Demo Questions in Gujarati

(B) બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ ના $HCF$ અને $LCM$ નો મૂળભૂત ગુણધર્મ એ છે કે $LCM$ એ $HCF$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેવો હોવો જોઈએ.
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, $\frac{LCM(a, b)}{HCF(a, b)} = \text{પૂર્ણાંક સંખ્યા}$.
અહીં $HCF(a, b) = 16$ આપેલ છે.
દરેક વિકલ્પ તપાસતા:
$1$. $32$ માટે: $\frac{32}{16} = 2$ (શક્ય છે).
$2$. $72$ માટે: $\frac{72}{16} = 4.5$ (પૂર્ણાંક નથી, તેથી શક્ય નથી).
$3$. $64$ માટે: $\frac{64}{16} = 4$ (શક્ય છે).
તેથી, $72$ એ $LCM$ હોઈ શકે નહીં.

(B) યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વ પ્રમેય જણાવે છે કે કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,અનન્ય પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ એવા મળે કે જેથી $a = bq + r$,જ્યાં શેષ $r$ એ $0 \leq r < b$ શરતનું પાલન કરે છે. આનો અર્થ એ છે કે શેષ $r$ શૂન્ય હોઈ શકે અથવા શૂન્ય કરતાં મોટો હોઈ શકે,પરંતુ તે હંમેશા ભાજક $b$ કરતાં નાનો હોવો જોઈએ.

(A) અહીં આપણને પદાવલિ $2^{m} \cdot 5^{n}$ આપેલ છે,જ્યાં $m, n \in N$.
જો $m \ge n$ હોય,તો આપણે તેને $2^{m-n} \cdot (2 \cdot 5)^{n}$ તરીકે લખી શકીએ,અથવા જો $n > m$ હોય,તો $5^{n-m} \cdot (2 \cdot 5)^{m}$ તરીકે લખી શકીએ.
બંને કિસ્સામાં,પદાવલિમાં $(2 \cdot 5) = 10$ નો અવયવ રહેલો છે.
કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો $10$ સાથે ગુણાકાર કરવાથી મળતી સંખ્યાનો અંતિમ અંક $0$ હોય છે.
ઉદાહરણ તરીકે,જો $m=1, n=1$ હોય,તો $2^1 \cdot 5^1 = 10$ (અંતિમ અંક $0$ છે).
જો $m=2, n=1$ હોય,તો $2^2 \cdot 5^1 = 4 \cdot 5 = 20$ (અંતિમ અંક $0$ છે).
જો $m=1, n=2$ હોય,તો $2^1 \cdot 5^2 = 2 \cdot 25 = 50$ (અંતિમ અંક $0$ છે).
તેથી,અંતિમ અંક હંમેશા $0$ જ રહેશે.

(C) અપૂર્ણાંક $\frac{1}{32}$ ને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવવા માટે,આપણે ભાગાકાર કરીએ.
$1$ ને $32$ વડે ભાગતા:
$1 \div 32 = 0.03125$.
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે $\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5}$ લખી શકીએ.
દશાંશમાં ફેરવવા માટે,અંશ અને છેદને $5^5$ વડે ગુણો:
$\frac{1 \times 5^5}{2^5 \times 5^5} = \frac{3125}{10^5} = \frac{3125}{100000} = 0.03125$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) કોઈપણ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત ત્યારે જ મળે જો તેના છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^m \cdot 5^n$ સ્વરૂપના હોય,જ્યાં $m$ અને $n$ એ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
અનૃણ પૂર્ણાંકોમાં તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $(N)$ અને શૂન્ય $(0)$ નો સમાવેશ થાય છે.
તેથી,$m, n \in N \cup \{0\}$.

(B) સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા $2$ છે.
સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યા $4$ છે.
$LCM(2, 4)$ શોધવા માટે:
$2$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^1$ છે.
$4$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^2$ છે.
$LCM$ એ દરેક અવિભાજ્ય અવયવની મહત્તમ ઘાતનો ગુણાકાર છે.
$LCM(2, 4) = 2^2 = 4$.
તેથી,સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા અને સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યાનો લ.સા.અ. $4$ છે.

(C) અપૂર્ણાંક $\frac{337}{125}$ ને સાન્ત દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવવા માટે,આપણે અંશ અને છેદ બંનેને $8$ વડે ગુણી શકીએ છીએ જેથી છેદ $10$ ની ઘાત બની જાય.
$\frac{337 \times 8}{125 \times 8} = \frac{2696}{1000}$.
$1000$ વડે ભાગાકાર કરવાથી દશાંશ ચિહ્ન ત્રણ સ્થાન ડાબી બાજુ ખસે છે.
$\frac{2696}{1000} = 2.696$.

(C) $\frac{2517}{6250}$ નું દશાંશ વિસ્તરણ કેટલા દશાંશ સ્થળો પછી શાંત થશે તે જાણવા માટે,આપણે છેદને $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં દર્શાવવો પડે.
પ્રથમ,છેદ $6250$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો:
$6250 = 625 \times 10 = 5^4 \times (2 \times 5) = 2^1 \times 5^5$.
કોઈપણ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ વિસ્તરણ $k$ દશાંશ સ્થળો પછી શાંત થાય છે,જ્યાં $q = 2^n \times 5^m$ માં $k = \max(n, m)$ હોય છે.
અહીં,$n = 1$ અને $m = 5$ છે.
તેથી,$k = \max(1, 5) = 5$.
આમ,દશાંશ વિસ્તરણ $5$ દશાંશ સ્થળો પછી શાંત થશે.

(C) ધારો કે ચાર ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકો $n, (n+1), (n+2),$ અને $(n+3)$ છે.
તેમનો ગુણાકાર $P = n(n+1)(n+2)(n+3)$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $k$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર હંમેશા $k!$ (k ફેક્ટોરિયલ) વડે વિભાજ્ય હોય છે.
અહીં,$k = 4$ છે,તેથી ગુણાકાર $4!$ વડે વિભાજ્ય હશે.
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
તેથી,કોઈપણ ચાર ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર હંમેશા $24$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.

(B) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય જો તેના છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
$1$. $\frac{17}{32}$ માટે: $32 = 2^5$. તે $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,તેનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.
$2$. $\frac{17}{248}$ માટે: $248 = 8 \times 31 = 2^3 \times 31^1$. અહીં $2$ અને $5$ સિવાયનો અવયવ $(31)$ હોવાથી,તેનું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત્ત છે.
$3$. $\frac{17}{160}$ માટે: $160 = 16 \times 10 = 2^4 \times 2 \times 5 = 2^5 \times 5^1$. તે $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,તેનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.
તેથી,$\frac{17}{248}$ નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત્ત છે.

(A) $23, 35,$ અને $46$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી (લ.સા.અ.) શોધવા માટે:
પગલું $1$: દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો.
$23 = 23^1$ (કારણ કે $23$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે).
$35 = 5^1 \times 7^1$.
$46 = 2^1 \times 23^1$.
પગલું $2$: દરેક અવિભાજ્ય અવયવની મહત્તમ ઘાત નક્કી કરો.
અહીં સમાવિષ્ટ અવિભાજ્ય અવયવો $2, 5, 7,$ અને $23$ છે.
તેમની મહત્તમ ઘાત $2^1, 5^1, 7^1,$ અને $23^1$ છે.
પગલું $3$: લ.સા.અ. શોધવા માટે આ મહત્તમ ઘાતોનો ગુણાકાર કરો.
$LCM = 2^1 \times 5^1 \times 7^1 \times 23^1$
$LCM = 10 \times 7 \times 23$
$LCM = 70 \times 23 = 1610$.

(D) સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ (જ્યાં $q \neq 0$) ના દશાંશ નિરૂપણમાં દશાંશ સ્થળ પછીના અંકોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે પહેલા અપૂર્ણાંકને તેના અતિસંક્ષિપ્ત સ્વરૂપમાં ફેરવીએ છીએ.
$\frac{7}{80}$ એ પહેલેથી જ તેના અતિસંક્ષિપ્ત સ્વરૂપમાં છે.
હવે,છેદ $q = 80$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીએ.
$80 = 2^4 \times 5^1$.
દશાંશ સ્થળ પછીના અંકોની સંખ્યા એ છેદના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં $2$ અથવા $5$ ના મહત્તમ ઘાતાંક જેટલી હોય છે.
અહીં,ઘાતાંકો $4$ અને $1$ છે. મહત્તમ ઘાતાંક $4$ છે.
તેથી,$\frac{7}{80}$ ના દશાંશ નિરૂપણમાં દશાંશ ચિહ્ન પછી $4$ અંક મળે.
ચકાસણી: $\frac{7}{80} = \frac{7 \times 125}{80 \times 125} = \frac{875}{10000} = 0.0875$.

(A) $70$ અને $125$ ને ભાગતાં અનુક્રમે $5$ અને $8$ શેષ વધે તેવો મોટામાં મોટો ધન પૂર્ણાંક શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સંખ્યાઓમાંથી શેષ બાદ કરીશું.
$70 - 5 = 65$
$125 - 8 = 117$
હવે,આપણે $65$ અને $117$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(GCD)$ શોધવો પડશે.
$65$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $= 5 \times 13$
$117$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $= 3^2 \times 13$
સામાન્ય અવયવ $13$ છે.
તેથી,માંગેલ મોટામાં મોટો ધન પૂર્ણાંક $13$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,અવિભાજ્ય અવયવીકરણની રીતનો ઉપયોગ કરીને $65$ અને $117$ નો ગુ.સા.અ. $(HCF)$ શોધો:
$65 = 5 \times 13$
$117 = 9 \times 13 = 3^2 \times 13$
તેથી,$HCF(65, 117) = 13$ થાય.
આપેલ સમીકરણ: $65m - 117 = HCF(65, 117)$.
$HCF$ ની કિંમત મૂકતા: $65m - 117 = 13$.
બંને બાજુ $117$ ઉમેરતા: $65m = 13 + 117$.
$65m = 130$.
$65$ વડે ભાગતા: $m = 130 / 65$.
$m = 2$.

(D) અવયવ વૃક્ષમાં, કોઈપણ સંખ્યાને તેના અવયવોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
અવયવ વૃક્ષની પ્રમાણિત રચના મુજબ, જ્યાં ઉપરની સંખ્યા બે અવયવોમાં વિભાજિત થાય છે, ત્યાં આપણે આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\text{સંખ્યા} = \text{અવયવ}_1 \times \text{અવયવ}_2$.
જો $x$ એ $2$ અને $5$ માં વિભાજિત થતું હોય, તો $x = 2 \times 5 = 10$ થાય.
જો $y$ એ $x$ અને $2$ માં વિભાજિત થતું હોય, તો $y = x \times 2 = 10 \times 2 = 20$ થાય.
તેથી, $x$ અને $y$ ની કિંમતો અનુક્રમે $10$ અને $20$ મળે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,સંખ્યાઓનો ગુણાકાર તેમના $\text{HCF}$ (ગુ.સા.અ.) અને $\text{LCM}$ (લ.સા.અ.) ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$a \times b = \text{HCF}(a, b) \times \text{LCM}(a, b)$.
અહીં આપેલ છે કે $\text{HCF}(a, b) = 7$ અને $\text{LCM}(a, b) = 385$.
તેથી,$a \times b = 7 \times 385$.
ગુણાકાર કરતા: $7 \times 385 = 2695$.
આમ,$a \times b = 2695$.

(B) સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા $2$ છે.
સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યા $4$ છે.
$2$ અને $4$ નો લ.સા.અ. શોધવા માટે:
$2 = 2^1$
$4 = 2^2$
લ.સા.અ. એ દરેક અવિભાજ્ય અવયવની મહત્તમ ઘાતનો ગુણાકાર છે,જે $2^2 = 4$ થાય છે.
તેથી,$2$ અને $4$ નો લ.સા.અ. $4$ છે.

(B) યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ધનપૂર્ણાંક $a$ ને $a = bq + r$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $0 \le r < b$ છે.
અહીં $b = 2$ લેતા,$r$ ની શક્ય કિંમતો $0$ અને $1$ મળે છે.
આથી,$a = 2m + 0 = 2m$ (જે યુગ્મ પૂર્ણાંક છે) અથવા $a = 2m + 1$ (જે અયુગ્મ પૂર્ણાંક છે).
તેથી,કોઈપણ અયુગ્મ ધનપૂર્ણાંક $2m + 1$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

(A) $4$ અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા $9999$ છે.
$95$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી $4$ અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $9999$ ને $95$ વડે ભાગીશું.
$9999 \div 95 = 105.2526...$
અહીં પૂર્ણાંક ભાગ $105$ છે.
હવે,સૌથી મોટો ગુણક શોધવા માટે $105$ નો $95$ સાથે ગુણાકાર કરો:
$105 \times 95 = 9975$.
આમ,$95$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવો $4$ અંકનો મોટામાં મોટો પૂર્ણાંક $9975$ છે.

(C) યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,અનન્ય પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ એવા મળે કે જેથી $a = bq + r$,જ્યાં $0 \le r < b$ થાય.
આ પ્રશ્નમાં,$b = 5$ છે.
તેથી,$r$ માટેની શરત $0 \le r < 5$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $r$ ની શક્ય કિંમતો ${0, 1, 2, 3, 4}$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$5$ એ $r$ ની શક્ય કિંમત નથી કારણ કે $r$ એ ભાજક $5$ કરતા નાનો હોવો જોઈએ.

(A) અહીં આપણને $2^{3} \times 5^{125}$ પદ આપેલું છે.
સૌ પ્રથમ,$2^{3} = 8$ ની ગણતરી કરો.
હવે,પદ $8 \times 5^{125}$ બને છે.
આપણે તેને $8 \times 5 \times 5^{124} = 40 \times 5^{124}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
કોઈપણ સંખ્યાનો $40$ સાથે ગુણાકાર કરવાથી અંતમાં $0$ આવે છે,તેથી આ પદનો છેલ્લો અંક $0$ છે.

(A) ધારો કે $x = 1. \overline{23} = 1.232323...$
$100$ વડે ગુણતા,આપણને $100x = 123.232323...$ મળે છે.
$100x$ માંથી $x$ બાદ કરતા,$99x = 122$ મળે,તેથી $x = \frac{122}{99}$.
હવે,$3.2 = \frac{32}{10} = \frac{16}{5}$.
સરવાળો $\frac{122}{99} + \frac{16}{5} = \frac{122 \times 5 + 16 \times 99}{99 \times 5} = \frac{610 + 1584}{495} = \frac{2194}{495}$ થાય.
આ સરવાળાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$,તેથી તે એક સંમેય સંખ્યા છે.

(A) બે અંકની સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા $11$ છે.
બે અંકની સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યા $10$ છે.
$11$ અને $10$ નો ગુ.સા.અ. શોધવા માટે:
$11$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $11^1$ છે.
$10$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^1 \times 5^1$ છે.
અહીં કોઈ સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ ન હોવાથી,ગુ.સા.અ. $(11, 10) = 1$ થાય.

(B) આ સંખ્યાનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે પદાવલિનું સાદું રૂપ આપીએ:
$3 \times 15 \times 11 + 11$
$= 11 \times (3 \times 15 + 1)$
$= 11 \times (45 + 1)$
$= 11 \times 46$
$= 11 \times 2 \times 23$
આમ,આ સંખ્યાને $1$ અને તે સંખ્યા સિવાયના અન્ય અવિભાજ્ય અવયવો $(2, 11, 23)$ ના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી તે એક વિભાજ્ય સંખ્યા છે.

(C) વ્યાખ્યા મુજબ,અવિભાજ્ય સંખ્યા એ $1$ કરતા મોટી એવી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે જેને $1$ અને તે સંખ્યા પોતે સિવાય અન્ય કોઈ ધન અવયવ નથી.
અહીં $a$ અને $b$ બે ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોવાથી,તેમનો $1$ સિવાય કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી.
બે સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી (લ.સા.અ.) એ સૌથી નાની ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા છે જે બંને સંખ્યાઓ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય છે.
કોઈપણ બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે,તેમના ગુણાકાર,ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. વચ્ચેનો સંબંધ આ મુજબ છે: $a \times b = \text{ગુ.સા.અ.}(a, b) \times \text{લ.સા.અ.}(a, b)$.
$a$ અને $b$ ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોવાથી,તેમનો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.) $1$ થાય.
તેથી,$a \times b = 1 \times \text{લ.સા.અ.}(a, b)$.
આમ,$\text{લ.સા.અ.}(a, b) = ab$ થાય.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $p$ અને $q$ માટે,સંખ્યાઓનો ગુણાકાર તેમના $HCF$ (ગુ.સા.અ.) અને $LCM$ (લ.સા.અ.) ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
$p \times q = HCF(p, q) \times LCM(p, q)$
અહીં આપેલ છે કે $HCF(p, q) = p$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$p \times q = p \times LCM(p, q)$
બંને બાજુ $p$ વડે ભાગતા (ધારો કે $p \neq 0$):
$LCM(p, q) = q$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) કોઈપણ બે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $p_1$ અને $p_2$ માટે,ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.) હંમેશા $1$ હોય છે કારણ કે $1$ સિવાય તેમનો કોઈ સામાન્ય અવયવ હોતો નથી.
બે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી (લ.સા.અ.) તેમનો ગુણાકાર થાય છે,એટલે કે $p_1 \times p_2$.
અહીં આપેલી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $7$ અને $11$ છે.
$\text{ગુ}.\text{સા}.\text{અ}.(7, 11) = 1$.
$\text{લ}.\text{સા}.\text{અ}.(7, 11) = 7 \times 11 = 77$.
તફાવત = $\text{લ}.\text{સા}.\text{અ}. - \text{ગુ}.\text{સા}.\text{અ}. = 77 - 1 = 76$.

(A) $12, 15,$ અને $21$ નો $LCM$ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$12 = 2^2 \times 3^1$
$15 = 3^1 \times 5^1$
$21 = 3^1 \times 7^1$
$LCM$ એ તમામ અવિભાજ્ય અવયવોની મહત્તમ ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$LCM(12, 15, 21) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \times 7^1 = 4 \times 3 \times 5 \times 7 = 420$
આપેલ સમીકરણ: $LCM(12, 15, 21) = 500 + 2x$
$420 = 500 + 2x$
$2x = 420 - 500$
$2x = -80$
$x = -40$

(B) $20 a^{2} b$ અને $30 a b^{2}$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.) શોધવા માટે:
$1$. $20 a^{2} b$ ના અવિભાજ્ય અવયવો: $2^{2} \times 5 \times a^{2} \times b$.
$2$. $30 a b^{2}$ ના અવિભાજ્ય અવયવો: $2 \times 3 \times 5 \times a \times b^{2}$.
$3$. ગુ.સા.અ. એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે:
- સામાન્ય અવયવો $2, 5, a, b$ છે.
- સૌથી નાની ઘાત $2^{1}, 5^{1}, a^{1}, b^{1}$ છે.
- ગુ.સા.અ. $= 2 \times 5 \times a \times b = 10 ab$.
આમ,$10 ab
eq 10 a^{2} b^{2}$ હોવાથી,આપેલ વિધાન અસત્ય છે.

(B) $5$ ના અવયવો $1, 5$ છે.
$15$ ના અવયવો $1, 3, 5, 15$ છે.
સામાન્ય અવયવો $1$ અને $5$ છે.
તેથી,ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.) $5$ થાય.
આપેલ વિધાનમાં ગુ.સા.અ. $10$ જણાવેલ છે,તેથી આ વિધાન ખોટું છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{3} + \sqrt{2})$
આ પદાવલિ $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ ના સ્વરૂપમાં છે.
અહીં,આપણે તેને $(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
નિત્યસમ $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1$.
$-1$ એ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે,તેથી તે એક સંમેય સંખ્યા છે.
આમ,આ પદાવલિ અસંમેય સંખ્યા નથી.

(A) ધારો કે ધન પૂર્ણાંક $x = 3q + 1$ છે.
આ પૂર્ણાંકનો વર્ગ શોધવા માટે,આપણે $x^2 = (3q + 1)^2$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$x^2 = (3q)^2 + 2(3q)(1) + (1)^2$
$x^2 = 9q^2 + 6q + 1$
આપણે પ્રથમ બે પદોમાંથી $3$ સામાન્ય કાઢી શકીએ છીએ:
$x^2 = 3(3q^2 + 2q) + 1$
ધારો કે $m = 3q^2 + 2q$,જ્યાં $m$ એ પૂર્ણાંક છે.
આમ,$x^2 = 3m + 1$.
તેથી,આ વિધાન સત્ય છે.

(B) ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાક $n$ છે. યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાકને $3q$,$3q + 1$,અથવા $3q + 2$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $q \ge 0$ કોઈ પૂર્ણાક છે.
કિસ્સો $1$: જો $n = 3q$ હોય,તો $n^2 = (3q)^2 = 9q^2 = 3(3q^2) = 3m$,જ્યાં $m = 3q^2$.
કિસ્સો $2$: જો $n = 3q + 1$ હોય,તો $n^2 = (3q + 1)^2 = 9q^2 + 6q + 1 = 3(3q^2 + 2q) + 1 = 3m + 1$,જ્યાં $m = 3q^2 + 2q$.
કિસ્સો $3$: જો $n = 3q + 2$ હોય,તો $n^2 = (3q + 2)^2 = 9q^2 + 12q + 4 = 9q^2 + 12q + 3 + 1 = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1 = 3m + 1$,જ્યાં $m = 3q^2 + 4q + 1$.
આમ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાકનો વર્ગ હંમેશા $3m$ અથવા $3m + 1$ સ્વરૂપમાં જ હોય છે. તે ક્યારેય $3m + 2$ સ્વરૂપમાં હોઈ શકે નહીં. તેથી,આપેલ વિધાન અસત્ય છે.

(B) આ વિધાન $False$ (ખોટું) છે.
દરેક ધન બેકી પૂર્ણાંક $2n$ સ્વરૂપનો હોય છે,જ્યાં $n$ એક પૂર્ણાંક છે.
જોકે એ સાચું છે કે કેટલાક બેકી પૂર્ણાંકોને $4q + 2$ (જ્યાં $q$ એક પૂર્ણાંક છે) સ્વરૂપે લખી શકાય છે,પરંતુ બધા જ બેકી પૂર્ણાંકો આ સ્વરૂપનું પાલન કરતા નથી.
ઉદાહરણ તરીકે,પૂર્ણાંક $2$ ને $4(0) + 2$ તરીકે લખી શકાય છે,પરંતુ પૂર્ણાંક $4$ ને કોઈપણ પૂર્ણાંક $q$ માટે $4q + 2$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાતો નથી,કારણ કે $4q + 2 = 4 \implies 4q = 2 \implies q = 0.5$,જે પૂર્ણાંક નથી.

(A) ધારો કે ત્રણ ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકો $n, (n+1)$ અને $(n+2)$ છે.
કોઈપણ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોના સમૂહમાં,ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા બેકી (એટલે કે $2$ વડે વિભાજ્ય) હોય છે અને બરાબર એક સંખ્યા $3$ નો ગુણક હોય છે.
આથી,તેમના ગુણાકારમાં ઓછામાં ઓછો એક અવયવ $2$ અને એક અવયવ $3$ હોવાથી,તે ગુણાકાર $2 \times 3 = 6$ વડે વિભાજ્ય બને છે.
ઉદાહરણ તરીકે,જો $n=1$ હોય,તો ગુણાકાર $1 \times 2 \times 3 = 6$ થાય,જે $6$ વડે વિભાજ્ય છે.
જો $n=2$ હોય,તો ગુણાકાર $2 \times 3 \times 4 = 24$ થાય,જે $6$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,આપેલ વિધાન સાચું છે.

(A) ધારો કે બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકો $n$ અને $n+1$ છે.
તેમનો ગુણાકાર $P = n(n+1)$ છે.
કારણ કે $n$ અને $n+1$ ક્રમિક પૂર્ણાંકો છે,તેમાંથી એક સંખ્યા બેકી (even) અને બીજી એકી (odd) હશે.
બેકી સંખ્યા હંમેશા $2$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
તેથી,બેકી સંખ્યા અને એકી સંખ્યાનો ગુણાકાર હંમેશા બેકી સંખ્યા જ મળે,જેનો અર્થ છે કે તે $2$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,આપેલ વિધાન સાચું છે.

(A) કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,તેમના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(HCF)$ અને લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\text{HCF}(a, b) \times \text{LCM}(a, b) = a \times b$.
બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકો હંમેશા પરસ્પર અવિભાજ્ય હોય છે,તેથી તેમનો ગુ.સા.અ. $(HCF)$ $1$ થાય છે.
આથી,$\text{HCF}(a, b) = 1$.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે: $1 \times \text{LCM}(a, b) = a \times b$,એટલે કે $\text{LCM}(a, b) = a \times b$.
તેથી,$\text{HCF}(a, b) \times \text{LCM}(a, b) = 1 \times (a \times b) = a \times b$.

(B) સંમેય સંખ્યાની વ્યાખ્યા એવી સંખ્યા તરીકે કરવામાં આવે છે જેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ છે.
$\sqrt{2}$ એ અનંત અને અનાવૃત દશાંશ સંખ્યા છે $(1.41421356...)$.
તેને બે પૂર્ણાંકોના ગુણોત્તર તરીકે દર્શાવી શકાતી ન હોવાથી,તે અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,$\sqrt{2}$ એ સંમેય સંખ્યા નથી.

(B) $\frac{p}{2^n \cdot 5^m}$ સ્વરૂપની સંમેય સંખ્યા માટે દશાંશ ચિહ્ન પછીના અંકોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે ઘાતાંકો $n$ અને $m$ માંથી મહત્તમ કિંમત જોઈએ છીએ.
અહીં આપેલ પદ $\frac{7}{2^3 \cdot 5^4}$ માં,$n = 3$ અને $m = 4$ છે.
દશાંશ સ્થળોની સંખ્યા $\max(n, m) = \max(3, 4) = 4$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
આમ,દશાંશ નિરૂપણમાં દશાંશ ચિહ્ન પછી $4$ અંક હશે.

(A) $25$ અને $52$ નો ગુ.સા.અ. શોધવા માટે,આપણે તેમના અવિભાજ્ય અવયવો મેળવીએ:
$25 = 5^2$
$52 = 2^2 \times 13$
અહીં $1$ સિવાય કોઈ સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ નથી,તેથી ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.) $1$ છે.
તેથી,આપેલ વિધાન સાચું છે.

(A) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો તપાસીએ છીએ.
જો $q$ એ $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ એ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે,તો દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય છે.
અહીં,$q = 3125$.
$3125 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^5$.
કારણ કે $3125$ ને $2^0 \times 5^5$ તરીકે લખી શકાય છે,તે $2^n \times 5^m$ ની શરતનું પાલન કરે છે.
તેથી,$\frac{13}{3125}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.

(A) $28$ અને $63$ બંને વડે વિભાજ્ય હોય તેવો નાનામાં નાનો પૂર્ણાંક શોધવા માટે,આપણે $28$ અને $63$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડે.
પ્રથમ,દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો:
$28 = 2^2 \times 7^1$
$63 = 3^2 \times 7^1$
$LCM$ શોધવા માટે દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર કરો:
$LCM = 2^2 \times 3^2 \times 7^1$
$LCM = 4 \times 9 \times 7$
$LCM = 36 \times 7 = 252$
આમ,$28$ અને $63$ બંને વડે વિભાજ્ય હોય તેવો નાનામાં નાનો પૂર્ણાંક $252$ છે.

(A) $36$ અને $100$ નો લ.સા.અ. શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$36 = 2^2 \times 3^2$
$100 = 2^2 \times 5^2$
લ.સા.અ. એ તમામ અવિભાજ્ય અવયવોની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$LCM = 2^2 \times 3^2 \times 5^2$
$LCM = 4 \times 9 \times 25$
$LCM = 36 \times 25 = 900$
તેથી,$36$ અને $100$ નો લ.સા.અ. $900$ છે.

(A) $65$ અને $117$ નો ગુ.સા.અ. શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ તેમના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$65 = 5 \times 13$
$117 = 9 \times 13 = 3^2 \times 13$
અહીં સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ જેની ઘાત સૌથી ઓછી હોય તે $13$ છે.
તેથી,$65$ અને $117$ નો ગુ.સા.અ. $13$ થાય છે.

(A) $220$ અને $60$ નો લ.સા.અ. શોધવા માટે,આપણે પહેલા દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$220 = 2^2 \times 5^1 \times 11^1$
$60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1$
લ.સા.અ. એ સંખ્યાઓમાં રહેલા દરેક અવિભાજ્ય અવયવની મહત્તમ ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$LCM(220, 60) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \times 11^1$
$LCM(220, 60) = 4 \times 3 \times 5 \times 11$
$LCM(220, 60) = 12 \times 55 = 660$
તેથી,$220$ અને $60$ નો લ.સા.અ. $660$ છે.

(A) $HCF(156, 455)$ શોધવા માટે,આપણે અવિભાજ્ય અવયવીકરણની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$156 = 2^2 \times 3 \times 13$
$455 = 5 \times 7 \times 13$
સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ $13$ છે.
તેથી,$HCF(156, 455) = 13$ થાય.

(B) ધારો કે બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકો $n$ અને $n+1$ છે.
તેમનો ગુણાકાર $P = n(n+1) = n^2 + n$ થાય.
બે ક્રમિક પૂર્ણાંકોમાંથી એક સંખ્યા હંમેશા બેકી (even) હોય છે,તેથી તેમનો ગુણાકાર $n(n+1)$ હંમેશા બેકી સંખ્યા જ મળે.
કોઈપણ બેકી સંખ્યા હંમેશા $2$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
તેથી,બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર હંમેશા $2$ વડે વિભાજ્ય છે.

(Q.1-B, Q.2-A) પગલું $1$: $\text{LCM}(7, 49)$ શોધો.
કારણ કે $49$ એ $7$ નો ગુણક છે $(7 \times 7 = 49)$,તેથી $7$ અને $49$ નો લ.સા.અ. $49$ થાય છે.
પગલું $2$: $\text{LCM}(10, 25)$ શોધો.
$10$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $2 \times 5$.
$25$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $5 \times 5$.
$\text{LCM}(10, 25) = 2 \times 5 \times 5 = 50$.
આમ,$Q.1$ એ $B$ સાથે અને $Q.2$ એ $A$ (અથવા $D$) સાથે જોડાય છે.

(A-B) $1$. $25$ $\text{અને}$ $10$ $\text{નો ગુ.સા.અ. શોધવા માટે:}$
$25$ $\text{ના અવિભાજ્ય અવયવો =}$ $5^2$.
$10$ $\text{ના અવિભાજ્ય અવયવો =}$ $2 \times 5$.
$\text{સામાન્ય અવયવ}$ $5$ $\text{છે. તેથી, ગુ.સા.અ.}$ $(25, 10)$ = $5$.
$2$. $17$ $\text{અને}$ $11$ $\text{નો લ.સા.અ. શોધવા માટે:}$
$17$ $\text{અને}$ $11$ $\text{બંને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોવાથી, તેમનો લ.સા.અ. તેમનો ગુણાકાર થાય છે.}$
$\text{લ.સા.અ.}$ $(17, 11)$ = $17 \times 11 = 187$.
$\text{આમ, સાચી જોડ}$ $Q.1-A$ $\text{અને}$ $Q.2-B$ $\text{છે.}$

(A) $30$ અને $72$ નો ગુ.સા.અ. $(HCF)$ શોધવા માટે:
$30$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $2 \times 3 \times 5$.
$72$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $2^3 \times 3^2$.
સામાન્ય અવયવો $2^1$ અને $3^1$ છે.
ગુ.સા.અ. $(30, 72) = 2 \times 3 = 6$.
$19$ અને $23$ નો ગુ.સા.અ. શોધવા માટે:
$19$ અને $23$ બંને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોવાથી,તેમનો એકમાત્ર સામાન્ય અવયવ $1$ છે.
ગુ.સા.અ. $(19, 23) = 1$.
આમ,ગુ.સા.અ. ની કિંમતો અનુક્રમે $6$ અને $1$ છે. સાચો વિકલ્પ $A$ છે.