Demo Questions in Gujarati

(A) પગલું $1$: $8$ અને $6$ નો ગુ.સા.અ. શોધો.
$8$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $= 2^3$.
$6$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $= 2 \times 3$.
સામાન્ય અવયવ $2$ છે,તેથી ગુ.સા.અ. $(8, 6) = 2$.
પગલું $2$: $26$ અને $91$ નો લ.સા.અ. શોધો.
$26$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $= 2 \times 13$.
$91$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $= 7 \times 13$.
લ.સા.અ. $(26, 91) = 2 \times 7 \times 13 = 182$.
તેથી,$Q.1$ એ $C$ સાથે અને $Q.2$ એ $B$ સાથે જોડાય છે.

(B) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$7\sqrt{5}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવા પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $7\sqrt{5} = \frac{a}{b}$ થાય.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{5} = \frac{a}{7b}$ મળે છે.
અહીં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$\frac{a}{7b}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{5}$ પણ એક સંમેય સંખ્યા છે.
પરંતુ,આ હકીકત એ વિરોધાભાસ છે કે $\sqrt{5}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે અને $7\sqrt{5}$ એ અસંમેય સંખ્યા જ હોવી જોઈએ.

(B) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$\sqrt{2}$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવા પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $2 = \frac{a^2}{b^2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = 2b^2$.
આ દર્શાવે છે કે $a^2$ બેકી સંખ્યા છે,તેથી $a$ પણ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
ધારો કે $a = 2k$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $(2k)^2 = 2b^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $4k^2 = 2b^2$ અથવા $b^2 = 2k^2$ થાય છે.
આ દર્શાવે છે કે $b^2$ બેકી સંખ્યા છે,તેથી $b$ પણ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
આમ,$a$ અને $b$ બંને બેકી સંખ્યા હોવાથી,તેમનો સામાન્ય અવયવ $2$ છે,જે આપણી ધારણા કે $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે અને $\sqrt{2}$ અસંમેય છે.

(B) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$3 + 2\sqrt{5}$ એ સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ એવા મળે કે જેથી $3 + 2\sqrt{5} = \frac{a}{b}$ થાય.
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતાં,આપણને $2\sqrt{5} = \frac{a}{b} - 3$ મળે છે.
$2\sqrt{5} = \frac{a - 3b}{b}$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\sqrt{5} = \frac{a - 3b}{2b}$ મળે છે.
અહીં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$\frac{a - 3b}{2b}$ એ સંમેય સંખ્યા છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{5}$ એ સંમેય સંખ્યા છે.
પરંતુ,આ હકીકતનો વિરોધાભાસ છે કે $\sqrt{5}$ અસંમેય છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે અને $3 + 2\sqrt{5}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(B) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$\sqrt{2}$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવા પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $2 = \frac{a^2}{b^2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = 2b^2$.
આ દર્શાવે છે કે $a^2$ બેકી સંખ્યા છે,અને તેથી $a$ પણ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
ધારો કે $a = 2k$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $(2k)^2 = 2b^2$ મળે છે,તેથી $4k^2 = 2b^2$,જેનું સાદું રૂપ $b^2 = 2k^2$ થાય છે.
આ દર્શાવે છે કે $b^2$ બેકી સંખ્યા છે,અને તેથી $b$ પણ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
આમ,$a$ અને $b$ બંને બેકી હોવાથી,તેમનો સામાન્ય અવયવ $2$ છે,જે આપણી ધારણા કે $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે,અને $\sqrt{2}$ અસંમેય સંખ્યા છે.

(A) સોનિયા અને રવિ ફરીથી પ્રારંભબિંદુ પર ક્યારે ભેગા થશે તે શોધવા માટે,આપણે તેમના દ્વારા એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતા સમયનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધવો પડશે.
સોનિયાને લાગતો સમય = $18$ મિનિટ.
રવિને લાગતો સમય = $12$ મિનિટ.
$18$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $2 \times 3^2$.
$12$ ના અવિભાજ્ય અવયવો = $2^2 \times 3$.
$LCM(18, 12) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$.
તેથી,તેઓ $36$ મિનિટ પછી ફરીથી પ્રારંભબિંદુ પર ભેગા થશે.

(C) વિભાજ્ય સંખ્યા એટલે એવી પ્રાકૃતિક સંખ્યા કે જેને $1$ અને તે સંખ્યા સિવાય ઓછામાં ઓછો એક અન્ય અવયવ હોય.
પ્રથમ પદાવલિ માટે: $7 \times 11 \times 13 + 13 = 13 \times (7 \times 11 + 1) = 13 \times (77 + 1) = 13 \times 78 = 13 \times 13 \times 6$.
આ સંખ્યાને $1$ અને તે સંખ્યા સિવાયના અવયવોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી તે વિભાજ્ય સંખ્યા છે.
બીજી પદાવલિ માટે: $7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 + 5 = 5 \times (7 \times 6 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 + 1) = 5 \times (1008 + 1) = 5 \times 1009$.
અહીં $1009$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે,તેથી આ સંખ્યાના અવયવો $1, 5, 1009$ અને તે સંખ્યા પોતે છે. તેને બે કરતાં વધારે અવયવો હોવાથી તે વિભાજ્ય સંખ્યા છે.

(B) કોઈપણ સંખ્યાનો અંતિમ અંક $0$ હોય,તો તેના અવિભાજ્ય અવયવોમાં $2$ અને $5$ હોવા જરૂરી છે.
$6^n$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $(2 \times 3)^n = 2^n \times 3^n$ થાય છે.
અહીં $6^n$ ના અવિભાજ્ય અવયવોમાં માત્ર $2$ અને $3$ છે,તેમાં $5$ નો સમાવેશ થતો નથી.
તેથી,અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે $6^n$ નો અંતિમ અંક $0$ હોઈ શકે નહીં.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે,તેમના $HCF$ અને $LCM$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$HCF(a, b) \times LCM(a, b) = a \times b$
અહીં $a = 306$,$b = 657$ અને $HCF(306, 657) = 9$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$9 \times LCM(306, 657) = 306 \times 657$
$LCM(306, 657) = \frac{306 \times 657}{9}$
$LCM(306, 657) = 34 \times 657$
$LCM(306, 657) = 22338$
તેથી,$LCM$ ની કિંમત $22338$ છે.

(A) અવિભાજ્ય અવયવીકરણની રીતનો ઉપયોગ કરીને $8$,$9$ અને $25$ નો ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. શોધવા માટે:
પગલું $1$: દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો શોધો.
$8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$
$9 = 3 \times 3 = 3^2$
$25 = 5 \times 5 = 5^2$
પગલું $2$: ગુ.સા.અ. એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે. અહીં $1$ સિવાય કોઈ સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ નથી,તેથી ગુ.સા.અ. = $1$ છે.
પગલું $3$: લ.સા.અ. એ સંખ્યાઓમાં રહેલા દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે.
$LCM = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 = 8 \times 9 \times 25 = 72 \times 25 = 1800$.
આમ,ગુ.સા.અ. = $1$ અને લ.સા.અ. = $1800$ છે.

(A) આપેલ સંખ્યાઓના અવિભાજ્ય અવયવો નીચે મુજબ છે:
$17 = 17 \times 1$
$23 = 23 \times 1$
$29 = 29 \times 1$
અહીં $17, 23$ અને $29$ એ બધી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોવાથી,$1$ સિવાય તેમનો કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી.
તેથી,ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.) = $1$ છે.
લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી (લ.સા.અ.) એ તમામ અવિભાજ્ય અવયવોના મહત્તમ ઘાતાંકનો ગુણાકાર છે:
લ.સા.અ. = $17 \times 23 \times 29 = 11339$.
આમ,ગુ.સા.અ. = $1$ અને લ.સા.અ. = $11339$ થાય.

(A) $12$,$15$ અને $21$ નો ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. અવિભાજ્ય અવયવીકરણની રીતે શોધવા માટે:
પગલું $1$: દરેક સંખ્યાનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ લખો.
$12 = 2^2 \times 3^1$
$15 = 3^1 \times 5^1$
$21 = 3^1 \times 7^1$
પગલું $2$: ગુ.સા.અ. $(HCF)$ શોધો.
ગુ.સા.અ. એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે.
અહીં સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ માત્ર $3$ છે,અને તેની સૌથી નાની ઘાત $3^1$ છે.
તેથી,$HCF = 3$.
પગલું $3$: લ.સા.અ. $(LCM)$ શોધો.
લ.સા.અ. એ દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે.
અહીં સમાવિષ્ટ અવિભાજ્ય અવયવો $2, 3, 5$ અને $7$ છે.
તેમની સૌથી મોટી ઘાત $2^2, 3^1, 5^1$ અને $7^1$ છે.
$LCM = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \times 7^1 = 4 \times 3 \times 5 \times 7 = 420$.
આમ,$HCF = 3$ અને $LCM = 420$ થાય છે.

(A) પગલું $1$: $336$ અને $54$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો.
$336 = 2^4 \times 3^1 \times 7^1$
$54 = 2^1 \times 3^3$
પગલું $2$: ગુ.સા.અ. શોધો.
$\text{ગુ}.\text{સા}.\text{અ}. = 2^{\min(4,1)} \times 3^{\min(1,3)} = 2^1 \times 3^1 = 6$.
પગલું $3$: લ.સા.અ. શોધો.
$\text{લ}.\text{સા}.\text{અ}. = 2^{\max(4,1)} \times 3^{\max(1,3)} \times 7^1 = 2^4 \times 3^3 \times 7 = 16 \times 27 \times 7 = 3024$.
પગલું $4$: $\text{ગુ}.\text{સા}.\text{અ}. \times \text{લ}.\text{સા}.\text{અ}. = \text{બંને પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર}$ ચકાસો.
$\text{ગુ}.\text{સા}.\text{અ}. \times \text{લ}.\text{સા}.\text{અ}. = 6 \times 3024 = 18144$.
$\text{બંને પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર} = 336 \times 54 = 18144$.
આમ, $18144 = 18144$ હોવાથી, સંબંધ ચકાસાય છે.

(A) પગલું $1$: $510$ અને $92$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો.
$510 = 2 \times 3 \times 5 \times 17$
$92 = 2^2 \times 23$
પગલું $2$: ગુ.સા.અ. $(HCF)$ અને લ.સા.અ. $(LCM)$ શોધો.
$HCF = 2^1 = 2$
$LCM = 2^2 \times 3 \times 5 \times 17 \times 23 = 23460$
પગલું $3$: સંબંધ $HCF \times LCM = \text{બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર}$ ચકાસો.
$HCF \times LCM = 2 \times 23460 = 46920$
$\text{સંખ્યાઓનો ગુણાકાર} = 510 \times 92 = 46920$
આમ,$46920 = 46920$ હોવાથી,સંબંધ ચકાસાય છે.

(A) પગલું $1$: $26$ અને $91$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો.
$26 = 2 \times 13$
$91 = 7 \times 13$
પગલું $2$: ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. શોધો.
ગુ.સા.અ. = $\text{સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવોની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર} = 13$.
લ.સા.અ. = $\text{દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર} = 2 \times 7 \times 13 = 182$.
પગલું $3$: સંબંધ ગુ.સા.અ. $\times$ લ.સા.અ. = $\text{બંને સંખ્યાઓનો ગુણાકાર}$ ચકાસો.
ગુ.સા.અ. $\times$ લ.સા.અ. = $13 \times 182 = 2366$.
$\text{બંને સંખ્યાઓનો ગુણાકાર} = 26 \times 91 = 2366$.
આમ, $2366 = 2366$ હોવાથી, સંબંધ ચકાસાય છે.

(A) $7429$ ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધવા માટે,આપણે ક્રમશઃ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ વડે ભાગાકાર ચકાસીએ.
$7429$ એ $2, 3, 5, 7, 11$ કે $13$ વડે વિભાજ્ય નથી.
$17$ વડે ભાગતા: $7429 \div 17 = 437$.
હવે,આપણે $437$ ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધીએ.
$19$ વડે ભાગતા: $437 \div 19 = 23$.
$23$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાથી,અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $17 \times 19 \times 23$ થાય છે.

(A) $5005$ ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધવા માટે,આપણે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ વડે ક્રમિક ભાગાકાર કરીશું:
$1$. છેલ્લો અંક $5$ હોવાથી,તે $5$ વડે વિભાજ્ય છે: $5005 \div 5 = 1001$.
$2$. હવે,$1001$ ને પછીની અવિભાજ્ય સંખ્યા $7$ વડે ભાગતા: $1001 \div 7 = 143$.
$3$. ત્યારબાદ,$143$ ને પછીની અવિભાજ્ય સંખ્યા $11$ વડે ભાગતા: $143 \div 11 = 13$.
$4$. અંતે,$13$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે,તેથી $13 \div 13 = 1$.
આમ,$5005$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $5 \times 7 \times 11 \times 13$ છે.

(B) $3825$ ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધવા માટે,આપણે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ વડે ક્રમિક ભાગાકાર કરીશું:
$1$. છેલ્લો અંક $5$ હોવાથી,તે $5$ વડે વિભાજ્ય છે: $3825 \div 5 = 765$.
$2$. $765$ પણ $5$ વડે વિભાજ્ય છે: $765 \div 5 = 153$.
$3$. હવે,$3$ વડે ચકાસો: $153$ ના અંકોનો સરવાળો $1+5+3 = 9$ છે,જે $3$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી,$153 \div 3 = 51$.
$4$. $51$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે: $51 \div 3 = 17$.
$5$. $17$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે,તેથી $17 \div 17 = 1$.
આમ,અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $3825 = 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 17 = 3^2 \times 5^2 \times 17$ થાય છે.

(A) $156$ ને તેના અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવવા માટે,આપણે અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીએ છીએ:
$156 = 2 \times 78$
$78 = 2 \times 39$
$39 = 3 \times 13$
આ બધાને ભેગા કરતા,આપણને $156 = 2 \times 2 \times 3 \times 13$ મળે છે.
ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં,આ $2^2 \times 3 \times 13$ થાય છે.

(B) $140$ ને તેના અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવવા માટે,આપણે અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીએ છીએ:
$1$. $140$ ને સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા $2$ વડે ભાગતા: $140 \div 2 = 70$.
$2$. $70$ ને $2$ વડે ભાગતા: $70 \div 2 = 35$.
$3$. $35$ ને પછીની અવિભાજ્ય સંખ્યા $5$ વડે ભાગતા: $35 \div 5 = 7$.
$4$. $7$ ને અવિભાજ્ય સંખ્યા $7$ વડે ભાગતા: $7 \div 7 = 1$.
આમ,$140 = 2 \times 2 \times 5 \times 7$.
ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં,આ $2^2 \times 5 \times 7$ થાય છે.

(A) $867$ અને $255$ નો ગુ.સા.અ. યુક્લિડની ભાગવિધિ દ્વારા શોધવા માટે,આપણે નીચેના પગલાં અનુસરીએ છીએ:
પગલું $1$: $867 > 255$ હોવાથી,આપણે $867$ અને $255$ માટે યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરીએ:
$867 = 255 \times 3 + 102$
પગલું $2$: શેષ $102 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $255$ અને $102$ માટે પ્રમેય વાપરીએ:
$255 = 102 \times 2 + 51$
પગલું $3$: શેષ $51 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $102$ અને $51$ માટે પ્રમેય વાપરીએ:
$102 = 51 \times 2 + 0$
હવે શેષ $0$ હોવાથી,આ તબક્કે ભાજક એ ગુ.સા.અ. છે.
તેથી,$867$ અને $255$ નો ગુ.સા.અ. $51$ છે.

(A) $135$ અને $225$ નો ગુ.સા.અ. યુક્લિડની ભાગવિધિનો ઉપયોગ કરીને શોધવા માટે,આપણે નીચેના પગલાં અનુસરીએ છીએ:
પગલું $1$: $225 > 135$ હોવાથી,આપણે $225$ અને $135$ માટે યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરીએ:
$225 = 135 \times 1 + 90$
પગલું $2$: શેષ $90 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $135$ અને $90$ માટે પૂર્વપ્રમેય વાપરીએ:
$135 = 90 \times 1 + 45$
પગલું $3$: શેષ $45 \neq 0$ હોવાથી,આપણે $90$ અને $45$ માટે પૂર્વપ્રમેય વાપરીએ:
$90 = 45 \times 2 + 0$
અહીં શેષ $0$ મળે છે,તેથી આ તબક્કે ભાજક એ ગુ.સા.અ. છે.
આમ,$135$ અને $225$ નો ગુ.સા.અ. $45$ છે.

(A) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો તપાસીએ છીએ.
જો $q$ એ $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે,તો દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત હોય છે.
અહીં આપેલી સંમેય સંખ્યા $\frac{13}{3125}$ માં,છેદ $q = 3125$ છે.
$3125$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડતા: $3125 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^5$.
આને $2^0 \times 5^5$ તરીકે લખી શકાય છે.
અહીં છેદ $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોવાથી (જ્યાં $n=0$ અને $m=5$),$\frac{13}{3125}$ નું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત છે.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$\sqrt{2}$ સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવા પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $2 = \frac{a^2}{b^2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = 2b^2$.
આ દર્શાવે છે કે $a^2$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે,અને પરિણામે,$a$ પણ $2$ વડે વિભાજ્ય છે (અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ).
તેથી,આપણે કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે $a = 2k$ લખી શકીએ.
આ કિંમતને $a^2 = 2b^2$ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $(2k)^2 = 2b^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $4k^2 = 2b^2$ અથવા $b^2 = 2k^2$ થાય છે.
આ દર્શાવે છે કે $b^2$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે,અને પરિણામે,$b$ પણ $2$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$a$ અને $b$ બંનેમાં ઓછામાં ઓછો $2$ સામાન્ય અવયવ છે,જે આપણી ધારણા કે $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,આપણી ધારણા કે $\sqrt{2}$ સંમેય છે તે ખોટી છે,અને $\sqrt{2}$ અસંમેય જ હોવી જોઈએ.

(A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$\sqrt{2}$ સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ એવા મળે કે જેથી $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $2 = \frac{a^2}{b^2}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = 2b^2$.
આનો અર્થ એ છે કે $a^2$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે,અને પરિણામે,$a$ પણ $2$ વડે વિભાજ્ય છે (અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ).
તેથી,આપણે $a = 2k$ લખી શકીએ,જ્યાં $k$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
આ કિંમતને $a^2 = 2b^2$ માં મૂકતા,આપણને $(2k)^2 = 2b^2$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $4k^2 = 2b^2$ અથવા $b^2 = 2k^2$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $b^2$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે,અને પરિણામે,$b$ પણ $2$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$a$ અને $b$ બંનેનો સામાન્ય અવયવ ઓછામાં ઓછો $2$ છે,જે આપણી ધારણા કે $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે,અને $\sqrt{2}$ અસંમેય છે.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$3\sqrt{2}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવા પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $3\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ થાય.
આને $\sqrt{2} = \frac{a}{3b}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
અહીં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$\frac{a}{3b}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{2}$ પણ એક સંમેય સંખ્યા છે.
પરંતુ,આ હકીકત એ વિરોધાભાસ છે કે $\sqrt{2}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી ધારણા કે $3\sqrt{2}$ એ સંમેય સંખ્યા છે તે ખોટી છે.
આમ,$3\sqrt{2}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(B) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$5 - \sqrt{3}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ એવા મળે કે જેથી $5 - \sqrt{3} = \frac{a}{b}$ થાય.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $5 - \frac{a}{b} = \sqrt{3}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{5b - a}{b} = \sqrt{3}$ થાય છે.
અહીં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$\frac{5b - a}{b}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{3}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
પરંતુ,આ હકીકતનો વિરોધાભાસ છે કે $\sqrt{3}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે અને $5 - \sqrt{3}$ એ અસંમેય સંખ્યા જ હોવી જોઈએ.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$\sqrt{2}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવા પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $2 = \frac{a^2}{b^2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = 2b^2$.
આનો અર્થ એ છે કે $a^2$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ $a$ પણ $2$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
ધારો કે $a = 2k$,જ્યાં $k$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
આ કિંમત $a^2 = 2b^2$ માં મૂકતા,આપણને $(2k)^2 = 2b^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $4k^2 = 2b^2$ અથવા $b^2 = 2k^2$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $b^2$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી $b$ પણ $2$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
આમ,$a$ અને $b$ બંને $2$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,તેમનો સામાન્ય અવયવ $2$ છે,જે આપણી ધારણા કે $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે અને $\sqrt{2}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(A) અવિભાજ્ય અવયવીકરણની રીતનો ઉપયોગ કરીને $6$,$72$ અને $120$ નો ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. શોધવા માટે:
પગલું $1$: દરેક સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો મેળવો.
$6 = 2^1 \times 3^1$
$72 = 2^3 \times 3^2$
$120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$
પગલું $2$: ગુ.સા.અ. એ દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર છે.
$\text{ગુ}.\text{સા}.\text{અ}. = 2^1 \times 3^1 = 6$
પગલું $3$: લ.સા.અ. એ દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર છે.
$\text{લ}.\text{સા}.\text{અ}. = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 = 8 \times 9 \times 5 = 360$
આમ,ગુ.સા.અ. $6$ છે અને લ.સા.અ. $360$ છે.

(A) પગલું $1$: $96$ અને $404$ ના અવિભાજ્ય અવયવો મેળવો.
$96 = 2^5 \times 3^1$
$404 = 2^2 \times 101^1$
પગલું $2$: સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવોની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર કરીને ગુ.સા.અ. શોધો.
$HCF(96, 404) = 2^2 = 4$.
પગલું $3$: સંબંધ $LCM(a, b) \times HCF(a, b) = a \times b$ નો ઉપયોગ કરો.
$LCM(96, 404) = \frac{96 \times 404}{HCF(96, 404)}$
$LCM(96, 404) = \frac{96 \times 404}{4} = 96 \times 101 = 9696$.

(A) પગલું $1$: આપેલી સંખ્યાઓનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરો.
$6 = 2 \times 3$
$20 = 2^2 \times 5$
પગલું $2$: ગુ.સા.અ. શોધવા માટે,દરેક સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી નાની ઘાતનો ગુણાકાર કરો.
સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ $2$ છે. તેની સૌથી નાની ઘાત $2^1$ છે.
તેથી,ગુ.સા.અ. = $2$.
પગલું $3$: લ.સા.અ. શોધવા માટે,દરેક અવિભાજ્ય અવયવની સૌથી મોટી ઘાતનો ગુણાકાર કરો.
અહીં સમાવિષ્ટ અવિભાજ્ય અવયવો $2, 3$ અને $5$ છે.
સૌથી મોટી ઘાત $2^2, 3^1$ અને $5^1$ છે.
લ.સા.અ. = $2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60$.
આમ,ગુ.સા.અ. = $2$ અને લ.સા.અ. = $60$.

(B) કોઈ સંખ્યાનો છેલ્લો અંક $0$ હોય તે માટે,તે સંખ્યા $10$ વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે તેના અવિભાજ્ય અવયવોમાં $2$ અને $5$ બંને હોવા જોઈએ.
$4^n$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $(2^2)^n = 2^{2n}$ છે.
$4^n$ નો એકમાત્ર અવિભાજ્ય અવયવ $2$ હોવાથી,તેમાં $5$ અવયવ તરીકે નથી.
તેથી,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $4^n$ ક્યારેય $0$ અંક સાથે સમાપ્ત થઈ શકે નહીં.

(B) શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં,ભાજક $x + 2$ છે,જેને $x - (-2)$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી,$a = -2$ થશે.
હવે,બહુપદી $p(x) = 40x^2 + 11x - 63$ માં $x = -2$ મૂકતા:
$p(-2) = 40(-2)^2 + 11(-2) - 63$
$p(-2) = 40(4) - 22 - 63$
$p(-2) = 160 - 22 - 63$
$p(-2) = 160 - 85$
$p(-2) = 75$
આમ,મળતી શેષ $75$ છે.

(D) $p(-2)$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપેલ બહુપદી $p(x) = 2x^4 - 3x^3 + 7x + 5$ માં $x = -2$ મૂકો.
$p(-2) = 2(-2)^4 - 3(-2)^3 + 7(-2) + 5$
ઘાતની ગણતરી કરો:
$(-2)^4 = 16$
$(-2)^3 = -8$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$p(-2) = 2(16) - 3(-8) + 7(-2) + 5$
$p(-2) = 32 + 24 - 14 + 5$
$p(-2) = 56 - 14 + 5$
$p(-2) = 42 + 5$
$p(-2) = 47$

(C) અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $P(x)$ માટે $P(a) = 0$ હોય,તો $(x - a)$ એ $P(x)$ નો એક અવયવ છે.
અહીં આપેલ છે કે $P(-7) = 0$,તેથી પ્રમેયમાં $a = -7$ લેતા.
તેથી,$(x - (-7))$ એ $P(x)$ નો એક અવયવ થાય.
આમ,$(x + 7)$ એ $P(x)$ નો એક અવયવ છે.

(B) ધારો કે ત્રિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ના શૂન્યો $\alpha, \beta,$ અને $\gamma$ છે.
આપેલ છે: $\alpha = \sqrt{5}$,$\beta = -\sqrt{5}$,અને આપણે $\gamma$ શોધવાનું છે.
ત્રિઘાત બહુપદીના શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,શૂન્યોનો સરવાળો નીચે મુજબ છે:
$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$
બહુપદી $p(x) = x^3 + x^2 - 5x - 5$ પરથી,આપણને $a = 1$ અને $b = 1$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\sqrt{5} + (-\sqrt{5}) + \gamma = -\frac{1}{1}$
$0 + \gamma = -1$
$\gamma = -1$
આમ,ત્રીજું શૂન્ય $-1$ છે.

(A) સુરેખ બહુપદીનું સ્વરૂપ $p(x) = ax + b$ હોય છે,જ્યાં $a \neq 0$ છે. સુરેખ બહુપદીનો આલેખ કાર્તેઝિયન સમતલમાં હંમેશા એક રેખા દર્શાવે છે. અહીં $p(x) = 5x + 3$ એ સુરેખ બહુપદી હોવાથી,તેનો આલેખ એક રેખા છે.

(A) આપેલ બહુપદી $p(x) = ax^2 + bx + c$ છે,જેના શૂન્યો $\alpha$ અને $\beta$ છે.
શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$
શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}$
આપણે $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
લસાઅ લેતા: $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \cdot \beta}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}} = -\frac{b}{a} \cdot \frac{a}{c} = -\frac{b}{c}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = x^2 + 4x - 5$ ના અવયવો પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવી પડે જેનો ગુણાકાર $-5$ થાય અને જેનો સરવાળો $4$ થાય.
આ બે સંખ્યાઓ $5$ અને $-1$ છે,કારણ કે $5 \times (-1) = -5$ અને $5 + (-1) = 4$.
હવે,મધ્યમ પદ $4x$ ને $5x - x$ તરીકે લખતા:
$p(x) = x^2 + 5x - x - 5$
પદોને જૂથમાં ગોઠવતા:
$p(x) = (x^2 + 5x) - (x + 5)$
સામાન્ય પદો બહાર કાઢતા:
$p(x) = x(x + 5) - 1(x + 5)$
અંતે,$(x + 5)$ ને સામાન્ય લેતા:
$p(x) = (x + 5)(x - 1)$.

(D) $ax^2 + bx + c$ સ્વરૂપની દ્વિઘાત બહુપદી માટે,શૂન્યોનો સરવાળો $\alpha + \beta$ એ સૂત્ર $\alpha + \beta = -b/a$ દ્વારા મળે છે.
બહુપદી $p(x) = x^2 - 4x + 3$ ને $ax^2 + bx + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$,$b = -4$ અને $c = 3$ મળે છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $\alpha + \beta = -(-4)/1 = 4/1 = 4$.
અહીં $4$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) બહુપદી $p(x) = ax - b$ નો આલેખ $X$-અક્ષને જ્યાં છેદે તે બિંદુ શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$ax - b = 0$ લેતા,આપણને $ax = b$ મળે છે.
$x$ માટે ઉકેલતા,$x = \frac{b}{a}$ મળે છે.
આ બિંદુ $X$-અક્ષ પર હોવાથી,તેનો y-યામ $0$ છે.
તેથી,આલેખ $X$-અક્ષને $(\frac{b}{a}, 0)$ બિંદુએ છેદે છે.

(A) બહુપદી $p(x) = x^3 - x$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ.
$x^3 - x = 0$
$x$ સામાન્ય લેતા:
$x(x^2 - 1) = 0$
તફાવતના અવયવોના સૂત્ર $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x(x - 1)(x + 1) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x = 0$,$x - 1 = 0 \implies x = 1$,અને $x + 1 = 0 \implies x = -1$.
આમ,શૂન્યો $0, 1, -1$ છે.
તેથી,વાસ્તવિક શૂન્યોની કુલ સંખ્યા $3$ છે.

(C) બહુપદી $(x+1)(x^2 - x - x^4 + 1)$ નો ઘાતાંક શોધવા માટે,આપણે દરેક અવયવમાં $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત ઓળખીએ છીએ.
પ્રથમ અવયવ $(x+1)$ છે,જેનો ઘાતાંક $1$ છે.
બીજો અવયવ $(x^2 - x - x^4 + 1)$ છે,જેનો ઘાતાંક $4$ છે (કારણ કે $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત $x^4$ છે).
જ્યારે બે બહુપદીઓનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે,ત્યારે મળતી બહુપદીનો ઘાતાંક એ વ્યક્તિગત અવયવોના ઘાતાંકોનો સરવાળો હોય છે.
તેથી,ગુણાકારનો ઘાતાંક $1 + 4 = 5$ થાય છે.

(A) દ્વિઘાત બહુપદી $ax^2 + bx + c$ માટે,શૂન્યોનો સરવાળો $\alpha + \beta = -b/a$ અને શૂન્યોનો ગુણાકાર $\alpha\beta = c/a$ થાય છે.
આપેલ બહુપદી $P(x) = x^2 - 3x + 2k$ માં,$a = 1$,$b = -3$,અને $c = 2k$ છે.
તેથી,$\alpha + \beta = -(-3)/1 = 3$ અને $\alpha\beta = 2k/1 = 2k$ મળે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\alpha + \beta = \alpha\beta$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$3 = 2k$ મળે.
આમ,$k = 3/2$ થાય.

(B) બહુપદી $p(x) = \sqrt{5}x - 5$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
તેથી,$\sqrt{5}x - 5 = 0$.
બંને બાજુ $5$ ઉમેરતા,આપણને $\sqrt{5}x = 5$ મળે છે.
બંને બાજુ $\sqrt{5}$ વડે ભાગતા,$x = \frac{5}{\sqrt{5}}$ મળે છે.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા,$x = \frac{5 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}$.
આમ,બહુપદીનું શૂન્ય $\sqrt{5}$ છે.

(D) $ax^{2}+bx+c$ સ્વરૂપની દ્વિઘાત બહુપદી માટે,શૂન્યોનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ બહુપદી $x^{2}-4x+3$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$,$b=-4$ અને $c=3$ મળે છે.
તેથી,શૂન્યોનો ગુણાકાર = $\frac{c}{a} = \frac{3}{1} = 3$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ત્રિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ માટે,સહગુણકો અને શૂન્યો $(\alpha, \beta, \gamma)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$1$. શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$
$2$. બબ્બે શૂન્યોના ગુણાકારનો સરવાળો: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$
$3$. શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$
તેથી,શૂન્યોનો ગુણાકાર $-\frac{d}{a}$ થાય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x^{3}-1}{p(x)} = \frac{x^{2}+x+1}{x-1}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઘનનો તફાવત માટેનું નિત્યસમ: $x^{3}-1 = (x-1)(x^{2}+x+1)$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{p(x)} = \frac{x^{2}+x+1}{x-1}$.
બંને બાજુથી $(x^{2}+x+1)$ ને દૂર કરતા (ધારો કે $x^{2}+x+1 \neq 0$): $\frac{x-1}{p(x)} = \frac{1}{x-1}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $p(x) = (x-1)(x-1) = (x-1)^{2}$.

(C) બહુપદી એ એક એવી બીજગણિતીય પદાવલિ છે જેમાં ચલના ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
વિકલ્પ $A$,$4x^2 + \sqrt{7}$ માં,$x$ નો ઘાતાંક $2$ છે,જે અનૃણ પૂર્ણાંક છે.
વિકલ્પ $B$,$3x^2 + x - 1$ માં,$x$ ના ઘાતાંક $2$ અને $1$ છે,જે અનૃણ પૂર્ણાંક છે.
વિકલ્પ $C$,$3x^2 - 5\sqrt{x} + 2$ માં,પદ $\sqrt{x}$ ને $x^{1/2}$ તરીકે લખી શકાય છે. $1/2$ એ પૂર્ણાંક ન હોવાથી,આ પદાવલિ બહુપદી નથી.
વિકલ્પ $D$,$3x - 1$ માં,$x$ નો ઘાતાંક $1$ છે,જે અનૃણ પૂર્ણાંક છે.
તેથી,$3x^2 - 5\sqrt{x} + 2$ એ બહુપદી નથી.

(B) ધારો કે બહુપદી $p(x) = x^{2} + 7x + m$ છે.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x+4)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(-4) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = -4$ મૂકતા:
$(-4)^{2} + 7(-4) + m = 0$
$16 - 28 + m = 0$
$-12 + m = 0$
$m = 12$.
આમ,$m$ ની કિંમત $12$ છે.