Demo Questions in Gujarati

(D) સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા $2$ છે.
સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યા $4$ છે.
$2$ અને $4$ નો લ.સા.અ. $(LCM)$ શોધવા માટે:
$2 = 2^1$
$4 = 2^2$
$LCM(2, 4) = 2^2 = 4$.
તેથી,સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા અને સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યાનો લ.સા.અ. $4$ છે.

(A) આપણને પદાવલિ $2^{m} \cdot 5^{n}$ આપેલ છે,જ્યાં $m, n \in N$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ).
આપણે પદાવલિને $2^{m} \cdot 5^{n} = 2^{m-n} \cdot 2^{n} \cdot 5^{n}$ (જો $m \ge n$) અથવા $2^{m} \cdot 5^{m} \cdot 5^{n-m}$ (જો $n > m$) તરીકે લખી શકીએ.
કિસ્સો $1$: જો $m = n$ હોય,તો $2^{m} \cdot 5^{m} = (2 \cdot 5)^{m} = 10^{m}$. $10^{m}$ નો અંતિમ અંક $0$ છે.
કિસ્સો $2$: જો $m > n$ હોય,તો $2^{m} \cdot 5^{n} = 2^{m-n} \cdot (2 \cdot 5)^{n} = 2^{m-n} \cdot 10^{n}$. $2^{m-n}$ એ બેકી સંખ્યા છે અને $10^{n}$ નો અંતિમ અંક $0$ હોવાથી,ગુણાકારનો અંતિમ અંક $0$ થશે.
કિસ્સો $3$: જો $n > m$ હોય,તો $2^{m} \cdot 5^{n} = (2 \cdot 5)^{m} \cdot 5^{n-m} = 10^{m} \cdot 5^{n-m}$. $n > m$ માટે $5^{n-m}$ નો અંતિમ અંક હંમેશા $5$ હોય છે અને $10^{m}$ નો અંતિમ અંક $0$ હોવાથી,ગુણાકારનો અંતિમ અંક $0$ થશે.
બધા કિસ્સાઓમાં,અંતિમ અંક $0$ મળે છે.

(B) બે સંખ્યાઓનો $HCF$ હંમેશા તેમના $LCM$ ને નિઃશેષ ભાગે છે.
આપેલ છે કે $HCF(a, b) = 16$.
દરેક વિકલ્પને $16$ વડે ભાગી શકાય છે કે નહીં તે તપાસીએ:
$A) 32 / 16 = 2$ (ભાગી શકાય છે)
$B) 72 / 16 = 4.5$ (ભાગી શકાતું નથી)
$C) 64 / 16 = 4$ (ભાગી શકાય છે)
$D) 96 / 16 = 6$ (ભાગી શકાય છે)
આમ,$72$ એ $16$ વડે વિભાજ્ય ન હોવાથી,તે $a$ અને $b$ નો $LCM$ હોઈ શકે નહીં.

(C) કોઈપણ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ માટે,જ્યાં $q = 2^n \cdot 5^m$ હોય,ત્યારે દશાંશ ચિન્હ પછીના અંકોની સંખ્યા $\max(n, m)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ પદ $\frac{18}{5^3}$ માં,છેદને $2^0 \cdot 5^3$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$n = 0$ અને $m = 3$ છે.
તેથી,દશાંશ ચિન્હ પછીના અંકોની સંખ્યા $\max(0, 3) = 3$ થશે.
વૈકલ્પિક રીતે,$\frac{18}{5^3} = \frac{18 \cdot 2^3}{5^3 \cdot 2^3} = \frac{18 \cdot 8}{10^3} = \frac{144}{1000} = 0.144$.
દશાંશ ચિન્હ પછી $3$ અંકો હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા $2$ છે.
સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યા $4$ છે.
$2$ અને $4$ નો લ.સા.અ. શોધવા માટે:
$2 = 2^1$
$4 = 2^2$
$LCM(2, 4) = 2^2 = 4$.
તેથી,સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા અને સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યાનો લ.સા.અ. $4$ છે.

(C) ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $a, b, c$ માટે,ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.) $1$ છે,કારણ કે $1$ સિવાય તેમનો કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી.
ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી (લ.સા.અ.) એ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર થાય છે,જે $a \times b \times c = abc$ છે.
તેથી,ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. નો ગુણોત્તર $\frac{\text{ગુ.સા.અ.}}{\text{લ.સા.અ.}} = \frac{1}{abc}$ થાય.
આને $1: abc$ ગુણોત્તર તરીકે દર્શાવી શકાય છે.

(A) બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ વચ્ચેનો સંબંધ એ છે કે: $LCM(a, b)$ એ $HCF(a, b)$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેવી હોવી જોઈએ.
અહીં $HCF(a, b) = 12$ આપેલ છે.
દરેક વિકલ્પને તપાસીએ કે શું તે $12$ વડે ભાગી શકાય છે:
$(A)$ $90 / 12 = 7.5$ (નિઃશેષ ભાગી શકાતું નથી)
$(B)$ $24 / 12 = 2$ (ભાગી શકાય છે)
$(C)$ $48 / 12 = 4$ (ભાગી શકાય છે)
$(D)$ $36 / 12 = 3$ (ભાગી શકાય છે)
આમ,$90$ એ $12$ વડે ભાગી શકાતું ન હોવાથી,તે $LCM$ હોઈ શકે નહીં.

(C) કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n \in N$ માટે (જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$):
જો $n = 1$ હોય,તો $5^1 = 5$.
જો $n = 2$ હોય,તો $5^2 = 25$.
જો $n = 3$ હોય,તો $5^3 = 125$.
જો $n = 4$ હોય,તો $5^4 = 625$.
અહીં અવલોકન કરી શકાય છે કે કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$5^n$ નો અંતિમ અંક હંમેશા $5$ જ રહે છે.

(B) સૌ પ્રથમ,$65$ અને $117$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો.
$65 = 5 \times 13$
$117 = 9 \times 13 = 3^2 \times 13$
$\text{HCF}(65, 117)$ એ સામાન્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાત છે,જે $13$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $\text{HCF}(65, 117) = 65m - 117$
$\text{HCF}$ ની કિંમત મૂકતા:
$13 = 65m - 117$
બંને બાજુ $117$ ઉમેરતા:
$13 + 117 = 65m$
$130 = 65m$
$65$ વડે ભાગતા:
$m = \frac{130}{65} = 2$
આમ,$m$ ની કિંમત $2$ છે.

(C) બે સંખ્યાઓનો લ.સા.અ. (લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી) એ સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક છે જે બંને સંખ્યાઓ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
અહીં $p$ અને $q$ ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોવાથી,$1$ સિવાય તેમનો કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી.
તેથી,બે ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો લ.સા.અ. તેમનો ગુણાકાર થાય છે.
આમ,$LCM(p, q) = p \times q = pq$.

(A) $LCM(26, 91)$ શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$26 = 2 \times 13$
$91 = 7 \times 13$
$LCM$ એ સંખ્યાઓમાં રહેલા દરેક અવિભાજ્ય અવયવની મહત્તમ ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$LCM(26, 91) = 2 \times 7 \times 13 = 182$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) અવિભાજ્ય સંખ્યા એ $1$ કરતા મોટી એવી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે જેને $1$ અને તે સંખ્યા પોતે સિવાય અન્ય કોઈ ધન અવયવ હોતા નથી.
અહીં $m$ અને $n$ ભિન્ન અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો હોવાથી,$1$ સિવાય તેમનો કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી.
બે ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.) હંમેશા $1$ હોય છે,કારણ કે તેમનો એકમાત્ર સામાન્ય અવયવ $1$ છે.
તેથી,$m$ અને $n$ નો ગુ.સા.અ. $1$ છે.

(B) કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,તેમનો $LCM(a, b)$ હંમેશા તેમના $HCF(a, b)$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય છે.
અહીં,$HCF(a, b) = 25$ આપેલ છે.
તેથી,$LCM(a, b)$ એ $25$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પો તપાસતા:
$(A)$ $50 = 25 \times 2$ (શક્ય છે)
$(B)$ $105$ ને $25$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાતા નથી $(105 / 25 = 4.2)$ (અશક્ય છે)
$(C)$ $100 = 25 \times 4$ (શક્ય છે)
$(D)$ $25 = 25 \times 1$ (શક્ય છે)
આમ,$105$ એ $LCM$ હોઈ શકે નહીં.

(C) અસંમેય સંખ્યા એટલે એવી સંખ્યા જેને $p/q$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાતી નથી,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$. તેની દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત અને અનાવૃત હોય છે.
$1$. $\sqrt{4} = 2$,જે એક સંમેય સંખ્યા છે.
$2$. $0.010101...$ એ આવૃત દશાંશ છે,જેને $1/99$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી તે સંમેય સંખ્યા છે.
$3$. $\pi$ (પાઈ) એ જાણીતી અસંમેય સંખ્યા છે કારણ કે તેની દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત અને અનાવૃત છે.
$4$. $5$ ને $5/1$ તરીકે લખી શકાય છે,જે એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,$a \times b = LCM(a, b) \times GCD(a, b)$ સંબંધ સાચો છે.
અહીં આપેલ છે કે $LCM(a, b) = a \times b$ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $a \times b = (a \times b) \times GCD(a, b)$ મળે છે.
બંને બાજુઓને $a \times b$ વડે ભાગતા,આપણને $GCD(a, b) = 1$ મળે છે.
તેથી,સાચો જવાબ $1$ છે.

(C) કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $5^n$ નો અંતિમ અંક શોધવા માટે,ચાલો $5$ ની ઘાતનું અવલોકન કરીએ:
$5^1 = 5$
$5^2 = 25$
$5^3 = 125$
$5^4 = 625$
દરેક કિસ્સામાં,અંતિમ અંક (એકમનો અંક) $5$ છે.
તેથી,કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$5^n$ નો અંતિમ અંક હંમેશા $5$ હોય છે.

(A) $12$,$15$ અને $21$ નો ગુ.સા.અ. (ગુરૂત્તમ સામાન્ય અવયવ) શોધવા માટે,આપણે દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$12 = 2^2 \times 3^1$
$15 = 3^1 \times 5^1$
$21 = 3^1 \times 7^1$
ગુ.સા.અ. એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે.
અહીં સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ માત્ર $3$ છે અને તેની સૌથી નાની ઘાત $3^1$ છે.
તેથી,ગુ.સા.અ. $(12, 15, 21) = 3$.

(A) $6$ અને $20$ નો ગુ.સા.અ. શોધવા માટે,આપણે પહેલા દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$6 = 2 \times 3$
$20 = 2^2 \times 5$
ગુ.સા.અ. એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે.
અહીં સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ માત્ર $2$ છે,અને તેની સૌથી નાની ઘાત $2^1 = 2$ છે.
તેથી,$6$ અને $20$ નો ગુ.સા.અ. $2$ છે.

(C) બે સંખ્યાઓનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ એ સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક છે જે બંને સંખ્યાઓ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
કોઈપણ બે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $p$ અને $q$ માટે,તેઓ ભિન્ન હોવાથી,$1$ સિવાય તેમનો કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી.
તેથી,બે ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો $LCM$ એ તેમનો ગુણાકાર જ થાય છે.
$LCM(p, q) = p \times q = pq$.

(A) અહીં આપણને પદાવલિ $2^5 \cdot 5^5$ આપેલ છે.
ઘાતાંકના નિયમ $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$2^5 \cdot 5^5 = (2 \cdot 5)^5$
$= 10^5$
$= 100000$
$100000$ નો અંતિમ અંક $0$ છે.

(B) સંખ્યા $\pi$ ને વર્તુળના પરિઘ અને તેના વ્યાસના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે।
તે અનંત અને અનાવૃત દશાંશ સંખ્યા છે, જેનો અર્થ છે કે તેને $p/q$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાતી નથી, જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$.
તેથી, $\pi$ એ અસંમેય સંખ્યા છે।

(C) $7, 11$ અને $17$ નો લ.સા.અ. શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ જોઈએ છીએ કે આ ત્રણેય સંખ્યાઓ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.
કારણ કે $7, 11$ અને $17$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે,તેથી $1$ સિવાય તેમનો કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી.
અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના સમૂહનો લ.સા.અ. એ તે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર જ હોય છે.
તેથી,$LCM(7, 11, 17) = 7 \times 11 \times 17 = 1309$.

(D) સંમેય સંખ્યા એટલે એવી સંખ્યા જેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે અને $q \neq 0$ છે.
$1$. $\sqrt{7}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે કારણ કે $7$ એ પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા નથી.
$2$. $3\pi$ એ અસંમેય સંખ્યા છે કારણ કે $\pi$ અસંમેય છે.
$3$. $0.101000...$ એ અનંત અનાવૃત દશાંશ છે,તેથી તે અસંમેય સંખ્યા છે.
$4$. $0.25$ ને $\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ તરીકે લખી શકાય છે,જે $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં છે.
તેથી,$0.25$ એ સંમેય સંખ્યા છે.

(D) $HCF(510, 92)$ શોધવા માટે,આપણે બંને સંખ્યાઓનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીએ:
$510 = 2 \times 3 \times 5 \times 17$
$92 = 2 \times 2 \times 23 = 2^2 \times 23$
સૌથી નાની ઘાત ધરાવતો સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ $2^1 = 2$ છે.
તેથી,$HCF(510, 92) = 2$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,તેમના ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\text{ગુ.સા.અ.}(a, b) \times \text{લ.સા.અ.}(a, b) = a \times b$
આપેલ છે:
$\text{ગુ.સા.અ.} = 9$
$\text{સંખ્યાઓનો ગુણાકાર} (a \times b) = 288$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$9 \times \text{લ.સા.અ.} = 288$
$\text{લ.સા.અ.} = \frac{288}{9}$
$\text{લ.સા.અ.} = 32$
તેથી,બે સંખ્યાઓનો લ.સા.અ. $32$ છે.

(A) $6$ અને $20$ નો લ.સા.અ. શોધવા માટે,સૌ પ્રથમ આપણે તેમના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$6 = 2 \times 3$
$20 = 2^2 \times 5$
લ.સા.અ. એ તમામ અવિભાજ્ય અવયવોની મહત્તમ ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$LCM = 2^2 \times 3^1 \times 5^1$
$LCM = 4 \times 3 \times 5 = 60$
તેથી,$6$ અને $20$ નો લ.સા.અ. $60$ છે.

(C) અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$1$ થી મોટી દરેક વિભાજ્ય સંખ્યાને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવી શકાય છે. અવિભાજ્ય અવયવોના ક્રમને અવગણતા,આ અવયવીકરણ અનન્ય હોય છે. આ પ્રમેયને 'અનન્ય અવયવીકરણનું પ્રમેય' તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.

(B) $5^{25}$ નો અંતિમ અંક શોધવા માટે,આપણે $5$ ની ઘાતનું અવલોકન કરીએ:
$5^1 = 5$
$5^2 = 25$
$5^3 = 125$
$5^4 = 625$
અહીં જોઈ શકાય છે કે કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$5^n$ નો અંતિમ અંક હંમેશા $5$ જ હોય છે.
તેથી,$5^{25}$ નો અંતિમ અંક $5$ છે.

(B) કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર તેમના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(HCF)$ અને લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને આ રીતે દર્શાવી શકાય છે: $HCF(a, b) \times LCM(a, b) = a \times b$.

(B) $6, 72,$ અને $120$ નો લ.સા.અ. શોધવા માટે,આપણે પહેલા દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$6 = 2^1 \times 3^1$
$72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2$
$120 = 8 \times 15 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$
લ.સા.અ. એ દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે:
લ.સા.અ. $= 2^3 \times 3^2 \times 5^1$
લ.સા.અ. $= 8 \times 9 \times 5$
લ.સા.અ. $= 72 \times 5 = 360$
આમ,$6, 72,$ અને $120$ નો લ.સા.અ. $360$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,સંખ્યાઓનો ગુણાકાર તેમના $HCF$ અને $LCM$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
$a \times b = HCF(a, b) \times LCM(a, b)$
અહીં $HCF(a, b) = 8$ અને $LCM(a, b) = 64$ આપેલ છે,તેથી:
$a \times b = 8 \times 64 = 512$
$8$ એ $HCF$ હોવાથી,$a$ અને $b$ બંને $8$ ના ગુણક હોવા જોઈએ. ધારો કે $a = 8x$ અને $b = 8y$,જ્યાં $x$ અને $y$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે અને $x > y$ (કારણ કે $a > b$).
આ કિંમતોને ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(8x) \times (8y) = 512$
$64xy = 512$
$xy = 8$
$x$ અને $y$ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોય અને $x > y$ હોય તેવી શક્ય જોડી $(x, y) = (8, 1)$ છે.
જો $x = 8$ અને $y = 1$ હોય,તો $a = 8 \times 8 = 64$ અને $b = 8 \times 1 = 8$ મળે.
$a > b$ હોવાથી,$a = 64$ એ સાચો જવાબ છે.

(D) સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા $2$ છે.
સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યા $4$ છે.
$2$ અને $4$ નો લ.સા.અ. શોધવા માટે:
$2 = 2^1$
$4 = 2^2$
$LCM(2, 4) = 2^2 = 4$.
તેથી,સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા અને સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યાનો લ.સા.અ. $4$ છે.

(C) કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $5^n$ નો અંતિમ અંક શોધવા માટે,ચાલો $5$ ની ઘાતનું અવલોકન કરીએ:
$5^1 = 5$
$5^2 = 25$
$5^3 = 125$
$5^4 = 625$
જેમ આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે,કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$5^n$ નું પરિણામ હંમેશા $5$ અંક સાથે સમાપ્ત થાય છે. તેથી,અંતિમ અંક હંમેશા $5$ હોય છે.

(A) આપેલી સંખ્યા $0.01111...$ છે,જેને $0.0\bar{1}$ તરીકે લખી શકાય છે.
દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત અને આવૃત હોવાથી,તેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$.
ધારો કે $x = 0.0111...$ (સમીકરણ $1$).
$10$ વડે ગુણતા: $10x = 0.1111...$ (સમીકરણ $2$).
$100$ વડે ગુણતા: $100x = 1.1111...$ (સમીકરણ $3$).
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા: $100x - 10x = 1.1111... - 0.1111...$.
$90x = 1$.
$x = \frac{1}{90}$.
આ સંખ્યાને બે પૂર્ણાંકોના ગુણોત્તર તરીકે દર્શાવી શકાતી હોવાથી,તે સંમેય સંખ્યા છે.

(C) $30$ ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધવા માટે,આપણે તેને સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ વડે ભાગીએ છીએ:
$30 \div 2 = 15$
$15 \div 3 = 5$
$5 \div 5 = 1$
તેથી,$30$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2 \times 3 \times 5$ છે.

(A) $13, 23$ અને $31$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.) શોધવા માટે,આપણે દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીએ:
$13 = 13 \times 1$
$23 = 23 \times 1$
$31 = 31 \times 1$
અહીં $13, 23$ અને $31$ ત્રણેય અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે અને $1$ સિવાય તેમનો કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી,તેથી તેમનો ગુ.સા.અ. $1$ થાય છે.

(B) જે સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય, જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ હોય, તેને સંમેય સંખ્યા કહેવાય છે।
$\pi$ એ વર્તુળનો પરિઘ અને તેના વ્યાસનો ગુણોત્તર છે।
તેની દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત અને અનાવૃત છે।
તેથી, $\pi$ એ અસંમેય સંખ્યા છે।

(B) સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા $2$ છે.
સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યા $4$ છે.
$2$ અને $4$ નો ગુ.સા.અ. શોધવા માટે:
$2 = 2^1$
$4 = 2^2$
ગુ.સા.અ. એ સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવોની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે,જે $2^1 = 2$ થાય છે.
તેથી,સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા અને સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યાનો ગુ.સા.અ. $2$ છે.

(A) જ્યારે $(5k+1)^2$ ને $5$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ શોધવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ નો ઉપયોગ કરીને પદનું વિસ્તરણ કરીએ.
$(5k+1)^2 = (5k)^2 + 2(5k)(1) + (1)^2$
$= 25k^2 + 10k + 1$
હવે,આપણે આ પદને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$= 5(5k^2 + 2k) + 1$
અહીં $5(5k^2 + 2k)$ એ $5$ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય છે,તેથી આખા પદને $5$ વડે ભાગતા મળતી શેષ $1$ છે.

(B) જો કોઈ સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય, જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ હોય અને $q \neq 0$ હોય, તો તેને સંમેય સંખ્યા કહેવાય છે.
$\sqrt{2}$ ને બે પૂર્ણાંકોના ગુણોત્તર તરીકે દર્શાવી શકાતી નથી, તેથી તે એક અસંમેય સંખ્યા છે.
આમ, $\sqrt{2}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $\sqrt{1+1}$ છે.
વર્ગમૂળની અંદરનો સરવાળો કરતા: $1+1 = 2$.
તેથી,પદાવલિ $\sqrt{2}$ બને છે.
$2$ એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા ન હોવાથી,$\sqrt{2}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટેનો મૂળભૂત ગુણધર્મ નીચે મુજબ છે:
$\text{ગુ.સા.અ.}(a, b) \times \text{લ.સા.અ.}(a, b) = a \times b$
અહીં આપેલ છે કે $\text{ગુ.સા.અ.}(a, b) = 7$ અને $\text{લ.સા.અ.}(a, b) = 385$.
તેથી,$a \times b = 7 \times 385$.
ગુણાકાર કરતા: $7 \times 385 = 2695$.
આમ,બે પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર $2695$ થાય છે.

(A) સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા $2$ છે.
સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યા $4$ છે.
$2$ અને $4$ નો લ.સા.અ. શોધવા માટે:
$2 = 2^1$
$4 = 2^2$
$LCM(2, 4) = 2^2 = 4$.
તેથી,સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા અને સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યાનો લ.સા.અ. $4$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $3 + \sqrt{16}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sqrt{16} = 4$ થાય.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $3 + 4 = 7$ મળે.
$7$ ને $p/q$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે,જ્યાં $p=7$ અને $q=1$ (બંને પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$),તેથી તે એક સંમેય સંખ્યા છે.

(B) $5^{25}$ નો અંતિમ અંક શોધવા માટે,આપણે $5$ ની ઘાતનું અવલોકન કરીએ:
$5^1 = 5$
$5^2 = 25$
$5^3 = 125$
$5^4 = 625$
કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $5$ ની ઘાતનો અંતિમ અંક હંમેશા $5$ હોય છે,તેથી $5^{25}$ નો અંતિમ અંક $5$ છે.

(B) કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,તેમના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.) અને લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી (લ.સા.અ.) નો ગુણાકાર તે બે સંખ્યાઓના ગુણાકાર જેટલો જ હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $\text{ગુ.સા.અ.}(a, b) \times \text{લ.સા.અ.}(a, b) = a \times b$.

(B) $6$,$72$ અને $120$ નો લ.સા.અ. શોધવા માટે,આપણે દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું:
$6 = 2^1 \times 3^1$
$72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2$
$120 = 8 \times 15 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$
લ.સા.અ. એ દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે:
$LCM = 2^3 \times 3^2 \times 5^1$
$LCM = 8 \times 9 \times 5$
$LCM = 72 \times 5 = 360$
આમ,$6$,$72$ અને $120$ નો લ.સા.અ. $360$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,સંખ્યાઓનો ગુણાકાર તેમના $HCF$ અને $LCM$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
$a \times b = HCF(a, b) \times LCM(a, b)$
અહીં $HCF(a, b) = 8$ અને $LCM(a, b) = 64$ આપેલ છે,તેથી:
$a \times b = 8 \times 64 = 512$
$HCF(a, b) = 8$ હોવાથી,$a$ અને $b$ બંને $8$ ના ગુણક હોવા જોઈએ. ધારો કે $a = 8x$ અને $b = 8y$,જ્યાં $x$ અને $y$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે અને $x > y$ ($a > b$ હોવાથી).
આ કિંમતોને ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(8x) \times (8y) = 512$
$64xy = 512$
$xy = 8$
$x > y$ અને $gcd(x, y) = 1$ હોય તેવી $(x, y)$ ની શક્ય જોડી $(8, 1)$ છે.
જો $x = 8$ અને $y = 1$ હોય,તો $a = 8 \times 8 = 64$ અને $b = 8 \times 1 = 8$ મળે.
$LCM$ ચકાસતા: $LCM(64, 8) = 64$,જે આપેલી શરતનું પાલન કરે છે.
આમ,$a = 64$.

(B) સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા $2$ છે.
સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યા $4$ છે.
$LCM(2, 4)$ શોધવા માટે:
$2$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^1$ છે.
$4$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^2$ છે.
$LCM$ એ દરેક અવિભાજ્ય અવયવની મહત્તમ ઘાતનો ગુણાકાર છે,જે $2^2 = 4$ થાય છે.
તેથી,લ.સા.અ. $4$ છે.

(C) કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $5^n$ નો અંતિમ અંક શોધવા માટે:
$5^1 = 5$
$5^2 = 25$
$5^3 = 125$
$5^4 = 625$
અહીં અવલોકન કરતા જણાય છે કે,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$5$ નો $n$ વખત ગુણાકાર કરવાથી મળતી સંખ્યાનો અંતિમ અંક હંમેશા $5$ જ હોય છે. તેથી,$5^n$ નો અંતિમ અંક હંમેશા $5$ હોય છે.