24$
$22.5-27.5$	$19$	$24 + 19 = 43$
$27.5-32.5$	$14$	$43 + 14 = 57$
$32.5-37.5$	$13$	$57 + 13 = 70$

(A) દૈનિક વેતનનો મધ્યક શોધવા માટે,આપણે પ્રત્યક્ષ રીતના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$.
પ્રથમ,આપણે દરેક વર્ગ માટે વર્ગચિહ્ન $(x_i)$ ગણીએ છીએ: $x_i = \frac{\text{અધઃસીમા} + \text{ઉર્ધ્વસીમા}}{2}$.

દૈનિક વેતન (રૂપિયામાં)	વર્ગચિહ્ન $(x_i)$	કામદારોની સંખ્યા $(f_i)$	$f_i x_i$
$100-120$	$110$	$10$	$1100$
$120-140$	$130$	$15$	$1950$
$140-160$	$150$	$20$	$3000$
$160-180$	$170$	$22$	$3740$
$180-200$	$190$	$18$	$3420$
$200-220$	$210$	$12$	$2520$
$220-240$	$230$	$13$	$2990$

આવૃત્તિઓનો સરવાળો $\sum f_i = 10 + 15 + 20 + 22 + 18 + 12 + 13 = 110$.
ગુણાકારોનો સરવાળો $\sum f_i x_i = 1100 + 1950 + 3000 + 3740 + 3420 + 2520 + 2990 = 18720$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{18720}{110} \approx 170.18$.
આમ,કામદારોના દૈનિક વેતનનો મધ્યક $Rs. 170.18$ છે.

(B)

ગુણ (વર્ગ)	આવૃત્તિ $(f)$	સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$
$30-35$	$14$	$14$
$35-40$	$16$	$30$
$40-45$	$18$	$48$
$45-50$	$23$	$71$
$50-55$	$18$	$89$
$55-60$	$8$	$97$
$60-65$	$3$	$100$

અહીં,$n = 100$.
તેથી,$\frac{n}{2} = \frac{100}{2} = 50$.
$50$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ $71$ છે,જે વર્ગ $45-50$ ને અનુરૂપ છે. તેથી,મધ્યસ્થ વર્ગ $45-50$ છે.
$l$ (મધ્યસ્થ વર્ગની અધઃસીમા) $= 45$
$cf$ (મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ) $= 48$
$f$ (મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ) $= 23$
$h$ (વર્ગ લંબાઈ) $= 5$
મધ્યસ્થનું સૂત્ર: $\text{મધ્યસ્થ} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{મધ્યસ્થ} = 45 + \left( \frac{50 - 48}{23} \right) \times 5$
$\text{મધ્યસ્થ} = 45 + \left( \frac{2}{23} \right) \times 5$
$\text{મધ્યસ્થ} = 45 + \frac{10}{23} \approx 45 + 0.4347 \approx 45.43$
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,ગુણની મધ્યસ્થ ટકાવારી $45.4$ છે.

(C) અહીં,મહત્તમ આવૃત્તિ $80$ છે અને આ આવૃત્તિને અનુરૂપ વર્ગ $5-7$ છે.
તેથી,બહુલક વર્ગ $5-7$ છે.
$l$ (બહુલક વર્ગની અધઃસીમા) $= 5$
$f_{1}$ (બહુલક વર્ગની આવૃત્તિ) $= 80$
$f_{0}$ (બહુલક વર્ગની આગળના વર્ગની આવૃત્તિ) $= 45$
$f_{2}$ (બહુલક વર્ગની પાછળના વર્ગની આવૃત્તિ) $= 55$
$h$ (વર્ગ લંબાઈ) $= 2$
બહુલક $= l + \left( \frac{f_{1} - f_{0}}{2f_{1} - f_{0} - f_{2}} \right) \times h$
બહુલક $= 5 + \left( \frac{80 - 45}{2(80) - 45 - 55} \right) \times 2$
બહુલક $= 5 + \left( \frac{35}{160 - 100} \right) \times 2$
બહુલક $= 5 + \left( \frac{35}{60} \right) \times 2 = 5 + \frac{35}{30}$
બહુલક $= 5 + 1.166... \approx 6.2$
આમ,ગામની ખેતીલાયક જમીનનો બહુલક $6.2$ હેક્ટર છે.

(D) મધ્યક શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ દરેક વર્ગ અંતરાલ માટે વર્ગ ચિહ્ન $(x_i)$ ની ગણતરી કરીએ છીએ,જેનું સૂત્ર છે: $x_i = \frac{\text{ઉર્ધ્વ સીમા} + \text{અધઃ સીમા}}{2}$.

વર્ગ	વર્ગ ચિહ્ન $(x_i)$	આવૃત્તિ $(f_i)$	$f_i x_i$
$1-3$	$2$	$9$	$18$
$3-5$	$4$	$22$	$88$
$5-7$	$6$	$27$	$162$
$7-10$	$8.5$	$17$	$144.5$
કુલ	-	$\Sigma f_i = 75$	$\Sigma f_i x_i = 412.5$

મધ્યક $(\bar{x})$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} = \frac{412.5}{75} = 5.5$.
આમ,આપેલ વિતરણનો મધ્યક $5.5$ છે.

(A) મધ્યક શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ દરેક વર્ગ માટે વર્ગ-ચિહ્ન $(x_i)$ શોધીએ છીએ,જેનું સૂત્ર: $x_i = \frac{\text{અધઃસીમા} + \text{ઉર્ધ્વસીમા}}{2}$ છે.

ગુણ	વર્ગ-ચિહ્ન $(x_i)$	આવૃત્તિ $(f_i)$	$f_i x_i$
$10-20$	$15$	$2$	$30$
$20-30$	$25$	$4$	$100$
$30-40$	$35$	$7$	$245$
$40-50$	$45$	$6$	$270$
$50-60$	$55$	$1$	$55$
કુલ	-	$\Sigma f_i = 20$	$\Sigma f_i x_i = 700$

મધ્યક $(\bar{x})$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે: $\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} = \frac{700}{20} = 35$.
આમ,$20$ વિદ્યાર્થીઓના ગુણનો મધ્યક $35$ છે.

(B) આપેલ માહિતી સતત ન હોવાથી,આપણે દરેક વર્ગની અધઃસીમામાંથી $0.5$ બાદ કરીને અને ઉર્ધ્વસીમામાં $0.5$ ઉમેરીને તેને સતત વર્ગ અંતરાલમાં ફેરવીએ છીએ.
હવે,આપણે દરેક વર્ગ માટે વર્ગ ચિહ્ન $x_{i}$ શોધીએ છીએ અને નીચે મુજબ ગણતરી કરીએ છીએ:

વર્ગ	વર્ગ ચિહ્ન $(x_{i})$	આવૃત્તિ $(f_{i})$	$f_{i} x_{i}$
$3.5-7.5$	$5.5$	$5$	$27.5$
$7.5-11.5$	$9.5$	$4$	$38$
$11.5-15.5$	$13.5$	$9$	$121.5$
$15.5-19.5$	$17.5$	$10$	$175$
કુલ	-	$\Sigma f_{i} = 28$	$\Sigma f_{i} x_{i} = 362$

તેથી,મધ્યક $\bar{x} = \frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}} = \frac{362}{28} \approx 12.93$.
આમ,આપેલ માહિતીનો મધ્યક $12.93$ છે.

(C) મધ્યક શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ વર્ગ અંતરાલને સતત બનાવીએ છીએ,જેના માટે આપણે નીચલી સીમામાંથી $0.5$ બાદ કરીએ છીએ અને ઉપલી સીમામાં $0.5$ ઉમેરીએ છીએ. ત્યારબાદ આપણે દરેક વર્ગ માટે મધ્ય કિંમત $(x_i)$ ગણીએ છીએ.

વર્ગ અંતરાલ	મધ્ય કિંમત $(x_i)$	આવૃત્તિ $(f_i)$	$f_i x_i$
$15.5-18.5$	$17$	$1$	$17$
$18.5-21.5$	$20$	$3$	$60$
$21.5-24.5$	$23$	$4$	$92$
$24.5-27.5$	$26$	$9$	$234$
$27.5-30.5$	$29$	$13$	$377$
કુલ	-	$\Sigma f_i = 30$	$\Sigma f_i x_i = 780$

મધ્યક નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે: $\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i}$.
$\bar{x} = \frac{780}{30} = 26$.
આમ,દરરોજ લખાયેલા પાનાઓની સરેરાશ $26$ છે.

(D) આપેલ માહિતી સતત ન હોવાથી,આપણે દરેક વર્ગની અધઃસીમામાંથી $0.5$ બાદ કરીને અને ઉર્ધ્વસીમામાં $0.5$ ઉમેરીને તેને સતત વર્ગોમાં ફેરવીએ છીએ.
હવે,આપણે દરેક વર્ગ માટે વર્ગ ચિહ્ન $(x_i)$ શોધીએ છીએ અને પદ-વિચલન (step-deviation) પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

આવક (રૂપિયામાં)	વર્ગ ચિહ્ન $(x_i)$	આવૃત્તિ $(f_i)$	$u_i = \frac{x_i - a}{h}$	$f_i u_i$
$0.5-200.5$	$100.5$	$14$	$-1$	$-14$
$200.5-400.5$	$300.5 (a)$	$15$	$0$	$0$
$400.5-600.5$	$500.5$	$14$	$1$	$14$
$600.5-800.5$	$700.5$	$7$	$2$	$14$
કુલ	-	$\Sigma f_i = 50$	-	$\Sigma f_i u_i = 14$

અહીં,ધારેલો મધ્યક $a = 300.5$,વર્ગ લંબાઈ $h = 200$,અને કુલ અવલોકનો $N = 50$ છે.
પદ-વિચલન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
મધ્યક $(\bar{x}) = a + h \times \left( \frac{\Sigma f_i u_i}{\Sigma f_i} \right)$
$\bar{x} = 300.5 + 200 \times \left( \frac{14}{50} \right)$
$\bar{x} = 300.5 + 4 \times 14$
$\bar{x} = 300.5 + 56 = 356.5$
આમ,સરેરાશ દૈનિક આવક $356.5$ રૂપિયા છે.

(A) રોકાયેલી સીટોની સરેરાશ સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે ધારેલા મધ્યકની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. સૌ પ્રથમ,આપણે દરેક વર્ગ માટે વર્ગ ચિહ્ન $(x_i)$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.

સીટોની સંખ્યા	વર્ગ ચિહ્ન $(x_i)$	આવૃત્તિ $(f_i)$	વિચલન $d_i = x_i - a$	$f_i d_i$
$100-104$	$102$	$15$	$-8$	$-120$
$104-108$	$106$	$20$	$-4$	$-80$
$108-112$	$a=110$	$32$	$0$	$0$
$112-116$	$114$	$18$	$4$	$72$
$116-120$	$118$	$15$	$8$	$120$
કુલ	-	$\Sigma f_i = 100$	-	$\Sigma f_i d_i = -8$

ધારેલો મધ્યક $(a) = 110$.
ધારેલા મધ્યકની રીત માટે મધ્યકનું સૂત્ર:
$\bar{x} = a + \frac{\Sigma f_i d_i}{\Sigma f_i}$
$\bar{x} = 110 + \left(\frac{-8}{100}\right)$
$\bar{x} = 110 - 0.08 = 109.92$
આમ,રોકાયેલી સીટોની સરેરાશ સંખ્યા $109.92$ છે.

(B) સરેરાશ વજન શોધવા માટે,આપણે ધારેલા મધ્યકની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. પ્રથમ,આપણે દરેક વર્ગ અંતરાલ માટે વર્ગ ચિહ્ન $(x_i)$ નક્કી કરીએ છીએ.

વજન (kg માં)	કુસ્તીબાજોની સંખ્યા $(f_i)$	વર્ગ ચિહ્ન $(x_i)$	વિચલન $(d_i = x_i - a)$	$f_i d_i$
$100-110$	$4$	$105$	$-20$	$-80$
$110-120$	$14$	$115$	$-10$	$-140$
$120-130$	$21$	$a = 125$	$0$	$0$
$130-140$	$8$	$135$	$10$	$80$
$140-150$	$3$	$145$	$20$	$60$
કુલ	$\Sigma f_i = 50$	-	-	$\Sigma f_i d_i = -80$

ધારો કે ધારેલો મધ્યક $(a) = 125$.
ધારેલા મધ્યકની રીત માટે મધ્યકનું સૂત્ર:
મધ્યક $(\bar{x}) = a + \frac{\Sigma f_i d_i}{\Sigma f_i}$
$= 125 + \frac{-80}{50}$
$= 125 - 1.6$
$= 123.4 \ kg$.

(A)

માઇલેજ $(km/l)$	વર્ગ ચિહ્ન $(x_i)$	કારની સંખ્યા $(f_i)$	$f_i x_i$
$10-12$	$11$	$7$	$77$
$12-14$	$13$	$12$	$156$
$14-16$	$15$	$18$	$270$
$16-18$	$17$	$13$	$221$
કુલ	-	$\Sigma f_i = 50$	$\Sigma f_i x_i = 724$

અહીં,$\Sigma f_i = 50$ અને $\Sigma f_i x_i = 724$.
સરેરાશ $\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} = \frac{724}{50} = 14.48$.
તેથી,સરેરાશ માઇલેજ $14.48 \, km/l$ છે.
ના,હું ઉત્પાદકના દાવા સાથે સહમત નથી,કારણ કે ગણતરી કરેલ સરેરાશ માઇલેજ $(14.48 \, km/l)$ એ તેમના દ્વારા કરવામાં આવેલા $16 \, km/l$ ના દાવા કરતા ઘણી ઓછી છે.

(N/A) સંચયી આવૃત્તિ વિતરણ (થી ઓછા પ્રકારનું) બનાવવા માટે,આપણે વર્ગની ઉપલી સીમા સુધીની તમામ આવૃત્તિઓનો સરવાળો કરીએ છીએ.

વજન (kg માં)	સંચયી આવૃત્તિ
$45$ થી ઓછું	$4$
$50$ થી ઓછું	$4 + 4 = 8$
$55$ થી ઓછું	$8 + 13 = 21$
$60$ થી ઓછું	$21 + 5 = 26$
$65$ થી ઓછું	$26 + 6 = 32$
$70$ થી ઓછું	$32 + 5 = 37$
$75$ થી ઓછું	$37 + 2 = 39$
$80$ થી ઓછું	$39 + 1 = 40$

(N/A) આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટક બનાવવા માટે,આપણે દરેક વર્ગ અંતરાલની આવૃત્તિ શોધવા માટે વર્તમાન વર્ગની સંચયી આવૃત્તિમાંથી અગાઉના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ બાદ કરીએ છીએ.

વર્ગ અંતરાલ	વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા (આવૃત્તિ)
$0-10$	$10$
$10-20$	$50 - 10 = 40$
$20-30$	$130 - 50 = 80$
$30-40$	$270 - 130 = 140$
$40-50$	$440 - 270 = 170$
$50-60$	$570 - 440 = 130$
$60-70$	$670 - 570 = 100$
$70-80$	$740 - 670 = 70$
$80-90$	$780 - 740 = 40$
$90-100$	$800 - 780 = 20$

(N/A) આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટક બનાવવા માટે,આપણે દરેક ચોક્કસ વર્ગ અંતરાલની આવૃત્તિ શોધવા માટે ક્રમિક અંતરાલોની સંચયી આવૃત્તિઓની બાદબાકી કરીએ છીએ.
અહીં કુલ ઉમેદવારોની સંખ્યા $34$ છે (જે '$0$ કે તેથી વધુ' શ્રેણીમાં જોઈ શકાય છે),તેથી આપણે દરેક વર્ગ અંતરાલ માટે આવૃત્તિ નીચે મુજબ ગણીએ છીએ:

વર્ગ અંતરાલ	આવૃત્તિ
$0-10$	$34-32 = 2$
$10-20$	$32-30 = 2$
$20-30$	$30-27 = 3$
$30-40$	$27-23 = 4$
$40-50$	$23-17 = 6$
$50-60$	$17-11 = 6$
$60-70$	$11-6 = 5$
$70-80$	$6-4 = 2$
$80-90$	$4$

(A) અજ્ઞાત કિંમતો શોધવા માટે,આપણે સંચયી આવૃત્તિની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં દરેક સંચયી આવૃત્તિ એ વર્તમાન વર્ગની આવૃત્તિ અને અગાઉના તમામ વર્ગોની આવૃત્તિઓનો સરવાળો છે.
$1$. પ્રથમ વર્ગ $(150-155)$ માટે,સંચયી આવૃત્તિ એ આવૃત્તિ જેટલી જ હોય છે: $a = 12$.
$2$. બીજા વર્ગ $(155-160)$ માટે,સંચયી આવૃત્તિ $12 + b = 25$ છે. તેથી,$b = 25 - 12 = 13$.
$3$. ત્રીજા વર્ગ $(160-165)$ માટે,સંચયી આવૃત્તિ $c = 12 + b + 10 = 12 + 13 + 10 = 35$ છે.
$4$. ચોથા વર્ગ $(165-170)$ માટે,સંચયી આવૃત્તિ $c + d = 43$ છે. $c = 35$ મૂકતા,આપણને $35 + d = 43$ મળે છે,તેથી $d = 43 - 35 = 8$.
$5$. પાંચમા વર્ગ $(170-175)$ માટે,સંચયી આવૃત્તિ $43 + e = 48$ છે. તેથી,$e = 48 - 43 = 5$.
$6$. છઠ્ઠા વર્ગ $(175-180)$ માટે,સંચયી આવૃત્તિ $f = 48 + 2 = 50$ છે. તેથી,$f = 50$.
આમ,અજ્ઞાત કિંમતો છે: $a = 12, b = 13, c = 35, d = 8, e = 5, f = 50$.

(N/A) $(i)$ 'થી ઓછા' પ્રકારનું સંચયી આવૃત્તિ વિતરણ બનાવવા માટે,આપણે દરેક વર્ગની આવૃત્તિમાં તેના અગાઉના તમામ વર્ગોની આવૃત્તિ ઉમેરીએ છીએ. અહીં ડેટા $10-20$ થી શરૂ થાય છે,તેથી આપણે માની લઈએ છીએ કે $10$ વર્ષથી ઓછી ઉંમરના $0$ દર્દીઓ છે.
$(ii)$ 'થી વધુ' પ્રકારનું સંચયી આવૃત્તિ વિતરણ બનાવવા માટે,આપણે કુલ દર્દીઓની સંખ્યા $(300)$ થી શરૂઆત કરીએ છીએ અને દરેક અગાઉના વર્ગની આવૃત્તિને બાદ કરતા જઈએ છીએ.

ઉંમર (વર્ષમાં)	થી ઓછા પ્રકારની (સંચયી આવૃત્તિ)	ઉંમર (વર્ષમાં)	થી વધુ પ્રકારની (સંચયી આવૃત્તિ)
$10$ થી ઓછી	$0$	$10$ કે તેથી વધુ	$300$
$20$ થી ઓછી	$60$	$20$ કે તેથી વધુ	$240$
$30$ થી ઓછી	$102$	$30$ કે તેથી વધુ	$198$
$40$ થી ઓછી	$157$	$40$ કે તેથી વધુ	$143$
$50$ થી ઓછી	$227$	$50$ કે તેથી વધુ	$73$
$60$ થી ઓછી	$280$	$60$ કે તેથી વધુ	$20$
$70$ થી ઓછી	$300$	$70$ કે તેથી વધુ	$0$

(N/A) સંચયી આવૃત્તિ વિતરણને આવૃત્તિ વિતરણમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે વર્તમાન વર્ગની સંચયી આવૃત્તિમાંથી અગાઉના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ બાદ કરીએ છીએ.
$1$. વર્ગ $0-20$ માટે,આવૃત્તિ $17$ છે.
$2$. વર્ગ $20-40$ માટે,આવૃત્તિ $22 - 17 = 5$ છે.
$3$. વર્ગ $40-60$ માટે,આવૃત્તિ $29 - 22 = 7$ છે.
$4$. વર્ગ $60-80$ માટે,આવૃત્તિ $37 - 29 = 8$ છે.
$5$. વર્ગ $80-100$ માટે,આવૃત્તિ $50 - 37 = 13$ છે.
પરિણામી આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

ગુણ	વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા
$0-20$	$17$
$20-40$	$5$
$40-60$	$7$
$60-80$	$8$
$80-100$	$13$

(B) સૌ પ્રથમ,આપણે સંચયી આવૃત્તિ કોષ્ટક બનાવીએ:

સાપ્તાહિક આવક (રૂ.)	પરિવારોની સંખ્યા $(f_i)$	સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$
$0-1000$	$250$	$250$
$1000-2000$	$190$	$440$
$2000-3000$	$100$	$540$
$3000-4000$	$40$	$580$
$4000-5000$	$15$	$595$
$5000-6000$	$5$	$600$

અહીં $n = 600$ આપેલ છે,તેથી $\frac{n}{2} = \frac{600}{2} = 300$.
$300$ થી મોટી સંચયી આવૃત્તિ $440$ છે,જે મધ્યસ્થ વર્ગ $1000-2000$ માં આવે છે.
અહીં,અધઃસીમા $l = 1000$,આવૃત્તિ $f = 190$,મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ $cf = 250$,અને વર્ગ લંબાઈ $h = 1000$ છે.
મધ્યસ્થનું સૂત્ર વાપરતા:
$\text{મધ્યસ્થ} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$= 1000 + \left( \frac{300 - 250}{190} \right) \times 1000$
$= 1000 + \left( \frac{50}{190} \right) \times 1000$
$= 1000 + \frac{5000}{19}$
$= 1000 + 263.157... \approx 1263.15$
આમ,મધ્યસ્થ આવક $Rs. 1263.15$ છે.

(C) અહીં કુલ ખેલાડીઓની સંખ્યા $n = 33$ છે.
$\therefore \frac{n}{2} = \frac{33}{2} = 16.5$.
મધ્યસ્થ વર્ગ શોધવા માટે,આપણે સંચયી આવૃત્તિ જોઈએ:
- $85-100$: $11$
- $100-115$: $11 + 9 = 20$
$16.5$ એ સંચયી આવૃત્તિ $20$ માં આવે છે,તેથી મધ્યસ્થ વર્ગ $100-115$ છે.
અહીં,અધઃસીમા $(l) = 100$,આવૃત્તિ $(f) = 9$,મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ $(cf) = 11$,અને વર્ગ લંબાઈ $(h) = 15$ છે.
મધ્યસ્થનું સૂત્ર વાપરતા:
$\text{મધ્યસ્થ} = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$= 100 + \left( \frac{16.5 - 11}{9} \right) \times 15$
$= 100 + \left( \frac{5.5}{9} \right) \times 15$
$= 100 + \frac{82.5}{9} = 100 + 9.166... \approx 109.17$.
આમ,મધ્યસ્થ બોલિંગ ઝડપ $109.17 \, km/h$ છે.

(D) આપેલ માહિતીમાં,સૌથી વધુ આવૃત્તિ $41$ છે,જે બહુલક વર્ગ $10000-15000$ માં આવે છે.
અહીં,બહુલક વર્ગની અધઃસીમા $l = 10000$,બહુલક વર્ગની આવૃત્તિ $f_m = 41$,બહુલક વર્ગની આગળના વર્ગની આવૃત્તિ $f_1 = 26$,બહુલક વર્ગની પાછળના વર્ગની આવૃત્તિ $f_2 = 16$ અને વર્ગ લંબાઈ $h = 5000$ છે.
બહુલકનું સૂત્ર:
$\text{બહુલક} = l + \left( \frac{f_m - f_1}{2f_m - f_1 - f_2} \right) \times h$
કિંમતો મૂકતા:
$\text{બહુલક} = 10000 + \left( \frac{41 - 26}{2 \times 41 - 26 - 16} \right) \times 5000$
$= 10000 + \left( \frac{15}{82 - 42} \right) \times 5000$
$= 10000 + \left( \frac{15}{40} \right) \times 5000$
$= 10000 + 15 \times 125$
$= 10000 + 1875 = 11875$
આમ,બહુલક આવક $Rs. 11875$ છે.

(A) આપેલ માહિતીમાં,સૌથી વધુ આવૃત્તિ $26$ છે,જે બહુલક વર્ગ $201-202$ માં આવે છે.
અહીં,બહુલક વર્ગની અધઃસીમા $l = 201$,બહુલક વર્ગની આવૃત્તિ $f_m = 26$,બહુલક વર્ગની આગળના વર્ગની આવૃત્તિ $f_1 = 12$,બહુલક વર્ગની પાછળના વર્ગની આવૃત્તિ $f_2 = 20$ અને વર્ગ લંબાઈ $h = 1$ છે.
બહુલકનું સૂત્ર:
$\text{બહુલક} = l + \left( \frac{f_m - f_1}{2f_m - f_1 - f_2} \right) \times h$
કિંમતો મૂકતા:
$\text{બહુલક} = 201 + \left( \frac{26 - 12}{2 \times 26 - 12 - 20} \right) \times 1$
$= 201 + \left( \frac{14}{52 - 32} \right)$
$= 201 + \frac{14}{20} = 201 + 0.7 = 201.7 \, g$.
આમ,બહુલક વજન $201.7 \, g$ છે.

(N/A) સૌ પ્રથમ,આપણે સંચયી આવૃત્તિ વિતરણને પ્રમાણિત આવૃત્તિ વિતરણમાં ફેરવીએ છીએ. વર્ગ અંતરાલ $20-30$ થી શરૂ થાય છે કારણ કે ઉંમર $20$ વર્ષ કે તેથી વધુ છે.

વર્ગ અંતરાલ	આવૃત્તિ $(f_i)$	વર્ગ ચિહ્ન $(x_i)$	$u_i = \frac{x_i - 45}{10}$	$f_i u_i$
$20-30$	$100$	$25$	$-2$	$-200$
$30-40$	$120$	$35$	$-1$	$-120$
$40-50$	$130$	$45$	$0$	$0$
$50-60$	$400$	$55$	$1$	$400$
$60-70$	$200$	$65$	$2$	$400$
$70-80$	$50$	$75$	$3$	$150$
કુલ	$\sum f_i = 1000$	-	-	$\sum f_i u_i = 630$

પદ-વિચલન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા: $\text{મધ્યક} (\bar{x}) = a + h \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right)$
અહીં,$a = 45$,$h = 10$,$\sum f_i u_i = 630$,અને $\sum f_i = 1000$.
$\bar{x} = 45 + 10 \left( \frac{630}{1000} \right) = 45 + 6.3 = 51.3$.
આમ,સરેરાશ ઉંમર $51.3$ વર્ષ છે.

(A) કુલ આવૃત્તિ $\Sigma f_i = 100$ આપેલ છે.
આવૃત્તિઓનો સરવાળો: $17 + f_1 + 32 + f_2 + 19 = 68 + f_1 + f_2 = 100 \implies f_1 + f_2 = 32$ (સમીકરણ $1$).
પદ-વિચલન રીતનો ઉપયોગ કરતા: $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_i u_i}{\Sigma f_i} \times c$,જ્યાં $A = 65$ (ધારેલો મધ્યક),$c = 20$ (વર્ગ લંબાઈ).

વર્ગ	આવૃત્તિ $(f_i)$	મધ્યકિંમત $(x_i)$	$u_i = \frac{x_i - 65}{20}$	$f_i u_i$
$15-35$	$17$	$25$	$-2$	$-34$
$35-55$	$f_1$	$45$	$-1$	$-f_1$
$55-75$	$32$	$65$	$0$	$0$
$75-95$	$f_2$	$85$	$1$	$f_2$
$95-115$	$19$	$105$	$2$	$38$
કુલ	$100$	-	-	$f_2 - f_1 + 4$

મધ્યક $\bar{x} = 65 + \frac{f_2 - f_1 + 4}{100} \times 20 = 65$.
$65 + \frac{f_2 - f_1 + 4}{5} = 65 \implies f_2 - f_1 + 4 = 0 \implies f_1 - f_2 = 4$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા: $2f_1 = 36 \implies f_1 = 18$.
$f_1 = 18$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મુકતા: $18 + f_2 = 32 \implies f_2 = 14$.
આમ,ખૂટતી આવૃત્તિઓ $f_1 = 18$ અને $f_2 = 14$ છે.

(D) મધ્યક શોધવા માટે,આપણે દરેક વર્ગ માટે વર્ગ-ચિહ્ન $(x_i)$ ગણીએ છીએ,જ્યાં $x_i = \frac{\text{અધઃસીમા} + \text{ઉર્ધ્વસીમા}}{2}$.
$1$. $21-25$ માટે,$x_1 = 23$,$f_1 = 18$,$f_1x_1 = 414$.
$2$. $26-30$ માટે,$x_2 = 28$,$f_2 = 32$,$f_2x_2 = 896$.
$3$. $31-35$ માટે,$x_3 = 33$,$f_3 = 30$,$f_3x_3 = 990$.
$4$. $36-40$ માટે,$x_4 = 38$,$f_4 = 40$,$f_4x_4 = 1520$.
$5$. $41-45$ માટે,$x_5 = 43$,$f_5 = 25$,$f_5x_5 = 1075$.
$6$. $46-50$ માટે,$x_6 = 48$,$f_6 = 15$,$f_6x_6 = 720$.
$7$. $51-55$ માટે,$x_7 = 53$,$f_7 = 40$,$f_7x_7 = 2120$.
આવૃત્તિઓનો સરવાળો $(\sum f_i)$ = $18 + 32 + 30 + 40 + 25 + 15 + 40 = 200$.
ગુણાકારનો સરવાળો $(\sum f_ix_i)$ = $414 + 896 + 990 + 1520 + 1075 + 720 + 2120 = 7735$.
મધ્યક $(\bar{x})$ = $\frac{\sum f_ix_i}{\sum f_i} = \frac{7735}{200} = 38.675$.

(A) મધ્યક શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $x_i$ એ વર્ગ ચિહ્ન છે.
$1$. દરેક વર્ગ માટે વર્ગ ચિહ્ન $(x_i)$ શોધો:
- $0-10$ માટે,$x_1 = (0+10)/2 = 5$
- $10-20$ માટે,$x_2 = (10+20)/2 = 15$
- $20-30$ માટે,$x_3 = (20+30)/2 = 25$
- $30-40$ માટે,$x_4 = (30+40)/2 = 35$
- $40-50$ માટે,$x_5 = (40+50)/2 = 45$
$2$. $f_i x_i$ ની ગણતરી કરો:
- $20 \times 5 = 100$
- $10 \times 15 = 150$
- $20 \times 25 = 500$
- $30 \times 35 = 1050$
- $20 \times 45 = 900$
$3$. $\sum f_i x_i = 100 + 150 + 500 + 1050 + 900 = 2700$ ની ગણતરી કરો.
$4$. $\sum f_i = 20 + 10 + 20 + 30 + 20 = 100$ ની ગણતરી કરો.
$5$. મધ્યક $\bar{x} = 2700 / 100 = 27$.

(B) મધ્યક શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $x_i$ એ વર્ગ ચિહ્ન છે.
$1$. વર્ગ ચિહ્નો $(x_i)$ શોધો:
$15, 25, 35, 45, 55, 65$.
$2$. $f_i x_i$ ની ગણતરી કરો:
$2 \times 15 = 30$
$10 \times 25 = 250$
$40 \times 35 = 1400$
$25 \times 45 = 1125$
$13 \times 55 = 715$
$10 \times 65 = 650$
$3$. આવૃત્તિઓનો સરવાળો $(\sum f_i)$: $2 + 10 + 40 + 25 + 13 + 10 = 100$.
$4$. ગુણાકારોનો સરવાળો $(\sum f_i x_i)$: $30 + 250 + 1400 + 1125 + 715 + 650 = 4170$.
$5$. મધ્યક $(\bar{x})$: $\frac{4170}{100} = 41.7$.