Mix Examples - Statistics Questions in Gujarati

(A) મધ્યસ્થના સૂત્રમાં,$cf$ એ મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ દર્શાવે છે. અહીં,$l$ એ મધ્યસ્થ વર્ગની અધઃસીમા છે,$n$ એ અવલોકનોની કુલ સંખ્યા છે,$f$ એ મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ છે,અને $c$ એ વર્ગ લંબાઈ છે.

(B) મધ્યસ્થ શોધવાના સૂત્ર $M = l + \frac{(\frac{n}{2} - cf)}{f} \times h$ માં,$f$ એ મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ દર્શાવે છે.

(C) વર્ગીકૃત માહિતીના મધ્યસ્થ શોધવાના સૂત્ર $M = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$ માં,પદ $h$ એ મધ્યસ્થ વર્ગની વર્ગ લંબાઈ દર્શાવે છે. તેથી,$h = \text{વર્ગ લંબાઈ}$.

(D) મધ્યક $(\bar{x})$,મધ્યસ્થ $(M)$ અને બહુલક $(Z)$ વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ નીચે મુજબ છે: $Z = 3M - 2\bar{x}$.
આ સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$Z - M = (3M - 2\bar{x}) - M$
$Z - M = 2M - 2\bar{x}$
$Z - M = 2(M - \bar{x})$
આપેલ સમીકરણ $Z - M = \ldots \ldots \ldots \quad (M - \bar{x})$ સાથે સરખાવતા,ખૂટતી કિંમત $2$ છે.

(A) મધ્યક $(\bar{x})$,મધ્યસ્થ $(M)$ અને બહુલક $(Z)$ વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે:
$Z = 3M - 2\bar{x}$
અહીં આપેલ કિંમતો $Z = 16$ અને $M = 18$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$16 = 3(18) - 2\bar{x}$
$16 = 54 - 2\bar{x}$
$2\bar{x} = 54 - 16$
$2\bar{x} = 38$
$\bar{x} = 19$
આમ,મધ્યકની કિંમત $19$ છે.

(B) મધ્યક $(\bar{x})$,મધ્યસ્થ $(M)$ અને બહુલક $(Z)$ વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Z = 3M - 2\bar{x}$.
આપેલ છે: $Z = 95$ અને $\bar{x} = 98$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$95 = 3M - 2(98)$
$95 = 3M - 196$
$3M = 95 + 196$
$3M = 291$
$M = \frac{291}{3} = 97$.
તેથી,$M$ ની કિંમત $97$ છે.

(C) મધ્યક $(\bar{x})$,મધ્યસ્થ $(M)$ અને બહુલક $(Z)$ વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$Z = 3M - 2\bar{x}$
આપેલ છે:
$M = 62.5$
$\bar{x} = 64$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$Z = 3(62.5) - 2(64)$
$Z = 187.5 - 128$
$Z = 59.5$
તેથી,$Z$ ની કિંમત $59.5$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$M + \bar{x} = 32$ --- $(1)$
$M - \bar{x} = 2$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(M + \bar{x}) + (M - \bar{x}) = 32 + 2$
$2M = 34$
$M = 17$
$M = 17$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$17 + \bar{x} = 32$
$\bar{x} = 32 - 17 = 15$
મધ્યક,મધ્યસ્થ અને બહુલક વચ્ચેના અનુભવજન્ય સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$Z = 3M - 2\bar{x}$
$M$ અને $\bar{x}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$Z = 3(17) - 2(15)$
$Z = 51 - 30$
$Z = 21$
આમ,$Z$ ની કિંમત $21$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$Z + M = 108$ --- $(1)$
$Z - M = -6$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(Z + M) + (Z - M) = 108 - 6$
$2Z = 102$
$Z = 51$
$Z = 51$ ની કિંમત $(1)$ માં મુકતા:
$51 + M = 108$
$M = 108 - 51 = 57$
મધ્યક,મધ્યસ્થ અને બહુલક વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ વાપરતા:
$\text{બહુલક }= 3 \times \text{મધ્યસ્થ }- 2 \times \text{મધ્યક}$
$Z = 3M - 2\bar{x}$
$51 = 3(57) - 2\bar{x}$
$51 = 171 - 2\bar{x}$
$2\bar{x} = 171 - 51$
$2\bar{x} = 120$
$\bar{x} = 60$

(B) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $\bar{x} + Z = 37.5$
$(2)$ $\bar{x} - Z = 1.5$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા: $2\bar{x} = 39 \implies \bar{x} = 19.5$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા: $2Z = 36 \implies Z = 18$
મધ્યક,મધ્યસ્થ અને બહુલક વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ વાપરતા: $Z = 3M - 2\bar{x}$
$18 = 3M - 2(19.5)$
$18 = 3M - 39$
$3M = 18 + 39 = 57$
$M = 57 / 3 = 19$
આમ,મધ્યસ્થ $M = 19$ થાય.

(C) મધ્યક $(\bar{x})$,મધ્યસ્થ $(M)$ અને બહુલક $(Z)$ વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ નીચે મુજબ છે: $Z = 3M - 2\bar{x}$.
આપેલ છે કે,$Z - M = 2$,જેનો અર્થ છે કે $M = Z - 2$.
વળી,$\bar{x} = 33.5$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$Z = 3(Z - 2) - 2(33.5)$
$Z = 3Z - 6 - 67$
$Z = 3Z - 73$
$73 = 3Z - Z$
$73 = 2Z$
$Z = 36.5$.

(D) મધ્યક $(\bar{x})$, મધ્યસ્થ $(M)$ અને બહુલક $(Z)$ વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $Z = 3M - 2\bar{x}$.
આપેલ કિંમતો $M = 15.4$ અને $\bar{x} = 14.5$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$Z = 3(15.4) - 2(14.5)$
$Z = 46.2 - 29.0$
$Z = 17.2$.
તેથી, $Z$ ની કિંમત $17.2$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $M + \bar{x} = 165$
$(2)$ $M - \bar{x} = 1$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2M = 166 \implies M = 83$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$2\bar{x} = 164 \implies \bar{x} = 82$
મધ્યક,મધ્યસ્થ અને બહુલક વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ વાપરતા:
$Z = 3M - 2\bar{x}$
$Z = 3(83) - 2(82)$
$Z = 249 - 164$
$Z = 85$

(B) મધ્યક $(\bar{x})$,મધ્યસ્થ $(M)$ અને બહુલક $(Z)$ વચ્ચેનો અનુભવજન્ય સંબંધ નીચે મુજબ છે: $Z = 3M - 2\bar{x}$.
આપેલ છે કે $Z - M = 12$,તેથી આપણે લખી શકીએ $Z = M + 12$.
આ કિંમતને અનુભવજન્ય સૂત્રમાં મૂકતા:
$M + 12 = 3M - 2\bar{x}$
$12 = 3M - M - 2\bar{x}$
$12 = 2M - 2\bar{x}$
$12 = 2(M - \bar{x})$
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા:
$M - \bar{x} = 6$.

(C) બહુલક વર્ગ એ સૌથી વધુ આવૃત્તિ ધરાવતો વર્ગ અંતરાલ છે.
આપેલ કોષ્ટક પરથી,આવૃત્તિઓ નીચે મુજબ છે:
$0-10: 7$
$10-20: 16$
$20-30: 25$
$30-40: 32$
$40-50: 20$
મહત્તમ આવૃત્તિ $32$ છે,જે $30-40$ વર્ગ અંતરાલને અનુરૂપ છે.
તેથી,બહુલક વર્ગ $30-40$ છે.

(D) મધ્યસ્થ વર્ગ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ આપેલી માહિતી માટે સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ ની ગણતરી કરીએ છીએ:
$1$. વર્ગ $0-10$: આવૃત્તિ $12$,$cf = 12$
$2$. વર્ગ $10-20$: આવૃત્તિ $18$,$cf = 12 + 18 = 30$
$3$. વર્ગ $20-30$: આવૃત્તિ $20$,$cf = 30 + 20 = 50$
$4$. વર્ગ $30-40$: આવૃત્તિ $17$,$cf = 50 + 17 = 67$
$5$. વર્ગ $40-50$: આવૃત્તિ $13$,$cf = 67 + 13 = 80$
અવલોકનોની કુલ સંખ્યા $N = 80$ છે.
આપણે $N/2 = 80/2 = 40$ શોધીએ છીએ.
મધ્યસ્થ વર્ગ એ વર્ગ અંતરાલ છે જેની સંચયી આવૃત્તિ $N/2 = 40$ કરતા મોટી અથવા તેના જેટલી હોય.
સંચયી આવૃત્તિઓ $(12, 30, 50, 67, 80)$ જોતા,$40$ કરતા મોટી પ્રથમ કિંમત $50$ છે.
તેથી,અનુરૂપ વર્ગ અંતરાલ $20-30$ છે.

(B) $n$ અવલોકનો $x_1, x_2, ..., x_n$ ના સમૂહનો મધ્યક (સરેરાશ) એ તમામ અવલોકનોના સરવાળાને કુલ અવલોકનોની સંખ્યા વડે ભાગવાથી મળે છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $\sum x_i$ એ તમામ મૂલ્યોનો સરવાળો છે અને $n$ એ અવલોકનોની કુલ સંખ્યા છે.

(A) વર્ગીકૃત માહિતી માટે પ્રત્યક્ષ રીત દ્વારા મધ્યક $(\bar{x})$ શોધવાનું સૂત્ર: $\bar{x} = \frac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f_{i}}$ છે,જ્યાં $f_{i}$ એ $i$-માં વર્ગની આવૃત્તિ છે અને $x_{i}$ એ $i$-માં વર્ગની મધ્યકિંમત છે. સરવાળો $\sum f_{i}$ ને ઘણીવાર $N$ અથવા $n$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જે કુલ અવલોકનોની સંખ્યા દર્શાવે છે.

(B) વર્ગીકૃત માહિતીના મધ્યક માટેના આપેલ સૂત્ર $\bar{x} = \frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{n}$ માં:
$\bar{x}$ એ મધ્યક દર્શાવે છે.
$f_{i}$ એ $i^{th}$ વર્ગની આવૃત્તિ દર્શાવે છે.
$x_{i}$ એ $i^{th}$ વર્ગની વર્ગ-ચિહ્ન (મધ્યકિંમત) દર્શાવે છે.
$n$ એ કુલ આવૃત્તિ દર્શાવે છે,જે $\Sigma f_{i}$ બરાબર છે.
તેથી,$f_{i}$ એ $i^{th}$ વર્ગની આવૃત્તિ દર્શાવે છે.

(C) સૂત્ર $\bar{x} = \frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}$ નો ઉપયોગ વર્ગીકૃત માહિતીનો મધ્યક શોધવા માટે થાય છે.
આ સૂત્રમાં,$f_{i}$ એ $i$-માં વર્ગ અંતરાલની આવૃત્તિ દર્શાવે છે અને $x_{i}$ એ $i$-માં વર્ગ અંતરાલની મધ્યકિંમત (વર્ગ ચિહ્ન) દર્શાવે છે.
સંજ્ઞા $\Sigma$ એ સરવાળો દર્શાવે છે.
તેથી,$\Sigma f_{i}$ એ બધા જ વર્ગોની આવૃત્તિઓનો સરવાળો દર્શાવે છે,જેને ઘણીવાર $N$ તરીકે પણ દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) આપેલ સૂત્ર $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}$ એ વર્ગીકૃત માહિતીનો મધ્યક શોધવા માટેની ધારેલા મધ્યકની રીત છે.
આ સૂત્રમાં,$A$ એ ધારેલો મધ્યક દર્શાવે છે.
$x_{i}$ એ $i$ માં વર્ગ અંતરાલની વર્ગ-સીમા (મધ્યકિંમત) દર્શાવે છે.
$d_{i}$ એ વર્ગ-સીમાનું ધારેલા મધ્યકથી વિચલન છે,જે $d_{i} = x_{i} - A$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ સૂત્ર $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \times c$ એ વર્ગીકૃત માહિતીનો મધ્યક શોધવા માટેની પદ-વિચલનની રીત દર્શાવે છે.
આ સૂત્રમાં,$A$ એ ધારેલો મધ્યક છે,$c$ એ વર્ગ લંબાઈ છે,અને $x_{i}$ એ વર્ગની મધ્યકિંમત છે.
ચલ $u_{i}$ ને ધારેલા મધ્યકથી વર્ગની મધ્યકિંમતના વિચલનને વર્ગ લંબાઈ વડે ભાગતા મળે છે.
તેથી,$u_{i} = \frac{x_{i} - A}{c}$.

(C) વર્ગીકૃત માહિતીના મધ્યક માટેના સૂત્ર $\bar{x} = \frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}$ માં:
$\bar{x}$ એ માહિતીનો મધ્યક દર્શાવે છે.
$f_{i}$ એ $i$ માં વર્ગની આવૃત્તિ દર્શાવે છે.
$x_{i}$ એ $i$ માં વર્ગની વર્ગ-ચિહ્ન અથવા મધ્યકિંમત દર્શાવે છે,જેની ગણતરી $\frac{\text{ઉર્ધ્વ સીમા} + \text{અધઃ સીમા}}{2}$ દ્વારા કરવામાં આવે છે.
તેથી,$x_{i}$ એ $i$ માં વર્ગની મધ્યકિંમત દર્શાવે છે.

(D) વર્ગ અંતરાલનું મધ્યબિંદુ (વર્ગ ચિહ્ન) શોધવા માટેનું સૂત્ર: $\text{મધ્યબિંદુ} = \frac{\text{અધઃસીમા} + \text{ઉર્ધ્વસીમા}}{2}$.
અહીં વર્ગ $15-30$ માટે, અધઃસીમા $15$ છે અને ઉર્ધ્વસીમા $30$ છે.
$\text{મધ્યબિંદુ} = \frac{15 + 30}{2} = \frac{45}{2} = 22.5$.

(B) નિવારક પ્રકારના વર્ગ અંતરાલમાં,વર્ગલંબાઈ શોધવા માટે ઉર્ધ્વ સીમામાંથી અધઃ સીમા બાદ કરવામાં આવે છે.
વર્ગ $20-30$ માટે,અધઃ સીમા $20$ છે અને ઉર્ધ્વ સીમા $30$ છે.
તેથી,વર્ગલંબાઈ $= 30 - 20 = 10$ થાય.

(D) નિવારક પ્રકારના વર્ગ અંતરાલમાં (અથવા સતત શ્રેણીમાં),અધઃસીમાનો સમાવેશ વર્ગમાં થાય છે,પરંતુ ઉર્ધ્વસીમાનો સમાવેશ થતો નથી.
વર્ગ અંતરાલ $30-45$ માટે:
- અધઃસીમા $30$ છે,જેનો આ વર્ગમાં સમાવેશ થાય છે.
- ઉર્ધ્વસીમા $45$ છે,જેનો આ વર્ગમાં સમાવેશ થતો નથી અને તે પછીના વર્ગ અંતરાલમાં (દા.ત.,$45-60$) સમાવિષ્ટ થાય છે.
તેથી,$45$ કિંમતનો સમાવેશ $30-45$ વર્ગમાં થતો નથી.

(C) સંચયી આવૃત્તિ વક્ર એ સંચયી આવૃત્તિ વિતરણનું આલેખકીય નિરૂપણ છે.
તેને $x$-અક્ષ પર વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમાઓ અને $y$-અક્ષ પર અનુરૂપ સંચયી આવૃત્તિઓ લઈને દોરવામાં આવે છે.
આ વક્રને સામાન્ય રીતે $ogive$ (ઓજીવ) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(B) આવૃત્તિ વિતરણના મધ્યક $\bar{x}$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\bar{x} = \frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}$
અહીં $\Sigma f_{i} x_{i} = 1790$ અને $\Sigma f_{i} = 50$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\bar{x} = \frac{1790}{50} = 35.8$
તેથી,મધ્યક $35.8$ છે.

(C) પદ-વિચલનની રીતનો ઉપયોગ કરીને મધ્યક શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\bar{x} = A + \left( \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \right) \times c$
આપેલ કિંમતો:
$A = 62.5$,$\Sigma f_{i} u_{i} = -13$,$\Sigma f_{i} = 100$,$c = 15$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\bar{x} = 62.5 + \left( \frac{-13}{100} \right) \times 15$
$\bar{x} = 62.5 + (-0.13) \times 15$
$\bar{x} = 62.5 - 1.95$
$\bar{x} = 60.55$

(D) કુલ આવૃત્તિ $\Sigma f_{i} = 48$ આપેલ છે.
તેમજ $\Sigma f_{i} = 43 + f$ આપેલ છે.
કુલ આવૃત્તિ માટે બંને પદોને સરખાવતા:
$43 + f = 48$
બંને બાજુથી $43$ બાદ કરતા:
$f = 48 - 43$
$f = 5$
આમ,ખૂટતી આવૃત્તિ $f$ ની કિંમત $5$ છે.

(A) ધારેલા મધ્યકની રીતનો ઉપયોગ કરીને મધ્યક શોધવાનું સૂત્ર $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}$ છે.
આપેલ કિંમતો $A = 62.5$,$\Sigma f_{i} d_{i} = -50$,અને $\Sigma f_{i} = 200$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\bar{x} = 62.5 + \frac{-50}{200}$
$\bar{x} = 62.5 - 0.25$
$\bar{x} = 62.25$.

(B) પદ-વિચલનની રીતનો ઉપયોગ કરીને મધ્યક શોધવાનું સૂત્ર $\bar{x} = A + \left( \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \right) \times c$ છે.
આપેલ કિંમતો $A = 200$,$\Sigma f_{i} = 45$,$\Sigma f_{i} u_{i} = -216$ અને $c = 10$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\bar{x} = 200 + \left( \frac{-216}{45} \right) \times 10$
$\bar{x} = 200 + \left( \frac{-2160}{45} \right)$
$\bar{x} = 200 - 48$
$\bar{x} = 152$.

(C) પદ-વિચલનની રીતનો ઉપયોગ કરીને મધ્યક શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\bar{x} = A + \left( \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \right) \times c$
અહીં આપેલ કિંમતો $A = 49.5$,$\Sigma f_{i} = 40$,$\Sigma f_{i} u_{i} = -5$ અને $c = 20$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\bar{x} = 49.5 + \left( \frac{-5}{40} \right) \times 20$
$\bar{x} = 49.5 + (-0.125) \times 20$
$\bar{x} = 49.5 - 2.5$
$\bar{x} = 47$

(A) પદ-વિચલનની રીતનો ઉપયોગ કરીને મધ્યક શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\bar{x} = A + \left( \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \right) \times c$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$A = 325, c = 50, \Sigma f_{i} u_{i} = 28, \Sigma f_{i} = 200$
$\bar{x} = 325 + \left( \frac{28}{200} \right) \times 50$
$\bar{x} = 325 + \left( \frac{28}{4} \right)$
$\bar{x} = 325 + 7$
$\bar{x} = 332$

(D) ધારેલા મધ્યકની રીતનો ઉપયોગ કરીને મધ્યક શોધવાનું સૂત્ર: $\bar{x} = A + \frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}$ છે.
આપેલ કિંમતો $A = 25$,$\Sigma f_{i} d_{i} = 120$ અને $\Sigma f_{i} = 140$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\bar{x} = 25 + \frac{120}{140}$
$\bar{x} = 25 + \frac{12}{14} = 25 + \frac{6}{7}$
$\bar{x} = 25 + 0.85714...$
$\bar{x} \approx 25.857$.

(B) પદ-વિચલનની રીતનો ઉપયોગ કરીને મધ્યક શોધવાનું સૂત્ર $\bar{x} = A + \left( \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} \right) \times c$ છે.
આપેલ કિંમતો $A = 450, c = 100, \Sigma f_{i} u_{i} = -20$ અને $\Sigma f_{i} = 20$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\bar{x} = 450 + \left( \frac{-20}{20} \right) \times 100$
$\bar{x} = 450 + (-1) \times 100$
$\bar{x} = 450 - 100$
$\bar{x} = 350$.

(B) વર્ગીકૃત માહિતીનો બહુલક શોધવા માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$Z = l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$
જ્યાં:
$l$ = બહુલક વર્ગની અધઃસીમા
$h$ = વર્ગ લંબાઈ
$f_1$ = બહુલક વર્ગની આવૃત્તિ
$f_0$ = બહુલક વર્ગની આગળના વર્ગની આવૃત્તિ
$f_2$ = બહુલક વર્ગની પાછળના વર્ગની આવૃત્તિ.

(B) વર્ગીકૃત માહિતીના બહુલક માટેના સૂત્ર $Z = l + \left( \frac{f_{1} - f_{0}}{2f_{1} - f_{0} - f_{2}} \right) \times c$ માં,ચલ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$l$: બહુલક વર્ગની અધઃસીમા.
$f_{1}$: બહુલક વર્ગની આવૃત્તિ.
$f_{0}$: બહુલક વર્ગની આગળના વર્ગની આવૃત્તિ.
$f_{2}$: બહુલક વર્ગની પાછળના વર્ગની આવૃત્તિ.
$c$: વર્ગ લંબાઈ.
તેથી,$f_{1}$ એ બહુલક વર્ગની આવૃત્તિ દર્શાવે છે.

(A) બહુલક એટલે માહિતીમાં સૌથી વધુ વખત પુનરાવર્તન પામતું અવલોકન.
સૌ પ્રથમ,દરેક અવલોકનની આવૃત્તિ તપાસીએ:
$2$ એ $1$ વખત આવે છે.
$3$ એ $4$ વખત આવે છે.
$4$ એ $2$ વખત આવે છે.
$5$ એ $2$ વખત આવે છે.
$6$ એ $1$ વખત આવે છે.
અહીં અવલોકન $3$ ની આવૃત્તિ સૌથી વધુ એટલે કે $4$ છે,તેથી આપેલ માહિતીનો બહુલક $3$ છે.

(B) વર્ગીકૃત માહિતીના બહુલકની ગણતરી કરવાના સૂત્રમાં,બહુલક વર્ગ એ સૌથી વધુ આવૃત્તિ ધરાવતો વર્ગ છે. આ મહત્તમ આવૃત્તિને $f_1$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે. બહુલક વર્ગની આગળના વર્ગની આવૃત્તિને $f_0$ અને બહુલક વર્ગની પછીના વર્ગની આવૃત્તિને $f_2$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.

(C) વર્ગીકૃત આવૃત્તિ વિતરણ માટે બહુલક શોધવાના સૂત્રમાં,$l$ એ બહુલકીય વર્ગની અધઃસીમા દર્શાવે છે.
અહીં આપેલ બહુલકીય વર્ગ $70-85$ છે.
આ વર્ગની અધઃસીમા $70$ છે.
તેથી,$l = 70$.

(B) બહુલક વર્ગ એટલે આપેલ આવૃત્તિ વિતરણમાં સૌથી વધુ આવૃત્તિ ધરાવતો વર્ગ.
આપેલ કોષ્ટકનું અવલોકન કરતા,આપણે આવૃત્તિઓની સરખામણી કરીએ છીએ:
$9, 8, 12, 7, 15, 1$.
અહીં મહત્તમ આવૃત્તિ $15$ છે.
આવૃત્તિ $15$ ને અનુરૂપ વર્ગ અંતરાલ $20-24$ છે.
તેથી,બહુલક વર્ગ $20-24$ છે.

(C) વર્ગીકૃત માહિતીના બહુલકની ગણતરી કરવાના સૂત્રમાં,$f_{1}$ એ બહુલક વર્ગની આવૃત્તિ દર્શાવે છે.
બહુલક વર્ગ એટલે સૌથી વધુ આવૃત્તિ ધરાવતો વર્ગ.
આપેલ આવૃત્તિ વિતરણમાં:
- આવૃત્તિઓ $12, 18, 27, 20, 17, 6$ છે.
- મહત્તમ આવૃત્તિ $27$ છે,જે વર્ગ $200-300$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,બહુલક વર્ગની આવૃત્તિ $f_{1} = 27$ થાય.

(A) આપેલ આવૃત્તિ વિતરણમાં,મહત્તમ આવૃત્તિ $8$ છે,જે વર્ગ અંતરાલ $5-7$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,બહુલક વર્ગ $5-7$ છે.
બહુલકના સૂત્રમાં,$f_{1}$ એ બહુલક વર્ગની આવૃત્તિ છે,$f_{0}$ એ બહુલક વર્ગની આગળના વર્ગની આવૃત્તિ છે,અને $f_{2}$ એ બહુલક વર્ગની પાછળના વર્ગની આવૃત્તિ છે.
અહીં,બહુલક વર્ગ $5-7$ છે,તેથી તેની આવૃત્તિ $f_{1} = 8$ છે.
બહુલક વર્ગની આગળનો વર્ગ $3-5$ છે,અને તેની આવૃત્તિ $f_{0} = 3$ છે.
આમ,$f_{0} = 3$ થાય.

(A) બહુલકીય વર્ગ એ સૌથી વધુ આવૃત્તિ ધરાવતો વર્ગ છે.
અહીં આપેલ છે કે બહુલકીય વર્ગ $20-24$ છે.
બહુલક શોધવાના સૂત્રમાં,$l$ એ બહુલકીય વર્ગની અધઃસીમા દર્શાવે છે.
તેથી,$l = 20$.

(D) વર્ગીકૃત આવૃત્તિ વિતરણ માટે બહુલકના સૂત્રમાં,$f_{1}$ એ બહુલક વર્ગની આવૃત્તિ દર્શાવે છે,$f_{0}$ એ બહુલક વર્ગની આગળના વર્ગની આવૃત્તિ દર્શાવે છે,અને $f_{2}$ એ બહુલક વર્ગની પછીના વર્ગની આવૃત્તિ દર્શાવે છે.
અહીં આપેલ છે કે બહુલક વર્ગ $70-85$ છે અને તેની આવૃત્તિ $25$ છે,તેથી $f_{1} = 25$ થશે.
બહુલક વર્ગની આગળના વર્ગની આવૃત્તિ $8$ છે,તેથી $f_{0} = 8$ થશે.
બહુલક વર્ગની પછીના વર્ગની આવૃત્તિ $20$ છે,તેથી $f_{2} = 20$ થશે.
આમ,$f_{0}, f_{1}$ અને $f_{2}$ ના મૂલ્યો અનુક્રમે $8, 25$ અને $20$ છે.

(B) વર્ગીકૃત માહિતીનો મધ્યસ્થ શોધવા માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$M = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right) \times h$
જ્યાં:
$l$ = મધ્યસ્થ વર્ગની અધઃસીમા
$n$ = અવલોકનોની કુલ સંખ્યા
$cf$ = મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ
$f$ = મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ
$h$ = વર્ગ લંબાઈ.

(C) કોઈપણ વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ એ તે વર્ગ સુધીના તમામ વર્ગોની આવૃત્તિઓનો સરવાળો છે.
તૃતીય વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ = (પ્રથમ વર્ગની આવૃત્તિ) + (દ્વિતીય વર્ગની આવૃત્તિ) + (તૃતીય વર્ગની આવૃત્તિ)
તૃતીય વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ = $8 + 15 + 18 = 41$.

(D) કોઈપણ વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ એ તે વર્ગ સુધીની તમામ વર્ગોની આવૃત્તિઓનો સરવાળો છે.
ધારો કે $cf_n$ એ $n$ માં વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ છે અને $f_n$ એ $n$ માં વર્ગની આવૃત્તિ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $cf_n = cf_{n-1} + f_n$.
તેથી,$cf_{n-1} = cf_n - f_n$.
અહીં આપેલ છે કે ચોથા વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ $(cf_4)$ $25$ છે અને ચોથા વર્ગની આવૃત્તિ $(f_4)$ $10$ છે,તેથી:
$cf_3 = cf_4 - f_4$
$cf_3 = 25 - 10 = 15$.
આમ,ત્રીજા વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ $15$ છે.

(A) સૌ પ્રથમ,દરેક વર્ગ માટે સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ શોધો:
- $20-25$: $cf = 2$
- $25-30$: $cf = 2 + 5 = 7$
- $30-35$: $cf = 7 + 8 = 15$
- $35-40$: $cf = 15 + 10 = 25$
- $40-45$: $cf = 25 + 7 = 32$
- $45-50$: $cf = 32 + 10 = 42$
- $50-55$: $cf = 42 + 3 = 45$
કુલ આવૃત્તિ $n = 45$ છે.
આપણે $\frac{n}{2} = \frac{45}{2} = 22.5$ શોધવાની જરૂર છે.
મધ્યસ્થ વર્ગ એ વર્ગ છે જેની સંચયી આવૃત્તિ $22.5$ થી તરત જ મોટી હોય.
સંચયી આવૃત્તિ જોતા,$25$ એ $22.5$ થી મોટી પ્રથમ કિંમત છે,જે વર્ગ અંતરાલ $35-40$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,મધ્યસ્થ વર્ગ $35-40$ છે.