Textbook - Probability Questions in Gujarati

(N/A) એક સિક્કાને એકવાર ઉછાળવાના પ્રયોગમાં, શક્ય પરિણામોની કુલ સંખ્યા $2$ છે $-$ છાપ $(H)$ અને કાંટો $(T).$
ધારો કે $E$ એ 'છાપ મળવી' તેવી ઘટના છે. $E$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $1$ છે.
તેથી, $P(E) = P(\text{છાપ}) = \frac{\text{E માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{શક્ય તમામ પરિણામોની કુલ સંખ્યા}} = \frac{1}{2}.$
તે જ રીતે, જો $F$ એ 'કાંટો મળવી' તેવી ઘટના હોય, તો $F$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $1$ છે.
તેથી, $P(F) = P(\text{કાંટો}) = \frac{1}{2}.$

(N/A) કૃતિકા થેલીમાં જોયા વગર એક દડો બહાર કાઢે છે. બધા દડા સમાન કદના હોવાથી,તે કોઈપણ એક દડો બહાર કાઢે તેની સંભાવના સમાન છે.
ધારો કે $Y$ એ 'બહાર કાઢેલ દડો પીળો છે' તેવી ઘટના છે,$B$ એ 'બહાર કાઢેલ દડો વાદળી છે' તેવી ઘટના છે,અને $R$ એ 'બહાર કાઢેલ દડો લાલ છે' તેવી ઘટના છે.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $= 3$.
$(i)$ ઘટના $Y$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 1$.
તેથી,$P(Y) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{1}{3}$.
$(ii)$ ઘટના $R$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 1$.
તેથી,$P(R) = \frac{1}{3}$.
$(iii)$ ઘટના $B$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 1$.
તેથી,$P(B) = \frac{1}{3}$.

(N/A) $(i)$ અહીં,ધારો કે $E$ એ '$4$ કરતા મોટી સંખ્યા મેળવવાની' ઘટના છે। શક્ય પરિણામોની કુલ સંખ્યા $6$ $(1, 2, 3, 4, 5, 6)$ છે। $E$ માટે સાનુકૂળ પરિણામો $5$ અને $6$ છે। તેથી,$E$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $2$ છે।
$P(E) = P(\text{4 કરતા મોટી સંખ્યા}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
$(ii)$ ધારો કે $F$ એ '$4$ કરતા નાની અથવા $4$ જેટલી સંખ્યા મેળવવાની' ઘટના છે。
શક્ય પરિણામોની કુલ સંખ્યા $6$ છે。
ઘટના $F$ માટે સાનુકૂળ પરિણામો $1, 2, 3, 4$ છે。
તેથી,$F$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $4$ છે。
$P(F) = P(\text{4 કરતા નાની અથવા 4 જેટલી સંખ્યા}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

(A) સારી રીતે ચીપેલા પત્તાં સમાન સંભવિત પરિણામોની ખાતરી આપે છે.
$(i)$ ડેકમાં $4$ એક્કા હોય છે. ધારો કે $E$ એ 'પત્તું એક્કો છે' તેવી ઘટના છે.
$E$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 4$.
શક્ય પરિણામોની કુલ સંખ્યા $= 52$.
તેથી,$P(E) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
$(ii)$ ધારો કે $F$ એ 'ખેંચેલું પત્તું એક્કો નથી' તેવી ઘટના છે.
ઘટના $F$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 52 - 4 = 48$.
શક્ય પરિણામોની કુલ સંખ્યા $= 52$.
તેથી,$P(F) = \frac{48}{52} = \frac{12}{13}$.

(C) ધારો કે $S$ અને $R$ એ ઘટનાઓ છે કે સંગીતા મેચ જીતે છે અને રેશ્મા મેચ જીતે છે,અનુક્રમે.
સંગીતા મેચ જીતે તેની સંભાવના $P(S) = 0.62$ છે (આપેલ છે).
જેમ કે ઘટનાઓ $S$ અને $R$ પૂરક ઘટનાઓ છે,તેથી રેશ્મા મેચ જીતે તેની સંભાવના $P(R) = 1 - P(S)$ થશે.
તેથી,$P(R) = 1 - 0.62 = 0.38$.

(A) બે મિત્રોમાંથી,એક છોકરી,ધારો કે સવિતાનો જન્મદિવસ વર્ષના કોઈપણ દિવસે હોઈ શકે છે. હવે,હમીદાનો જન્મદિવસ પણ વર્ષના $365$ દિવસોમાંથી કોઈપણ દિવસે હોઈ શકે છે.
આપણે ધારી લઈએ છીએ કે આ $365$ પરિણામો સમાન રીતે સંભવિત છે.
$(i)$ જો હમીદાનો જન્મદિવસ સવિતાના જન્મદિવસથી અલગ હોય,તો તેના જન્મદિવસ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $365 - 1 = 364$ છે.
તેથી,$P(\text{હમીદાનો જન્મદિવસ સવિતાના જન્મદિવસથી અલગ હોય}) = \frac{364}{365}$.
$(ii)$ $P(\text{સવિતા અને હમીદાનો જન્મદિવસ એક જ હોય})$
$= 1 - P(\text{બંનેના જન્મદિવસ અલગ-અલગ હોય})$
$= 1 - \frac{364}{365} \quad [P(\overline{E}) = 1 - P(E) \text{ નો ઉપયોગ કરતા}]$
$= \frac{1}{365}$.

(A) કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= 40$.
$(i)$ છોકરીઓની સંખ્યા $= 25$.
છોકરી પસંદ કરવાની સંભાવના $= \frac{\text{છોકરીઓની સંખ્યા}}{\text{કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા}} = \frac{25}{40} = \frac{5}{8}$.
$(ii)$ છોકરાઓની સંખ્યા $= 15$.
છોકરો પસંદ કરવાની સંભાવના $= \frac{\text{છોકરાઓની સંખ્યા}}{\text{કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા}} = \frac{15}{40} = \frac{3}{8}$.

(A) લખોટી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે તેનો અર્થ એ છે કે બધી લખોટીઓ પસંદ થવાની શક્યતા સમાન છે.
શક્ય કુલ પરિણામોની સંખ્યા $= 3 + 2 + 4 = 9$.
ધારો કે $W$ એ 'લખોટી સફેદ છે' તેવી ઘટના છે,$B$ એ 'લખોટી વાદળી છે' તેવી ઘટના છે અને $R$ એ 'લખોટી લાલ છે' તેવી ઘટના છે.
$(i)$ ઘટના $W$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $2$ છે.
તેથી,$P(W) = \frac{2}{9}$.
$(ii)$ ઘટના $B$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $3$ છે.
તેથી,$P(B) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
$(iii)$ ઘટના $R$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $4$ છે.
તેથી,$P(R) = \frac{4}{9}$.
નોંધો કે $P(W) + P(B) + P(R) = \frac{2}{9} + \frac{3}{9} + \frac{4}{9} = \frac{9}{9} = 1$.

(C) અમે 'છાપ' (head) માટે $H$ અને 'કાંટો' (tail) માટે $T$ લખીએ છીએ. જ્યારે બે સિક્કા એકસાથે ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે શક્ય પરિણામો $(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)$ છે,જે તમામ સમાન રીતે સંભવિત છે.
અહીં $(H, H)$ નો અર્થ છે કે પ્રથમ સિક્કા પર (ધારો કે $Rs. 1$ પર) છાપ અને બીજા સિક્કા પર (ધારો કે $Rs. 2$ પર) છાપ મળે છે. તેવી જ રીતે,$(H, T)$ નો અર્થ છે કે પ્રથમ સિક્કા પર છાપ અને બીજા સિક્કા પર કાંટો મળે છે,અને આ રીતે આગળ.
ઘટના $E$,'ઓછામાં ઓછી એક છાપ' માટે સાનુકૂળ પરિણામો $(H, H), (H, T)$ અને $(T, H)$ છે.
તેથી,$E$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $3$ છે.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $4$ છે.
તેથી,$P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{3}{4}$.
એટલે કે,હરપ્રીતને ઓછામાં ઓછી એક છાપ મળે તેની સંભાવના $3/4$ છે.

(1/4) અહીં,શક્ય પરિણામો $0$ અને $2$ ની વચ્ચેની તમામ સંખ્યાઓ છે. આ સંખ્યા રેખા પર $0$ થી $2$ સુધીનો ભાગ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે 'સંગીત પ્રથમ અડધી મિનિટની અંદર બંધ થઈ જાય છે'.
$E$ માટે સાનુકૂળ પરિણામો સંખ્યા રેખા પર $0$ થી $\frac{1}{2}$ સુધીના બિંદુઓ છે.
$0$ થી $2$ સુધીનું કુલ અંતર $2$ છે,જ્યારે $E$ માટે સાનુકૂળ અંતર $0$ થી $\frac{1}{2}$ એટલે કે $\frac{1}{2}$ છે.
તમામ પરિણામો સમાન રીતે સંભવિત હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે,$2$ ના કુલ અંતરમાંથી,ઘટના $E$ માટે સાનુકૂળ અંતર $\frac{1}{2}$ છે.
તેથી,$P(E) = \frac{\text{ઘટના } E \text{ માટે સાનુકૂળ અંતર}}{\text{કુલ અંતર જેમાં પરિણામો હોઈ શકે}} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$.

(D) હેલિકોપ્ટર આ વિસ્તારમાં ગમે ત્યાં ક્રેશ થવાની શક્યતા સમાન છે.
લંબચોરસ વિસ્તારનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= (9 \times 4.5) \, km^2 = 40.5 \, km^2$.
તળાવ એક લંબચોરસ છે જેની લંબાઈ $= (9 - 6) \, km = 3 \, km$ અને પહોળાઈ $= (4.5 - 2) \, km = 2.5 \, km$ છે.
તળાવનું ક્ષેત્રફળ $= (3 \times 2.5) \, km^2 = 7.5 \, km^2$.
હેલિકોપ્ટર તળાવની અંદર ક્રેશ થયું હોય તેની સંભાવના તળાવના ક્ષેત્રફળ અને કુલ ક્ષેત્રફળના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે.
$P(\text{હેલિકોપ્ટર તળાવમાં ક્રેશ થયું}) = \frac{\text{તળાવનું ક્ષેત્રફળ}}{\text{કુલ ક્ષેત્રફળ}} = \frac{7.5}{40.5} = \frac{75}{405} = \frac{5}{27}$.

(A) કાર્ટનમાં શર્ટની કુલ સંખ્યા $= 100$ છે.
$(i)$ જીમી ફક્ત સારા શર્ટ જ સ્વીકારે છે. સારા શર્ટની સંખ્યા $= 88$ છે.
તેથી,શર્ટ જીમીને સ્વીકાર્ય હોય તેની સંભાવના $= \frac{88}{100} = 0.88$ છે.
$(ii)$ સુજાતા ફક્ત મોટી ખામીવાળા શર્ટને જ નકારે છે. આનો અર્થ એ છે કે તે સારા શર્ટ અને નાની ખામીવાળા શર્ટ સ્વીકારે છે.
સુજાતાને સ્વીકાર્ય હોય તેવા શર્ટની સંખ્યા $= 88 + 8 = 96$ છે.
તેથી,શર્ટ સુજાતાને સ્વીકાર્ય હોય તેની સંભાવના $= \frac{96}{100} = 0.96$ છે.

(N/A) જ્યારે વાદળી પાસો $1$ દર્શાવે છે,ત્યારે રાખોડી પાસો $1, 2, 3, 4, 5, 6$ માંથી કોઈપણ એક સંખ્યા દર્શાવી શકે છે. આ જ વાત ત્યારે પણ સાચી છે જ્યારે વાદળી પાસો $2, 3, 4, 5$ અથવા $6$ દર્શાવે છે. પ્રયોગના શક્ય પરિણામો નીચેના કોષ્ટકમાં આપેલ છે; દરેક ક્રમયુક્ત જોડમાં પ્રથમ સંખ્યા વાદળી પાસા પર આવતી સંખ્યા છે અને બીજી સંખ્યા રાખોડી પાસા પરની સંખ્યા છે.
નોંધો કે જોડ $(1, 4)$ એ $(4, 1)$ થી અલગ છે.
તેથી,શક્ય પરિણામોની કુલ સંખ્યા $= 6 \times 6 = 36$.
$(i)$ ઘટના "બે સંખ્યાઓનો સરવાળો $8$ છે" જે $E$ દ્વારા દર્શાવેલ છે,તેના માટે સાનુકૂળ પરિણામો છે: $(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$.
એટલે કે,$E$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 5$.
તેથી,$P(E) = \frac{5}{36}$.
$(ii)$ તમે જોઈ શકો છો તેમ,ઘટના $F$,"બે સંખ્યાઓનો સરવાળો $13$ છે" માટે કોઈ સાનુકૂળ પરિણામ નથી.
તેથી,$P(F) = \frac{0}{36} = 0$.
$(iii)$ તમે જોઈ શકો છો તેમ,તમામ પરિણામો ઘટના $G$,"બે સંખ્યાઓનો સરવાળો $\leq 12$ છે" માટે સાનુકૂળ છે.
તેથી,$P(G) = \frac{36}{36} = 1$.

(A) $(i)$ ઘટના $E$ અને તેની પૂરક ઘટના 'નહીં $E$' ની સંભાવનાઓનો સરવાળો હંમેશા $1$ થાય છે. તેથી,$P(E) + P(\text{નહીં } E) = 1$.
$(ii)$ જે ઘટના ઉદ્ભવી શકતી નથી તેની સંભાવના $0$ છે. આવી ઘટનાને અશક્ય ઘટના કહેવાય છે.
$(iii)$ જે ઘટના ચોક્કસપણે ઉદ્ભવે છે તેની સંભાવના $1$ છે. આવી ઘટનાને ચોક્કસ ઘટના કહેવાય છે.

(N/A) $(i)$ પ્રયોગની તમામ પ્રાથમિક ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે.
$(ii)$ ઘટના $E$ ની સંભાવના એવી હોય છે કે $0 \le P(E) \le 1$. તેથી,ઘટનાની સંભાવના $0$ થી મોટી અથવા તેના જેટલી અને $1$ થી નાની અથવા તેના જેટલી હોય છે.

(III, IV) $(i)$ આ સમસંભાવી ઘટના નથી કારણ કે પરિણામ કારની યાંત્રિક સ્થિતિ પર આધાર રાખે છે. કાર ચાલુ થવાની સંભાવના અને ચાલુ ન થવાની સંભાવના સમાન હોવી જરૂરી નથી.
$(ii)$ આ સમસંભાવી ઘટના નથી કારણ કે પરિણામ ખેલાડીની કુશળતા અને પ્રેક્ટિસ પર આધાર રાખે છે,જે દરેક પ્રયાસ માટે સમાન હોતા નથી.
$(iii)$ આ એક સમસંભાવી ઘટના છે કારણ કે અહીં માત્ર બે જ શક્ય પરિણામો છે (સાચું અથવા ખોટું),અને કોઈ પૂર્વ જ્ઞાન ન હોય તો,દરેકની થવાની તક સમાન છે.
$(iv)$ આ એક સમસંભાવી ઘટના છે કારણ કે બાળક છોકરો કે છોકરી હોવાની જૈવિક સંભાવના $50\%$ ગણવામાં આવે છે,જેમાં અન્ય કોઈ બાહ્ય પરિબળોની અસર હોતી નથી.

(B) જ્યારે આપણે સિક્કો ઉછાળીએ છીએ,ત્યારે શક્ય પરિણામો માત્ર બે જ હોય છે,છાપ (Head) અથવા કાંટો (Tail),જે સમાન રીતે સંભવિત પરિણામો છે.
છાપ આવવાની સંભાવના $1/2$ છે અને કાંટો આવવાની સંભાવના પણ $1/2$ હોવાથી,વ્યક્તિગત ઉછાળનું પરિણામ સંપૂર્ણપણે અણધાર્યું અને નિષ્પક્ષ હોય છે.
તેથી,કઈ ટીમને બોલ મળશે તે નક્કી કરવા માટે સિક્કો ઉછાળવો એ એક યોગ્ય રીત માનવામાં આવે છે.

(D) કોઈપણ ઘટના $E$ ની સંભાવના $P(E)$ હંમેશા $0 \le P(E) \le 1$ ની વચ્ચે હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે ઘટનાની સંભાવના ક્યારેય ઋણ હોઈ શકે નહીં અને $1$ થી વધુ હોઈ શકે નહીં.
આપેલા વિકલ્પોની સરખામણી કરતા:
$(A)$ $2/3 \approx 0.66$,જે $0$ અને $1$ ની વચ્ચે છે.
$(B)$ $0.7$ એ $0$ અને $1$ ની વચ્ચે છે.
$(C)$ $15 \% = 0.15$,જે $0$ અને $1$ ની વચ્ચે છે.
$(D)$ $-1.5$ એ $0$ કરતા નાની સંખ્યા છે.
તેથી,$-1.5$ એ કોઈ ઘટનાની સંભાવના હોઈ શકે નહીં.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ઘટનાની સંભાવના અને તેની પૂરક ઘટનાની સંભાવનાનો સરવાળો $1$ થાય છે.
$P(E) + P(\text{not } E) = 1$
અહીં આપેલ છે કે $P(E) = 0.05$.
તેથી,$P(\text{not } E) = 1 - P(E)$
$P(\text{not } E) = 1 - 0.05$
$P(\text{not } E) = 0.95$
આમ,'$E$ નહીં' ની સંભાવના $0.95$ છે.

(A) $(i)$ થેલીમાં માત્ર લીંબુના સ્વાદની જ કેન્ડી છે. તેમાં નારંગીના સ્વાદની કોઈ કેન્ડી નથી. આનો અર્થ એ છે કે દરેક વખતે તે માત્ર લીંબુના સ્વાદની કેન્ડી જ બહાર કાઢશે. તેથી,માલિની નારંગીના સ્વાદની કેન્ડી બહાર કાઢે તે ઘટના અશક્ય ઘટના છે.
તેથી,$P(\text{નારંગીના સ્વાદની કેન્ડી}) = 0$.
$(ii)$ થેલીમાં લીંબુના સ્વાદની કેન્ડી હોવાથી,માલિની માત્ર લીંબુના સ્વાદની કેન્ડી જ બહાર કાઢશે. તેથી,માલિની લીંબુના સ્વાદની કેન્ડી બહાર કાઢે તે ઘટના ચોક્કસ ઘટના છે.
તેથી,$P(\text{લીંબુના સ્વાદની કેન્ડી}) = 1$.

(C) ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે $2$ વિદ્યાર્થીઓનો જન્મદિવસ સમાન છે.
ધારો કે $\bar{E}$ એ ઘટના છે કે $2$ વિદ્યાર્થીઓનો જન્મદિવસ સમાન નથી.
અહીં આપેલ છે કે $P(\bar{E}) = 0.992$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પૂરક ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે,તેથી $P(E) + P(\bar{E}) = 1$.
તેથી,$P(E) = 1 - P(\bar{E})$.
$P(E) = 1 - 0.992 = 0.008$.

(A) $(i)$ થેલીમાં રહેલા કુલ દડાની સંખ્યા $= 3 + 5 = 8$ છે.
લાલ દડો પસંદ કરવાની સંભાવનાનું સૂત્ર: $P(\text{લાલ}) = \frac{\text{સાધ્ય પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}}$.
$P(\text{લાલ}) = \frac{3}{8}$.
$(ii)$ લાલ દડો ન હોય તેની સંભાવના એ લાલ દડો હોવાની સંભાવનાની પૂરક ઘટના છે.
$P(\text{લાલ ન હોય}) = 1 - P(\text{લાલ})$.
$P(\text{લાલ ન હોય}) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{8 - 3}{8} = \frac{5}{8}$.

(A) લખોટીઓની કુલ સંખ્યા $= 5 + 8 + 4 = 17$.
$(i)$ લાલ લખોટીઓની સંખ્યા $= 5$.
લાલ લખોટી મળવાની સંભાવના $= \frac{\text{સાધ્ય પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{5}{17}$.
$(ii)$ સફેદ લખોટીઓની સંખ્યા $= 8$.
સફેદ લખોટી મળવાની સંભાવના $= \frac{\text{સાધ્ય પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{8}{17}$.
$(iii)$ લીલી લખોટીઓની સંખ્યા $= 4$.
લીલી લખોટી મળવાની સંભાવના $= \frac{4}{17}$.
લીલી લખોટી ન મળવાની સંભાવના $= 1 - P(\text{લીલી}) = 1 - \frac{4}{17} = \frac{13}{17}$.

(A) પિગી બેંકમાં કુલ સિક્કાઓની સંખ્યા $= 100 + 50 + 20 + 10 = 180$.
$(i)$ $50\, p$ ના સિક્કાઓની સંખ્યા $= 100$.
$50\, p$ નો સિક્કો મળવાની સંભાવના $= \frac{\text{સાધ્ય પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{100}{180} = \frac{5}{9}$.
$(ii)$ $Rs.\, 5$ ના સિક્કાઓની સંખ્યા $= 10$.
$Rs.\, 5$ નો સિક્કો મળવાની સંભાવના $= \frac{10}{180} = \frac{1}{18}$.
$Rs.\, 5$ નો સિક્કો ન મળવાની સંભાવના $= 1 - P(Rs.\, 5 \text{ નો સિક્કો મળવાની સંભાવના}) = 1 - \frac{1}{18} = \frac{17}{18}$.

(C) ટાંકીમાં માછલીઓની કુલ સંખ્યા $=$ નર માછલીઓની સંખ્યા $+$ માદા માછલીઓની સંખ્યા
$= 5 + 8 = 13$
નર માછલી મળવાની સંભાવના $= \frac{\text{સાધ્ય પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}}$
$= \frac{5}{13}$

(N/A) કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $8$ છે (એટલે કે,$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$).
$(i)$ $8$ મેળવવા માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $1$ છે.
સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{1}{8}$.
$(ii)$ એકી સંખ્યાઓ $1, 3, 5, 7$ છે. સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $4$ છે.
સંભાવના $= \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
$(iii)$ $2$ કરતા મોટી સંખ્યાઓ $3, 4, 5, 6, 7, 8$ છે. સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $6$ છે.
સંભાવના $= \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
$(iv)$ બધી જ સંખ્યાઓ $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ એ $9$ કરતા નાની છે. સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $8$ છે.
સંભાવના $= \frac{8}{8} = 1$.

(N/A) જ્યારે એક સમતોલ પાસાને ફેંકવામાં આવે ત્યારે શક્ય તમામ પરિણામોનો ગણ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
શક્ય કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6$ છે.
$(i)$ પાસા પરની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\{2, 3, 5\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $3$ છે.
સંભાવના $P(\text{અવિભાજ્ય}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ થાય.
$(ii)$ $2$ અને $6$ ની વચ્ચેની સંખ્યાઓ $\{3, 4, 5\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $3$ છે.
સંભાવના $P(2 \text{ અને } 6 \text{ વચ્ચેની સંખ્યા}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ થાય.
$(iii)$ પાસા પરની એકી સંખ્યાઓ $\{1, 3, 5\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $3$ છે.
સંભાવના $P(\text{એકી સંખ્યા}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ થાય.

(A-D) સારી રીતે ચીપેલા પત્તાંના ડેકમાં કુલ પત્તાંની સંખ્યા $= 52$.
$(i)$ લાલ રંગના રાજાની કુલ સંખ્યા $= 2$ (લાલનો રાજા અને ચોકટનો રાજા).
$P(\text{લાલ રંગનો રાજા}) = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$.
$(ii)$ મુખમુદ્રાવાળા પત્તાંની (રાજા,રાણી અને ગલ્લા) કુલ સંખ્યા $= 3 \times 4 = 12$.
$P(\text{મુખમુદ્રાવાળું પત્તું}) = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}$.
$(iii)$ લાલ રંગના મુખમુદ્રાવાળા પત્તાંની (લાલ અને ચોકટ) કુલ સંખ્યા $= 3 + 3 = 6$.
$P(\text{લાલ રંગનું મુખમુદ્રાવાળું પત્તું}) = \frac{6}{52} = \frac{3}{26}$.
$(iv)$ લાલના ગલ્લાની કુલ સંખ્યા $= 1$.
$P(\text{લાલનો ગલ્લો}) = \frac{1}{52}$.
$(v)$ કાળીના પત્તાંની કુલ સંખ્યા $= 13$.
$P(\text{કાળીનું પત્તું}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$.
$(vi)$ ચોકટની રાણીની કુલ સંખ્યા $= 1$.
$P(\text{ચોકટની રાણી}) = \frac{1}{52}$.

(A) $(i)$ કુલ પત્તાની સંખ્યા $= 5$.
રાણીની કુલ સંખ્યા $= 1$.
$P(\text{રાણી મળે}) = \frac{\text{સાધ્ય પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{1}{5}$.
$(ii)$ જ્યારે રાણીને બહાર કાઢીને બાજુ પર મૂકવામાં આવે,ત્યારે બાકી રહેલા કુલ પત્તાની સંખ્યા $4$ થશે。
$(a)$ એક્કાની કુલ સંખ્યા $= 1$.
$P(\text{એક્કો મળે}) = \frac{1}{4}$.
$(b)$ રાણી પહેલેથી જ બહાર કાઢી લેવામાં આવી હોવાથી,બાકી રહેલી રાણીની સંખ્યા $0$ છે。
$P(\text{રાણી મળે}) = \frac{0}{4} = 0$.

(A) પેનની કુલ સંખ્યા $= 12 + 132 = 144$.
સારી પેનની કુલ સંખ્યા $= 132$.
કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના $P$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$P(\text{ઘટના}) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}}$.
તેથી,સારી પેન મળે તેની સંભાવના:
$P(\text{સારી પેન}) = \frac{132}{144}$.
અંશ અને છેદ બંનેને $12$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$P(\text{સારી પેન}) = \frac{11}{12}$.

(C) $(i)$ બલ્બની કુલ સંખ્યા $= 20$.
ખામીયુક્ત બલ્બની કુલ સંખ્યા $= 4$.
$P(\text{ખામીયુક્ત બલ્બ}) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.
$(ii)$ એક ખામી રહિત બલ્બ પસંદ કર્યા પછી,બાકી રહેલા બલ્બની કુલ સંખ્યા $= 20 - 1 = 19$.
બાકી રહેલા ખામી રહિત બલ્બની સંખ્યા $= (20 - 4) - 1 = 15$.
$P(\text{ખામી રહિત બલ્બ}) = \frac{\text{ખામી રહિત બલ્બની સંખ્યા}}{\text{બાકી રહેલા કુલ બલ્બ}} = \frac{15}{19}$.

(N/A) કુલ તકતીઓની સંખ્યા $= 90$.
$(i)$ $1$ થી $90$ વચ્ચેની બે અંકની સંખ્યાઓ $10, 11, \dots, 90$ છે. કુલ સંખ્યા $90 - 9 = 81$ છે.
$P(\text{બે અંકની સંખ્યા}) = \frac{81}{90} = \frac{9}{10}$.
$(ii)$ $1$ થી $90$ વચ્ચેની પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યાઓ $1^2=1, 2^2=4, 3^2=9, 4^2=16, 5^2=25, 6^2=36, 7^2=49, 8^2=64, 9^2=81$ છે. કુલ સંખ્યા $9$ છે.
$P(\text{પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા}) = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}$.
$(iii)$ $1$ થી $90$ વચ્ચેની $5$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90$ છે. કુલ સંખ્યા $18$ છે.
$P(5 \text{ વડે વિભાજ્ય સંખ્યા}) = \frac{18}{90} = \frac{1}{5}$.

(N/A) પાસા પરના કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6$ છે (કારણ કે $6$ ફલક છે).
$(i)$ $A$ અક્ષર ધરાવતા ફલકની સંખ્યા $2$ છે.
તેથી,$A$ મળવાની સંભાવના $P(A) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
(ii) $D$ અક્ષર ધરાવતા ફલકની સંખ્યા $1$ છે.
તેથી,$D$ મળવાની સંભાવના $P(D) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{1}{6}$ છે.

(N/A) લંબચોરસ પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 3 \, m \times 2 \, m = 6 \, m^2$ છે.
વર્તુળનો વ્યાસ $1 \, m$ છે, તેથી તેની ત્રિજ્યા $r = \frac{1}{2} \, m$ થાય.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = \pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{4} \, m^2$ થાય.
પાસો વર્તુળની અંદર પડે તેની સંભાવના એ વર્તુળના ક્ષેત્રફળ અને લંબચોરસના કુલ ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર છે:
$P(\text{વર્તુળની અંદર પડવાની સંભાવના}) = \frac{\text{વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ}}{\text{લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ}} = \frac{\frac{\pi}{4}}{6} = \frac{\pi}{24}$.

(A) પેનની કુલ સંખ્યા $= 144$
ખામીયુક્ત પેનની કુલ સંખ્યા $= 20$
સારી પેનની કુલ સંખ્યા $= 144 - 20 = 124$
$(i)$ સારી પેન મળવાની સંભાવના (નૂરી પેન ખરીદશે) $= \frac{124}{144} = \frac{31}{36}$
$(ii)$ ખામીયુક્ત પેન મળવાની સંભાવના (નૂરી પેન ખરીદશે નહીં) $= \frac{20}{144} = \frac{5}{36}$ અથવા $1 - \frac{31}{36} = \frac{5}{36}$

(N/A) $(i)$ જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે. સરવાળા અને તેમની સંબંધિત સંભાવનાઓની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
- સરવાળો $= 2$: $(1,1) \rightarrow \frac{1}{36}$
- સરવાળો $= 3$: $(1,2), (2,1) \rightarrow \frac{2}{36}$
- સરવાળો $= 4$: $(1,3), (3,1), (2,2) \rightarrow \frac{3}{36}$
- સરવાળો $= 5$: $(1,4), (4,1), (2,3), (3,2) \rightarrow \frac{4}{36}$
- સરવાળો $= 6$: $(1,5), (5,1), (2,4), (4,2), (3,3) \rightarrow \frac{5}{36}$
- સરવાળો $= 7$: $(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3) \rightarrow \frac{6}{36}$
- સરવાળો $= 8$: $(2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4) \rightarrow \frac{5}{36}$
- સરવાળો $= 9$: $(3,6), (6,3), (4,5), (5,4) \rightarrow \frac{4}{36}$
- સરવાળો $= 10$: $(4,6), (6,4), (5,5) \rightarrow \frac{3}{36}$
- સરવાળો $= 11$: $(5,6), (6,5) \rightarrow \frac{2}{36}$
- સરવાળો $= 12$: $(6,6) \rightarrow \frac{1}{36}$
$(ii)$ ના,હું વિદ્યાર્થીની દલીલ સાથે સહમત નથી. પરિણામો $2, 3, \dots, 12$ એ સમાન સંભવિત નથી કારણ કે દરેક સરવાળો મેળવવાની રીતોની સંખ્યા અલગ-અલગ છે. ઉદાહરણ તરીકે,સરવાળો $2$ મેળવવાની માત્ર $1$ રીત છે,પરંતુ સરવાળો $7$ મેળવવાની $6$ રીતો છે.

(C) સિક્કાને $3$ વખત ઉછાળતા મળતા શક્ય પરિણામો નીચે મુજબ છે:
$(HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT)$
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $= 8$.
જો તમામ ઉછાળમાં સમાન પરિણામ મળે તો હનીફ જીતે છે,જે $(HHH)$ અથવા $(TTT)$ છે.
જીતવા માટેના સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 2$.
જીતવાની સંભાવના $P(\text{Win}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
કોઈ ઘટના અને તેની પૂરક ઘટનાની સંભાવનાનો સરવાળો $1$ હોવાથી,હારવાની સંભાવના:
$P(\text{Lose}) = 1 - P(\text{Win}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

(A) કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $= 6 \times 6 = 36$ છે.
$(i)$ ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે $5$ ઓછામાં ઓછી એક વાર આવે. જે પરિણામોમાં $5$ આવે છે તે છે: $(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (6,5)$.
ઘટના $E$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 11$ છે.
$5$ ઓછામાં ઓછી એક વાર આવે તેની સંભાવના $P(E) = \frac{11}{36}$ છે.
$5$ એક પણ વાર ન આવે તેની સંભાવના $P(\text{not } E) = 1 - P(E) = 1 - \frac{11}{36} = \frac{25}{36}$ થાય.
$(ii)$ $5$ ઓછામાં ઓછી એક વાર આવે તેની સંભાવના $P(E) = \frac{11}{36}$ છે.

(A) $(i)$ $\text{ખોટું}$
જ્યારે બે સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે શક્ય પરિણામો $(H, H), (H, T), (T, H),$ અને $(T, T)$ છે.
તે જોઈ શકાય છે કે એક છાપ અને એક કાંટો મેળવવાની બે રીતો છે: $(H, T)$ અને $(T, H)$.
તેથી,બે છાપ મેળવવાની સંભાવના $\frac{1}{4}$ છે,બે કાંટા મેળવવાની સંભાવના $\frac{1}{4}$ છે,અને એક છાપ અને એક કાંટો મેળવવાની સંભાવના $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ છે.
આમ,આ દરેક પરિણામ માટે સંભાવના $\frac{1}{3}$ નથી.
$(ii)$ $\text{સાચું}$
જ્યારે એક પાસો ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે શક્ય પરિણામો $1, 2, 3, 4, 5,$ અને $6$ છે. આમાંથી,$1, 3, 5$ એ $\text{એકી}$ સંખ્યાઓ છે અને $2, 4, 6$ એ $\text{બેકી}$ સંખ્યાઓ છે.
કુલ $6$ પરિણામોમાંથી $3$ એકી સંખ્યાઓ હોવાથી,એકી સંખ્યા મેળવવાની સંભાવના $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે.

(A) કુલ $5$ દિવસો છે (મંગળવાર,બુધવાર,ગુરુવાર,શુક્રવાર,શનિવાર). શ્યામ $5$ રીતે દુકાનની મુલાકાત લઈ શકે છે અને એકતા પણ $5$ રીતે મુલાકાત લઈ શકે છે.
તેથી,કુલ પરિણામોની સંખ્યા $= 5 \times 5 = 25$ છે.
$(i)$ તેઓ એક જ દિવસે $5$ રીતે પહોંચી શકે છે: $(T, T), (W, W), (Th, Th), (F, F), (S, S)$.
$P(\text{એક જ દિવસ}) = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$.
$(ii)$ તેઓ ક્રમિક દિવસે $8$ રીતે પહોંચી શકે છે: $(T, W), (W, Th), (Th, F), (F, S), (W, T), (Th, W), (F, Th), (S, F)$.
$P(\text{ક્રમિક દિવસ}) = \frac{8}{25}$.
$(iii)$ $P(\text{અલગ-અલગ દિવસ}) = 1 - P(\text{એક જ દિવસ}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.

(N/A) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે શક્ય કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
$(i)$ જે પરિણામોમાં સરવાળો બેકી હોય તે છે:
$2, 2, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 8, 12$ (બધી ઘટનાઓ ગણતા).
બેકી સરવાળો હોય તેવા કુલ પરિણામોની સંખ્યા $= 18$.
$P(\text{બેકી સરવાળો}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
$(ii)$ જે પરિણામોમાં સરવાળો $6$ હોય તે છે:
$(3, 3), (3, 3), (3, 3), (3, 3)$ (કોષ્ટક મુજબ).
સરવાળો $6$ હોય તેવા કુલ પરિણામોની સંખ્યા $= 4$.
$P(\text{સરવાળો} 6) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.
$(iii)$ જે પરિણામોમાં સરવાળો ઓછામાં ઓછો $6$ (એટલે કે $\ge 6$) હોય તે છે:
$6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 12$.
સરવાળો ઓછામાં ઓછો $6$ હોય તેવા કુલ પરિણામોની સંખ્યા $= 15$.
$P(\text{સરવાળો ઓછામાં ઓછો } 6) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.

(C) ધારો કે વાદળી દડાની સંખ્યા $x$ છે.
લાલ દડાની સંખ્યા $= 5$.
કુલ દડાની સંખ્યા $= x + 5$.
લાલ દડો કાઢવાની સંભાવના,$P(\text{Red}) = \frac{5}{x + 5}$.
વાદળી દડો કાઢવાની સંભાવના,$P(\text{Blue}) = \frac{x}{x + 5}$.
પ્રશ્ન મુજબ,વાદળી દડો કાઢવાની સંભાવના લાલ દડો કાઢવાની સંભાવના કરતાં બમણી છે:
$P(\text{Blue}) = 2 \times P(\text{Red})$
$\frac{x}{x + 5} = 2 \times \left( \frac{5}{x + 5} \right)$
અહીં $x + 5 \neq 0$ હોવાથી,બંને બાજુ $(x + 5)$ વડે ગુણતા:
$x = 2 \times 5$
$x = 10$.
તેથી,થેલીમાં વાદળી દડાની સંખ્યા $10$ છે.

(3) કુલ દડાની સંખ્યા $= 12$.
કાળા દડાની કુલ સંખ્યા $= x$.
કાળો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P_1 = \frac{x}{12}$ છે.
જો $6$ વધુ કાળા દડા ઉમેરવામાં આવે,તો નવા કુલ દડાની સંખ્યા $= 12 + 6 = 18$.
કાળા દડાની નવી સંખ્યા $= x + 6$.
કાળો દડો પસંદ કરવાની નવી સંભાવના $P_2 = \frac{x+6}{18}$ છે.
પ્રશ્નમાં આપેલી શરત મુજબ,$P_2 = 2 \times P_1$.
તેથી,$\frac{x+6}{18} = 2 \times \frac{x}{12}$.
$\frac{x+6}{18} = \frac{x}{6}$.
બંને બાજુ $18$ વડે ગુણતા,આપણને $x + 6 = 3x$ મળે છે.
$2x = 6$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $x = 3$ મળે છે.

(B) કુલ લખોટીઓની સંખ્યા $= 24$.
ધારો કે લીલી લખોટીઓની સંખ્યા $x$ છે.
તેથી,વાદળી લખોટીઓની સંખ્યા $= 24 - x$ થાય.
લીલી લખોટી પસંદ કરવાની સંભાવના $P(\text{Green}) = \frac{\text{લીલી લખોટીઓની સંખ્યા}}{\text{કુલ લખોટીઓની સંખ્યા}} = \frac{x}{24}$ છે.
પ્રશ્નમાં આપેલ શરત મુજબ,$P(\text{Green}) = \frac{2}{3}$.
તેથી,$\frac{x}{24} = \frac{2}{3}$.
બંને બાજુ $24$ વડે ગુણતા,$x = \frac{2}{3} \times 24 = 16$.
આમ,લીલી લખોટીઓની સંખ્યા $16$ છે.
તેથી,વાદળી લખોટીઓની સંખ્યા $= 24 - 16 = 8$ થાય.