Demo Questions in Gujarati

(A) આપેલ સંખ્યા $0.01111...$ છે,જેને $0.0\overline{1}$ તરીકે લખી શકાય છે.
દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત અને આવૃત હોવાથી,તેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$.
ધારો કે $x = 0.0111...$ (સમીકરણ $1$).
$10$ વડે ગુણતા: $10x = 0.1111...$ (સમીકરણ $2$).
$100$ વડે ગુણતા: $100x = 1.1111...$ (સમીકરણ $3$).
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા: $100x - 10x = 1.1111... - 0.1111...$.
$90x = 1$.
$x = \frac{1}{90}$.
આ સંખ્યાને $\frac{1}{90}$ અપૂર્ણાંક તરીકે દર્શાવી શકાતી હોવાથી,તે એક સંમેય સંખ્યા છે.

(A) ધારો કે ત્રણ ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકો $n, (n+1)$,અને $(n+2)$ છે.
આ પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર $P = n(n+1)(n+2)$ છે.
આ પદાવલિ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર દર્શાવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ $k$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોના સમૂહમાં,હંમેશા $k!$ (k ફેક્ટોરિયલ) નો ઓછામાં ઓછો એક અવયવી હોય છે.
$k=3$ માટે,ગુણાકાર હંમેશા $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
ઉદાહરણ તરીકે,જો $n=1$ હોય,તો $1 \times 2 \times 3 = 6$ ($6$ વડે વિભાજ્ય છે).
જો $n=2$ હોય,તો $2 \times 3 \times 4 = 24$ ($6$ વડે વિભાજ્ય છે).
જો $n=3$ હોય,તો $3 \times 4 \times 5 = 60$ ($6$ વડે વિભાજ્ય છે).
આમ,કોઈપણ ત્રણ ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર હંમેશા $6$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.

(C) $30$ ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણ શોધવા માટે,આપણે તેને સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ વડે ભાગીએ છીએ:
$30 = 2 \times 15$
$15 = 3 \times 5$
તેથી,$30 = 2 \times 3 \times 5$.
અહીં $2, 3,$ અને $5$ એ બધી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોવાથી,સાચું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $2 \times 3 \times 5$ છે.

(A) $13$,$23$ અને $31$ નો ગુ.સા.અ. (ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ) શોધવા માટે:
$1$. $13$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $13 \times 1$.
$2$. $23$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $23 \times 1$.
$3$. $31$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $31 \times 1$.
અહીં $13$,$23$ અને $31$ ત્રણેય અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે,તેથી $1$ સિવાય તેમનો કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી.
તેથી,$13$,$23$ અને $31$ નો ગુ.સા.અ. $1$ છે.

(B) સંખ્યા $\pi$ ને વર્તુળના પરિઘ અને તેના વ્યાસના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે।
તે અનંત અને અનાવૃત દશાંશ સ્વરૂપ ધરાવે છે,જેનો અર્થ છે કે તેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાતી નથી,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંકો છે અને $q \neq 0$ છે।
તેથી,$\pi$ એ અસંમેય સંખ્યા છે।

(D) $27$ ને $4$ વડે ભાગતાં મળતી શેષ શોધવા માટે,આપણે ભાગાકાર કરીએ:
$27 \div 4 = 6$ અને શેષ વધે છે.
$4 \times 6 = 24$.
શેષ $= 27 - 24 = 3$.
તેથી,શેષ $3$ મળે છે.

(C) અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$1$ કરતા મોટી દરેક વિભાજ્ય સંખ્યાને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ગુણાકાર તરીકે અનન્ય રીતે દર્શાવી શકાય છે,સિવાય કે અવિભાજ્ય અવયવોનો ક્રમ ગમે તે હોય. આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ આપેલી વિભાજ્ય સંખ્યા માટે,અવિભાજ્ય અવયવોનો સમૂહ નિશ્ચિત હોય છે,ભલે તે ગમે તે ક્રમમાં લખવામાં આવે. તેથી,આ અવયવીકરણ અનન્ય છે.

(B) અહીં આપણને પદાવલિ $(5k+1)^2$ આપેલ છે.
નિત્યસમ $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ નો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરતા:
$(5k+1)^2 = (5k)^2 + 2(5k)(1) + (1)^2$
$= 25k^2 + 10k + 1$
$= 5(5k^2 + 2k) + 1$
અહીં,આ પદાવલિ $5q + 1$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $q = 5k^2 + 2k$ એ એક પૂર્ણાંક છે.
તેથી,જ્યારે $(5k+1)^2$ ને $5$ વડે ભાગવામાં આવે,ત્યારે શેષ $1$ વધે છે.

(B) જે સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે અને $q \neq 0$ હોય,તેને સંમેય સંખ્યા કહેવાય છે.
કારણ કે $\sqrt{2}$ ને બે પૂર્ણાંકોના ગુણોત્તર તરીકે દર્શાવી શકાતી નથી,તેથી તે એક અસંમેય સંખ્યા છે.
આમ,$\sqrt{2}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(B) આપેલ પદ $\sqrt{1+1}$ છે.
સૌ પ્રથમ,વર્ગમૂળની અંદરનો સરવાળો કરો: $1+1 = 2$.
તેથી,પદ $\sqrt{2}$ બને છે.
કારણ કે $2$ એ પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા નથી,તેથી $\sqrt{2}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) દશાંશ સ્થળોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે છેદને $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ છીએ.
આપેલ અપૂર્ણાંક: $\frac{35457}{6250}$.
$6250$ ના અવિભાજ્ય અવયવો: $6250 = 625 \times 10 = 5^4 \times (2 \times 5) = 2^1 \times 5^5$.
દશાંશ સ્થળોની સંખ્યા એ $2$ અને $5$ ના ઘાતાંકોમાં જે મહત્તમ હોય તે છે,એટલે કે $\max(1, 5) = 5$.
તેથી,દશાંશ નિરૂપણ $5$ દશાંશ સ્થળ પછી શાંત થાય છે.

(B) $0.9999...$ દશાંશ અભિવ્યક્તિને $0.\bar{9}$ તરીકે લખી શકાય છે.
દશાંશ ચિહ્ન પછી અંક $9$ અનંત સુધી પુનરાવર્તિત થાય છે,તેથી તે અનંત અને આવૃત દશાંશ અભિવ્યક્તિ છે.
વધુમાં,$0.9999... = 1$ થાય છે,જે એક સંમેય સંખ્યા છે,અને તમામ સંમેય સંખ્યાઓની દશાંશ અભિવ્યક્તિ કાં તો શાંત અથવા અનંત અને આવૃત હોય છે.

(D) સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ (જ્યાં $q$ એ $2^n \cdot 5^m$ સ્વરૂપમાં હોય) ના દશાંશ નિરૂપણમાં દશાંશ સ્થળની સંખ્યા $\max(n, m)$ દ્વારા મળે છે.
જોકે,$\frac{p}{q}$ અપૂર્ણાંક માટે જ્યાં $q$ એ $2^n \cdot 5^m$ સ્વરૂપમાં ન હોય,ત્યારે દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત હોય છે.
$\frac{3}{113}$ માટે,છેદ $113$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે અને તે $2^n \cdot 5^m$ સ્વરૂપમાં નથી.
તેથી,તેનું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત છે.
જો પ્રશ્નનો અર્થ આવૃત દશાંશના આવર્તનની લંબાઈ હોય,તો અવિભાજ્ય સંખ્યા $p$ માટે,આવર્તનની લંબાઈ $p-1$ ને ભાગે છે.
$p = 113$ માટે,આવર્તનની લંબાઈ $112$ છે.

(A) $70$ અને $125$ ને ભાગતાં અનુક્રમે $5$ અને $8$ શેષ વધે તેવો મોટામાં મોટો ધન પૂર્ણાંક શોધવા માટે,આપણે $(70 - 5)$ અને $(125 - 8)$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(HCF)$ શોધવો પડે.
પગલું $1$: આપેલી સંખ્યાઓમાંથી શેષ બાદ કરો.
$70 - 5 = 65$
$125 - 8 = 117$
પગલું $2$: $65$ અને $117$ નો $HCF$ શોધો.
$65$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $5 \times 13$.
$117$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $3^2 \times 13$.
પગલું $3$: સૌથી ઓછી ઘાત ધરાવતો સામાન્ય અવયવ $13$ છે.
તેથી,માંગેલ મોટામાં મોટો ધન પૂર્ણાંક $13$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,અવિભાજ્ય અવયવીકરણની રીતનો ઉપયોગ કરીને $65$ અને $117$ નો $\text{HCF}$ (ગુ.સા.અ.) શોધો:
$65 = 5 \times 13$
$117 = 9 \times 13 = 3^2 \times 13$
તેથી,$\text{HCF}(65, 117) = 13$.
આપેલ સમીકરણ: $\text{HCF}(65, 117) = 65m - 117$.
$\text{HCF}$ ની કિંમત મૂકતા:
$13 = 65m - 117$
$13 + 117 = 65m$
$130 = 65m$
$m = \frac{130}{65} = 2$.
આમ,$m$ ની કિંમત $2$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર તેમના ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$a \times b = \text{ગુ.સા.અ.}(a, b) \times \text{લ.સા.અ.}(a, b)$.
અહીં આપેલ છે કે $\text{ગુ.સા.અ.}(a, b) = 7$ અને $\text{લ.સા.અ.}(a, b) = 385$.
તેથી,$a \times b = 7 \times 385$.
$a \times b = 2695$.
આમ,બે પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર $2695$ થાય છે.

(C) સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા $2$ છે.
સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યા $4$ છે.
$2$ અને $4$ નો લ.સા.અ. શોધવા માટે:
$2 = 2^1$
$4 = 2^2$
લ.સા.અ. એ દરેક અવિભાજ્ય અવયવની મહત્તમ ઘાતનો ગુણાકાર છે,જે $2^2 = 4$ થાય છે.
તેથી,$2$ અને $4$ નો લ.સા.અ. $4$ છે.

(C) યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ધનપૂર્ણાંક $a$ અને ભાજક $b=4$ માટે,$a = 4m + r$ મળે,જ્યાં $r$ ની કિંમત $0, 1, 2, 3$ હોઈ શકે.
જો $r=0$ હોય,તો $a = 4m = 2(2m)$,જે યુગ્મ છે.
જો $r=1$ હોય,તો $a = 4m+1$,જે અયુગ્મ છે.
જો $r=2$ હોય,તો $a = 4m+2 = 2(2m+1)$,જે યુગ્મ છે.
જો $r=3$ હોય,તો $a = 4m+3$,જે અયુગ્મ છે.
તેથી,કોઈપણ અયુગ્મ ધનપૂર્ણાંક $4m+1$ અથવા $4m+3$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

(C) $4$ અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા $9999$ છે.
$95$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી $4$ અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $9999$ ને $95$ વડે ભાગીશું.
$9999 \div 95 = 105$ અને શેષ વધે છે.
$9999 = 95 \times 105 + 14$.
અહીં શેષ $14$ છે.
$95$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી $4$ અંકની સૌથી મોટી સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે સૌથી મોટી $4$ અંકની સંખ્યામાંથી શેષ બાદ કરીશું:
$9999 - 14 = 9985$.
આમ,$9985$ એ $95$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી $4$ અંકની સૌથી મોટી પૂર્ણાંક સંખ્યા છે.

(C) યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,અનન્ય પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ એવા મળે કે જેથી $a = bq + r$,જ્યાં $0 \le r < b$ થાય.
આ પ્રશ્નમાં,$b = 5$ છે.
તેથી,શેષ $r$ માટે શક્ય કિંમતો $0, 1, 2, 3, 4$ છે.
અહીં $r$ ની કિંમત $5$ કરતા નાની હોવી જોઈએ,તેથી $r = 6$ શક્ય નથી.

(B) ધારો કે $a$ કોઈ પણ ધનપૂર્ણાંક છે. કોઈપણ પૂર્ણાંક $a$ ને $6k, 6k+1, 6k+2, 6k+3, 6k+4,$ અથવા $6k+5$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $k ge 0$ છે.
દરેક કિસ્સા માટે આપણે $a^2 \pmod{6}$ ની ગણતરી કરીએ:
$1$. જો $a = 6k$,તો $a^2 = 36k^2 = 6(6k^2)$,તેથી $a^2 \equiv 0 \pmod{6}$.
$2$. જો $a = 6k+1$,તો $a^2 = 36k^2 + 12k + 1 = 6(6k^2 + 2k) + 1$,તેથી $a^2 \equiv 1 \pmod{6}$.
$3$. જો $a = 6k+2$,તો $a^2 = 36k^2 + 24k + 4 = 6(6k^2 + 4k) + 4$,તેથી $a^2 \equiv 4 \pmod{6}$.
$4$. જો $a = 6k+3$,તો $a^2 = 36k^2 + 36k + 9 = 36k^2 + 36k + 6 + 3 = 6(6k^2 + 6k + 1) + 3$,તેથી $a^2 \equiv 3 \pmod{6}$.
$5$. જો $a = 6k+4$,તો $a^2 = 36k^2 + 48k + 16 = 36k^2 + 48k + 12 + 4 = 6(6k^2 + 8k + 2) + 4$,તેથી $a^2 \equiv 4 \pmod{6}$.
$6$. જો $a = 6k+5$,તો $a^2 = 36k^2 + 60k + 25 = 36k^2 + 60k + 24 + 1 = 6(6k^2 + 10k + 4) + 1$,તેથી $a^2 \equiv 1 \pmod{6}$.
આમ,શક્ય શેષ $0, 1, 3, 4$ છે. શેષ $2$ અને $5$ શક્ય નથી. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$2$ એ સાચો જવાબ છે.

(B) સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા $2$ છે.
સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યા $4$ છે.
$2$ અને $4$ નો ગુ.સા.અ. શોધવા માટે:
$2 = 2^1$
$4 = 2^2$
ગુ.સા.અ. એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે,જે $2^1 = 2$ છે.
તેથી,સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા અને સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યાનો ગુ.સા.અ. $2$ છે.

(C) બે સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી (લ.સા.અ.) એ સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક છે જે બંને સંખ્યાઓ વડે વિભાજ્ય હોય.
કારણ કે $p$ અને $q$ ભિન્ન અવિભાજ્ય પૂર્ણાકો છે,તેમની વચ્ચે $1$ સિવાય કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી.
તેથી,બે ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો લ.સા.અ. એ તેમનો ગુણાકાર જ થાય છે.
આમ,$\text{LCM}(p, q) = p \times q = pq$.

(A) $LCM(26, 91)$ શોધવા માટે,આપણે પહેલા બંને સંખ્યાઓના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$26 = 2 \times 13$
$91 = 7 \times 13$
$LCM$ એ સંખ્યાઓમાં રહેલા દરેક અવિભાજ્ય અવયવની મહત્તમ ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$LCM(26, 91) = 2 \times 7 \times 13 = 182$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) વ્યાખ્યા મુજબ,અવિભાજ્ય સંખ્યા એ $1$ કરતા મોટી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે જેના $1$ અને તે સંખ્યા સિવાય અન્ય કોઈ ધન અવયવો હોતા નથી.
અહીં $m$ અને $n$ એ બે ભિન્ન અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો હોવાથી,$1$ સિવાય તેમનો કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી.
તેથી,બે ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.) હંમેશા $1$ થાય છે.

(B) બે સંખ્યાઓનો $LCM$ હંમેશા તેમના $HCF$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય છે.
અહીં $HCF(a, b) = 25$ આપેલ છે.
આપણે આપેલા વિકલ્પોની $25$ વડે વિભાજ્યતા તપાસીએ:
$1$. $50 / 25 = 2$ (વિભાજ્ય છે)
$2$. $105 / 25 = 4.2$ (વિભાજ્ય નથી)
$3$. $100 / 25 = 4$ (વિભાજ્ય છે)
આમ,$105$ એ $25$ વડે વિભાજ્ય ન હોવાથી,તે $25$ ગુ.સા.અ. ધરાવતી બે સંખ્યાઓનો લ.સા.અ. હોઈ શકે નહીં.

(C) ધારો કે $d = HCF(a - b, a + b)$.
તેથી $d$ એ તેમના સરવાળા અને તફાવત બંનેને ભાગે છે.
$d$ એ $(a + b) + (a - b) = 2a$ ને ભાગે છે.
$d$ એ $(a + b) - (a - b) = 2b$ ને ભાગે છે.
જેহেতু $d$ એ $2a$ અને $2b$ ને ભાગે છે,તેથી $d$ એ $HCF(2a, 2b) = 2 \times HCF(a, b)$ ને પણ ભાગશે.
આપેલ છે કે $HCF(a, b) = 1$,તેથી $d$ એ $2 \times 1 = 2$ ને ભાગે છે.
આમ,$d$ ની કિંમત $1$ અથવા $2$ હોઈ શકે છે.
ઉદાહરણ તરીકે,જો $a = 3, b = 2$ હોય,તો $HCF(3, 2) = 1$,તેથી $HCF(3-2, 3+2) = HCF(1, 5) = 1$.
જો $a = 3, b = 1$ હોય,તો $HCF(3, 1) = 1$,તેથી $HCF(3-1, 3+1) = HCF(2, 4) = 2$.
તેથી,જવાબ $1$ અથવા $2$ છે.

(A) કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,તેમના $LCM$ અને $GCD$ વચ્ચેનો સંબંધ આ મુજબ છે: $a \times b = LCM(a, b) \times GCD(a, b)$.
અહીં આપેલ છે કે $LCM(a, b) = a \times b$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $a \times b = (a \times b) \times GCD(a, b)$.
બંને બાજુ $(a \times b)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $GCD(a, b) = 1$.
તેથી,બે સંખ્યાઓનો ગુ.સા.અ. $(GCD)$ $1$ છે.

(B) દશાંશ અભિવ્યક્તિ $0.9999...$ ને $0.\bar{9}$ તરીકે લખી શકાય છે.
અહીં અંક $9$ અનંત સુધી પુનરાવર્તિત થાય છે,તેથી તે અનંત અને આવૃત દશાંશ અભિવ્યક્તિ છે.
વધુમાં,ગાણિતિક રીતે $0.9999... = 1$ થાય છે,જે એક સંમેય સંખ્યા છે,અને તમામ સંમેય સંખ્યાઓની દશાંશ અભિવ્યક્તિ કાં તો શાંત અથવા અનંત અને આવૃત હોય છે.

(B) કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $a$ ને $6k, 6k+1, 6k+2, 6k+3, 6k+4,$ અથવા $6k+5$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે.
દરેક કિસ્સા માટે $a^2 \pmod{6}$ ની ગણતરી કરતા:
$1) (6k)^2 = 36k^2 = 6(6k^2) \equiv 0 \pmod{6}$
$2) (6k+1)^2 = 36k^2 + 12k + 1 = 6(6k^2 + 2k) + 1 \equiv 1 \pmod{6}$
$3) (6k+2)^2 = 36k^2 + 24k + 4 = 6(6k^2 + 4k) + 4 \equiv 4 \pmod{6}$
$4) (6k+3)^2 = 36k^2 + 36k + 9 = 6(6k^2 + 6k + 1) + 3 \equiv 3 \pmod{6}$
$5) (6k+4)^2 = 36k^2 + 48k + 16 = 6(6k^2 + 8k + 2) + 4 \equiv 4 \pmod{6}$
$6) (6k+5)^2 = 36k^2 + 60k + 25 = 6(6k^2 + 10k + 4) + 1 \equiv 1 \pmod{6}$
શક્ય શેષ $0, 1, 3, 4$ છે.
આમ,શેષ $2$ અને $5$ શક્ય નથી.

(C) કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $5^n$ નો અંતિમ અંક શોધવા માટે,ચાલો $5$ ની ઘાતનું અવલોકન કરીએ:
$5^1 = 5$
$5^2 = 25$
$5^3 = 125$
$5^4 = 625$
આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે,કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$5^n$ નો અંતિમ અંક હંમેશા $5$ હોય છે.

(A) $12, 15$ અને $21$ નો ગુ.સા.અ. શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$12 = 2^2 \times 3^1$
$15 = 3^1 \times 5^1$
$21 = 3^1 \times 7^1$
ગુ.સા.અ. એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે.
અહીં સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ ફક્ત $3$ છે અને તેની સૌથી નાની ઘાત $3^1$ છે.
તેથી,$\text{ગુ.સા.અ.}(12, 15, 21) = 3$.

(C) ધારો કે ચાર ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકો $n, (n+1), (n+2),$ અને $(n+3)$ છે.
આ પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર $P = n(n+1)(n+2)(n+3)$ છે.
આ પદાવલિ $24 \times \binom{n+3}{4}$ ને સમાન છે.
કારણ કે $\binom{n+3}{4}$ હંમેશા એક પૂર્ણાંક હોય છે,તેથી ગુણાકાર $P$ એ $24$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
ઉદાહરણ તરીકે,જો $n=1$ હોય,તો ગુણાકાર $1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$ થાય,જે $24$ વડે વિભાજ્ય છે.
જો $n=2$ હોય,તો ગુણાકાર $2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$ થાય,જે $24 \times 5$ છે,જે પણ $24$ વડે વિભાજ્ય છે.

(A) $6$ અને $20$ નો લ.સા.અ $(LCM)$ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$6 = 2 \times 3$
$20 = 2^2 \times 5$
લ.સા.અ એ સંખ્યાઓમાં રહેલા દરેક અવિભાજ્ય અવયવની મહત્તમ ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$LCM = 2^2 \times 3^1 \times 5^1$
$LCM = 4 \times 3 \times 5 = 60$
તેથી,$6$ અને $20$ નો લ.સા.અ $60$ છે.

(A) અહીં આપણને પદાવલિ $2^m \cdot 5^n$ આપેલ છે જ્યાં $m, n \in \mathbb{N}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $2 \cdot 5 = 10$ થાય છે.
જો $m \ge n$ હોય,તો $2^m \cdot 5^n = 2^{m-n} \cdot (2^n \cdot 5^n) = 2^{m-n} \cdot 10^n$.
જો $n > m$ હોય,તો $2^m \cdot 5^n = 5^{n-m} \cdot (2^m \cdot 5^m) = 5^{n-m} \cdot 10^m$.
બંને કિસ્સામાં,પદાવલિમાં $10$ નો ગુણક હોવાથી,તે સંખ્યાનો અંતિમ અંક હંમેશા $0$ જ આવશે.
તેથી,$2^m \cdot 5^n$ નો અંતિમ અંક $0$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે બે સંખ્યાઓ,તેમનો ગુ.સા.અ. અને તેમનો લ.સા.અ. વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\text{બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર} = \text{ગુ.સા.અ.} \times \text{લ.સા.અ.}$
આપેલ છે:
$\text{ગુ.સા.અ.} = 9$
$\text{બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર} = 288$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$288 = 9 \times \text{લ.સા.અ.}$
$\text{લ.સા.અ.} = \frac{288}{9}$
$\text{લ.સા.અ.} = 32$
તેથી,બે સંખ્યાઓનો લ.સા.અ. $32$ છે.

(B) $HCF(510, 92)$ શોધવા માટે,આપણે બંને સંખ્યાઓનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીએ:
$510 = 2 \times 3 \times 5 \times 17$
$92 = 2 \times 2 \times 23 = 2^2 \times 23$
$HCF$ એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે.
અહીં સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ માત્ર $2$ છે,અને તેની સૌથી નાની ઘાત $2^1 = 2$ છે.
તેથી,$HCF(510, 92) = 2$.

(B) કોઈપણ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ માટે,જ્યાં $q = 2^n \cdot 5^m$ હોય,ત્યારે દશાંશચિહ્ન પછીના અંકોની સંખ્યા $\max(n, m)$ જેટલી હોય છે.
અહીં આપેલ અપૂર્ણાંક $\frac{15}{2^2}$ છે.
અહીં છેદ $2^2 \cdot 5^0$ છે.
તેને $2^n \cdot 5^m$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 2$ અને $m = 0$ મળે છે.
$n$ અને $m$ ની મહત્તમ કિંમત $\max(2, 0) = 2$ છે.
તેથી,દશાંશ નિરૂપણ $2$ અંક પછી શાંત થાય છે.
ચકાસણી: $\frac{15}{2^2} = \frac{15}{4} = 3.75$,જેમાં દશાંશચિહ્ન પછી $2$ અંક છે.

(B) આપણને પદાવલિ $(6k+1)^2$ આપેલી છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ નો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરતાં:
$(6k+1)^2 = (6k)^2 + 2(6k)(1) + 1^2$
$= 36k^2 + 12k + 1$
પ્રથમ બે પદોમાંથી $6$ સામાન્ય લેતા:
$= 6(6k^2 + 2k) + 1$
ધારો કે $m = 6k^2 + 2k$,જ્યાં $m$ એ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે.
તેથી પદાવલિ $6m + 1$ સ્વરૂપમાં મળે છે.
જ્યારે $6m + 1$ ને $6$ વડે ભાગવામાં આવે,ત્યારે ભાગફળ $m$ મળે છે અને શેષ $1$ મળે છે.

(A) કોઈ સંમેય સંખ્યા $p/q$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાન્ત છે કે નહીં તે જાણવા માટે,આપણે છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો તપાસીએ છીએ. જો $q$ એ $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે,તો તેનું દશાંશ નિરૂપણ શાન્ત હોય છે.
અહીં,અપૂર્ણાંક $44/625$ છે.
છેદ $625 = 5^4$ છે.
અહીં છેદ $2^0 \times 5^4$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,તે શાન્ત દશાંશ નિરૂપણની શરતનું પાલન કરે છે.
તેથી,$44/625$ એ શાન્ત દશાંશ છે.

(D) સંમેય સંખ્યા એટલે એવી સંખ્યા જેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ છે.
$1$. $\sqrt{7}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે કારણ કે $7$ એ પૂર્ણ વર્ગ નથી.
$2$. $3\pi$ એ અસંમેય સંખ્યા છે કારણ કે $\pi$ અસંમેય છે.
$3$. $0.101000...$ એ અનંત અનાવૃત દશાંશ છે,તેથી તે અસંમેય સંખ્યા છે.
$4$. $0$ ને $\frac{0}{1}$ તરીકે લખી શકાય છે,જે સંમેય સંખ્યાની શરતનું પાલન કરે છે.
તેથી,$0$ એ સાચી સંમેય સંખ્યા છે.

(D) અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો લ.સા.અ. $(LCM)$ શોધવા માટે,આપણે તેમનો ગુણાકાર કરીએ છીએ કારણ કે $1$ સિવાય તેમનો કોઈ સામાન્ય અવયવ હોતો નથી.
અહીં $7$,$11$ અને $17$ એ બધી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે,તેથી તેમનો લ.સા.અ. તેમના ગુણાકાર જેટલો થાય.
$LCM = 7 \times 11 \times 17$
$LCM = 77 \times 17$
$LCM = 1309$
આથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) સંખ્યા $\pi$ ને વર્તુળના પરિઘ અને તેના વ્યાસના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે।
તે અનંત અને અનાવૃત દશાંશ સંખ્યા છે,જેનો અર્થ છે કે તેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાતી નથી,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંકો છે અને $q \neq 0$.
તેથી,$\pi$ એ અસંમેય સંખ્યા છે।

(A) અહીં આપણને પદાવલિ $2^5 \cdot 5^5$ આપેલ છે.
ઘાતાંકના નિયમ $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે પદાવલિને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$2^5 \cdot 5^5 = (2 \cdot 5)^5$
$= 10^5$
$= 100,000$
$100,000$ નો અંતિમ અંક $0$ છે.

(C) બે સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ એ સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક છે જે બંને સંખ્યાઓ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
અહીં $p$ અને $q$ ભિન્ન અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો હોવાથી,$1$ સિવાય તેમનો કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી.
તેથી,બે ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો લ.સા.અ. એ તેમનો ગુણાકાર જ થાય છે.
આમ,$\text{LCM}(p, q) = p \times q = pq$.

(A) $6$ અને $20$ નો ગુ.સા.અ. શોધવા માટે,આપણે પહેલા દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$6 = 2 \times 3$
$20 = 2^2 \times 5$
ગુ.સા.અ. એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે.
અહીં સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ માત્ર $2$ છે,અને તેની સૌથી નાની ઘાત $2^1 = 2$ છે.
તેથી,$6$ અને $20$ નો ગુ.સા.અ. $2$ છે.

(A) બે સંખ્યાઓનો $LCM$ હંમેશા તેમના $HCF$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
અહીં $HCF(a, b) = 12$ આપેલ છે.
દરેક વિકલ્પને તપાસીએ કે તે $12$ વડે વિભાજ્ય છે કે નહીં:
$(A) 90 / 12 = 7.5$ (વિભાજ્ય નથી)
$(B) 24 / 12 = 2$ (વિભાજ્ય છે)
$(C) 48 / 12 = 4$ (વિભાજ્ય છે)
$(D) 60 / 12 = 5$ (વિભાજ્ય છે)
આમ,$90$ એ $12$ વડે વિભાજ્ય ન હોવાથી,તે એવી બે સંખ્યાઓનો $LCM$ હોઈ શકે નહીં જેમનો $HCF$ $12$ હોય.

(C) કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n \in N$ માટે,$5^n$ એ $5$ નો $n$ વખત ગુણાકાર દર્શાવે છે.
$n = 1$ માટે,$5^1 = 5$.
$n = 2$ માટે,$5^2 = 25$.
$n = 3$ માટે,$5^3 = 125$.
$n = 4$ માટે,$5^4 = 625$.
આમ,અવલોકન કરતા જણાય છે કે કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે $5^n$ નો અંતિમ અંક હંમેશા $5$ જ રહે છે.

(C) કોઈપણ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ માટે,જ્યાં $q = 2^n \cdot 5^m$ હોય,ત્યારે દશાંશ સ્થળોની સંખ્યા $\max(n, m)$ જેટલી હોય છે.
અહીં આપેલ પદ $\frac{18}{5^{3}}$ છે,જેને આપણે $\frac{18}{2^0 \cdot 5^3}$ તરીકે લખી શકીએ.
અહીં,$n = 0$ અને $m = 3$ છે.
તેથી,દશાંશ સ્થળોની સંખ્યા $\max(0, 3) = 3$ થાય.
આમ,દશાંશ નિરૂપણ $3$ દશાંશ સ્થળ પછી શાંત થશે.

(B) સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા $2$ છે.
સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યા $4$ છે.
$2$ અને $4$ નો લ.સા.અ. શોધવા માટે:
$2 = 2^1$
$4 = 2^2$
$LCM(2, 4) = 2^2 = 4$.
તેથી,સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા અને સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યાનો લ.સા.અ. $4$ છે.