Mix Examples - Quadratic Equations Questions in Gujarati

(A) $x = -2\sqrt{2}$ એ ઉકેલ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,$x$ ની કિંમતને દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} + \sqrt{2}x - 4 = 0$ માં મૂકો.
ડાબી બાજુ $(LHS)$ $= (-2\sqrt{2})^{2} + \sqrt{2}(-2\sqrt{2}) - 4$
$= (4 \times 2) + (-2 \times 2) - 4$
$= 8 - 4 - 4$
$= 0$
અહીં ડાબી બાજુ $(LHS)$ $=$ જમણી બાજુ $(RHS)$ હોવાથી,આપેલી કિંમત $x = -2\sqrt{2}$ એ દ્વિઘાત સમીકરણનો ઉકેલ છે.

(B) $x = \frac{1}{2}$ એ ઉકેલ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,$x = \frac{1}{2}$ ને દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 - 5x + 3 = 0$ માં મૂકો.
ડાબી બાજુ $(LHS)$ $= 2(\frac{1}{2})^2 - 5(\frac{1}{2}) + 3$
$= 2(\frac{1}{4}) - \frac{5}{2} + 3$
$= \frac{1}{2} - \frac{5}{2} + 3$
$= -\frac{4}{2} + 3$
$= -2 + 3 = 1$
અહીં ડાબી બાજુ $\neq$ જમણી બાજુ (જ્યાં $RHS$ $= 0$),તેથી $x = \frac{1}{2}$ એ આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણનો ઉકેલ નથી.

$x = \frac{-2}{m+n}$ એ ઉકેલ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે, આપણે $x$ ની કિંમત દ્વિઘાત સમીકરણમાં મૂકીશું.
આપેલ સમીકરણ:
$(m+n)^2 x^2 + (m+n)x - 2 = 0$
$x = \frac{-2}{m+n}$ મૂકતા:
$(m+n)^2 \left(\frac{-2}{m+n}\right)^2 + (m+n)\left(\frac{-2}{m+n}\right) - 2 = 0$
$(m+n)^2 \cdot \frac{4}{(m+n)^2} + (m+n)\cdot \frac{-2}{m+n} - 2 = 0$
પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$4 - 2 - 2 = 0$
$0 = 0$
ડાબી બાજુ અને જમણી બાજુ સમાન હોવાથી, $x = \frac{-2}{m+n}$ એ આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણનો ઉકેલ છે.

(B) $x=2$ એ ઉકેલ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણમાં $x=2$ મૂકો: $(x-2)(x+3)+1=0$.
$x=2$ મૂકતા:
$(2-2)(2+3)+1 = (0)(5)+1 = 0+1 = 1$.
પરિણામ $1$ મળે છે,જે $0$ નથી,તેથી ડાબી બાજુ એ જમણી બાજુ બરાબર નથી.
તેથી,$x=2$ એ આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણનો ઉકેલ નથી.

(A) $x = -\frac{1}{2}$ એ ઉકેલ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આ કિંમતને સમીકરણની ડાબી બાજુ $(LHS)$ માં મૂકો.
$LHS$ = $\frac{1}{3 - 2(-\frac{1}{2})} + \frac{1}{5 + 2(-\frac{1}{2})}$
$LHS$ = $\frac{1}{3 - (-1)} + \frac{1}{5 + (-1)}$
$LHS$ = $\frac{1}{3 + 1} + \frac{1}{5 - 1}$
$LHS$ = $\frac{1}{4} + \frac{1}{4}$
$LHS$ = $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
અહીં $LHS$ = $RHS$ (જે $\frac{1}{2}$ છે),તેથી આપેલી કિંમત $x = -\frac{1}{2}$ એ દ્વિઘાત સમીકરણનો ઉકેલ છે.

(A) $x = \frac{\sqrt{3}}{4}$ એ ઉકેલ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,$x$ ની કિંમતને દ્વિઘાત સમીકરણ $4 \sqrt{3} x^{2} + 5 x - 2 \sqrt{3} = 0$ માં મૂકો.
ડા.બા. = $4 \sqrt{3} \left( \frac{\sqrt{3}}{4} \right)^{2} + 5 \left( \frac{\sqrt{3}}{4} \right) - 2 \sqrt{3}$
ડા.બા. = $4 \sqrt{3} \left( \frac{3}{16} \right) + \frac{5 \sqrt{3}}{4} - 2 \sqrt{3}$
ડા.બા. = $\frac{3 \sqrt{3}}{4} + \frac{5 \sqrt{3}}{4} - 2 \sqrt{3}$
ડા.બા. = $\frac{8 \sqrt{3}}{4} - 2 \sqrt{3}$
ડા.બા. = $2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} = 0$
અહીં ડા.બા. = જ.બા. હોવાથી,આપેલી કિંમત $x = \frac{\sqrt{3}}{4}$ એ દ્વિઘાત સમીકરણનો ઉકેલ છે.

(A) $x = 2$ એ ઉકેલ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,સમીકરણની ડાબી બાજુ $(LHS)$ માં $x = 2$ મૂકો:
$LHS$ = $\frac{1}{2+4} - \frac{1}{2-7}$
$LHS$ = $\frac{1}{6} - \frac{1}{-5}$
$LHS$ = $\frac{1}{6} + \frac{1}{5}$
$LHS$ = $\frac{5+6}{30} = \frac{11}{30}$
અહીં $LHS$ = $RHS$ $(\frac{11}{30})$ હોવાથી,$x = 2$ એ આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણનો ઉકેલ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x + \frac{1}{x} = 3 \frac{1}{3}$.
મિશ્ર અપૂર્ણાંકને અશુદ્ધ અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા: $3 \frac{1}{3} = \frac{3 \times 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$.
તેથી,સમીકરણ $x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3}$ છે.
સમીકરણની ડાબી બાજુ $(LHS)$ માં $x = \frac{1}{3}$ મૂકતા:
$LHS$ $= \frac{1}{3} + \frac{1}{1/3} = \frac{1}{3} + 3$.
$LHS$ $= \frac{1 + 9}{3} = \frac{10}{3}$.
અહીં $LHS$ $= \frac{10}{3}$ અને $RHS$ $= \frac{10}{3}$ હોવાથી,$LHS$ $=$ $RHS$ થાય છે.
તેથી,$x = \frac{1}{3}$ એ આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણનો ઉકેલ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $kx^{2} + 2x - 3 = 0$ છે.
અહીં $x = 2$ એ સમીકરણનું એક બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
સમીકરણમાં $x = 2$ મૂકતા:
$k(2)^{2} + 2(2) - 3 = 0$
$k(4) + 4 - 3 = 0$
$4k + 1 = 0$
$4k = -1$
$k = -\frac{1}{4}$

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^{2} + 2kx - 3 = 0$ છે.
અહીં $x = -\frac{1}{2}$ એ સમીકરણનું એક બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
સમીકરણમાં $x = -\frac{1}{2}$ મૂકતા:
$3(-\frac{1}{2})^{2} + 2k(-\frac{1}{2}) - 3 = 0$
$3(\frac{1}{4}) - k - 3 = 0$
$\frac{3}{4} - k - 3 = 0$
$-k = 3 - \frac{3}{4}$
$-k = \frac{12 - 3}{4}$
$-k = \frac{9}{4}$
$k = -\frac{9}{4}$

(N/A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} - \sqrt{p}x + q = 0$ છે.
કારણ કે $x = -\sqrt{p}$ એ સમીકરણનું એક બીજ છે,તેથી તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
સમીકરણમાં $x = -\sqrt{p}$ મૂકતા:
$(-\sqrt{p})^{2} - \sqrt{p}(-\sqrt{p}) + q = 0$
$p - (-\sqrt{p} \cdot \sqrt{p}) + q = 0$
$p - (-p) + q = 0$
$p + p + q = 0$
$2p + q = 0$
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $px^{2} + qx + r = 0$ છે.
અહીં $x = -2$ એ આ સમીકરણનું એક બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
સમીકરણમાં $x = -2$ મુકતા:
$p(-2)^{2} + q(-2) + r = 0$
$p(4) - 2q + r = 0$
$4p - 2q + r = 0$
આમ,સાબિત થાય છે કે $4p - 2q + r = 0$.

(A) ધારો કે $(x+2) = y$. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$y^{2} - 14y + 45 = 0$
અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધીએ છીએ જેનો ગુણાકાર $45$ અને સરવાળો $-14$ થાય. આ સંખ્યાઓ $-9$ અને $-5$ છે.
$y^{2} - 9y - 5y + 45 = 0$
$y(y - 9) - 5(y - 9) = 0$
$(y - 9)(y - 5) = 0$
તેથી,$y = 9$ અથવા $y = 5$.
હવે,$y = x + 2$ પાછા મૂકતા:
કિસ્સો $1$: $x + 2 = 9 \implies x = 7$
કિસ્સો $2$: $x + 2 = 5 \implies x = 3$
આમ,ઉકેલ $x = 3, 7$ છે.

(B) ધારો કે $y = 2x + 1$. સમીકરણ $6y^2 = y + 5$ બને છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $6y^2 - y - 5 = 0$ મળે છે.
અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધીએ છીએ જેનો ગુણાકાર $(6 \times -5) = -30$ થાય અને સરવાળો $-1$ થાય.
આ સંખ્યાઓ $-6$ અને $5$ છે.
તેથી,$6y^2 - 6y + 5y - 5 = 0$.
$6y(y - 1) + 5(y - 1) = 0$.
$(6y + 5)(y - 1) = 0$.
આનાથી $y = 1$ અથવા $y = -\frac{5}{6}$ મળે છે.
$y = 2x + 1$ પાછું મૂકતા:
કિસ્સો $1$: $2x + 1 = 1 \implies 2x = 0 \implies x = 0$.
કિસ્સો $2$: $2x + 1 = -\frac{5}{6} \implies 2x = -\frac{5}{6} - 1 = -\frac{11}{6} \implies x = -\frac{11}{12}$.
આમ,ઉકેલ $x = 0$ અને $x = -\frac{11}{12}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x + 3 + \frac{2}{x} = 0$.
આખા સમીકરણને $x$ વડે ગુણતા (જ્યાં $x \neq 0$):
$x^2 + 3x + 2 = 0$.
હવે,મધ્યમ પદના ભાગ પાડીને દ્વિઘાત સમીકરણનું અવયવીકરણ કરો:
$x^2 + 2x + x + 2 = 0$.
$x(x + 2) + 1(x + 2) = 0$.
$(x + 1)(x + 2) = 0$.
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x + 1 = 0 \implies x = -1$.
$x + 2 = 0 \implies x = -2$.
આમ,ઉકેલ $x = -1, -2$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(x+1)^{2} + x^{2} = 221$
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા: $(x^{2} + 2x + 1) + x^{2} = 221$
સમાન પદોને ભેગા કરતા: $2x^{2} + 2x + 1 = 221$
બંને બાજુથી $221$ બાદ કરતા: $2x^{2} + 2x - 220 = 0$
આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા: $x^{2} + x - 110 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવો પાડતા: $x^{2} + 11x - 10x - 110 = 0$
પદોને જૂથમાં ગોઠવતા: $x(x + 11) - 10(x + 11) = 0$
$(x - 10)(x + 11) = 0$
તેથી,$x - 10 = 0$ અથવા $x + 11 = 0$
$x = 10$ અથવા $x = -11$
આમ,ઉકેલ $10, -11$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x - \frac{20}{x} = 1$
અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $x$ વડે ગુણતા: $x^2 - 20 = x$
સમીકરણને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ માં ગોઠવતા: $x^2 - x - 20 = 0$
અવયવ પાડવા માટે,એવી બે સંખ્યાઓ શોધો જેનો ગુણાકાર $-20$ થાય અને સરવાળો $-1$ થાય: આ સંખ્યાઓ $-5$ અને $4$ છે.
વચ્ચેના પદને ફરીથી લખતા: $x^2 - 5x + 4x - 20 = 0$
પદોના જૂથ બનાવતા: $x(x - 5) + 4(x - 5) = 0$
સામાન્ય અવયવ બહાર કાઢતા: $(x - 5)(x + 4) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $x - 5 = 0$ અથવા $x + 4 = 0$
આમ,ઉકેલ $x = 5$ અથવા $x = -4$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x^{2} + (x + 5)^{2} = 125$
$(x + 5)^{2}$ પદનું વિસ્તરણ $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને કરો:
$x^{2} + (x^{2} + 10x + 25) = 125$
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$2x^{2} + 10x + 25 = 125$
બંને બાજુથી $125$ બાદ કરતા:
$2x^{2} + 10x - 100 = 0$
સમીકરણને સરળ બનાવવા માટે $2$ વડે ભાગતા:
$x^{2} + 5x - 50 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણનું અવયવીકરણ કરવા માટે એવી બે સંખ્યાઓ શોધો જેનો ગુણાકાર $-50$ અને સરવાળો $5$ થાય:
આ સંખ્યાઓ $10$ અને $-5$ છે:
$x^{2} + 10x - 5x - 50 = 0$
$x(x + 10) - 5(x + 10) = 0$
$(x - 5)(x + 10) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x - 5 = 0 \implies x = 5$
$x + 10 = 0 \implies x = -10$
આમ,ઉકેલ $5, -10$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x} = \frac{5}{2}$.
ધારો કે $y = \frac{x}{x+1}$. તેથી સમીકરણ $y + \frac{1}{y} = \frac{5}{2}$ બને છે.
$2y$ વડે ગુણતા,$2y^2 + 2 = 5y$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $2y^2 - 5y + 2 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $2y^2 - 4y - y + 2 = 0 \implies 2y(y - 2) - 1(y - 2) = 0$.
તેથી,$(2y - 1)(y - 2) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $y = 1/2$ અથવા $y = 2$.
કિસ્સો $1$: $\frac{x}{x+1} = \frac{1}{2} \implies 2x = x + 1 \implies x = 1$.
કિસ્સો $2$: $\frac{x}{x+1} = 2 \implies x = 2x + 2 \implies x = -2$.
આમ,ઉકેલ ગણ $\{1, -2\}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x+2}{x} + \frac{x}{x+2} = \frac{10}{3}$
લસાઅ લેતા: $\frac{(x+2)^2 + x^2}{x(x+2)} = \frac{10}{3}$
અંશનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{x^2 + 4x + 4 + x^2}{x^2 + 2x} = \frac{10}{3}$
$\frac{2x^2 + 4x + 4}{x^2 + 2x} = \frac{10}{3}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $3(2x^2 + 4x + 4) = 10(x^2 + 2x)$
$6x^2 + 12x + 12 = 10x^2 + 20x$
પદોને ગોઠવતા: $4x^2 + 8x - 12 = 0$
$4$ વડે ભાગતા: $x^2 + 2x - 3 = 0$
અવયવ પાડતા: $x^2 + 3x - x - 3 = 0$
$x(x+3) - 1(x+3) = 0$
$(x-1)(x+3) = 0$
આમ,$x = 1$ અથવા $x = -3$.
ઉકેલ ગણ $\{1, -3\}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x+1}{x+2} + \frac{1}{x} = \frac{5}{4}$
ડાબી બાજુ લસાઅ લેતા: $\frac{x(x+1) + 1(x+2)}{x(x+2)} = \frac{5}{4}$
$\frac{x^2 + x + x + 2}{x^2 + 2x} = \frac{5}{4}$
$\frac{x^2 + 2x + 2}{x^2 + 2x} = \frac{5}{4}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $4(x^2 + 2x + 2) = 5(x^2 + 2x)$
$4x^2 + 8x + 8 = 5x^2 + 10x$
દ્વિઘાત સમીકરણ બનાવવા માટે પદોને ગોઠવતા: $x^2 + 2x - 8 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^2 + 4x - 2x - 8 = 0$
$x(x+4) - 2(x+4) = 0$
$(x-2)(x+4) = 0$
આમ,$x = 2$ અથવા $x = -4$.
ઉકેલ ગણ $\{2, -4\}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x + 2 - \frac{6}{x + 2} = 1$
ધારો કે $y = x + 2$. તેથી સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $y - \frac{6}{y} = 1$
$y$ વડે ગુણતા: $y^2 - 6 = y$
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ગોઠવતા: $y^2 - y - 6 = 0$
અવયવ પાડતા: $y^2 - 3y + 2y - 6 = 0$
$y(y - 3) + 2(y - 3) = 0$
$(y - 3)(y + 2) = 0$
તેથી,$y = 3$ અથવા $y = -2$.
હવે $y = x + 2$ પાછા મૂકતા:
કિસ્સો $1$: $x + 2 = 3 \implies x = 1$
કિસ્સો $2$: $x + 2 = -2 \implies x = -4$
આમ,ઉકેલ ગણ $\{1, -4\}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x}{x-1} + \frac{x-1}{x} = \frac{25}{12}$
ધારો કે $y = \frac{x}{x-1}$,તેથી સમીકરણ $y + \frac{1}{y} = \frac{25}{12}$ બને છે.
$12y$ વડે ગુણતા,આપણને $12y^2 + 12 = 25y$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $12y^2 - 25y + 12 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $12y^2 - 16y - 9y + 12 = 0 \implies 4y(3y - 4) - 3(3y - 4) = 0$.
આમ,$(4y - 3)(3y - 4) = 0$,તેથી $y = \frac{3}{4}$ અથવા $y = \frac{4}{3}$.
કિસ્સો $1$: $\frac{x}{x-1} = \frac{3}{4} \implies 4x = 3x - 3 \implies x = -3$.
કિસ્સો $2$: $\frac{x}{x-1} = \frac{4}{3} \implies 3x = 4x - 4 \implies x = 4$.
આમ,ઉકેલ ગણ $\{4, -3\}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{9}{x-1} - \frac{2}{x-3} = \frac{5}{x+1}$
ડાબી બાજુ લસાઅ લેતા: $\frac{9(x-3) - 2(x-1)}{(x-1)(x-3)} = \frac{5}{x+1}$
$\frac{9x - 27 - 2x + 2}{x^2 - 4x + 3} = \frac{5}{x+1}$
$\frac{7x - 25}{x^2 - 4x + 3} = \frac{5}{x+1}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $(7x - 25)(x + 1) = 5(x^2 - 4x + 3)$
$7x^2 + 7x - 25x - 25 = 5x^2 - 20x + 15$
$7x^2 - 18x - 25 = 5x^2 - 20x + 15$
$2x^2 + 2x - 40 = 0$
$2$ વડે ભાગતા: $x^2 + x - 20 = 0$
અવયવ પાડતા: $x^2 + 5x - 4x - 20 = 0$
$x(x + 5) - 4(x + 5) = 0$
$(x - 4)(x + 5) = 0$
આમ,$x = 4$ અથવા $x = -5$.
ઉકેલ ગણ $\{-5, 4\}$ છે.

(A) ધારો કે $y = \frac{x+1}{x-3}$. તો સમીકરણ $y + \frac{1}{y} = \frac{5}{2}$ બને છે.
$2y$ વડે ગુણતા,આપણને $2y^2 + 2 = 5y$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $2y^2 - 5y + 2 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $2y^2 - 4y - y + 2 = 0 \implies 2y(y - 2) - 1(y - 2) = 0$.
આથી $(2y - 1)(y - 2) = 0$,તેથી $y = \frac{1}{2}$ અથવા $y = 2$.
કિસ્સો $1$: $\frac{x+1}{x-3} = \frac{1}{2} \implies 2x + 2 = x - 3 \implies x = -5$.
કિસ્સો $2$: $\frac{x+1}{x-3} = 2 \implies x + 1 = 2x - 6 \implies x = 7$.
આમ,ઉકેલ ગણ $\{-5, 7\}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{8}{x+5} = \frac{3}{x-1} + \frac{1}{x-5}$
સૌ પ્રથમ,જમણી બાજુનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{8}{x+5} = \frac{3(x-5) + 1(x-1)}{(x-1)(x-5)}$
$\frac{8}{x+5} = \frac{3x - 15 + x - 1}{x^2 - 6x + 5}$
$\frac{8}{x+5} = \frac{4x - 16}{x^2 - 6x + 5}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $8(x^2 - 6x + 5) = (x+5)(4x - 16)$
$8x^2 - 48x + 40 = 4x^2 - 16x + 20x - 80$
$8x^2 - 48x + 40 = 4x^2 + 4x - 80$
$4x^2 - 52x + 120 = 0$
$4$ વડે ભાગતા: $x^2 - 13x + 30 = 0$
અવયવ પાડતા: $x^2 - 10x - 3x + 30 = 0$
$x(x - 10) - 3(x - 10) = 0$
$(x - 3)(x - 10) = 0$
આમ,$x = 3$ અથવા $x = 10$.
ઉકેલ ગણ $\{3, 10\}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x} = \frac{41}{20}$.
ધારો કે $y = \frac{x}{x+1}$,તો સમીકરણ $y + \frac{1}{y} = \frac{41}{20}$ બને છે.
$20y$ વડે ગુણતા,$20y^2 + 20 = 41y$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $20y^2 - 41y + 20 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $20y^2 - 16y - 25y + 20 = 0 \Rightarrow 4y(5y - 4) - 5(5y - 4) = 0$.
તેથી,$(4y - 5)(5y - 4) = 0$,જેનાથી $y = 5/4$ અથવા $y = 4/5$ મળે છે.
કિસ્સો $1$: $\frac{x}{x+1} = \frac{5}{4} \Rightarrow 4x = 5x + 5 \Rightarrow x = -5$.
કિસ્સો $2$: $\frac{x}{x+1} = \frac{4}{5} \Rightarrow 5x = 4x + 4 \Rightarrow x = 4$.
આમ,ઉકેલ ગણ $\{4, -5\}$ છે.

(D) ધારો કે $y = \frac{x}{1-x}$. તેથી સમીકરણ $y + \frac{1}{y} = \frac{13}{6}$ બને છે.
$6y$ વડે ગુણતા,આપણને $6y^2 + 6 = 13y$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $6y^2 - 13y + 6 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $6y^2 - 9y - 4y + 6 = 0 \implies 3y(2y - 3) - 2(2y - 3) = 0$.
આથી $(3y - 2)(2y - 3) = 0$,તેથી $y = \frac{2}{3}$ અથવા $y = \frac{3}{2}$.
કિસ્સો $1$: $\frac{x}{1-x} = \frac{2}{3} \implies 3x = 2 - 2x \implies 5x = 2 \implies x = \frac{2}{5}$.
કિસ્સો $2$: $\frac{x}{1-x} = \frac{3}{2} \implies 2x = 3 - 3x \implies 5x = 3 \implies x = \frac{3}{5}$.
આમ,ઉકેલ ગણ $\{\frac{2}{5}, \frac{3}{5}\}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x+1}{x-1} + \frac{x-2}{x+2} = 3$
લસાઅ લેતા: $\frac{(x+1)(x+2) + (x-2)(x-1)}{(x-1)(x+2)} = 3$
અંશ અને છેદનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{(x^2 + 3x + 2) + (x^2 - 3x + 2)}{x^2 + x - 2} = 3$
અંશનું સાદુરૂપ આપતા: $\frac{2x^2 + 4}{x^2 + x - 2} = 3$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $2x^2 + 4 = 3(x^2 + x - 2)$
$2x^2 + 4 = 3x^2 + 3x - 6$
પદોને ગોઠવીને દ્વિઘાત સમીકરણ બનાવતા: $x^2 + 3x - 10 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવો પાડતા: $x^2 + 5x - 2x - 10 = 0$
$x(x + 5) - 2(x + 5) = 0$
$(x - 2)(x + 5) = 0$
આમ,$x = 2$ અથવા $x = -5$.
ઉકેલ ગણ $\{-5, 2\}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} = \frac{5}{x}$
ડાબી બાજુ લસાઅ લેતા: $\frac{(x+1)^2 - (x-1)^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{5}{x}$
અંશનું સાદું રૂપ આપતા: $(x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 2x + 1) = 4x$
છેદનું સાદું રૂપ આપતા: $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$
તેથી,$\frac{4x}{x^2 - 1} = \frac{5}{x}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $4x^2 = 5(x^2 - 1)$
$4x^2 = 5x^2 - 5$
$x^2 = 5$
$x = \pm\sqrt{5}$
આમ,ઉકેલ ગણ $\{-\sqrt{5}, \sqrt{5}\}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x^{2}+3x-5=0$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે,$x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ ઉમેરતા અને બાદ કરતા,જે $(\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4}$ છે.
$x^{2}+3x+\frac{9}{4}-5-\frac{9}{4}=0$
$(x+\frac{3}{2})^{2} - \frac{20+9}{4} = 0$
$(x+\frac{3}{2})^{2} - \frac{29}{4} = 0$
$(x+\frac{3}{2})^{2} = (\frac{\sqrt{29}}{2})^{2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x+\frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{29}}{2}$
$x = -\frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{29}}{2}$
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{29}}{2}$
આમ,ઉકેલ $\frac{-3-\sqrt{29}}{2}$ અને $\frac{-3+\sqrt{29}}{2}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $2x^2 - 7x + 3 = 0$
$x^2$ નો સહગુણક $1$ બનાવવા માટે આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$x^2 - \frac{7}{2}x + \frac{3}{2} = 0$
પૂર્ણ વર્ગ બનાવવા માટે,$x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ ઉમેરતા અને બાદ કરતા,જે $(\frac{1}{2} \times \frac{7}{2})^2 = (\frac{7}{4})^2 = \frac{49}{16}$ છે:
$x^2 - \frac{7}{2}x + \frac{49}{16} - \frac{49}{16} + \frac{3}{2} = 0$
$(x - \frac{7}{4})^2 - \frac{49}{16} + \frac{24}{16} = 0$
$(x - \frac{7}{4})^2 - \frac{25}{16} = 0$
$(x - \frac{7}{4})^2 = (\frac{5}{4})^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x - \frac{7}{4} = \pm \frac{5}{4}$
કિસ્સો $1$: $x = \frac{7}{4} + \frac{5}{4} = \frac{12}{4} = 3$
કિસ્સો $2$: $x = \frac{7}{4} - \frac{5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
આમ,ઉકેલ $x = 3$ અથવા $x = \frac{1}{2}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $4 x^{2}+3 x+5=0$
$x^2$ નો સહગુણક $1$ કરવા માટે આખા સમીકરણને $4$ વડે ભાગતા:
$x^{2} + \frac{3}{4}x + \frac{5}{4} = 0$
પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે,$x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ ઉમેરતા અને બાદ કરતા,જે $(\frac{1}{2} \times \frac{3}{4})^2 = (\frac{3}{8})^2 = \frac{9}{64}$ છે:
$x^{2} + \frac{3}{4}x + \frac{9}{64} - \frac{9}{64} + \frac{5}{4} = 0$
$(x + \frac{3}{8})^2 + \frac{-9 + 80}{64} = 0$
$(x + \frac{3}{8})^2 + \frac{71}{64} = 0$
$(x + \frac{3}{8})^2 = -\frac{71}{64}$
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી $x$ ની એવી કોઈ વાસ્તવિક કિંમત નથી જે આ સમીકરણનું સમાધાન કરે. આમ,આ સમીકરણના કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}+10x+7=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે,આપણે $(\frac{10}{2})^{2} = 25$ ઉમેરીશું અને બાદ કરીશું:
$x^{2}+10x+25-25+7=0$
$(x+5)^{2}-18=0$
$(x+5)^{2} = 18$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x+5 = \pm\sqrt{18}$
$x+5 = \pm 3\sqrt{2}$
$x = -5 \pm 3\sqrt{2}$
તેથી,સમીકરણના બીજ $-5+3\sqrt{2}$ અને $-5-3\sqrt{2}$ છે.

(C) પૂર્ણવર્ગની રીતથી $25 x^{2}-30 x+3=0$ ને ઉકેલવા માટે,સૌ પ્રથમ અચળ પદને જમણી બાજુ લઈ જઈએ: $25 x^{2}-30 x = -3$.
સમીકરણને $25$ વડે ભાગતા: $x^{2} - \frac{30}{25} x = -\frac{3}{25}$,એટલે કે $x^{2} - \frac{6}{5} x = -\frac{3}{25}$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે,$(\frac{1}{2} \times x \text{ નો સહગુણક})^2 = (\frac{1}{2} \times -\frac{6}{5})^2 = (-\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}$ ને બંને બાજુ ઉમેરતા:
$x^{2} - \frac{6}{5} x + \frac{9}{25} = -\frac{3}{25} + \frac{9}{25}$.
આથી $(x - \frac{3}{5})^2 = \frac{6}{25}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $x - \frac{3}{5} = \pm \frac{\sqrt{6}}{5}$.
તેથી,$x = \frac{3}{5} \pm \frac{\sqrt{6}}{5}$,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{3 \pm \sqrt{6}}{5}$.
આમ,સમીકરણના બીજ $\frac{3-\sqrt{6}}{5}$ અને $\frac{3+\sqrt{6}}{5}$ છે.

(D) પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરીને દ્વિઘાત સમીકરણ $16 x^{2}-24 x-1=0$ ઉકેલવા માટે,સૌ પ્રથમ સમીકરણને $16 x^{2}-24 x = 1$ તરીકે લખીએ.
આખા સમીકરણને $x^{2}$ ના સહગુણક $16$ વડે ભાગતા:
$x^{2} - \frac{24}{16} x = \frac{1}{16}$
$x^{2} - \frac{3}{2} x = \frac{1}{16}$
હવે,$x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ બંને બાજુ ઉમેરીએ. $x$ નો સહગુણક $-\frac{3}{2}$ છે,તેથી તેના અડધા $-\frac{3}{4}$ થાય અને તેનો વર્ગ $\frac{9}{16}$ થાય:
$x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{9}{16} = \frac{1}{16} + \frac{9}{16}$
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$(x - \frac{3}{4})^{2} = \frac{10}{16}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x - \frac{3}{4} = \pm \sqrt{\frac{10}{16}}$
$x - \frac{3}{4} = \pm \frac{\sqrt{10}}{4}$
$x$ માટે ઉકેલતા:
$x = \frac{3}{4} \pm \frac{\sqrt{10}}{4}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{10}}{4}$
આમ,આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\frac{3+\sqrt{10}}{4}$ અને $\frac{3-\sqrt{10}}{4}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $3 y^{2}+7 y-20=0$
$y^{2}$ નો સહગુણક $1$ કરવા માટે આખા સમીકરણને $3$ વડે ભાગતા:
$y^{2}+\frac{7}{3} y-\frac{20}{3}=0$
પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે,$y$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ ઉમેરતા અને બાદ કરતા,જે $(\frac{1}{2} \times \frac{7}{3})^{2} = (\frac{7}{6})^{2} = \frac{49}{36}$ છે:
$y^{2}+\frac{7}{3} y + \frac{49}{36} - \frac{49}{36} - \frac{20}{3} = 0$
$(y+\frac{7}{6})^{2} - (\frac{49}{36} + \frac{240}{36}) = 0$
$(y+\frac{7}{6})^{2} - \frac{289}{36} = 0$
$(y+\frac{7}{6})^{2} = (\frac{17}{6})^{2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$y+\frac{7}{6} = \pm \frac{17}{6}$
કિસ્સો $1$: $y = \frac{17}{6} - \frac{7}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$
કિસ્સો $2$: $y = -\frac{17}{6} - \frac{7}{6} = -\frac{24}{6} = -4$
આમ,સમીકરણના બીજ $-4$ અને $\frac{5}{3}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $5x^{2}-4x-10=0$
$x^{2}$ નો સહગુણક $1$ કરવા માટે આખા સમીકરણને $5$ વડે ભાગતા:
$x^{2}-\frac{4}{5}x-2=0$
પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે,$x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ ઉમેરતા અને બાદ કરતા,જે $(\frac{1}{2} \times \frac{4}{5})^{2} = (\frac{2}{5})^{2} = \frac{4}{25}$ છે:
$x^{2}-\frac{4}{5}x + \frac{4}{25} - \frac{4}{25} - 2 = 0$
$(x-\frac{2}{5})^{2} - (\frac{4}{25} + 2) = 0$
$(x-\frac{2}{5})^{2} - (\frac{4+50}{25}) = 0$
$(x-\frac{2}{5})^{2} - \frac{54}{25} = 0$
$(x-\frac{2}{5})^{2} = \frac{54}{25}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x-\frac{2}{5} = \pm \sqrt{\frac{54}{25}} = \pm \frac{3\sqrt{6}}{5}$
$x = \frac{2}{5} \pm \frac{3\sqrt{6}}{5}$
$x = \frac{2 \pm 3\sqrt{6}}{5}$
આમ,દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\frac{2-3\sqrt{6}}{5}$ અને $\frac{2+3\sqrt{6}}{5}$ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $m^{2}-18m+81=0$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$ સાથે સરખાવતા,આપણે લખી શકીએ:
$m^{2}-2(m)(9)+(9)^{2}=0$
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$(m-9)^{2}=0$
તેથી:
$(m-9)(m-9)=0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$m-9=0$ અથવા $m-9=0$
$m$ માટે ઉકેલતા:
$m=9$ અથવા $m=9$
આમ,આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $9$ અને $9$ છે.

(D) $x^{2}-8x+12=0$ ને પૂર્ણવર્ગની રીતથી ઉકેલવા માટે:
$1$. અચળ પદને જમણી બાજુ લઈ જાઓ: $x^{2}-8x = -12$
$2$. $x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ બંને બાજુ ઉમેરો. $x$ નો સહગુણક $-8$ છે, તેના અડધા $-4$ થાય અને તેનો વર્ગ $(-4)^{2} = 16$ થાય.
$3$. $x^{2}-8x+16 = -12+16$
$4$. ડાબી બાજુને પૂર્ણવર્ગ તરીકે લખો: $(x-4)^{2} = 4$
$5$. બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $x-4 = \pm 2$
$6$. $x$ માટે ઉકેલતા: $x = 4+2 = 6$ અથવા $x = 4-2 = 2$.
આમ, બીજ $2$ અને $6$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ: $x^{2}+2x-2=0$
પગલું $1$: અચળ પદને જમણી બાજુ લઈ જતા: $x^{2}+2x=2$
પગલું $2$: $x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ બંને બાજુ ઉમેરતા. $x$ નો સહગુણક $2$ છે,તેથી તેના અડધા $1$ થાય અને તેનો વર્ગ $1^{2}=1$ થાય. બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા:
$x^{2}+2x+1=2+1$
પગલું $3$: ડાબી બાજુને પૂર્ણવર્ગ તરીકે લખતા: $(x+1)^{2}=3$
પગલું $4$: બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $x+1 = \pm\sqrt{3}$
પગલું $5$: $x$ માટે ઉકેલતા: $x = -1 \pm \sqrt{3}$
આમ,બીજ $-1+\sqrt{3}$ અને $-1-\sqrt{3}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x^{2}-4x-8=0$
પગલું $1$: અચળ પદને જમણી બાજુ લઈ જતા: $x^{2}-4x=8$
પગલું $2$: $x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ બંને બાજુ ઉમેરતા. $x$ નો સહગુણક $-4$ છે,તેથી તેના અડધા $-2$ થાય અને તેનો વર્ગ $(-2)^{2}=4$ થાય.
$x^{2}-4x+4=8+4$
પગલું $3$: ડાબી બાજુને પૂર્ણવર્ગ તરીકે લખતા: $(x-2)^{2}=12$
પગલું $4$: બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $x-2 = \pm\sqrt{12}$
$x-2 = \pm 2\sqrt{3}$
પગલું $5$: $x$ માટે ઉકેલતા: $x = 2 \pm 2\sqrt{3}$
આમ,બીજ $2+2\sqrt{3}$ અને $2-2\sqrt{3}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $4x^{2} + 20x + 23 = 0$.
આખા સમીકરણને $4$ વડે ભાગતા: $x^{2} + 5x + \frac{23}{4} = 0$.
તેને આ રીતે લખતા: $x^{2} + 5x = -\frac{23}{4}$.
$x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ (જે $(\frac{5}{2})^{2} = \frac{25}{4}$ છે) બંને બાજુ ઉમેરતા: $x^{2} + 5x + \frac{25}{4} = -\frac{23}{4} + \frac{25}{4}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $(x + \frac{5}{2})^{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $x + \frac{5}{2} = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.
આમ,$x = -\frac{5}{2} \pm \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{2}}{2}$.
તેથી,બીજ $\frac{-5+\sqrt{2}}{2}$ અને $\frac{-5-\sqrt{2}}{2}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $4x^{2} + 4bx - (a^{2} - b^{2}) = 0$.
$4$ વડે ભાગતા: $x^{2} + bx - \frac{a^{2}-b^{2}}{4} = 0$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે $(\frac{b}{2})^{2}$ ઉમેરતા અને બાદ કરતા: $x^{2} + bx + (\frac{b}{2})^{2} - (\frac{b}{2})^{2} - \frac{a^{2}-b^{2}}{4} = 0$.
$(x + \frac{b}{2})^{2} = \frac{b^{2}}{4} + \frac{a^{2}-b^{2}}{4} = \frac{a^{2}}{4}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $x + \frac{b}{2} = \pm \frac{a}{2}$.
કિસ્સો $1$: $x = \frac{a-b}{2}$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{-a-b}{2} = -(\frac{a+b}{2})$.
આમ,બીજ $-\left(\frac{a+b}{2}\right), \left(\frac{a-b}{2}\right)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x^{2}-(\sqrt{3}+1) x+\sqrt{3}=0$.
પૂર્ણ વર્ગ બનાવવા માટે,આપણે $x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ,એટલે કે $(\frac{\sqrt{3}+1}{2})^{2}$ ઉમેરીશું અને બાદ કરીશું.
$x^{2}-(\sqrt{3}+1) x + (\frac{\sqrt{3}+1}{2})^{2} - (\frac{\sqrt{3}+1}{2})^{2} + \sqrt{3} = 0$.
$(x - \frac{\sqrt{3}+1}{2})^{2} = (\frac{\sqrt{3}+1}{2})^{2} - \sqrt{3}$.
$(x - \frac{\sqrt{3}+1}{2})^{2} = \frac{3+1+2\sqrt{3}}{4} - \sqrt{3} = \frac{4+2\sqrt{3}-4\sqrt{3}}{4} = \frac{4-2\sqrt{3}}{4} = \frac{(\sqrt{3}-1)^{2}}{4}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $x - \frac{\sqrt{3}+1}{2} = \pm \frac{\sqrt{3}-1}{2}$.
કિસ્સો $1$: $x = \frac{\sqrt{3}+1 + \sqrt{3}-1}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{\sqrt{3}+1 - (\sqrt{3}-1)}{2} = \frac{\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
આમ,બીજ $\sqrt{3}$ અને $1$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x^{2}-4 \sqrt{2} x+6=0$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે,સમીકરણને $x^{2}-2(x)(2 \sqrt{2}) = -6$ તરીકે લખીએ.
બંને બાજુ $(2 \sqrt{2})^{2} = 8$ ઉમેરતા: $x^{2}-2(x)(2 \sqrt{2}) + (2 \sqrt{2})^{2} = -6 + 8$.
આનું સાદું રૂપ $(x-2 \sqrt{2})^{2} = 2$ થાય છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $x-2 \sqrt{2} = \pm \sqrt{2}$.
કિસ્સો $1$: $x = 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$.
કિસ્સો $2$: $x = 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$.
આમ,બીજ $\sqrt{2}$ અને $3 \sqrt{2}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $3x^2 + 11x + 10 = 0$.
$x^2$ નો સહગુણક $1$ કરવા માટે આખા સમીકરણને $3$ વડે ભાગતા: $x^2 + \frac{11}{3}x + \frac{10}{3} = 0$.
અચળ પદને જમણી બાજુ લઈ જતા: $x^2 + \frac{11}{3}x = -\frac{10}{3}$.
$x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ બંને બાજુ ઉમેરતા. $x$ નો સહગુણક $\frac{11}{3}$ છે,તેથી તેના અડધા $\frac{11}{6}$ થાય. તેનો વર્ગ $(\frac{11}{6})^2 = \frac{121}{36}$ થાય.
$x^2 + \frac{11}{3}x + \frac{121}{36} = -\frac{10}{3} + \frac{121}{36}$.
$(x + \frac{11}{6})^2 = -\frac{120}{36} + \frac{121}{36} = \frac{1}{36}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $x + \frac{11}{6} = \pm \frac{1}{6}$.
કિસ્સો $1$: $x + \frac{11}{6} = \frac{1}{6} \implies x = \frac{1}{6} - \frac{11}{6} = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3}$.
કિસ્સો $2$: $x + \frac{11}{6} = -\frac{1}{6} \implies x = -\frac{1}{6} - \frac{11}{6} = -\frac{12}{6} = -2$.
આમ,બીજ $-\frac{5}{3}$ અને $-2$ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ: $2x^{2} + x + 4 = 0$.
$x^{2}$ નો સહગુણક $1$ કરવા માટે આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$x^{2} + \frac{1}{2}x + 2 = 0$.
સમીકરણને $x^{2} + \frac{1}{2}x = -2$ તરીકે ફરીથી લખો.
પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે,$x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ બંને બાજુ ઉમેરો. $x$ નો સહગુણક $\frac{1}{2}$ છે,તેથી તેના અડધા $\frac{1}{4}$ થાય. તેનો વર્ગ $(\frac{1}{4})^{2} = \frac{1}{16}$ થાય.
$x^{2} + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} = -2 + \frac{1}{16}$.
$(x + \frac{1}{4})^{2} = \frac{-32 + 1}{16} = -\frac{31}{16}$.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી આ સમીકરણ માટે કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.

(A) આપેલ સમીકરણ: $2x^{2} - 7x + 3 = 0$.
$x^{2}$ નો સહગુણક $1$ કરવા માટે આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$x^{2} - \frac{7}{2}x + \frac{3}{2} = 0$.
અચળ પદને જમણી બાજુ લઈ જતા:
$x^{2} - \frac{7}{2}x = -\frac{3}{2}$.
$x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ (જે $\frac{1}{2} \times \frac{7}{2} = \frac{7}{4}$ છે) બંને બાજુ ઉમેરતા:
$x^{2} - \frac{7}{2}x + (\frac{7}{4})^{2} = -\frac{3}{2} + (\frac{7}{4})^{2}$.
$(x - \frac{7}{4})^{2} = -\frac{3}{2} + \frac{49}{16}$.
$(x - \frac{7}{4})^{2} = \frac{-24 + 49}{16} = \frac{25}{16}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x - \frac{7}{4} = \pm \frac{5}{4}$.
કિસ્સો $1$: $x = \frac{7}{4} + \frac{5}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{7}{4} - \frac{5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
આમ,બીજ $3$ અને $\frac{1}{2}$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ: $x^{2}+8x+3=0$.
પગલું $1$: અચળ પદને જમણી બાજુ લઈ જતા: $x^{2}+8x = -3$.
પગલું $2$: $x$ ના સહગુણકના અડધાનો વર્ગ બંને બાજુ ઉમેરતા. $x$ નો સહગુણક $8$ છે,તેથી તેના અડધા $4$ થાય અને તેનો વર્ગ $4^{2} = 16$ થાય.
$x^{2}+8x+16 = -3+16$.
પગલું $3$: ડાબી બાજુને પૂર્ણવર્ગ તરીકે લખતા: $(x+4)^{2} = 13$.
પગલું $4$: બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $x+4 = \pm\sqrt{13}$.
પગલું $5$: $x$ માટે ઉકેલતા: $x = -4 \pm \sqrt{13}$.
આમ,બીજ $-4+\sqrt{13}$ અને $-4-\sqrt{13}$ છે.